Strumenti per il calcolo numerico Matlab/Octave

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1 Strumenti per il calcolo numerico Matlab/Octave Marco D. Santambrogio Ver. aggiornata al 2 Dicembre 2016

2 Compitini Se non per il 2

3 Compitini Se non per il Arriveranno per il 19/12 3

4 4

5

6 Compitini Se non per il Arriveranno per il 19/12 20/12 6

7 Obiettivi Benvenuti nel fantastico mondo di Matlab/Octave! 7

8 Matlab Cos è Matlab: strumento (e corrispondente linguaggio) per elaborazioni di calcolo numerico NB: sta per MATrix LABoratory» centrato sulle matrici (ma include generiche funzionalità matematiche) usato nei successivi corsi di calcolo numerico MATLAB è uno strumento commerciale distribuito, su licenza NON gratuita, da The MathWorks Inc Student edition disponibile quando si è al Politecnico Esiste un altro strumento di nome Octave identico nella concezione, molto simile per gli aspetti operativi disponibile gratuitamente, vedi 8

9 Caratteristiche del linguaggio di Matlab/ Octave (1) Linguaggio di alto livello simile a linguaggi di programmazione C, Java, Pascal possiede comandi sintetici per effettuare complesse elaborazioni numeriche Linguaggio interpretato, comandi e istruzioni NON tradotti in codice eseguibile dall hardware MA manipolati da un programma (l interprete) che li analizza ed esegue azioni da essi descritte Linguaggio dinamico NON occorre dichiarare le variabili risultano definite dal punto in cui vengono introdotte e vengono incluse in una struttura detta tabella dei simboli il tipo delle variabili è dinamico a una variabile si possono assegnare, successivamente, valori di tipo diverso (scalari, stringhe, vettori, matrici...) 9

10 Caratteristiche del linguaggio di Matlab/ Octave (2) In Matlab/Octave tutto è un array ci sono casi particolari significativi di array array 1x1 sono gli scalari array con una sola riga o colonna sono i vettori array con due dimensioni sono le matrici array con >2 dimensioni: matrici multidimensionali 10

11 Per macchine PoliMI 11

12 Screenshot interfaccia MATLAB Mostra le variabili nel workspace Contenuto della directory corrente Storia dei comandi Finestra dei comandi Lancia i tool di MATLAB ed altro

13 Screenshot dell interfaccia OCTAVE Linea di comando dell interprete 13

14 GUI di Octave Contenuto della directory corrente Storia dei comandi Finestra dei comandi 14

15 Comandi in Matlab Matlab accetta comandi che l utente scrive di seguito al prompt : >> es. >> a = 10; Assegna alla variabile a il valore 10 Esempio di alcuni comandi: help richiama la guida in linea diary può essere utilizzato per salvare la sessione di lavoro who, whos e workspace mostrano l elenco delle variabili definite save permette di salvare in un file le variabili definite. Load le ricarica clear cancella tutte le variabili 15

16 Esempi Input Output Commento 1234/6 ans = calcolo di un valore scalare a=1234/6 a = assegnamento alla variabile a del risultato di 1234/6 eps eps = e-16 variabile predefinita: la più piccola differenza rappresentabile tra due numeri 2/5 ans = divisione destra 5/0 ans = Inf divisione per zero 5^2 ans = 25 potenza real(4+5j) ans = 4 real è una funzione predefinita che restituisce la parte reale di un numero complesso 1+1==2 1+1~=2 ans = 1 ans = 0 1 = vero, 0 = falso, == uguale, ~= diverso (codice ASCII di ~ : 126) 16

17 Esempi con gli array a=[1 2; 3, 4] a = a a = x=[-1.3 sqrt(3) (1+2)/5] x = x(5)=abs(x(1)) x = b=a b = a ora è una matrice 2x2, ; separa le righe; virgola opzionalmente separa elementi (ma basta lo spazio) restituisce il valore della variabile a elementi possono essere espressioni Notazione con () per accedere a elementi di una matrice; abs valore assoluto; NB: vettore x esteso per includere nuovo elemento; elementi non assegnati sono nulli matrice trasposta (scambiate righe e colonne) c=a+b c = x=[-1 0 2]; y=x' y = somma di matrici, elemento per elemento (sottrazione con - simile) il ; blocca l output, ma non impedisce la valutazione 17

18 Altre operazioni con gli array a = [] a = [] array vuoto, convenzionalmente rappresenta valore nullo x=1:5 x = operatore : per produrre vettori di numeri y=0:pi/4:pi y = v=10:-4:-3 v = sin(y) ans = x=[0:pi/100:pi/2]'; [x sin(x)] ans = operatore : con passo di incremento e valori non interi (pi è pigreco) valori negativi del passo e degli estremi funzioni predefinite si applicano ai vettori produce la tabella di sin(x), 0 x π/2 18

19 Diagrammi a due dimensioni Diagramma = insieme di coppie che rappresentano coordinate di punti Si usano vettori per contenere sequenze ordinate dei valori di ognuna delle coordinate plot(x,y) disegna digramma cartesiano dei punti che hanno valori delle ascisse in x, delle ordinate in y e li congiunge con una linea, per dare continuità al grafico funzioni xlabel per visualizzare nome asse ascisse, ylabel per ordinate, title per il titolo cubica >> x = -10:0.1:10; >> y=x.^3; >> plot(x,y); >> xlabel('ascisse'); >> ylabel('ordinate'); >> title('cubica'); ordinate ascisse 19

20 Diagramma in GUI-Octave 20

21 Un esempio di cinematica Due treni partono da due stazioni adiacenti, che distano 15km, viaggiando a velocità di 50m/s e 30m/ s in direzione opposta Costruire un grafico che mostra il loro movimento, fino a quando il più veloce raggiunge la destinazione Il più veloce impiega 15000/50=300s DistanzaTreno1=50 t; DistranzaTreno2= t; (per mostrare la provenienza dalla direzione opposta) 21

22 Soluzione t=0:1:300; p1=50 * t; p2= * t; plot(t,p1); hold on %adesso è possibile inserire nuove curve sul grafico plot(t,p2) hold off 22

23 Risultati ottenuti con l esempio 23

24 Istruzioni e ; Non come in C Le istruzioni possono essere seguite da ; ma non è obbligatorio Il ; blocca la visualizzazione del valore delle variabili coinvolte nell istruzione Maggiore velocità di esecuzione Regola di buona programmazione Inserire sempre il ;, a meno che non si voglia ispezionare il valore di una variabile a scopo di debugging 24

25 Commenti Il simbolo di commento può essere messo in qualsiasi punto della linea. MATLAB ignorerà tutto quello che viene scritto alla destra del simbolo %. Per esempio: >>% This is a comment. >>x = 2+3 % So is this. x = 5 25

26 Array e variabili L unità fondamentale di dati in MATLAB è l array Una variabile in MATLAB è una regione di memoria che contiene un array Ha un nome definito dall utente Per i nomi valgono regole simili a quelle del C C è un linguaggio a tipizzazione forte Le variabili vanno dichiarate prima dell uso MATLAB è un linguaggio a tipizzazione debole Le variabili vengono create assegnando ad esse dei valori Il loro tipo è determinato dal tipo dei valori assegnati >> x = [1 2 3]; >> whos x; Name Size Bytes Class Attributes x 1x3 24 double 26

27 Tipo char Una variabile di tipo char contiene uno scalare o un array di valori a 16 bit (8 bit in Octave), ciascuno dei quali rappresenta un carattere Es: commento = questa e` una stringa ; Nome della variabile Array di 1x21 caratteri (NB: stringhe racchiuse tra apici singoli) whos commento; Name Size Bytes Class Attributes commento 1x21 42 char 27

28 Alcuni esempi 28

29 Una piccola nota italiana 29

30 Tipo double Una variabile di tipo double contiene uno scalare o un array di numeri espressi in 64 bit con doppia precisione Questi numeri possono essere Reali, es var1 = -10.7; Immaginari, es var2 = 4i; var3 = 4j; Complessi, es var3 = i; Es: x = [ j 0] Le parti reali e immaginarie possono essere positive e negative nell intervallo di valori [10-308, ] 30

31 Creazione e inizializzazione di una variabile Le variabili sono create al momento dell inizializzazione Modi di inizializzazione Assegnamento Lettura dati da tastiera Lettura da file 31

32 Assegnamento variabile = espressione Esempi a = [0 7+1]; b = [a(2) 5 a]; Risultato a = [0 8] b = [ ] contenuto di a secondo elemento di a 32

33 Assegnamento: NOTA Non tutti gli elementi devono essere specificati alla creazione Ricordiamo: pippo(2) è il secondo elemento di pippo Cosa sarà elemento_matrice_2d(6,3)? Ricordiamo: le variabili sono create al momento dell inizializzazione 33

34 Quindi, unendo i ricordiamo 34

35 Assegnamento (2) L array può essere esteso successivamente d = [2 5]; d(4)=2; d = [ ] Operatore di trasposizione g = d ; Creare un vettore enumerando i valori di un insieme: uso dell operatore : x = 1:2:10; x = [ ] n = 1:3; n = [1 2 3] m = [n n ]

36 Tabella delle funzioni predefinite Funzione zeros (n) zeros (m,n) zeros (size(arr)) ones(n) ones(m,n) ones(size(arr)) eye(n) eye(m,n) length(arr) size(arr) v(end) m(end, end) Significato Genera una matrice nxn di zeri Genera una matrice mxn di zeri Genera una matrice di zeri della stessa dimensione di arr Genera una matrice nxn di uno Genera una matrice mxn di uno Genera una matrice di uno della stessa dimensione di arr Genera la matrice identità nxn Genera la matrice identità mxn Ritorna la dimensione più lunga del vettore Ritorna un vettore [r c] con il numero r di righe e c di colonne della matrice; se arr ha più dimensioni ritorna array con numero elementi per ogni dimensione ultimo elemento di vettore v; ultimo elemento dell ultima riga di matrice m; la costante end, come indice in un array, denota il più alto valore possibile dell indice 36

37 Funzioni predefinite Esempi a = zeros(2); b = zeros(2,3); c = [1 2; 3 4]; d = zeros(size(c));

38 sottoarray: applicazione a vettori Si denota un sottoinsieme di un array usando vettori per valori degli indici >> v=[ ] v = >> v([1 4 7]) primo, quarto settimo elemento ans = >> v(2:2:6) ans = :2:6 è il vettore [2, 4, 6]: indica secondo, quarto, sesto elemento >> v(3:end-2) ans = dal terzo al terz ultimo elemento >> v(v) i valori di v usati come indice ans = >> 38

39 sottoarray: applicazione a matrici m = >> m([1 4], [2 3]) ans = >> m(1:2:5, 1:end) ans = >>>> m(1:2:5, :) ans = >> m(2:2:4, :) = [ ; ]; >> m m = >> tutti gli elementi sulle righe 1 e 4 e sulle colonne 2 e 3 tutti gli elementi delle righe 1, 3 e 5 notazione : abbreviata per 1:end, cioè tutti i valori di quell indice uso della notazione dei sottoarray per individuare elementi oggetto di assegnamento 39

40 Nota sui sottoarray Perchè: temp(2:2:4, :) e non temp(2:4, :)? Perchè temp(2:4, :) sono le righe 2, 3 e 4!!! 40

41 Uso di uno scalare per assegnare valori a un array Esempio m(1:4, 1:3) = Il modo con cui uno scalare viene assegnato a un array dipende dalla forma dell array che viene specificata a sinistra dell assegnamento Esempio 2 m(1:2, 1:2) =

42 Uso dell array vuoto [] per cancellare elementi di un array Un array vuoto [] assegnato a un elemento di un vettore non crea un buco ma cancella un elemento e ricompatta il vettore Un array vuoto [] non assegnabile a singoli elementi di matrici (non si possono creare buchi ) Assegnabile a intere righe o colonne di matrici, che vengono cancellate (ricompattando la matrice) >> a=[ ]; >> length(a) ans = 5 >> a(3) ans = 3 >> a(3)=[] a = >> a(3) ans = 4 >> length(a) ans = 4 >> m=magic(4) m = >> m(3,4)=[]??? Subscripted assignment dimension mismatch. >> m(3,:)=[] m = >> [r,c]=size(m) r = 3 c = 4 >> m(:,2)=[] m = >> [r,c]=size(m) r = 3 c = 3 42

43 Array: memorizzazione Matrici memorizzate per colonna: colonna 1, poi colonna 2, 3, etc. ogni colonna memorizzata per indici di riga crescenti Array memorizzati in forma lineare nella RAM variando più velocemente i primi indici più lentamente quelli successivi NB: opposto a quanto avviene in C

44 Array: forma linearizzata Si può accedere a un array a più dimensioni come se ne avesse una sola Usando un unico indice si segue l ordine della memorizzazione Da NON usare nella programmazione ma aiuta a capire certi costrutti... 44

45 Variabili predefinite Matlab definisce un insieme di variabili predefinite (es, pi) Queste variabili spesso rappresentano importanti costanti della matematica (pi è pigreco, i e j sono sqrt(-1) ) Attenzione! Il valore di queste variabili può essere modificato, per esempio circ1=2*pi*10; pi = 3; circ2=2*pi*10; Il valore di circ2 non sarà più la circonferenza di un cerchio E` fortemente sconsigliato modificare il valore di una variabile predefinita ( evitare di usare variabili i e j come contatori) 45

46 Variabili predefinite più comuni Variabile pi Scopo contiene 15 cifre significative di π i, j contiene il valore i ( 1) inf (o Inf) nan clock date eps ans rappresentazione dell infinito (ottenuto di solito come risultato di una divisione per 0) Not-A-Number è il risultato di una operazione matematica non definita, es 0/0 contiene la data e l orario corrente. E` un vettore di sei elementi (anno, mese, giorno, ora, minuti, secondi) contiene la data corrente sotto forma di stringa epsilon: la più piccola differenza rappresentabile tra due numeri Variabile speciale usata per immagazzinare risultati non assegnati ad altre variabili 46

47 Operazioni con scalari e array Operazioni per gli scalari: + - * / ^ Operazioni per gli array Array operation: eseguita sugli elementi corrispondenti degli array coinvolti (devono avere lo stesso numero di righe e colonne); si indica aggiungendo un punto prima dell operatore aritmetico a= 1 b= 2 b= 2 3 a.* b= Elevamento a potenza Matrix operation: segue le regole dell algebra lineare (esempio: prodotto righe per colonne) a= 1 b= 2 b= 2 3 a*b= ( * b) ij = a a * b k ik kj 47

48 Cosa succede con il. 48

49 Altre funzioni Funzione ceil(x) floor(x) fix(x) max(x) min(x) mean(x) Scopo approssima x all intero immediatamente maggiore approssima x all intero immediatamente minore approssima x all intero più vicino verso lo zero se x è un vettore, ritorna il valore massimo in x e, opzionalmente, la collocazione di questo valore in x; se x è matrice, ritorna il vettore dei massimi delle sue colonne se x è un vettore, ritorna il valore minimo nel vettore x e, opzionalmente, la collocazione di questo valore nel vettore; se x è matrice, ritorna il vettore dei minimi delle sue colonne se x è un vettore ritorna uno scalare uguale alla media dei valori di x; se x è una matrice, ritorna il vettore contentente le medie dei vettori colonna di x; mod(m,n) mod(m,n) è m - q.*n dove q = floor(m./ n) se n ~= 0 round(x) rand(n) approssima x all intero più vicino genera una matrice di NxN numeri casuali 49

50 funzioni min (e anche max) applicate a vettori e matrici >> b = [ ] b = >> min(b) ans = 2 >> [x y]=min(b) x = 2 y = 3 >> (con un solo risultato) dà il valore del minimo con due risultati dà anche la posizione del minimo >> a = [ ; ; ; ] a = >> min(a) per una matrice dà vettore dei minimi nelle colonne ans = >> [x y]=min(a) x = y = >> per una matrice, con due risultati dà due vettori dei valori minimi nelle colonne e della loro posizione (riga) 50

51 Operazioni tipiche per gli array Operazione Sintassi Matlab Commenti Array addition a + b Array e matrix addition sono identiche Array subtraction a b Array e matrix subtraction sono identiche Array multiplication a.* b Ciascun elemento del risultato è pari al prodotto degli elementi corrispondenti nei due operandi Matrix multiplication a * b Prodotto di matrici Array right division a./ b risultato(i,j)=a(i,j)/b(i,j) Array left division a.\ b risultato(i,j)=b(i,j)/a(i,j) Matrix right division a / b a*inversa(b) Matrix left division a \ b inversa(a)*b Array exponentiation a.^ b risultato(i,j)=a(i,j)^b(i,j) 51

52 Matrix left division Serve per risolvere sistemi di equazioni lineari a11x1+a12x2+a13x3=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3 può essere espresso come Ax=B con a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 A = B= x = b 1 b 2 b 3 x 1 x 2 x 3 di conseguenza, x = A-1B=inversa(A)*b=A\B 52

53 Fonti per lo studio + Credits Fonti per lo studio Introduzione alla programmazione in MATLAB, A.Campi, E.Di Nitto, D.Loiacono, A.Morzenti, P.Spoletini, Ed.Esculapio Capitolo 1 Credits Prof. A. Morzenti 53