ESERCIZI SU FUNZIONI. La funzione f è una corrispondenza biunivoca? La funzione f è continua e derivabile in x=0?(motivare le risposte).

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1 ESERCIZI SU FUNZIONI. 1) Disegnare il grafico della funzione f : R R così definita y = f(x)= x +1 se x 0 -x 2 +1 se x < 0. La funzione f è una corrispondenza biunivoca? La funzione f è continua e derivabile in x=0?(motivare le risposte). Ogni numero reale ha una e una sola controimmagine (ogni retta parallela all asse x interseca la curva in un solo punto), quindi f è biunivoca. La funzione è continua in x = 0 poichè i due limiti laterali coincidono con f(0)=1, ma non è derivabile : infatti f d (x) = 1, f s (x) = -2x e quindi la funzione non ammette derivata nell origine ( si osserva anche graficamente che la retta tangente cambia a destra e a sinistra del punto (0,1). 2) Disegnare il grafico della funzione f : R R così definita x +1 se x < 0 x 2 +1 se x 0. La funzione f è una corrispondenza biunivoca? La funzione f è continua e derivabile in x=0?(motivare le risposte). La funzione non è suriettiva (i numeri negativi non hanno controimmagine) e questo basta per escluderne la biunivocità. La funzione è continua in x = 0, ma non è derivabile, in quanto f d (x) = 2x, mentre f s (x) = 1. Il grafico è il seguente : 1

2 3) Disegnare il grafico della funzione f : R R così definita x +1 se x < - 1 x 2 1 se x - 1. Trovare le controimmagini di 0 e di 2. La funzione f è iniettiva? è suriettiva? è una corrispondenza biunivoca? (motivare le risposte). Le controimmagini di 0 sono 1 e 1,da cui si deduce che la funzione non è iniettiva. Il numero -2 non ha controimmagini ( il valore assoluto di x + 1 è sempre positivo e l equazione x 2 1 = -2 non ha soluzioni reali ). Quindi la funzione non è una corrispondenza biunivoca. 4) Dire se la funzione f di R in R così definita 2x + 1 x 0 x 2 x<0 2

3 è continua in x = 0. Disegnarne il grafico. lim 2x + 1 = 1, lim x 2 = 0, quindi f non è continua in x = 0. x 0 + x 0 - Questo fatto è evidenziato anche dal grafico : 5) Date le funzioni f : R R, f(x) = x 3 e g : R R, g(x) = x -1, determinare g f e disegnarne approssimativamente il grafico.dire,motivando la risposte, se g f è iniettiva e suriettiva Si ha g f (x) = g(x 3 ) = x 3 1, il cui grafico è La funzione è sia iniettiva che suriettiva : ogni numero reale r ha controimmagine la radice cubica di r+1 (equivalentemente ogni retta parallela all asse x taglia il grafico in uno ed un solo punto). 6) Date le funzioni f : R R, f(x) = 2x e g : R R, g(x) = e x, determinare g f e disegnarne approssimativamente il grafico.dire,motivando la risposte, se g f è iniettiva e suriettiva. 3

4 Soluzione. Si ha g f(x) = g(2x) = e 2x il cui grafico è La funzione è iniettiva (ogni numero reale positivo r ha una sola controimmagine che si ottiene risolvendol equazione esponenziale e 2x = r ), ma non è suriettiva ( i numeri reali negativi e lo zero non hanno controimmagine ). 7) Date le funzioni di R in R f e g così definite : f(x) = x 3 e g(x) = 1 x, disegnarne i grafici e dire se si tratta di corrispondenze biunivoche ( motivando le risposte ). Determinare g f e trovare le controimmagini di 0 e di 2 mediante tale funzione. f e g sono corrispondenze biunivoche, come si vede bene dai loro grafici gof(x) = g(x 3 ) = 1-x 3. La controimmagine di 0 è 1 e di 2 è 1 ( infatti 1-x 3 = 0 e 1-x 3 = -1 hanno soluzione reale 1 e 0 rispettivamente). 8) Disegnare il grafico della funzione f : R R così definita 4

5 f(x) = x se x < 0 x se x 0. Trovare le controimmagini di 1 e di 1. La funzione f è iniettiva? è suriettiva? è una corrispondenza biunivoca? (motivare le risposte) il grafico richiesto è il seguente : Le controimmagini di 1 sono 1 e 1. Questo basta per concludere che la funzione non è iniettiva. I numeri negativi (e quindi 1) non hanno controimmagini (il grafico è interamente contenuto nei primi due quadranti),quindi la funzione non è suriettiva. f non è biunivoca. 9) Date le funzioni di R in R f e g così definite : f(x) = e x e g(x) = 2 + x, disegnarne i grafici e dire se si tratta di corrispondenze biunivoche ( motivando le risposte ).Determinare g f e trovare le controimmagini di 0 e di 3 mediante tale funzione. g f(x) = g(e x ) = e x + 2. Le controimmagini di 0 e di 3 sono le soluzioni delle equazioni esponenziali e x + 2 = 0 e e x + 2 = 3 rispettivamente. La prima non ha soluzione (e x assume solo valori positivi), la seconda ha soluzione x = 0. Quanto detto si può ricavare anche dal grafico 5