2 2 2 A = Il Det(A) = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "2 2 2 A = Il Det(A) = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3."

Transcript

1 Studio delle coniche Ellisse Studiare la conica di equazione 2x 2 + 4xy + y 2 4x 2y + 2 = 0. Per prima cosa dobbiamo classificarla. La matrice associata alla conica è: A = Il DetA = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3. Il DetA 33 = 6 quindi la conica è una ellisse. Determiniamo il centro e gli assi della ellisse; dobbiamo trasformare l equazione in coordinate omogenee. x x 2 x 3 A x x 2 x 3 = 2x2 + 4x x 2 + x 2 2 4x x 3 2x 2 x 3 + 2x 2 3 = 0 Per trovare il centro dobbiamo trovare due diametri dell ellisse e intersecarli. I diametri della ellisse sono le polari dei punti impropri rispetto alla conica. Ci basta quindi scegliere a caso due punti impropri, e calcolare le polari di questi punti impropri rispetto alla ellisse. Per semplicità di calcolo scegliamo come punti impropri i punti, 0, 0 e 0,, 0, che rappresentano le direzioni degli assi coordinati.

2 Calcoliamo la polare del punto, 0, x x 2 x = 0 da cui 2x + 2x 2 2x 3 = 0 Calcoliamo la polare del punto 0,, x x 2 x = 0 da cui 2x + x 2 x 3 = 0 Il centro si ottiene come intersezione dei due diametri appena trovati. Per semplicità di calcolo li riscriviamo in forma normale. x + y = 0 2x + y = 0 Risolvendo questo sistema si trova che il centro dell ellisse è il punto: Ora troviamo gli assi. C 4 3, 3 Ricordiamo che gli assi sono gli unici diametri coniugati tra loro ortogonali. Le loro direzioni sono le soluzioni dell equazione a 2 l 2 + a 22 a lm a 2 m 2 = 0 Quindi 2l 2 + 3lm 2m 2 = 0

3 Risolvendo questa equazione rispetto ad l si trovano le due soluzioni l = 2 m l = 2m Assegnando opportuni valori ad m troviamo quindi le direzioni dei due assi: A, 2, 0 B 2,, 0 Il primo asse sarà la retta passante per il centro C e avente direzione A. x 4 3 = y da cui si ricava 2x y 3 = 0 Il secondo asse sarà la retta passante per il centro C e avente direzione B. x = y + 3 da cui si ricava 3x + 6y 2 = 0 È facile verificare che i due assi sono effettivamente ortogonali. Per poter disegnare l ellisse non ci resta che trovare le intersezioni della ellisse stessa con gli assi. Intersecando con il primo asse 2x 2 + 4xy + y 2 4x 2y + 2 = 0 2x y 3 = 0 troviamo i punti 40 + A, + 30 B 40, 30

4 Intersecando con il secondo asse 2x 2 + 4xy + y 2 4x 2y + 2 = 0 3x + 6y 2 = 0 troviamo i punti D, Possiamo quindi disegnare l ellisse. E 20 2, + Figura : Ellisse Ora determiniamo la rotazione e la traslazione necessarie per portare l equazione della conica in forma canonica.. Ricordiamo che ridurre la conica in forma canonica vuol dire trovare un nuovo sistema di riferimento tale che il centro della conica coincida con l origine

5 degli assi coordinati, e gli assi della conica coincidono con gli assi coordinati stessi. Per determinare la rotazione è necessario calcolare gli autovalori e gli autovettori della matrice A 33. Troviamo il polinomio caratteristico: 2 λ 2 DetA 33 λi = 2 λ = 2 λ λ 4 = λ2 7λ + 6 Gli autovalori sono le radici di questo polinomio, e quindi sono: λ = λ 2 = 6 I corrispondenti autovettori saranno le soluzioni dei sistemi A 33 λ i IX = 0 per i =, 2 Calcoliamo il primo x + 2y = 0 2x + 4y = 0 Le due equazioni sono equivalenti e quindi il sistema ha soluzioni del tipo 2a, a. Assegnando arbitrariamente un valore ad a troviamo il primo autovettore u = 2, Calcoliamo il secondo 4x + 2y = 0 2x y = 0 Le due equazioni sono equivalenti e quindi il sistema ha soluzioni del tipo b, 2b. Assegnando arbitrariamente un valore a b troviamo il secondo autovettore u 2 =, 2

6 Questi autovettori individuano le direzioni dei nuovi assi coordinati ruotati. Verifichiamo che la base {u, u 2 } sia coerentemente orientata con la base canonica. Devo considerare la matrice formata dai vettori della base presi come colonne, e calcolare il suo determinante. 2 2 = < 0 Poichè il determinante è minore di zero la base non è orientata coerentemente. Affinchè la base sia ben orientata devo invertire i segni di uno dei due vettori. In questo caso scelgo di invertire i segni di u. Quindi la base sara formata dai vettori u = 2, u 2 =, 2 Poichè ho bisogno di una base ortonormale ora devo normalizzare i vettori. v = u 2, = v 2 = u 2, 2 = u u 2 La base {v, v 2 } è la nuova base ruotata. La matrice di rotazione R che ci porta dalla base canonica alla nuova base è formata dai vettori v e v 2 presi come colonne. R = 2 2 Le equazioni della rotazione sono quindi Ω : x = 2 x + y y = x + 2 y Sostituendo nella equazione di partenza troviamo l equazione della conica

7 nel nuovo sistema di riferimento R O, x, y ruotato. 2 2 x y + 4 x + y x + 2 y + + x y 4 x + y 2 x + 2 y + 2 = = = x 2 + 6y 2 6 x 8 y + 2 = 0 Voglio farvi notare come sia sufficiente, per semplificare i calcoli, applicare la sostituzione soltanto alla parte lineare dell equazione cioè ai termini in x e y poichè la parte quadratica cioè i termini in x 2, in xy e in y 2, per effetto della rotazione, si trasforma semplicemente in λ x 2 + λ 2 y 2. A questo punto non ci rimane che trovare la traslazione che porta l origine del sistema di riferimento a coincidere con il centro della conica. Utilizzeremo il metodo del completamento dei quadrati. Per prima cosa raccogliamo i fattori in x e in y, mettendo in evidenza i coefficienti di x 2 e y 2. x 2 +6y 2 6 x 8 y +2 = x 2 6 x +6 y y +2 = 0 I termini tra parentesi possono essere rivisti come i primi due termini di un quadrato di un binomio. Riscriviamoli quindi come quadrati, ricordandoci poi di sottrarre il quadrato del secondo termine del binomio, che è stato aggiunto per poter scrivere il quadrato. [ x 3 ] [ y 2 ] = 0 4 Facciamo la seguente sostituzione X = x 3 σ : Y = y 2 3

8 e otteniamo da cui si ricava [ X 2 9 ] [ + 6 Y 2 4 ] + 2 = 0 4 X 2 + 6Y 2 3 = 0 La sostituzione fatta è la traslazione cercata. Se consideriamo la sostituzione inversa x = X + 3 σ : y = Y possiamo trovare, componendo la rotazione con la traslazione, le equazioni che ci permettono di passare direttamente dal sistema RO, x, y di partenza al sistema di riferimento R O, X, Y Ω σ : x = 2 X Y y = X Y Infine riscriviamo meglio la forma canonica, dividendo tutto per il termine noto da cui X Y 2 3 = X 2 Y = Possiamo quindi dedurre che i due semiassi dell ellisse misurano rispettivamente a = e b =

9 Iperbole Studiare la conica di equazione x 2 + 6xy 7y 2 2x 6y 9 = 0. Per prima cosa dobbiamo classificarla. La matrice associata alla conica è: 3 A = Il DetA = 320 quindi la conica è non degenere, di rango 3. Il DetA 33 = 6 quindi la conica è una iperbole. Determiniamo il centro e gli assi e gli asintoti della iperbole; dobbiamo trasformare l equazione in coordinate omogenee. x x 2 x 3 A x x 2 x 3 = x2 + 6x x 2 7x 2 2 2x x 3 6x 2 x 3 9x 2 3 = 0 Per trovare il centro dobbiamo trovare due diametri dell iperbole e intersecarli. I diametri dell iperbole sono le polari dei punti impropri rispetto alla conica. Ci basta quindi scegliere a caso due punti impropri, e calcolare le polari di questi punti impropri rispetto all iperbole. Per semplicità di calcolo scegliamo come punti impropri i punti, 0, 0 e 0,, 0, che rappresentano le direzioni degli assi coordinati. Calcoliamo la polare del punto, 0, 0. 3 x x 2 x = 0 0

10 da cui x + 3x 2 x 3 = 0 Calcoliamo la polare del punto 0,, 0. 3 x x 2 x = 0 da cui 3x 7x 2 3x 3 = 0 Il centro si ottiene come intersezione dei due diametri appena trovati. Per semplicità di calcolo li riscriviamo in forma normale. x + 3y = 0 3x 7y 3 = 0 Risolvendo questo sistema si trova che il centro dell iperbole è il punto: Ora troviamo gli assi. C, 0 Ricordiamo che gli assi sono gli unici diametri coniugati tra loro ortogonali. Le loro direzioni sono le soluzioni dell equazione Quindi a 2 l 2 + a 22 a lm a 2 m 2 = 0 3l 2 8lm 3m 2 = 0 Risolvendo questa equazione rispetto ad l si trovano le due soluzioni l = 3 m l = 3m Assegnando opportuni valori ad m troviamo quindi le direzioni dei due assi: A, 3, 0 B 3,, 0

11 Il primo asse sarà la retta passante per il centro C e avente direzione A. da cui si ricava x = y x + y 3 = 0 Il secondo asse sarà la retta passante per il centro C e avente direzione B. x 3 = y + 0 da cui si ricava x 3y = 0 È facile verificare che i due assi sono effettivamente ortogonali. Calcoliamo ora le intersezioni dell iperbole con gli assi; ovviamente soltanto uno dei due assi interseca l iperbole. Intersecando con il primo asse x 2 + 6xy 7y 2 2x 6y 9 = 0 non si hanno soluzioni reali. 3x + y 3 = 0 Intersecando con il secondo asse x 2 + 6xy 7y 2 2x 6y 9 = 0 troviamo i punti x 3y = 0 A 2, B4, Ora per disegnare l iperbole troviamo gli asintoti. Essi sono le rette passanti per il centro che hanno come direzione i punti impropri che si trovano intersecando l iperbole con la retta impropria. x 2 + 6x x 2 7x 2 2 2x x 3 6x 2 x 3 9x 2 3 = 0 x 33 = 0

12 Le direzioni asintotiche sono quindi P 7,, 0 Q,, 0 Il primo asintoto è la retta x 7 = y + 0 = x + 7y = 0 Il secondo asintoto è la retta Disegnamo l iperbole x = y + 0 = x y = 0 Figura 2: Iperbole

13 Ora determiniamo la rotazione e la traslazione necessarie per portare l equazione della conica in forma canonica. Ricordiamo che ridurre la conica in forma canonica vuol dire trovare un nuovo sistema di riferimento tale che il centro della conica coincida con l origine degli assi coordinati, e gli assi della conica coincidono con gli assi coordinati stessi. Per determinare la rotazione è necessario calcolare gli autovalori e gli autovettori della matrice A 33. Troviamo il polinomio caratteristico: λ 3 DetA 33 λi = 3 7 λ = λ 7 λ 9 = λ2 + 6λ 6 Gli autovalori sono le radici di questo polinomio, e quindi sono: λ = 8 λ 2 = 2 I corrispondenti autovettori saranno le soluzioni dei sistemi A 33 λ i IX = 0 per i =, 2 Calcoliamo il primo 9x + 3y = 0 3x + y = 0 Le due equazioni sono equivalenti e quindi il sistema ha soluzioni del tipo a, 3a. Assegnando arbitrariamente un valore ad a troviamo il primo autovettore u =, 3 Calcoliamo il secondo x + 3y = 0 3x 9y = 0

14 Le due equazioni sono equivalenti e quindi il sistema ha soluzioni del tipo 3b, b. Assegnando arbitrariamente un valore a b troviamo il secondo autovettore u 2 = 3, Questi autovettori individuano le direzioni dei nuovi assi coordinati ruotati. Verifichiamo che la base {u, u 2 } sia coerentemente orientata con la base canonica. Devo considerare la matrice formata dai vettori della base presi come colonne, e calcolare il suo determinante. 3 3 = > 0 Poichè il determinante è maggiore di zero la base è orientata coerentemente. Ora devo normalizzare i vettori. v = u, 3 = v 2 = u 2 3, = u u 2 La base {v, v 2 } è la nuova base ruotata. La matrice di rotazione R che ci porta dalla base canonica alla nuova base è formata dai vettori v e v 2 presi come colonne. R = 3 3 Le equazioni della rotazione sono quindi Ω : x = x + 3 y y = 3 x + y Sostituendo nella equazione di partenza troviamo l equazione della conica

15 nel nuovo sistema di riferimento R O, x, y ruotato. x y + 6 x + 3 y 3 x + y x y 2 3 x + y 9 = = x + 3 y = 8x 2 + 2y x 2 y 9 = 0 Voglio farvi notare come sia sufficiente, per semplificare i calcoli, applicare la sostituzione soltanto alla parte lineare dell equazione cioè ai termini in x e y poichè la parte quadratica cioè i termini in x 2, in xy e in y 2, per effetto della rotazione, si trasforma semplicemente in λ x 2 + λ 2 y 2. A questo punto non ci rimane che trovare la traslazione che porta l origine del sistema di riferimento a coincidere con il centro della conica. Utilizzeremo il metodo del completamento dei quadrati. Per prima cosa raccogliamo i fattori in x e in y, mettendo in evidenza i coefficienti di x 2 e y 2. 8 x 2 2 x + 2 y 2 6 y 9 = 0 I termini tra parentesi possono essere rivisti come i primi due termini di un quadrato di un binomio. Riscriviamoli quindi come quadrati, ricordandoci poi di sottrarre il quadrato del secondo termine del binomio, che è stato aggiunto per poter scrivere il quadrato. [ 8 x ] [ y 3 ] 2 9 Facciamo la seguente sostituzione X = x σ : Y = y 3 9 = 0

16 e otteniamo da cui si ricava [ 8 X 2 ] [ + 2 Y 2 9 ] 9 = 0 8X 2 + 2Y 2 20 = 0 La sostituzione fatta è la traslazione cercata. Se consideriamo la sostituzione inversa x = X + σ : y = Y + 3 possiamo trovare, componendo la rotazione con la traslazione, le equazioni che ci permettono di passare direttamente dal sistema RO, x, y di partenza al sistema di riferimento R O, X, Y Ω σ : x = X Y + 3 y = 3 X + + Y + 3 Infine riscriviamo meglio la forma canonica, dividendo tutto per il termine noto da cui 8X Y 2 20 = X 2 Y = 2

17 Parabola Studiare la conica di equazione 4x 2 4xy + y 2 8x + 24y + 24 = 0. Per prima cosa dobbiamo classificarla. La matrice associata alla conica è: A = Il DetA = 400 quindi la conica è non degenere, di rango 3. Il DetA 33 = 0 quindi la conica è una parabola. Troviamo l asse e il vertice della parabola; dobbiamo trasformare l equazione in coordinate omogenee. x x 2 x 3 A x x 2 x 3 = 4x2 4x x 2 +x 2 2 8x x 3 +24x 2 x 3 +24x 2 3 = 0 L asse della parabola è la retta polare della direzione ortogonale al punto improprio della parabola, che si trova intersecando la parabola stessa con la retta impropria. Ricordiamo che la parabola interseca la retta impropria in un solo punto. Calcoliamo questa intersezione 4x 2 4x x 2 + x 2 2 8x x x 2 x x 2 3 = 0 x 3 = 0 Il punto improprio della parabola ha quindi coordinate P, 2, 0 La direzione ortogonale al punto improprio sarà Q 2,, 0

18 L asse della parabola è la polare di questo punto. Calcoliamola x x 2 x = x x 2 20x 3 = Quindi, semplificando e ritornando in coordinate non omogenee, l asse della parabola è la retta di equazione 2x y 4 = 0 Il vertice della parabola si ottiene intersecando l asse con la parabola stessa. Il vertice è quindi il punto 4x 2 4xy + y 2 8x + 24y + 24 = 0 2x y 4 = 0 V 7, 6 Il vertice e l asse non sono però sufficienti per poter disegnare la parabola; infatti ci mancano informazioni sulla direzione della concavità della parabola. Per averle io consiglio di trovare un paio di punti della parabola, semplicemente dando un valore casuale ad x e ricavando le corrispondenti y. Per esempio ponendo x = 3 si trova y = 6. Quindi il punto A3, 6 appartiene alla parabola. Adesso abbiamo sufficienti informazioni per poter disegnare la parabola.

19 Figura 3: Parabola Ora determiniamo la rotazione e la traslazione necessarie per portare l equazione della conica in forma canonica.. Ricordiamo che ridurre la conica in forma canonica vuol dire trovare un nuovo sistema di riferimento tale che il centro della conica coincida con l origine degli assi coordinati, e gli assi della conica coincidono con gli assi coordinati stessi. Per determinare la rotazione è necessario calcolare gli autovalori e gli autovettori della matrice A 33.

20 Troviamo il polinomio caratteristico: 4 λ 2 DetA 33 λi = 2 λ = 4 λ λ 4 = λ2 λ Gli autovalori sono le radici di questo polinomio, e quindi sono: λ = 0 λ 2 = Vi faccio notare come, nel caso della parabola, uno dei due autovalori sia sempre nullo; inoltre, per poter trovare la parabola nella forma canonica usuale y 2 + 2px = 0, scegliamo l autovalore nullo come primo valore. I corrispondenti autovettori saranno le soluzioni dei sistemi A 33 λ i IX = 0 per i =, 2 Calcoliamo il primo 4x 2y = 0 2x + y = 0 Le due equazioni sono equivalenti e quindi il sistema ha soluzioni del tipo a, 2a. Assegnando arbitrariamente un valore ad a troviamo il primo autovettore u =, 2 Calcoliamo il secondo x 2y = 0 2x 4y = 0 Le due equazioni sono equivalenti e quindi il sistema ha soluzioni del tipo 2b, b. Assegnando arbitrariamente un valore a b troviamo il secondo autovettore u 2 = 2, Questi autovettori individuano le direzioni dei nuovi assi coordinati ruotati. Verifichiamo che la base {u, u 2 } sia coerentemente orientata con la base

21 canonica. Devo considerare la matrice formata dai vettori della base presi come colonne, e calcolare il suo determinante. 2 2 = > 0 Poichè il determinante è minore di zero la base è orientata coerentemente. Normalizziamo i vettori. v = u, 2 = v 2 = u 2 2, = u u 2 La base {v, v 2 } è la nuova base ruotata. La matrice di rotazione R che ci porta dalla base canonica alla nuova base è formata dai vettori v e v 2 presi come colonne. 2 R = 2 Le equazioni della rotazione sono quindi x = x 2 y Ω : y = 2 x + y Sostituendo nella equazione di partenza troviamo l equazione della conica nel nuovo sistema di riferimento R O, x, y ruotato. 4 x 2 2 y 4 x 2 2 y x + y x x + y x 2 y + 2 y = = = y x + 40 y + 24 = 0 Voglio farvi notare come sia sufficiente, per semplificare i calcoli, applicare la sostituzione soltanto alla parte lineare dell equazione cioè ai termini in

22 x e y poichè la parte quadratica cioè i termini in x 2, in xy e in y 2, per effetto della rotazione, si trasforma semplicemente in λ x 2 + λ 2 y 2. A questo punto non ci rimane che trovare la traslazione che porta l origine del sistema di riferimento a coincidere con il centro della conica. Utilizzeremo il metodo del completamento dei quadrati. Nel caso della parabola bisogna completare soltanto il quadrato relativo a y. Raccolgo i fattori in y, mettendo in evidenza il coefficiente di y 2. y y + 40 x + 24 = 0 I termini tra parentesi possono essere rivisti come i primi due termini di un quadrato di un binomio. Riscriviamoli quindi come quadrati, ricordandoci poi di sottrarre il quadrato del secondo termine del binomio, che è stato aggiunto per poter scrivere il quadrato. [ y + 4 ] x + 24 = y x + 8 = 0 A questo punto, per ottenere la forma canonica della parabola dobbiamo far scomparire il termine noto. Per farlo, lo raccogliamo insieme al termine in x, mettendo sempre in evidenza il coefficiente del termine in x stesso. y x + = 0 Facciamo la seguente sostituzione X = x + σ : Y = y + 4 e otteniamo Y X = 0 La sostituzione fatta è la traslazione cercata.

23 Se consideriamo la sostituzione inversa x = X σ : y = Y 4 possiamo trovare, componendo la rotazione con la traslazione, le equazioni che ci permettono di passare direttamente dal sistema RO, x, y di partenza al sistema di riferimento R O, X, Y x = X 2 Y 4 Ω σ : y = 2 X + Y 4

Esercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)

Esercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara) Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle più volte.. Stabilire il tipo di

Dettagli

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si

Dettagli

CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI

CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI Pre-requisiti necessari. Elementi di geometria analitica punti e rette nel piano cartesiano, conoscenza delle coniche in forma canonica). Risoluzione di equazioni e

Dettagli

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani L equazione di una parabola generica è data da: Consideriamo l equazione che definisce i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse

Dettagli

Lezione 24 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico

Lezione 24 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico CONICHE in A ~ (C) Punti propri (x P,y P ) hanno coordinate omogenee [(x P,y P, )], Punti impropri hanno coordinate omogenee [(l,m, )]. L equazione di una conica in coordinate non omogenee (x,y) C: a,

Dettagli

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione CONICHE Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oy sia data la conica C di equazione 7 2 + 2 3y + 5y 2 + 32 3 = 0. Calcolare le equazioni di una rototraslazione che riduce

Dettagli

Studio generale di una conica

Studio generale di una conica Studio generale di una conica Manlio De Domenico 19 Giugno 2003 Definizione 1 Si definisce conica C un equazione algebrica F (x 1, x 2, x 3 ) = 0 del secondo ordine omogenea. Detta A la matrice simmetrica

Dettagli

LEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f

LEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f LEZIONE 23 23.1. Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo

Dettagli

Metodo 1 - Completamento del quadrato

Metodo 1 - Completamento del quadrato L iperbole traslata Esercizi Esercizio 472.121.b Traccia il grafico della curva di equazione: 9² 4² + 18 + 8 31=0 Metodo 1 - Completamento del quadrato Poiché i coefficienti di e sono opposti, si tratta

Dettagli

Appunti ed esercizi sulle coniche

Appunti ed esercizi sulle coniche 1 LA CIRCONFERENZA 1 Appunti ed esercizi sulle coniche Versione del 1 Marzo 011 1 La circonferenza Nel piano R, fissati un punto O = (a, b) e un numero r > 0, la circonferenza (o cerchio) C di centro O

Dettagli

GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z

GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: r : x = z y = 0 x = z 2, s : y = z. Dopo aver provato che r ed s sono

Dettagli

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee 1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di

Dettagli

EQUAZIONE DELLA RETTA

EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale

Dettagli

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ. ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio

Dettagli

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()

Dettagli

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare

Dettagli

1 Cambiamenti di coordinate nel piano.

1 Cambiamenti di coordinate nel piano. Cambiamenti di coordinate nel piano.. Coordinate cartesiane Coordinate cartesiane su una retta. Sia r una retta: dare un sistema di coordinate su r significa fissare un punto O di r e un vettore u = U

Dettagli

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Avvertenze In quanto segue tutti i vettori hanno il medesimo punto d origine O l origine dello spazio cartesiano. Possiamo

Dettagli

Esercizi sulle affinità - aprile 2009

Esercizi sulle affinità - aprile 2009 Esercizi sulle affinità - aprile 009 Ingegneria meccanica 008/009 Esercizio Sono assegnate nel piano le sei rette r : =, s : =, t : =, r : =, s : =, t : = determinare l affinità che trasforma ordinatamente

Dettagli

Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05. E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni

Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05. E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05 E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni I f(,, 0) = (h +,h+, ) f(,, ) = (h,h, h) f(0,, ) = (,h, h) con h parametro reale. ) Studiare

Dettagli

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI 15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono

Dettagli

Anno 3 Equazione dell'ellisse

Anno 3 Equazione dell'ellisse Anno Equazione dell'ellisse 1 Introduzione In questa lezione affronteremo una serie di problemi che ci chiederanno di determinare l equazione di un ellisse sotto certe condizioni. Al termine della lezione

Dettagli

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad

Dettagli

Endomorfismi e matrici simmetriche

Endomorfismi e matrici simmetriche CAPITOLO Endomorfismi e matrici simmetriche Esercizio.. [Esercizio 5) cap. 9 del testo Geometria e algebra lineare di Manara, Perotti, Scapellato] Calcolare una base ortonormale di R 3 formata da autovettori

Dettagli

Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio)

Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio) Corso di Laurea in Economia e Management Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio) lettere E-Z, a.a. 206 207 prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta

Dettagli

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9 Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio

Dettagli

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Coniche

Dettagli

Iperbole. L iperbole è il luogo dei punti per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi rimane costante.

Iperbole. L iperbole è il luogo dei punti per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi rimane costante. Iperbole L iperbole è il luogo dei punti per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi rimane costante. Vedi figura: Figura 1 Iperbole equilatera. Se i fuochi si trovano sull

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 4 gennaio 24 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x x 2 2x 3 = 2 3x x 2 =, { x + x s 2 : 2 x 3 = x 2 =.. Stabilire

Dettagli

LEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione

LEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione LEZIONE 27 27.1. Ellisse, iperbole, parabola. Nelle prossime lezioni illustreremo come la teoria delle forme quadratiche e della riduzione ortogonale si applichi allo studio di alcuni oggetti geometrici

Dettagli

Parte 12a. Trasformazioni del piano. Forme quadratiche

Parte 12a. Trasformazioni del piano. Forme quadratiche Parte 12a Trasformazioni del piano Forme quadratiche A Savo Appunti del Corso di Geometria 2013-14 Indice delle sezioni 1 Trasformazioni del piano, 1 2 Cambiamento di coordinate, 8 3 Forme quadratiche,

Dettagli

1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche.

1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche. Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Quadriche Esercizi 1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche. (a) x + y + z + xy xz yz 6x 4y + z

Dettagli

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2

Dettagli

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni Università degli Studi di Catania Anno Accademico 2014-2015 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta (12 CFU) 17 Aprile 2015 Prova completa Tempo a disposizione: 150 minuti

Dettagli

Noi ci occuperemo esclusivamente dei casi n = 2 e n = 3. Se n = 2, la quadrica Q p sarà detta conica di equazione p, e indicata con C p.

Noi ci occuperemo esclusivamente dei casi n = 2 e n = 3. Se n = 2, la quadrica Q p sarà detta conica di equazione p, e indicata con C p. Durante il corso abbiamo studiato insiemi (rette e piani) che possono essere descritti come luogo di zeri di equazioni (o sistemi) di primo grado. Adesso vedremo come applicare quanto visto per studiare

Dettagli

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof.

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A. 2015-2016 ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Cigliola Consegna per Martedì 6 Ottobre Esercizio 1. Una matrice quadrata A si

Dettagli

1. LA GEOMETRIA ANALITICA

1. LA GEOMETRIA ANALITICA LA GEOMETRIA ANALITICA IL PIANO CARTESIANO Coordinate cartesiane Due rette orientate nel piano perpendicolari tra loro, aventi come punto d intersezione il punto O, costituiscono un sistema di riferimento

Dettagli

Sistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari

Sistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari 14 1 Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano

Dettagli

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole.

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Teoria in sintesi Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono

Dettagli

Compito A

Compito A Compito A 1. Data l iperbole Γ di equazione y = (2x-1)/(3x+6), individua i punti A e B di intersezione della bisettrice del secondo e quarto quadrante con Γ (risolvi il problema sia graficamente che analiticamente).

Dettagli

La retta nel piano cartesiano

La retta nel piano cartesiano La retta nel piano cartesiano Se proviamo a disporre, sul piano cartesiano, una retta vediamo che le sue possibili posizioni sono sei: a) Coincidente con l asse delle y; b) Coincidente con l asse delle

Dettagli

CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica

CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE NINNI CASSARÀ SEDE DI VIA FATTORI CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica erasmo@galois.it DEFINIZIONI Definizione. Dicesi parabola il luogo

Dettagli

3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici

3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici 3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

Esercizi di ottimizzazione vincolata

Esercizi di ottimizzazione vincolata Esercizi di ottimizzazione vincolata A. Agnetis, P. Detti Esercizi svolti 1 Dato il seguente problema di ottimizzazione vincolata max x 1 + x 2 x 1 4x 2 3 x 1 + x 2 2 0 x 1 0 studiare l esistenza di punti

Dettagli

Studio generale di una quadrica

Studio generale di una quadrica Studio generale di una quadrica Manlio De Domenico 19 Giugno 2003 Definizione 1 Si definisce quadrica Q un equazione algebrica F (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 0 del secondo ordine omogenea. Detta A la matrice

Dettagli

Corso di Matematica II Anno Accademico Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori

Corso di Matematica II Anno Accademico Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori Esercizio 1 Corso di Matematica II Anno Accademico 29 21. Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori May 7, 21 Commenti e correzioni sono benvenuti. Mi scuso se ci fosse qualche

Dettagli

Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti)

Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti) Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti) April 14, 2011 (alcune note non complete sugli argomenti trattati: eventuali completamenti saranno aggiunti)

Dettagli

Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 2010 Tema A

Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 2010 Tema A Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 21 Tema A Tempo a disposizione: 2 ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all inizio

Dettagli

x 1 Fig.1 Il punto P = P =

x 1 Fig.1 Il punto P = P = Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi

Dettagli

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti . Applicazioni lineari Esercizi svolti. Si consideri l applicazione f : K -> K definita da f(x,y) = x + y e si stabilisca se è lineare. Non è lineare. Possibile verifica: f(,) = 4; f(,4) = 6; quindi f(,4)

Dettagli

In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1.

In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1. L iperbole L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Come si evince del grafico, la differenza delle distanze

Dettagli

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 10 dicembre 003 - Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 003-004 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura 3 ore. ISTRUZIONI

Dettagli

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Risoluzione grafica di un equazione

Dettagli

Piano cartesiano e Retta

Piano cartesiano e Retta Piano cartesiano e Retta 1 Piano cartesiano e Retta 1. Richiami sul piano cartesiano 2. Richiami sulla distanza tra due punti 3. Richiami punto medio di un segmento 4. La Retta (funzione lineare) 5. L

Dettagli

CORREZIONE FORMATIVA 2 ( RETTA IN FORMA PARAMETRICA E FASCI)

CORREZIONE FORMATIVA 2 ( RETTA IN FORMA PARAMETRICA E FASCI) CORREZIONE FORMATIVA 2 ( RETTA IN FORMA PARAMETRICA E FASCI) D1 E' dato il fascio 2x+4y +k(8x+5y 6)=0 trovare le coordinate del centro... Risposta. Le rette base del fascio sono r1 : 2x+4y-=0 r2 : 8x+5y-6=0

Dettagli

Ellisse riferita a rette parallele ai suoi assi

Ellisse riferita a rette parallele ai suoi assi prof. F. Buratti Liceo della Comunicazione G. Toniolo (versione 0.3.6 venerdì 22 marzo 2007) 1 Premessa Finora abbiamo studiato l equazione di un ellisse riferita al centro e agli assi. Consideriamo ora

Dettagli

RICETTE INDICE. Capitolo 1 Come trovare forme di Jordan. Pagina 2. Capitolo 2 Come studiare coniche e quadriche. Pagina 6

RICETTE INDICE. Capitolo 1 Come trovare forme di Jordan. Pagina 2. Capitolo 2 Come studiare coniche e quadriche. Pagina 6 RICETTE In questo file fornisco ricette per determinare forme di Jordan, polinomi minimi e per studiare coniche e quadriche, limitandomi al come si fa, senza fornire troppe spiegazioni sui perche. Per

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = e (x3 +x) y

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = e (x3 +x) y Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 8--7 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.

Dettagli

La circonferenza nel piano cartesiano

La circonferenza nel piano cartesiano La circonferenza nel piano cartesiano 1. Definizione ed equazione. Si chiama circonferenza C, di centro C( α, β ) e raggio r, l insieme di tutti e soli i punti del piano che hanno distanza r da C. L equazione

Dettagli

Si dice parabola il luogo geometrico dei punti del piano, equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice.

Si dice parabola il luogo geometrico dei punti del piano, equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice. LA PARABOLA Definizione: Si dice parabola il luogo geometrico dei punti del piano, equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice. Dimostrazione della parabola con

Dettagli

Funzioni implicite - Esercizi svolti

Funzioni implicite - Esercizi svolti Funzioni implicite - Esercizi svolti Esercizio. È data la funzione di due variabili F (x, y) = y(e y + x) log x. Verificare che esiste un intorno I in R del punto di ascissa x 0 = sul quale è definita

Dettagli

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani Esercizi svolti. Sistemi di riferimento e vettori. Dati i vettori v = i + j k, u =i + j + k determinare:. il vettore v + u ;. gli angoli formati da v e u;. i vettore paralleli alle bisettrici di tali angoli;

Dettagli

Prodotto scalare e ortogonalità

Prodotto scalare e ortogonalità Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica - A.A. 2003/2004 Geometria Analitica I Esonero - 21 novembre 2003 (Proff. Marco Manetti e Riccardo Salvati Manni)

Corso di Laurea in Matematica - A.A. 2003/2004 Geometria Analitica I Esonero - 21 novembre 2003 (Proff. Marco Manetti e Riccardo Salvati Manni) I Esonero - 21 novembre 2003 Esercizio 1. Per ogni n>0 sia B n M n (R) la matrice simmetrica di coefficienti b ij = i + j 2, i,j =1,...,n. Determinare rango e segnatura di B 1,B 2 e B 3. Soluzione. Si

Dettagli

Esercizi di Geometria Affine

Esercizi di Geometria Affine Esercizi di Geometria Affine Sansonetto Nicola dicembre 01 Geometria Affine nel Piano Esercizio 1. Nel piano affine standard A (R) dotato del riferimento canonico, si consideri la retta τ di equazione

Dettagli

Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente

Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente Dati i vettori di R (i) Calcolare il prodotto scalare v w, (ii) Stabilire se v e w sono ortogonali, (ii) Stabilire

Dettagli

Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse:

Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse: La retta Retta e le sue equazioni Equazioni di rette come luogo geometrico y = h h R equazione di una retta parallela all asse delle ascisse x = 0 equazione dell asse delle ordinate y = h h R equazione

Dettagli

Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza

Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 1 ottobre 011 Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Esercizio 1. La circonferenza ha centro in C 4 ), 7, 7 ) e raggio + 7 57

Dettagli

Geometria Analitica Domande e Risposte

Geometria Analitica Domande e Risposte Geometria Analitica Domande e Risposte A. Il Piano Cartesiano. Qual è la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano? Per calcolare la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano

Dettagli

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato; RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z

Dettagli

Metodi per la risoluzione di sistemi lineari

Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Sistemi di equazioni lineari. Rango di matrici Come è noto (vedi [] sez.0.8), ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante

Dettagli

Stabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1.

Stabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1. Definizione di circonferenza e cerchio. Equazione della circonferenza centrata in O e di raggio R. Esercizi. La circonferenza e il cerchio Definizioni: dato un punto C nel piano cartesiano e dato un numero

Dettagli

Esercizi Riepilogativi Svolti. = 1 = Or(v, w)

Esercizi Riepilogativi Svolti. = 1 = Or(v, w) Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia FORMULE DI GEOMETRIA IN R TRASFORMAZIONI DI R CIRCONFERENZE Docente: Prof F Flamini

Dettagli

(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y.

(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y. Matrici ortogonali Se P è una matrice reale n n, allora (P x) y x (P t y) per ogni x,y R n (colonne) Dim (P x) y (P x) t y (x t P t )y x t (P t y) x (P t y), CVD Ulteriori caratterizzazioni delle matrici

Dettagli

SIMULAZIONE - 29 APRILE QUESITI

SIMULAZIONE - 29 APRILE QUESITI www.matefilia.it SIMULAZIONE - 29 APRILE 206 - QUESITI Q Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione y= della regione di piano delimitata dalla curva di equazione

Dettagli

MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO

MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO La Circonferenza La circonferenza e la sua equazione Introduzione e definizione La circonferenza è una conica, ovvero quella figura ottenuta tagliando un cono con

Dettagli

PROBLEMI DI GEOMETRIA

PROBLEMI DI GEOMETRIA PROBLEMI DI GEOMETRIA Lucio Guerra 1994 v. 1 2001 v. 2.7 Dipartimento di Matematica e Informatica - Università di Perugia Indice 1. EQUAZIONI LINEARI 1 2. SPAZI VETTORIALI 2 3. APPLICAZIONI LINEARI 4 4.

Dettagli

Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto

Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto La parabola Esercizi Esercizio 368.395 Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto 0 ;5 e raggio, e la parabola ha il suo vertice in 0 ;0.

Dettagli

Corso di Algebra lineare - a.a Prova scritta del Compito A

Corso di Algebra lineare - a.a Prova scritta del Compito A Prova scritta del 23.02.2009 Compito A Esercizio 1. Sia Oxyz un sistema di riferimento ortonormale in uno spazio euclideo di dimensione 3. Siano inoltre P 1, P 2 e Q i punti di coordinate rispettivamente

Dettagli

1. Scrivi l equazione dell ellisse avente per fuochi i punti ( 2 7;3) e (2 7;3) e passante per il punto (2 6;4).

1. Scrivi l equazione dell ellisse avente per fuochi i punti ( 2 7;3) e (2 7;3) e passante per il punto (2 6;4). . Scrivi l equazione dell ellisse avente per fuochi i punti ( 7;3) e ( 7;3) e passante per il punto ( 6;). Determino il centro di simmetria dell ellisse, O, punto medio dei due fuochi, ovvero (0;3), perciò

Dettagli

Soluzioni. 1. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso. z = i i. 3 (2 + i) = i i = i.

Soluzioni. 1. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso. z = i i. 3 (2 + i) = i i = i. 20 Roberto Tauraso - Analisi 2 Soluzioni 1. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso R. z = i + 3 2 i. z = i + 3 2 i 2 i = 6 5 + ( 1 + 3 5 3 (2 + i) = i + 2 4 + 1 ) i = 6 5 + 8 5 i.

Dettagli

Note di geometria analitica nel piano

Note di geometria analitica nel piano Note di geometria analitica nel piano e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 2015. 1 Indice 1 Punti e vettori spiccati dall origine 3 1.1 Coordinate......................................

Dettagli

Equazioni Polinomiali II Parabola

Equazioni Polinomiali II Parabola Equazioni Polinomiali II Parabola - 0 Equazioni Polinomiali del secondo grado (Polinomi II) Forma Canonica e considerazioni La forma canonica dell equazione polinomiale di grado secondo è la seguente:

Dettagli

Esercizi svolti sui sistemi lineari

Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale t: t x + (t 1)y + z = 1 (t 1)y + t z = 1 2 x + z = 5 Soluzione. Il determinante della matrice dei coefficienti è t t 1

Dettagli

Esercizi svolti. g(x) = sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f 1 per risolvere l equazione f(x) = g(x).

Esercizi svolti. g(x) = sono una l inversa dell altra. Utilizzare la rappresentazione grafica di f e f 1 per risolvere l equazione f(x) = g(x). Esercizi svolti. Discutendo graficamente la disequazione > 3 +, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi.. Descrivere in forma elementare l insieme { R : + > }. 3.

Dettagli

2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi)

2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi) 2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi) La circonferenza è la curva di 2^ grado che viene individuata univocamente da tre punti non allineati e possiede la seguente proprietà:

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone

Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone CAMBIAMENTI DI SISTEMA DI RIFERIMENTO Consideriamo il piano cartesiano R 2 con un sistema di riferimento (O,U). Se introduciamo in R 2 un secondo sistema

Dettagli

Proprietà focali delle coniche.

Proprietà focali delle coniche. roprietà focali delle coniche. Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, gennaio 2014 Indice 1 Coniche 1 1.1 arabola....................................... 1 1.1.1 roprietà focale

Dettagli

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,

Dettagli

1.1 Intersezione di un piano e una quadrica. I punti d intersezione di una quadrica con un piano hanno coordinate fornite dalle soluzioni del sistema

1.1 Intersezione di un piano e una quadrica. I punti d intersezione di una quadrica con un piano hanno coordinate fornite dalle soluzioni del sistema 1 Quadriche Studieremo le quadriche nello spazio riferito ad un sistema di riferimento cartesiano ortogonale fissato, oppure nel completamento proiettivo di questo spazio, ottenuto con l introduzione delle

Dettagli

MATRICI E SISTEMI LINEARI

MATRICI E SISTEMI LINEARI - - MATRICI E SISTEMI LINEARI ) Calcolare i seguenti determinanti: a - c - d - e - f - g - 8 7 8 h - ) Calcolare per quali valori di si annullano i seguenti determinanti: a - c - ) Calcolare il rango delle

Dettagli

C I R C O N F E R E N Z A...

C I R C O N F E R E N Z A... C I R C O N F E R E N Z A... ESERCITAZIONI SVOLTE 3 Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r... 3 Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A... 3 Equazione della

Dettagli

Le trasformazioni geometriche nel piano cartesiano. x = ϕ(x', y') τ 1 : G(x', y') = 0. la sua inversa.

Le trasformazioni geometriche nel piano cartesiano. x = ϕ(x', y') τ 1 : G(x', y') = 0. la sua inversa. τ : P P' oppure P'=τ(P) P immagine di P trasformato di P secondo τ se α è una figura geometrica α =τ(α) è la figura geometrica trasformata x' = f (x, y) τ : y' = g(x, y) espressione analitica della trasformazione

Dettagli

Coniche metriche e affini

Coniche metriche e affini Coniche metriche e affini Carlo Petronio Dicembre 2007 Queste note riguardano le coniche non degeneri, le loro equazioni metriche e la loro classificazione affine. 1 Piano euclideo, isometrie e trasformazioni

Dettagli

Francesco Zumbo

Francesco Zumbo La retta - Teorema di Talete - Equazione della retta: passante per due punti, implicita, esplicita - Parallele e Perpendicolari - Fascio Propio e improprio - Intersezione tra rette Francesco Zumbo www.francescozumbo.it

Dettagli

Lezione 13: I sistemi di riferimento

Lezione 13: I sistemi di riferimento Lezione 13: I sistemi di riferimento Cambiamenti di coordinate In questa lezione proveremo a vedere le trasformazioni lineari sotto un altra luce Quando abbiamo visto l esempio di un oggetto che, soggetto

Dettagli

Esercitazioni di Geometria A: curve algebriche

Esercitazioni di Geometria A: curve algebriche Esercitazioni di Geometria A: curve algebriche 24-25 maggio 2016 Esercizio 1 Sia P 2 il piano proiettivo complesso munito delle coordinate proiettive (x 0 : x 1 : x 2 ). Sia r la retta proiettiva di equazione

Dettagli

Disequazioni di secondo grado

Disequazioni di secondo grado Disequazioni di secondo grado. Disequazioni Definizione: una disequazione è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni. Detti p() e g() due polinomi definiti in un insieme A, una disequazione

Dettagli