Teoria dei quadripoli

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1 7 Teoria dei quadripoli Eercitazioi aggiutive Eercizio 7. Si determii l iduttaza dei due iduttori mutuamete accoppiati collegati i erie chematizzati i figura: I V C Si uppoga che il itema lieare e tempo-ivariate fuzioi i regime iuoidale e i calcoli la ua impedeza per la pulazioe w 0 3 [rad/]. [mh]; 5 [mh]; k 0.8 Poiché è dato il valore del coefficiete di accoppiameto k occorre determiare il valore di : 3 k [H] Per determiare il ego di i faccia riferimeto al eguete chema, utilizzado la covezioe dei pallii:

2 teoria dei quadripoli I I V V C I V Siccome le correti I ed I etrao etrambe dai moretti co il pallio il valore di è poitivo: [H]. Il modello per i due iduttori accoppiati è: Poiché i due iduttori oo i erie i ha: Quidi per il itema completo riulta: jω + jω jω + jω + ( ) + jω + + jω Il itema è quidi caratterizzato da u iduttaza uguale a: [H] Si oervi come, i queta cofigurazioe, l effetto della mutua iduttaza è quello di rafforzare il comportameto iduttivo del itema. impedeza del circuito ad w 0 3 [rad/] è: Z V jω e j90 [W] (fae i gradi)

3 Eercizio 7. eercitazioi 3 Il circuito rappreetato i figura è lieare, tempo-ivariate e i regime iuoidale. Si determii l iduttaza equivalete a quella dei due iduttori mutuamete accoppiati collegati i parallelo. I V [H]; 0 [H]; [H] Per determiare l iduttaza ai termiali e occorre coiderare l effetto della mutua iduttaza; per determiare il ego di i coideri il eguete chema: I I I V V V Secodo la covezioe dei pallii, dato che la correte I etra dal moretto cotraegato co il pallio metre la I ece dall aalogo, il ego di è egativo, quidi: [H]. Il modello per gli iduttori accoppiati è: Poiché gli iduttori oo i parallelo i ha: jω + jω jω + jω + Eprimedo le correti el mutuo accoppiameto i fuzioe delle teioi (v. eercizio 7.5) i ha: V V j ω ( ) ω ( ) j

4 4 teoria dei quadripoli Quidi la correte i igreo all itero itema è pari a: ( ) V V V V + jω j j V. ω ω jω ( ) + ( ) + ( ) iduttaza equivalete dei due iduttori mutuamete accoppiati è: + ( ). 357 [H] Si oervi come la mutua iduttaza egativa riduca il comportameto iduttivo del itema. Nell ipotei che gli iduttori o foero mutuamete accoppiati ( 0) i avrebbe: + cioè i ritrova la relazioe che dà l iduttaza equivalete di due iduttori i parallelo. Eercizio 7.3 Il circuito raffigurato di eguito è lieare, tempo-ivariate e fuzioate i regime iuoidale. Si determiio: Vu ( jω ) la fuzioe di traferimeto H( jω ) ; ( jω ) l impedeza d igreo tra i puti e ; la frequeza di rioaza del circuito. i R C + E V i R V u Z i j t E() t Ee ω [v]; R 0 [W]; R [kw] 00 [mh]; 00 [mh]; 50 [mh]; C 0 [mf] Il circuito preeta due iduttori mutuamete accoppiati che collegao l igreo co l ucita e, i queta ezioe, u circuito rioate erie il cui iduttore è uo degli iduttori mutuamete accoppiati. Si comici col determiare la fuzioe di traferimeto H(jw). tal fie i defiicao i veri delle teioi e correti ecodo le direzioi di riferimeto aociate e i utilizzi il metodo delle correti di maglia, co i veri defiiti come el eguete chema:

5 eercitazioi 5 + E R J V i I I R V V u J C Si adoperi il metodo della crittura diretta delle equazioi alle maglie: Riolvedo i ottiee: J J ( ) R+ jω J jωj E j + + j C R J ω ω jω J 0 ( ) ω C j RC E ω ω C( R+ R) R+ jω ω C( ) RRC ω CE ω C( R+ R) R+ jω ω C( ) RRC Si oervi come J 0 e 0 oppure e w 0; i etrambi i cai e o vi è mutuo accoppiameto o vi può eere correte ulla maglia co il circuito rioate. Se w 0 è: J E, poiché o vi è mutuo accoppiameto e l iduttaza R diviee u cortocircuito. Si coideri ache il cao di mutuo accoppiameto co (coefficiete di accoppiameto k ) i cui il termie di terzo grado i w a deomiatore della J e della J i aulla. Utilizzado la covezioe dei pallii, dato che i oo adoperate le codizioi di riferimeto aociate e le correti I ed I etrao etrambe dai moretti co il pallio, è poitivo, quidi: 50 [mh]. Si valutio ora V u e V i : u RJ ω RCE ω C( R+ R) R+ jω ω C( ) RRC j J j J i ω ω 3 jω ( ω C jωrc) jω C E ω C( R+ R) R+ jω ω C( ) RRC

6 6 teoria dei quadripoli u ( jω ) ω RC H( jω ) i( jω ) ωrc + j C 6 0 ω 0 ω + j ω 0 ( ) ( ) ω Cofermado quato detto per J la H(jw) i aulla per w 0 e per 0, e i azzera il termie di ecodo grado a deomiatore qualora k. Il modulo della H(jw) riulta: H( jω ) ω RC ( ) + ( ) 4 ω C ω C RC 0 6 ω ω + 40 ω a ua fae: ( ) ω φh jω arctg C ( ) ω RC Si rileva che: Se ω 0 H( j0) 0 e φ H( j0) 90 ; Se ω H( j ) 0 e φ H( j ) 90. I diagrammi del modulo e della fae di H(jw) oo: ω 0 arctg 6 0 ω

7 eercitazioi 7 Si determii e vi è ua pulazioe tale che la fuzioe di traferimeto ia reale; i deve avere: 4 w 0; ( ) 0 C ω a pulazioe w è: ω [rad/]. Si è cartato il valore egativo perché o rivete igificato fiico. Per queto teo valore la fae della H(jw) è ovviamete ulla. a corripodete frequeza è perciò: f ω. π 690 [khz]. 4 V u ( j ) j0. 8 [v] Per calcolare l impedeza d igreo fra i puti e i coidera: Razioalizzado: Z i ( ) ω RC j C i i + ω ω J ω C jωrc 4 ( ) ω + j ω ω ω j 00. ω 4 C R j C C Z i ω + ω 4 ω ( ) ω ( RC )+ 4 C ω ω C( RC)+ Per determiare la frequeza di rioaza i impoe che la parte immagiaria di Z i ia uguale a zero: ω 4 ω C ( ) ω C( RC)+ 0

8 8 teoria dei quadripoli a oluzioe w 0 i carta perché corripode a u igreo o iuoidale. 4 ω C ( ) ω C( RC)+ 0 No eedoci radici reali e poitive la rete o ammette pulazioe di rioaza. Dal puto di vita fiico i oerva che la variazioe del carico R provoca u alterazioe della correte I che, attravero la mutua iduttaza, provoca ua variazioe del comportameto iduttivo del circuito d igreo. Si ha cioè u effetto dell ucita ull igreo. Eercizio 7.4 Si determii il valore dell impedeza Z i vita al primario del traformatore ideale del circuito lieare, tempo-ivariate e i regime iuoidale riportato ella figura eguete: R C Z i R 0 [W]; 0 [mh]; C [mf] 00; 0; w [krad/] Utilizzado la proprietà di traformazioe delle impedeze del traformatore ideale, defiedo co Z l impedeza compleiva al ecodario i ha: Z i Occorre prelimiarmete, pertato, calcolare l impedeza di carico. Sia: Si ha quidi: Z R + j ω 0 + j 0 [W]; Y Z j Z [S] Z Y jωc+ Y j e (fai i gradi). j [W] Da quato detto riulta pertato: Z i 5. e j [W].

9 eercitazioi 9 Si oervi come il traformatore ideale permetta, i queto cao, di otteere al primario u impedeza di valore evidete partedo da u carico che, alla pulazioe di lavoro w 000 [rad/] è quai u cortocircuito ( Z 0. 5 [W]), eza alterare la fae. Eercizio 7.5 Si coideri il circuito lieare, tempo-ivariate e fuzioate i regime iuoidale riportato i figura: R + E R Si determiio la teioe e la correte forite dal geeratore e l impedeza al primario del traformatore ideale apedo che il carico aorbe ua poteza apparete 50 [V]. Dalla defiizioe di poteza apparete: R 00 [W]; R 0 [W]; 50 [mh] 500; 00; w [krad/] P + Q dove P e Q oo, ripettivamete, le poteze attiva e reattiva impegate dal carico. Dato che queto è cotituito da ua reiteza e da u iduttaza, la poteza attiva deriva olo dalla prima, metre la reattiva olo dalla ecoda. llora i ha: Y R + jω ; Z j R Y ω ω R R+ jω R + ω (fai i gradi). jω R + R + ω e j [W] o faameto j z tra teioe e correte ul carico è: j z Dal triagolo delle poteze: Q Ptgj z Q P tg j z

10 0 teoria dei quadripoli Siccome P + Q i ottiee: Ci i riferica al eguete chema: P Q + P P [W]; Q P [VR] R I I I C + E V V V Z Z i Dato che: i ottiee: P Re Z eff eff P. 83 [] Re Z umedo che la correte ul carico abbia fae 0 i ottiee che I eff. 83 [] []; V I Z e eff j [v] Co riferimeto alle covezioi celte per il traformatore i ha:. 589 []; V V e j [v] Per la covezioe dei pallii i ha: V ej I I [] [v]

11 eercitazioi Queto valore rappreeta la correte erogata dal geeratore, che è i vero oppoto a quella ipotizzata ello chema. Si calcoli ora la teioe E : E R e j [v] Determiazioe dell impedeza vita al primario del traformatore. V Zi V Z e j [W] Si oerva come la traformazioe dell impedeza riduca le perdite ulla reiteza itera del geeratore, dato che a ea i poe i erie il carico vito al primario che è maggiore di quello reale.