2.9 Esercizi e prove d esame

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1 65 R. Tauraso - Analisi Matematica II.9 Esercizi e prove d esame Esercizio.. Calcolare la lunghezza dell arco di catenaria data dal grafico della funzione f e + e, con, ]. L arco si parametrizza ponendo t t t yt et + e t Applicando la. otteniamo t dt, t, ]. et e + t dt + e t + e t dt e t + e t dt e t + e t dt e t e t] e e. Esercizio.. Calcolare f ds, dove f, y + 8y e la curva rappresentata in figura. Il sostegno della curva è dato dall unione di tre curve,,, quindi possiamo scrivere f ds f ds + f ds + f ds. Applicando la. si ottiene f ds f ds f ds Parametrizziamo le curve ponendo t t t cos t :, : yt t yt sin t, : t t yt t t, ] t, /] t, / ] t + 8 t + dt t dt cos t + 8 sin t sin t + cos t dt sin t] + 8 ] t sin t cos t t + 8t t + dt ] + ; + 8t ] ; +. cos t + 8 sin t dt. Pertanto f ds

2 Integrali curvilinei 66 Esercizio.. Calcolare f ds, dove f, y y e è l arco dell ellisse con semiassi a e b contenuto nel primo quadrante. L equazione cartesiana dell ellisse è + y, e una parametrizzazione è data da t cos t : yt sin t, t, /]. f ds cos ts Applicando la. si ha cos t sin t sin t + cos t dt cos t sin t + cos t dt 6 s + s ds 9. Esercizio.. Calcolare la superficie del cilindro parabolico delimitato dai piani z,, z, y. cos t sin t cos t + cos t dt cos t + cos t d cos t + s d + s + s + + y / La superficie richiesta è data dall integrale f ds, dove f, y e è l arco della parabola y / per, ]. Allora, applicando la., si ottiene f ds + y d + + d /u 6 u du 6 u / / ] 8. Esercizio.5. Calcolare il centro di massa dell arco di cicloide omogeneo dato dalle equazioni parametriche t t Rt sin t yt R cos t, t, ], R >.

3 67 R. Tauraso - Analisi Matematica II Per il calcolo del centro di massa, si può immediatamente osservare che per simmetria si ha R, quindi sarà sufficiente calcolare la coordinata ȳ, che per definizione è data dall integrale ȳ y ds. Per il calcolo della lunghezza della curva applichiamo la. ds R cos t + sin tdt R + cos t cos t + sin tdt R cos t dt R cos t dt R sin t dt R sin t t d R cos t ] R cos cos ] 8R. Allora la coordinata ȳ è R sin t t sin dt R R cos u d cos u R cos ] u R In definitiva si ha R cos u] R ȳ 8R R R y ds 8R t cos t sin dt cos t t sin dt ] t t cos sin cos u dcos u R R cos t R sin dt t/u R cos u dcos u R R ] R + R R. G R, R. t dt cos u sin u du dcos u Esercizio.6. Calcolare il rapporto tra il momento d inerzia rispetto all asse z e la massa m di un filo di densità δ che occupa l insieme,, : a, a + L]}, dove a R e L >. Per quale valore di a il rapporto I/m è minimo? La massa del filo è m δ L, pertanto il momento d inerzia è Quindi si ha I a+l a δ d δ ] a+l a δ a + L a. I m a + L a a + al + L L. La parabola ottenuta assume minimo nel vertice, ossia in a + L, cioè per a L/. Quindi il rapporto I/m è minimo quando l asse z passa per il punto medio del filo, ossia per il suo centro di massa.

4 Integrali curvilinei 68 Esercizio.7. Sia F, y y, e y un campo vettoriale. Calcolare l integrale del campo F lungo la curva rappresentata in figura da, a,. applicando allora la. ad entrambi gli integrali, si ottiene: ette e le curve descritte dai grafici delle due funzioni y + e y +, queste si parametrizzano ponendo t t t t t :, t : yt t + yt t. + t, ] t, ] Abbiamo così che l integrale lungo è dato dalla somma degli integrali di F lungo t e t; F, d t + t + e t ] dt t t e t dt ] t t + e t + e e, tt F, d + ] + e t + t dt t + t + te t + dt t + t + et ] + e e e e. In definitiva F, d 7 + e + e e e 7. In alternativa, possiamo consideriamo la forma differenziale associata al campo vettoriale ω, y y d + e y dy. E immediato verificare che non è chiusa, pertanto nemmeno esatta. Così il calcolo dell integrale può anche essere eseguito chiudendo il percorso ed applicando Gauss-Green. Infatti se consideriamo la retta passante per i punti, e, di equazione y / + per il teorema Gauss-Green si ha ω, y ω, y ey y ddy ω, y, ddy ω, y dove naturalmente all integrale doppio andrà sottratto l integrale curvilineo di ω, y lungo la curva che abbiamo aggiunto per chiudere il percorso. Per il calcolo dell integrale doppio, suddividendo opportunamente il dominio si ha ddy ddy + + ddy ddy ddy y /+ y /+

5 + d + 69 R. Tauraso - Analisi Matematica II d ] + d + ] d 7. Per l integrale curvilineo si parametrizza la retta ponendo t t, t/ + con t, ] e si ottiene ] y d + e y t e t/+ t dy + t dt 6 + t + e t + 5 e. Quindi F, d e e 7. Esercizio.8. Sia F, y y, y un campo vettoriale. Calcolare F, d, dove è il percorso chiuso rappresentato in figura. La curva è l unione di tre curve,,, dove è l arco della circonferenza di centro, / e raggio / dal punto, al punto,, la curva è il segmento della retta y + dal punto, al punto, e la curva il segmento dal punto, al punto,. Pertanto l integrale del campo vettoriale è F, d F, d + F, d + F, d. : Parametrizziamo le tre curve che compongono ponendo t cos t t t t t yt + sin t, :, :. yt t + yt t /, /] t, ] t, ] Applicando la. ad ogni integrale si ottiene: F, d cos t + sin t 8 F, d F, d 8 cos t sin t 8 sin t cos t + sin t cos t + ] 8 cos t sin t + 6 cos t + cos t + ] sin t cos t dt ] 6 sin t cos t dt sin t cos t cos t sin t dt dt + 8 ] cos t sin t cos t dt + cos t sin t dt 8 ] sin t sin t sin ] t 8 sin t] sin ] t, 8 t t + + t t + ] t + t + t ] t dt t + t ]. + t + t cos t sin t dt ],

6 Integrali curvilinei 7 In conclusione F, d. Il calcolo dell integrale si può anche eseguire applicando il teorema di Gauss-Green. Infatti consideriamo il dominio che ha per frontiera la curva e la forma differenziale associata al campo vettoriale dove ω, y : y d + y dy. Suddividendo opportunamente il dominio, per Gauss- Green deve essere ω, y y y ddy + y ddy + y ddy,, y R : y +, },, y R : + y / /, }. Per l integrale su, ricordando che le coordinate del baricentro di un triangolo omogeneo sono medie delle coordinate dei vertici, si osserva che y ddy y ddy ddy y ddy y ddy + y ddy + 6 y ] + y ] + + d + 6 y + + d Invece per l integrale su, conviene operare una traslazione, ponendo t y /, in modo da integrare sull insieme In tal modo si ha, t R : + t /, }. t + / ddt t ddt. Utilizzando le coordinate polari ρ cos ϑ, t ρ sin ϑ, ρ, ], ϑ /, /] e ricordando il fattore jacobiano di trasformazione pari a /ρ dρdϑ, si ottiene y ddy ρ cos ϑ sin ϑ dρdϑ ρ dρ cos ϑ sin ϑ dϑ Quindi ρ ρ ] sin ϑ ] 8. y ddy. ρ

7 7 R. Tauraso - Analisi Matematica II Esercizio.9. Sia F, y + y, y un campo vettoriale. Calcolare F, d, dove, con l arco di circonferenza di centro, e raggio e un arco di parabola di equazione y, percorso da, a,. La curva è l unione di due curve e, dove è l arco della circonferenza di centro, e raggio dal punto, al punto,, e la curva è l arco della parabola y dal punto, al punto,. Pertanto l integrale del campo vettoriale è F, d F, d + F, d. Parametrizziamo le due curve che compongono ponendo t + cos t t t t : t : yt sin t yt t t, /], t, ]. Applicando la. ad ogni integrale si ottiene F, d + cos t + sin t sin t + sin t cos t ] dt sin t + sin t ] dt F, d Quindi in definitiva sin t dt + cos t] + cos t sin t dt ] sin t cos t dt cos t] + + 5, t + t t + t ] t dt t dt F, d 5 6. ]. Alternativamente si può procedere chiudendo il percorso con il segmento congiungente i punti, e, e applicando il teorema di Gauss-Green. Considerando la forma differenziale associata al campo vettoriale assegnato ω, y : + y d + y dy, per il teorema di Gauss-Green avremo B A ω, y, y, y ddy ω, y. Per il calcolo dell integrale doppio su avremo: y + y ddy y ddy y ddy y y ] y d + d + ] 5 6.

8 Integrali curvilinei 7 Per il calcolo dell integrale curvilineo, si parametrizza il segmento rettilineo ponendo t, t con t, ] e, applicando la., si ottiene + t + t ] t dt t dt. Si conclude così che Esercizio.. Calcolare dove è il percorso chiuso rappresentato in figura. : t t yt t, : t t yt + t ω, y d dy + y +, Consideriamo la forma differenziale ω, y d + y + dy + y +. Si verifica che non è chiusa, in quanto + y + + y + + y + + y +, pertanto non può essere esatta. Quindi per il calcolo dell integrale si deve procedere in modo esplicito, oppure applicando il teorema di Gauss-Green. Parametrizziamo le rette ponendo, : t t yt t, : t, ] t, ] t, ] t, ] Applicando la. ad ogni curva si ottiene ω, y t + t + dt t + t + ω, y t + + t + dt t + + t + ω, y t t + t t + ω, y t + t + dt t + t + unque dt d dy + y Applicando alternativamente il teorema di Gauss-Green, abbiamo che dt. t t yt t t + t + dt. t+ t + dt. dt.. ω, y B A ddy + y + ddy + y + ddy,

9 7 R. Tauraso - Analisi Matematica II dove l insieme è definito da, y R : y, y + }. Osservando la forma della funzione e la definizione del dominio è opportuno operare un cambiamento di variabili, ponendo cioè Φu, v : u y v y + v u/ y u + v/ in modo che anziché integrare sull insieme integreremo sull insieme rettangolare Φ u; v R : u, v }. Calcoliamo il fattore di trasformazione jacobiano,, y u, v u, v, y Pertanto l integrale doppio diviene + y + u v u v ddy u v,. dudv v + u] ] v +. Esercizio.. Calcolare + yd ydy, dove è il percorso chiuso rappresentato in figura. La forma differenziale ω, y +yd ydy è definita in tutto R, insieme semplicemente connesso, ma non è chiusa in quanto Applicando la. si ottiene ω, y ω, y y + y, quindi non può essere esatta. Per il calcolo dell integrale lungo la curva chiusa si può procedere o con il calcolo esplicito o con il teorema di Gauss-Green. Parametrizziamo le curve ponendo : t t yt t t, ], : t t yt t t + t t t + t dt t + t t dt ] t t + t t , t + t t t + dt t dt 5t t ], t, ].

10 Integrali curvilinei 7 e il risultato finale è 8/ /. In alternativa, applicando il teorema di Gauss-Green al dominio con frontiera la curva chiusa avremo B A ω, y, y, y ddy ddy ddy y + d + ]. Esercizio.. Calcolare la lunghezza e l area delimitata dalla curva chiusa, detta astroide data dalle equazioni parametriche: t a cos t t : yt a sin, t, ], a >. t L asteroide è l unione dei archi AB, BC, C e A ed è una curva chiusa. I archi risultano a due a due congruenti ed è facile verificare che è il luogo rappresentato dall equazione cartesiana / + y / a /. ato che tale equazione è invariante rispetto al cambio di segno di e di y e rispetto alla scambio di e y allora è simmetrica rispetto a entrambi gli assi cartesiani e ad entrambe le bisettrici y e y. Ne segue che poiché l arco AB è la quarta parte dell astroide, applicando la. si ha che AB / a / a cos t sin t] + a sin t cos t ] dt a cos t sin tcos t + sin t dt / cos t sin t dt a / sin t cos t dt a ] / 6a. Per il calcolo dell area del dominio possiamo applicare la.6 ossia, m ddy yd + dy yd + dy + a sin t cos t sin t + a cos t sin tcos t ] dt a a 6 a sin t cos t + a cos t sin t ] dt a sin t cos t dt a 8 s sin s cos s ] sin t dt a 6 a 8. sin t cos t sin t + cos t ] dt sin s ds

11 75 R. Tauraso - Analisi Matematica II Esercizio.. Calcolare y d + dy, dove è la semiellisse in figura di semiassi a e b percorsa da a, a a,. La forma differenziale assegnata è definita in tutto R ma non è chiusa in quanto y y, pertanto non può essere esatta. Così per il calcolo dell integrale dovremo procedere con il calcolo esplicito oppure con il teorema di Gauss-Green. Parametrizziamo l ellisse ponendo t a cos t t : t, ]. yt b sin t Applicando la. si ottiene y d + dy b sin t a sin t + a cos tb cos t ] dt ab sin t + ab cos t ] dt ab cos t dt ab sin t dt ab cos t sin t dt ab sin t cos t dt ab sin t dsin t ab cos t d cos t ab sin t sin t ] + cos t cos t ] ab. Volendo invece applicare il teorema di Gauss-Green potremo chiudere il percorso con il segmento che unisce i punti a, e a, parametrizzato ponendo t t t : t a, a]. yt Si può osservare che l integrale curvilineo è nullo essendo a ω, y + t, a Allora, per il teorema di Gauss-Green avremo che ω, y y ddy ω, y. pertanto è sufficiente calcolare l integrale doppio sull insieme definito da } :, y R : a + y b, y. In questo caso si può procedere in vari modi. Ad esempio effettuando il cambiamento di variabili u /a ua Φu, v :, v y/b y vb in modo che anziché integrare sull insieme, integreremo sulla semicirconferenza Φ : u; v R : u + v, v }.

12 Integrali curvilinei 76 Il relativo fattore di trasformazione jacobiano è, y u, v u, v, y pertanto l integrale doppio diviene: y ddy ab u v Φ u v au bv dudv a b a b ū ab v, /a /b Φ ab u dudv ab Φ ab, v dudv dove abbiamo osservato che i due integrali doppi sull insieme Φ non sono altro che le coordinate u e v del centro di massa del semicerchio di centro l origine e raggio unitario. Quindi a b ab ab. In alternativa, si sarebbe potuto passare direttamente alle coordinate polari ellittiche ponendo Φρ, ϑ aρ cos ϑ, bρ sin ϑ, ρ, ], ϑ, ]. Ricordando che il fattore jacobiano di tale trasformazione è abρ, l integrale diviene y ddy ab ρ aρ cos ϑ bρ sin ϑ dρdϑ Esercizio.. Calcolare ab ρ a b ρ ϑ ρ ϑ ] aρ cos ϑ dρdϑ ab sin ϑ] ρ ab ] ρ y + e y d + ye y dy, ϑ bρ sin ϑ dρdϑ cos ϑ] ab dϑ ab. lungo il bordo del parallelogramma di vertici,,,,, e, percorso in senso antiorario. La forma differenziale assegnata è definita in tutto R, insieme semplicemente connesso, ma non è chiusa in quanto ye y ye y 6y + ye y y + e y, pertanto non può essere esatta. Tuttavia, sfruttando la linearità, possiamo scrivere la forma assegnata come somma di due forme differenziali ω, y + ω, y, con ω, y e y d + ye y dy, ω, y y d. Ora la forma differenziale ω, y risulta chiusa, ed essendo R semplicemente connesso, risulterà anche esatta. Quindi il suo integrale lungo la linea chiusa sarà uguale a zero. unque è sufficiente calcolare l integrale della forma differenziale ω, y. Tale forma differenziale non è chiusa, e quindi nemmeno esatta, e per il calcolo dell integrale si può procedere sia per via diretta che utilizzando il teorema di Gauss-Green. Parametrizziamo i lati del parallelogramma ponendo : t t yt, : t t yt t, : t t yt, : t t yt t t, ] t, ] t, ] t, ].

13 77 R. Tauraso - Analisi Matematica II Applicando la. ad ogni lato del parallelogramma si ottiene: ω, y ω, y + dt, ω, y + dt t] 6, ω, y t + t dt t +, dt t ]. ], unque ω, y ω, y + ω, y ω, y + ω, y + ω, y + ω, y 6. In alternativa, si può applicare il teorema di Gauss-Green ω, y y ddy 6 y ddy dove Così si ottiene 6, y R : y y +, y }. y ddy 6 y y y+ y d dy 6 ydy 6 y ] 6. y Esercizio.5. Per quale curva chiusa semplice percorsa in senso antiorario, l integrale y y + y d y dy, assume valore massimo. La forma differenziale assegnata è definita in tutto R e per il teorema di Gauss-Green applicato al dominio delimitato dalla frontiera della curva chiusa, si ha che ω, y 9 + y y y + y ddy y ddy. La funzione integranda f, y y risulta negativa all esterno della circonferenza +y e positiva all interno. Quindi l integrale di ω, y su è massimo proprio proprio coincide con la zona positiva, ossia se è la circonferenza di centro l origine e raggio. Proseguendo il calcolo dell integrale doppio sull insieme, y R : + y } dove si utilizzano le coordinate polari Φρ, ϑ ρ cos ϑ, ρ sin ϑ, ρ, ], ϑ, ], si ottiene il valore massimo richiesto y ddy ρ ϑ ρ ρ dρdϑ 6 ρ ρ ρ dρ 6 ] ρ ρ. Esercizio.6. ata la forma differenziale ω, y y + y d + + f y dy, determinare ft affinché ω, y sia esatta in R. ato che R è semplicemente connesso, è sufficiente che la forma assegnata sia chiusa, + f y + f y y + 6y y + y,

14 Integrali curvilinei 78 ossia se + f y y + 6y f y y 6y f y 6y posto y t, avremo, per ogni t R, f t 6t ft 6t dt ft t + c. Esercizio.7. Calcolare y d + dy, dove è l arco di circonferenza centrata in, da, a,. La forma differenziale assegnata è definita in tutto R che è un insieme semplicemente connesso, ma la forma non è chiusa essendo y y, pertanto non può essere esatta. Per il calcolo dell integrale bisogna procedere per via diretta o applicando il teorema di Gauss-Green. Parametrizziamo la circonferenza ponendo t + cos t t : t /, ]. yt sin t y d + dy Così sin t sin t + + cos t cos t ] dt sin t + + cos t cos t ] dt sin t dt + cos t dt + cos t dt + cos t dt + cos t dt. Conviene calcolare gli integrali separatamente: In definitiva sin t dt sin t dt cos t dt sin t dt + sin t sin t dt cos t sin t dt sin t dt; dsin t ricordando che t + sin t cos t cos t dt + ] sin t dcos t P cos t sin t ] + sin t sin t dt sin t dsin t sin t], cos t dt + sin t dt sin t dt t sin t cos t, cos t dt + sin t ] cos t dt sin t] cos dsin +,. sin t dt cos t dt

15 79 R. Tauraso - Analisi Matematica II Come si può osservare, utilizzando il metodo diretto, i calcoli risultano piuttosto lunghi. In alternativa proviamo ad applicare il teorema di Gauss-Green, chiudendo il percorso con i segmenti che uniscono i punti,,, e i punti,,,, ω y ddy ω ω. Parametrizziamo i segmenti e ponendo t t t t : t, ], t : yt yt t t, ]. ω + t dt, Applicando la. si ottiene ω t + dt. Per il calcolo dell integrale doppio, avremo y ddy + y ddy, dove, y R : + y,, y }. Conviene operare una traslazione ponendo s in modo che l insieme di integrazione si trasformi nell insieme s, y R : s + y, s, y }. Così l integrale diviene s + + y dsdy s + s + + y dsdy, e passando in coordinate polari attraverso la trasformazione l integrale doppio diventa Φ Φρ, ϑ ρ cos ϑ, ρ sin ϑ, ρ, ] ϑ /, ], s + s + + y dsdy ρ ϑ ρ ϑ ρ dρdϑ + 6 ρ ϑ ρ ] ρ ρ ϑ ϑ ρ + 6 ρ ρ cos ϑ + ρ cos ϑ + + ρ sin ϑ dρdϑ ρ ρ + ρ cos ϑ + dρdϑ ρ + ρ cos ϑ + ρ dρdϑ ρ cos ϑ dρdϑ + ρ dρdϑ ρ ϑ ] ] ρ sin ϑ] In conclusione ω + y ddy ω ω

16 Integrali curvilinei 8 Esercizio.8. Calcolare y d + + y dy, dove è il percorso chiuso dato da C C, dove C r indica la circonferenza di raggio r e centro r, percorsa in senso antiorario. La forma differenziale assegnata è definita in tutto R, insieme semplicemente connesso ma non è chiusa essendo + y + 6 y 6 y y, pertanto non può essere esatta. Tuttavia per la proprietà di linearità, possiamo scrivere ω, y come ω, y + ω, y, con ω, y y d + y dy, ω, y dy. Risulta che la forma ω, y è chiusa e quindi esatta nell insieme semplicemente connesso R ed essendo una curva chiusa, il suo integrale è nullo. Pertanto è sufficiente calcolare l integrale ω, y lungo. La forma ω, y non è evidentemente chiusa, e quindi nemmeno esatta, pertanto per il calcolo dell integrale si deve procedere per via diretta, oppure applicando il teorema di Gauss-Green. Utilizzando Gauss-Green si ha che dove ω, y ω, y + ddy, y R : + y, + y 9 }. ddy, Si può osservare che l insieme è equivalente alla differenza tra gli insiemi \ definiti da, y R : + y 9 },, y R : + y }. Inoltre per la simmetria rispetto all asse dell insieme \ e della funzione integranda avremo che ddy 8 ddy 8 + +y 9 ddy 8 +y ddy 8 C C 8 C C, dove C e C sono le aree dei due semicerchi, mentre C e C sono le coordinate dei rispettivi centri di massa che evidentemente coincidono con l ascissa del loro rispettivo centro. Pertanto 8 + ddy Volendo procedere per via diretta, parametrizziamo le due circonferenze ponendo C : t t + cos t yt sin t t,, C : t t + cos t yt sin t t,,

17 8 R. Tauraso - Analisi Matematica II ed applicando la. alla forma ω, y si ottiene C ω, y C 8 ω, y + + cos t cos t ] dt 6 9 cos t dt + 66 ] cos t dt 8 t + cos t sin t 8, + + cos t cos t ] dt unque il risultato finale è cos t dt ] cos t dt t + cos t sin t. 9 cos t dt + 6 cos t dt 8 cos t dt Esercizio.9. Sia ω, y y d + + a dy, con a > una forma differenziale e sia la curva chiusa rappresentata in figura. eterminare per quale valore di a si ha ω, y +. La forma differenziale assegnata è definita in tutto R, insieme semplicemente connesso, ma non è chiusa e quindi neanche esatta in quanto + a + a y. Per il calcolo dell integrale si può procedere per via diretta, oppure applicando il teorema di Gauss-Green. Applicando Gauss-Green si ha 8 cos t dt ω, y ω, y + a y ddy + a ddy + ddy + a ddy, dove, y R : + y, y +, y + }. Per il primo integrale, considerando il dominio come in figura, avremo ddy ddy + ddy ddy + y + d + + y ddy + d d ] ] ] /

18 Integrali curvilinei 8 a Per il secondo integrale si tratta di calcolare l area dell insieme. ato che l insieme è l unione, con, y R : + y,, y } avremo che, y R : y +, y },, y R : y, y }, ddy a ddy + a ddy + a a a + a + + a a In conclusione abbiamo ω, y + a + 6 Esercizio.. Sia ω, y a e +y + cos + y d a y + ddy ddy a. d + e +y + a y cos + y ] eterminare per quali valori di a R, ω, y è esatta in R e per tali valori determinare la funzione potenziale. Poiché la forma differenziale assegnata è definita in tutto R che è un insieme semplicemente connesso, affinché risulti esatta è sufficiente che sia chiusa, ossia che verifichi l uguaglianza ossia se e +y + a y cos + y a e +y + cos + y e +y a y sin + y a e +y y sin + y, e +y a y sin + y a e +y + y sin + y e +y a + y sin + y a a e +y + y sin + y. Pertanto per a ± la forma è esatta in R. In tal caso esiste una funzione potenziale U, y tale che U, y e +y + cos + y, dy. U, y e +y + y cos + y. Integrando la prima rispetto ad otteniamo U, y e +y + cos + y d e +y d + cos + y d e +y d + y + cos + y d + y e +y + sin + y + Cy.

19 8 R. Tauraso - Analisi Matematica II Ora derivando l espressione trovata di U, y rispetto ad y si ottiene e +y + sin + y + Cy e +y + y cos + y + C y, e per l esattezza di ω, y si ha che Pertanto e +y + y cos + y + C y e +y + y cos + y C y Cy. Esercizio.. Sia U, y e +y + sin + y + c. ω, y : ay sin d + + e y dy. eterminare per quali valori di a R, l integrale ω, y 5 + e, dove è l arco di circonferenza centrato in, e raggio, da, a,. Poiché la forma differenziale è definita in tutto R, insieme semplicemente connesso, e + e y a ay sin, si ha che la forma è chiusa per a. Allora, per linearità, possiamo scrivere ω, y come ω, y + ω, y, con ω, y y sin d + + e y ω, y a y d. La forma differenziale ω, y è chiusa, e quindi esatta in R, pertanto esiste una funzione potenziale U, y tale che U U, y y sin,, y + e y. Integrando la prima rispetto ad, si ottiene U, y y sin d y + cos + Cy. erivando ora l espressione trovata rispetto ad y otteniamo e per l esattezza si deve verificare che y + cos + Cy + C y, + C y + e y C y e y Cy e y + c. Pertanto la funzione potenziale cercata è U, y y + cos + e y e l integrale della forma differenziale ω, y è ω, y U, U, e 5.

20 Integrali curvilinei 8 Per il calcolo dell integrale della forma ω, y procediamo per via diretta, e parametrizzando l arco della circonferenza t + cos t t t, /], yt sin t si ottiene ω, y a + cos tsin t sin t] dt a cos t sin t + sin t ] dt sin t a + t sin t cos t ] a +. In conclusione, l integrale della forma differenziale assegnata lungo è ω, y ω, y + ω, y e 5 + a +. Affinché tale integrale risulti uguale a 5/ + e è necessario che e 5 + a e 5 + a 5 a. Esercizio. Prova scritta del 8/7/. Calcolare l integrale curvilineo y + 6y d dy, dove è la curva formata dall unione del quarto di circonferenza di centro, e raggio da, a, e dell arco della parabola y da, a /, 7/. La forma differenziale assegnata è definita in tutto R, insieme semplicemente connesso, ma non è chiusa in quanto U U, y y + 6y, y + 6y pertanto non è essere esatta. Tuttavia, sfruttando la proprietà di linearità delle forme differenziali lineari, possiamo scrivere ω, y come la somma delle forme ω, y e ω, y con ω, y y + 6y d dy, ω, y 6 dy. In tal modo la forma differenziale ω, y è chiusa e quindi esatta in tutto R. Allora esiste una funzione potenziale U, y tale che, y Integrando la prima funzione rispetto ad si ottiene U, y y + 6y d 6 y + 6y + Cy, e derivando l espressione trovata rispetto ad y si trova 6 y + 6y + Cy C y.

21 85 R. Tauraso - Analisi Matematica II unque per l esattezza si deve verificare che C y C y Cy, pertanto una funzione potenziale è Quindi U, y 6 y + 6y. ω, y U /, 7/ U, 7. Per il calcolo dell integrale di ω, y, che evidentemente non è chiusa e quindi nemmeno esatta, si può procedere con il calcolo diretto, oppure applicando il teorema di Gauss-Green, chiudendo opportunamente il percorso assegnato. Se chiudiamo con il segmento lungo la retta y 7/ e dividiamo il dominio in e come in figura, per Gauss-Green si ha che Per il calcolo degli integrali doppi, si ha 6 ddy + 6 ddy sin t 6 ω, y 6 6 ddy ω, y 6 ddy + 6 y ddy + 6 d + 6 ] ] ] 6 ] 6 y d t 5 6 cos t dt 5 6 t + cos t sin t t ddy ddy ω, y ddy d sin t cos t dt ] ω, y Per il calcolo dell integrale curvilineo, parametrizziamo il segmento ponendo t t, 7/t con t /, ], e otteniamo ω, y 6t 7 ] t dt Pertanto si ha ω, y ω, y + ω, y Esercizio. Prova scritta del /7/. Calcolare l integrale curvilineo + y d + y + y dy, dove è la semicirconferenza di centro, e raggio percorsa da, a, e contenuta nel semipiano y.

22 Integrali curvilinei 86 La forma differenziale assegnata è definita in Ω R \, }, che è un insieme connesso, ma non semplicemente connesso, e dato che y + y y + y 6y + y + y, la forma non è chiusa, e quindi nemmeno esatta. Tuttavia, sfruttando la linearità, possiamo scrivere ω, y come la somma delle forme ω, y e ω, y con ω, y Integrando la prima funzione rispetto ad si ottiene + y d + y + y dy, ω, y + y d. In tal modo la forma ω, y risulta chiusa e quindi esatta in qualunque sottoinsieme di Ω Ω semplicemente connesso che non contiene l origine e contiene la curva. Quindi la forma ω, y ammette una funzione potenziale U, y tale che U, y + y, U y, y + y. U, y + y d d + y + y ln + y + Cy, e derivando l espressione trovata rispetto ad y si ottiene Per l esattezza si deve verificare che Pertanto una funzione potenziale è ln + y y + Cy + y + C y. y + y + y C y + y C y Cy. U, y ln + y, e l integrale di ω, y è dato da ω, y U, U, ln. Per la forma ω, y, che evidentemente non è chiusa e quindi nemmeno esatta, possiamo procedere con il calcolo diretto. Osserviamo che in questo non risulta comodo applicare il teorema di Gauss- Green in quanto il segmento che congiunge i punti, e, passa per l origine dove la forma ω, y non è definita. Si potrebbe trovare una curva alternativa per chiudere il percorso, ma non sembra molto conveniente. Più semplicemente, se parametrizziamo la semicirconferenza ponendo t t + cos t yt sin t t, ],

23 87 R. Tauraso - Analisi Matematica II si ottiene direttamente che ω, y 8 8 cos t 8 cos t sin t + sin t cos t sin t dt + sin t cos t + cos t + sin t cos t sin t + sin t cos t sin t sin t dt dt + dt 5 cos t 5 cos t 5 cos t cos t dcos t dcos t, posto cos t s, 5 cos t 5 cos t s ds 5 s s ds 5 s ds ds 5 s 8 ds 5 s s ds 5 s + 5 s 5 ds 5 s 5 ds 5 s ln 5 s ] 5 ds 5 s d5 s 5 s d5 s 5 s + ln 9 5 ln 5 s ] + ln 9 5 ln 9 + ln 9 ln 9 ln. dt In definitiva ω, y ω, y + ω, y ln + ln ln. Esercizio. Prova scritta del 5/9/. Calcolare l integrale curvilineo yd + dy dove è la curva formata dall unione della semicirconferenza di centro, e raggio da, a, passante per, e i segmenti rettilinei da, a, e da, a,. La forma differenziale assegnata è definita in tutto R, insieme semplicemente connesso, ma non è chiusa e quindi nemmeno esatta in quanto y y y. Per il calcolo dell integrale si può seguire la via diretta o applicare il teorema di Gauss-Green dato che è una curva chiusa. Vediamo prima il calcolo diretto. Parametrizziamo le curve che compongono ponendo t t cos t yt + sin t, t t t yt, t t /, /] t, ] t, ] t t yt t. Allora avremo che ω, y ω, y ω, y + ω, y + ω, y ,

24 Integrali curvilinei 88 dove ω, y ω, y ω, y sin t 8 6 cos t + sin t sin t + cos t + sin t cos t] dt 8 cos t sin t 8 cos t sin t + 8 cos t + 8 cos t sin t ] dt ] sin t 8 ] + + 6, t + t dt ] + 8 t + cos t sin t + 8 t t dt t + t dt ] 8, t dt 6. cos t ] Se invece usiamo il teorema di Gauss-Green, suddividendo opportunamente il dominio, si ottiene ω, y y y ddy + y ddy y ddy ddy y ddy ddy + y ddy ȳ + ȳ, ddy dove e sono le aree dei corrispondenti dei domini, ossia del semicerchio di raggio e del triangolo rettangolo, mentre ȳ,, ȳ, sono le coordinate dei baricentri dei rispettivi insiemi. Per il semicerchio abbiamo che ȳ e 8/, mentre per il triangolo, ricordando che le coordinare del baricentro sono la media delle rispettive coordinate, abbiamo che ȳ 8/ e /. Pertanto ω, y Esercizio.5 Prova scritta del /9/. Calcolare l integrale curvilineo + y d + aydy dove è la curva formata dall unione del quarto di circonferenza di centro, e raggio da, a, e del quarto di circonferenza di centro, e raggio da, a,. Per quale valore di a tale integrale è uguale a zero? La forma differenziale assegnata è definita in tutto R, insieme semplicemente connesso, quindi affinché il suo integrale lungo la curva chiusa sia nullo è sufficiente che risulti esatta in R, e ciò avviene se la

25 89 R. Tauraso - Analisi Matematica II forma differenziale è chiusa, ossia se da cui si ottiene ay ay 6y + y, ay 6y a 6y a 6. Così per a 6 la forma differenziale è esatta in R e il suo integrale lungo è nullo. Inoltre, per linearità, se scriviamo la forma differenziale assegnata come somma delle forme ω, y e ω, y definite da ω, y + y d + 6y dy, ω, y a 6y dy, per quanto detto basterà calcolare solo l integrale lungo della forma ω, y. Per il calcolo si può procedere o per via diretta, o applicando il teorema di Gauss-Green. Per via diretta parametrizziamo le circonferenze che compongono, unque t t cos t yt sin t ω, y a 6 8a 6 ω, y a 6 8a 6 8a 6 t, /], t t + cos t yt + sin t cos t sin t cos t dt 8a 6 cos t sin t dt cos cos t t d cos t 86 a ] + cos t + sin t cos t] dt cos t + cos t sin t + cos t + cos t sin t dt sin t + sin t + t + cos t sin t cos t 8 a 6, ] t, /]. 8a In conclusione si ottiene 8 ω, y ω, y + ω, y + ω, y + a 6 + 8a a 6. Invece applicando il teorema di Gauss-Green al domino, frontiera della curva, si ottiene ω, y + ay + y ddy a 6 y ddy a 6 y ddy a 6 ȳ, dove rappresenta l area dell insieme e ȳ è la coordinata y del suo baricentro. Osservando la simmetria dell insieme, si ottiene facilmente che la sua area è il doppio della differenza tra l area del quarto di cerchio di centro l origine e raggio e l area del triangolo rettangolo di vertici,,,,,.

26 Integrali curvilinei 9 Inoltre per la coordinata y del baricentro si può osservare che dato che è simmetrico rispetto alle rette y e y, il baricentro si trova nell intersezione tra queste due rette, ossia nel punto,. Quindi ω, y a 6 ȳ m a 6 a 6. Esercizio.6 Prova scritta del //. Calcolare l integrale curvilineo + y d + y + y dy dove è la curva formata dall unione dell arco di circonferenza da, a, passante per, e dal segmento da, a, a,. La forma differenziale assegnata è definita in tutto R, insieme semplicemente connesso, ma non è chiusa, in quanto y + y y + y, pertanto non può essere nemmeno esatta. Per il calcolo dell integrale procediamo applicando il teorema di Gauss-Green in quanto per via diretta gli integrali da calcolare sono piuttosto laboriosi. Suddividendo opportunamente l insieme, abbiamo che ω, y y ddy dove gli insiemi e sono definiti come y ddy y ddy + y ddy,, y R : + y, },, y R : + y,, y }. Utilizziamo le coordinate polari per il dominio, ponendo Φρ, ϑ + ρ cos ϑ, + ρ sin ϑ, ρ, ], ϑ, ], così si ottiene ρ ϑ ρ ρ + ρ cos ϑ + ρ sin ϑ + ρ cos ϑ dρdϑ ϑ ρ sin ϑ cos ϑ + ρ sin ϑ dρdϑ ρ ] sin ϑ ] ρ ] cos ϑ]. Quindi l integrale curvilineo assegnato è determinato solamente dall integrale sul dominio ω, y + y ] y + y dyd y y ddy ] d ] d

27 9 R. Tauraso - Analisi Matematica II Esercizio.7 Prova scritta del //. Calcolare l integrale curvilineo y + d + + y dy dove è la curva lineare a tratti che unisce i seguenti punti nell ordine assegnato:,,,,,,, e, 5. La forma differenziale assegnata è definita in tutto R, insieme semplicemente connesso, ma non è chiusa, in quanto + y y +, pertanto non può essere nemmeno esatta. Tuttavia, sfruttando la linearità, possiamo scrivere la forma ω, y come la somma delle forme ω, y e ω, y con ω, y + y + d + + y dy ω, y 6y d; in tal modo la forma differenziale ω, y risulta chiusa e quindi esatta R è semplicemente connesso e quindi esiste una funzione potenziale U, y tale che U U, y + y +,, y + y. Integrando la prima rispetto ad si ottiene U, y + y + d + y + + Cy. Ora derivando l espressione trovata rispetto a y si ha Quindi per l esattezza si ha + y + + Cy + C y. + C y + y C y y Cy y y + c, pertanto una funzione potenziale è U, y + y + + y y. Così l integrale di ω, y lungo è ω, y U, 5 U,

28 Integrali curvilinei 9 Per il calcolo dell integrale di ω, y lungo, che non è chiusa e quindi nemmeno esatta, si può procedere con il calcolo diretto, oppure più semplicemente applicando il teorema di Gauss-Green dopo aver chiuso il percorso con il segmento lungo la retta y. Allora l integrale di ω, y lungo, è dato da ω, y 6 6y ddy ω, y 6 m ddy ω, y ω, y. Per il calcolo dell area di senza utilizzare il calcolo integrale, si può osservare che è data dalla somma dell area del triangolo di vertici,,,,,, e del trapezio rettangolo di vertici,,,,, 5,,. Pertanto Per il calcolo dell integrale curvilineo di ω, y lungo, parametrizziamo il segmento ponendo t t, t con t, ] e così ω, y 8 6t dt 8t t ] 75, pertanto si ha e concludendo si ottiene ω, y ω, y + ω, y + 9. Esercizio.8 Prova scritta del /7/. Calcolare l integrale curvilineo + y + d + y dy y + dove è la curva data dal grafico della funzione y sin, da, a,. La forma differenziale assegnata è definita nell insieme Ω :, y R : y }, che non è connesso. Tuttavia possiamo considerare l insieme semplicemente connesso ma scrivendo la forma differenziale nel modo seguente + y + y + d + y dy + y + y + Ω :, y R : y > }, che contiene la curva. La forma differenziale non è chiusa, dato che y y + + y +, y + d + y dy y + + d + y dy,

29 9 R. Tauraso - Analisi Matematica II possiamo scrivere la forma ω, y come la somma delle forme ω, y e ω, y con ω, y d + y dy, ω, y d. y + La forma ω, y è chiusa nell insieme semplicemente connesso Ω e pertanto risulta anche esatta. Quindi ω, y ammette una funzione potenziale U, y tale che U U, y,, y y. Integrando la prima uguaglianza rispetto ad si ottiene U, y d + Cy e derivando ora l espressione trovata rispetto ad y si ha + Cy C y, e per l esattezza deve essere: C y y Cy y + c. Pertanto abbiamo che e l integrale di ω, y lungo è U, y + y + c ω, y U, U,. Consideriamo ora la forma ω, y che evidentemente non è chiusa e quindi nemmeno esatta. Per il calcolo dell integrale procediamo per via diretta. Parametrizziamo la curva nel modo seguente t t t t, ], yt sint e dunque ω, y dt ts ds sint + sin s +. L integrale può essere calcolato applicando il metodo dei residui. Posto sin s z /z/i con z e iϑ si ha ds sin s + + dz iz i + dz iz z zi dz. z z /z i z z /z i La funzione fz /z zi è singolare nei punti z i e z i che sono poli semplici. Si ha z > >, quindi z non è contenuto all interno della circonferenza z. Invece z <, quindi z è all interno della circonferenza z. Il residuo di f in z è z z Res f, z lim z z fz lim z z z z z z z z lim z z z z z z i, pertanto si ha che z z z zi dz 6 i Res f, z 6 i i 6. In conclusione, ω, y ω, y + ω, y +.

30 Integrali curvilinei 9 Esercizio.9 Prova scritta del /7/. Calcolare l integrale curvilineo + + yy + + yy + + y d + + y dy r dove r è una circonferenza di centro, e raggio r >, percorsa in senso antiorario. La forma differenziale assegnata, definita nell insieme connesso Ω, y R :, y, }, è esatta dato che + yy yy + + y y y + y + y. L integrale deve essere calcolato lungo la curva chiusa r. La distanza dal punto, del centro del fascio di circonferenze concentriche è data da d obbiamo quindi distinguere due casi: < r < 5 e r > 5 il raggio r non può essere uguale a 5 perché in questo caso l integrale della forma differenziale assegnata non è definito. Poiché per r < 5 la forma differenziale è esatta in un insieme semplicemente connesso, l integrale lungo la curva chiusa r è nullo. Consideriamo ora il caso r > 5. La forma è definita in un insieme connesso, ma non semplicemente connesso, pertanto l integrale lungo la curva chiusa r non è detto che sia nullo. Tuttavia, per il teorema di Gauss-Green, l integrale lungo una curva r è uguale all integrale lungo una qualsiasi altra curva chiusa che contiene la singolarità. unque per il calcolo è più semplice considerare la circonferenza C di centro l origine e raggio unitario. Se parametrizziamo la circonferenza C ponendo Ct cos t, sin t con t, ], si ha che ω, y ω, y + cos t + sin t sin t + cos t + sin t cos t] dt r C sin t + cos t dt t + cos t + sin t] 6. Esercizio. Prova scritta del /9/. Calcolare l integrale curvilineo y e + 5y d + e dy dove è il quarto di circonferenza di centro, e raggio percorso da,, a,. La forma differenziale assegnata è definita in tutto R, insieme semplicemente connesso, ma non è chiusa quindi nemmeno esatta dato che e + e e + y y e + 5y. Tuttavia, per linearità, possiamo scrivere la forma ω, y come la somma delle forme ω, y e ω, y con ω, y ye d + e dy, ω, y 5y d dy. In tal modo, la forma differenziale ω, y è chiusa e quindi esatta. Quindi ω, y ammette una funzione potenziale U, y tale che U, y ye, U, y e.

31 95 R. Tauraso - Analisi Matematica II Integrando la prima rispetto ad si ottiene U, y ye d ye + Cy, e derivando l espressione trovata rispetto a y abbiamo che Per l esattezza si deve verificare che e pertanto la funzione potenziale cercata è ye + Cy e + C y. e + C y e C y Cy, U, y ye. Quindi l integrale di ω, y lungo è ω, y U, U, e. Consideriamo la forma ω, y, che non è chiusa e quindi nemmeno esatta. Per il calcolo dell integrale lungo si può procedere per via diretta e parametrizzando la circonferenza come al solito, t + cos t t t, /], yt sin t si ottiene ω, y 5 5 / / 5 sin t + cos t cos t ] / dt 5 sin t cos t cos t cos t dt cos tdcos t cos t cos t ] / In definitiva il risultato finale è e +. / sin t sin t ] / t + sin t cos t sin t] / + +. sin tdsin t Esercizio. Prova scritta del 8/9/. Calcolare l integrale curvilineo y d + y dy, dove è la curva percorsa in senso antiorario formata dalle seguenti tre semicirconferenze contenute nel semipiano y : centro, e raggio, centro, e raggio, centro, e raggio. t t cos t yt sin t, t ] / La forma differenziale assegnata, definita in tutto R, insieme semplicemente connesso, non è chiusa e quindi neanche esatta, dato che y y y. Per il calcolo dell integrale lungo la curva si può procedere con il calcolo diretto, oppure applicando opportunamente il teorema di Gauss-Green. Per il calcolo diretto, parametrizziamo le tre semicirconferenze ponendo t + cos t t + cos t, t. yt sin t yt sin t t, ] t, ] t, ]

32 Integrali curvilinei 96 opo dei tediosi calcoli si ottiene ω, y cos t sin t + cos t sin t ] dt 8, ω, y sin t sin t cos t + sin t cos t + sin t cos t ] dt, ω, y sin t sin t cos t sin t cos t + sin t cos t ] dt +. Concludendo, il risultato finale è 8/+/ /+/+/. In alternativa, si osserva che il percorso chiuso rappresentato in figura definisce il dominio e applicando il teorema di Gauss-Green si ottiene ω, y y y ddy y ddy y ddy y ddy + y ddy ddy. A questo punto, si nota che per simmetria il secondo integrale è nullo. Pertanto basta calcolare solo il primo integrale y y dyd + d y ] y y d d ] 8. Esercizio. Prova scritta del //. Calcolare l integrale curvilineo e y + ye + y d + e + e y dy dove è l ellisse percorsa in senso antiorario data dalla seguente equazione 9 + y 6. La forma differenziale assegnata è definita in tutto R, insieme semplicemente connesso, ma non è chiusa e quindi nemmeno esatta, dato che e + e y e + e y, ey + ye + y e y + e + y. Tuttavia, per linearità, possiamo scrivere la forma ω, y come la somma delle forme ω, y e ω, y con ω, y e y + ye d + e + e y dy, ω, y y d dy. In tal modo la forma ω, y risulta chiusa, e quindi esatta, pertanto l integrale lungo la curva chiusa è nullo. unque è sufficiente calcolare l integrale di ω, y lungo. Per il calcolo, possiamo procedere per via diretta oppure applicando il teorema di Gauss-Green. Per il calcolo diretto, parametrizziamo l ellisse ponendo t cos t t t, ], yt sin t

33 97 R. Tauraso - Analisi Matematica II e otteniamo ω, y 8 sin t 6 cos t ] 8 cos t dt cos t ] t + cos t sin t 6. Invece applicando il teorema di Gauss-Green si ha che ω, y y ddy ȳ ȳ, y ddy y ddy dove è l area dell ellisse di semiassi a e b, ossia ab 6, mentre ȳ è la coordinata y del baricentro dell ellisse, che è evidentemente uguale a zero. Quindi possiamo concludere che ω, y 6 6. Esercizio. Prova scritta del 5//. Calcolare l integrale curvilineo 8 6y + y d + + y dy dove è la semicirconferenza da,, a, 5, passante per,. ddy La forma differenziale assegnata è definita nell insieme ω, y 8 + y Ω :, y R :, y, } che è connesso, ma non semplicemente connesso. La forma non è chiusa e quindi nemmeno esatta, dato che 6y + y y + y, 8 + y 6y + y. Tuttavia, per linearità, possiamo scrivere la forma ω, y come la somma delle forme ω, y e ω, y con d + 8y + y dy, ω, y 8y dy + y. In tal modo la forma ω, y risulta chiusa ed anche esatta in ogni insieme Ω Ω semplicemente connesso che contiene la curva come rappresentato in figura. unque la forma ω, y ammette una funzione potenziale U, y tale che U 8, y + y, U, y 8y + y. Integrando la prima rispetto ad otteniamo 8 U, y + y d d + y + y ln + y + Cy e derivando rispetto ad y l espressione trovata otteniamo ln + y 8y + Cy + y + C y.

34 Integrali curvilinei 98 Per l esattezza si deve verificare che 8y + y + 8y C y + y Pertanto, una funzione potenziale è C y Cy. U, y ln + y, e quindi l integrale della forma ω, y lungo è ω, y U, 5 U, ln5 8 ln 5. Consideriamo ora la forma ω, y che non è chiusa e quindi nemmeno esatta. Per il calcolo dell integrale lungo si può procedere con il calcolo diretto. In questo caso applicare il teorema di Gauss- Green è piuttosto complicato a causa della presenza della singolarità nell origine. Parametrizziamo la semicirconferenza di equazione + y 9 ponendo Quindi ω, y sin ts 8 s] 5 6 t t cos t yt + sin t ] 8 + sin t cos t + + sin t cos t + s + s ds Così il risultato finale è ω, y d + s + s ω, y + t ; ]. ] + sin t dt 8 dsin t + sin t 8 + s + s ds + s + s ds + s ds 5 6 ln + s ] 5 6 ln 5 5 ln 5. ω, y 8 ln ln 5 + ln 5. Esercizio. Prova scritta del 9/7/. Calcolare l integrale curvilineo + y + y + y + y + y d + + y + y dy dove è l arco della circonferenza centrata in,, e di raggio che parte da,, passa per, e finisce in,. ω, y La forma differenziale assegnata è definita nell insieme Ω :, y R : y }, che non è non connesso, ma unione di due parti semplicemente connesse. La forma non è chiusa e quindi nemmeno esatta in quanto y + y + y y + y + + y + y, + y. Tuttavia, per linearità, possiamo scrivere la forma ω, y come la somma delle forme ω, y e ω, y con d + y dy + y, ω, y + y d + y + y dy.

35 99 R. Tauraso - Analisi Matematica II In tal modo la forma ω, y risulta chiusa ed anche esatta nell insieme Ω :, y R : y > } semplicemente connesso che contiene la curva. Allora la forma ω, y ammette in Ω una funzione potenziale U, y tale che U, y + y, U, y + y. Integrando la prima rispetto ad otteniamo U, y + y d d + y + y + Cy e derivando ora rispetto ad y l espressione trovata otteniamo + y + Cy + y + C y. Per l esattezza si deve avere che + y + C y + y C y Cy, pertanto una funzione potenziale è U, y + y. Allora l integrale di ω, y lungo è ω, y U, U,. Consideriamo ora la forma ω, y che non è chiusa e quindi nemmeno esatta. Per il calcolo dell integrale lungo si può procedere chiudendo il percorso con il segmento lungo la retta y, ed applicando il teorema di Gauss-Green. Tenendo presente l orientazione della curva, si ottiene ω, y y + y + y ddy ω, y ω, y y ddy + ω, y. ω, y Per l integrale curvilineo, parametrizziamo il segmento ponendo t t, t, t, ]. Così t t + t + t ] t dt t dt Per il calcolo dell integrale doppio, suddividiamo opportunamente il dominio, in modo tale che y ddy y ddy + y ddy + y ddy y ddy ddy + y ddy + y ddy ddy ȳ + y ddy + ȳ ].

36 Integrali curvilinei dove e sono le aree degli insiemi e, mentre ȳ,, ȳ, sono le coordinate dei rispettivi baricentri. Allora si ha + y ddy y ddy 6. Per l integrale su con una traslazione nel centro della circonferenza di equazione + y, ponendo t, l insieme si trasforma nell insieme : t, y R : t + y, y, t }, e quindi l integrale diviene y ddy y t + dtdy y t dtdy. Passiamo alle coordinate polari, ponendo t ρ cos ϑ, y ρ sin ϑ con ρ, ] e ϑ /, ]. unque y t dtdy ρ ρ sin ϑ ρ cos ϑ dρdϑ ρ ] ρ ρ ϑ ϑ cos ϑ] ρ ρ sin ϑ dρdϑ ] sin ϑ] ρ ρ ] ϑ ϑ] ρ cos ϑ dρdϑ ρ. ϑ ρdρdϑ Pertanto ω, y y ddy + ω, y In conclusione si ottiene ω ω, y + ω, y Esercizio.5 Prova scritta del 6/9/. Calcolare l integrale curvilineo + y + + y y d + dy, dove è l arco della circonferenza centrata in, e di raggio 6 che parte da, 6, passa per 6, e finisce in,. La forma differenziale assegnata è definita nell insieme Ω :, y R :, y,,, y, } che è connesso, ma non semplicemente connesso. Tuttavia considerando l insieme Ω Ω che contiene la curva come in figura, otteniamo un insieme semplicemente connesso. Sfruttando la linearità, possiamo scrivere la forma ω, y come la somma delle forme ω, y, ω, y e ω, y con y ω, y + y d + + y dy, ω, y y + y d + ω, y + y d. + dy,

37 R. Tauraso - Analisi Matematica II In tal modo le forme ω, y e ω, y risultano chiuse e quindi esatte, dato che in Ω, + y y + y y + y, + y y + y y + y. Allora le forme ω, y e ω, y ammettono delle funzioni potenziale U, y e U, y tali che U U, y y y, y + y, U + y, U, y, y +. + y, Per determinare le funzioni U, y e U, y, integriamo le seconde rispetto ad y, U, y + y dy d y y ] dy + y + y arctan + C, U, y + dy d y y ] d y + + y arctan +. erivando ora le espressioni delle U, y e U, y rispetto ad otteniamo y arctan + C y + y + C y + y + C, y arctan + y + y + y + y +. Per l esattezza, si deve verificare che y + y + y C + y C C, y + y + y + y y y. Pertanto due funzioni potenziali sono y y U, y arctan, U, y arctan. Allora l integrale di ω, y e ω, y è ω, y U, U, 6 arctan ω,, y U, U, 6 arctan lim arctan lim arctan 6, Rimane da calcolare l integrale di ω, y lungo la curva. In questo caso si può procedere con il calcolo diretto. Parametrizziamo la circonferenza ponendo t 6 cos t t t yt 6 sin t, ], 6

38 Integrali curvilinei così si ottiene: ω, y 6 cos t sin t dt ] 6. In conclusione si ha ω, y ω, y + ω, y + ω, y Esercizio.6 Prova scritta del 9/9/. Sia la curva data dalle seguenti equazioni parametriche t t e t/ cos t yt e t/ sin t t,. Calcolare le coordinate del suo baricentro nel caso in cui la curva sia di materiale omogeneo. Le coordinate del baricentro della curva omogenea sono per definizione date da ds t t dt, ȳ yt t dt dove indica la lunghezza della curva e t t + y t. Cominciamo calcolando la lunghezza della curva, t dt 5 Allora et/ cos t sin t + et/ sin t + cos t dt 5 et/ cos t + 6 sin t 8 sin t cos t 5 + et/ sin t + 6 cos t + 8 sin t cos t dt e t/ cos t + 6 sin t 8 sin t cos t + sin t + 6 cos t + 8 sin t cos t dt 7 ȳ 7 e t/ dt 5 7 e t/] 5 7 e t/ cos t 5 7e t/ dt 5 e t/ sin t 5 7e t/ dt 5 lim k ek/ 7. e t/ cos t dt 5 5, e t/ sin t dt 5, 5

39 R. Tauraso - Analisi Matematica II dato che e t/ cos t dt 5 e t/ cos t dt e t/ sin t dt e t/ dsin t P + 5 e t/ sin t dt ] e t/ sin t sin t d e t/ e t/ dcos t P e t/ cos t e t/ dcos t P e t/ cos t dt 5, ] e t/ cos t dt e t/ sin t dt ] e t/ cos t + cos t d e t/ + e t/ dsin t P + e t/ sin t e t/ cos t dt 5. ] e t/ sin t dt Esercizio.7 Prova scritta del //. Calcolare l integrale curvilineo y y d + y dove è dato da un segmento dal punto, al punto, e dall arco di circonferenza dal punto, al punto, passante per,. y dy La forma differenziale assegnata è definita nell insieme non connesso Ω :, y R : y }. L insieme Ω Ω che contiene la curva e non contiene l asse come in figura, è semplicemente connesso. La forma differenziale ω, y non è chiusa e quindi neanche esatta dato che + y y + y y y y y e t/ cos t dt. Tuttavia, per linearità, possiamo scrivere ω, y come la somma delle forme ω, y e ω, y con ω, y y y d y dy, ω, y y dy. In tal modo la forma ω, y risulta chiusa e quindi esatta nell insieme semplicemente connesso Ω che contiene la curva. unque ω, y ammette una funzione potenziale U, y tale che U y, y, y U, y y. Integrando la prima rispetto ad si ha y U, y y d y y d y y + Cy e ora derivando l espressione trovata rispetto ad y otteniamo y + Cy y y + C y.

40 Integrali curvilinei Per l esattezza si deve verificare che pertanto una funzione potenziale è y + C y y C y Cy, U, y y. y Allora l integrale di ω, y lungo è ω, y U, U,. Consideriamo ora la forma ω, y che non è chiusa e quindi nemmeno esatta. Per il calcolo dell integrale si può procedere con il calcolo diretto, oppure applicando il teorema di Gauss-Green. Procediamo in entrambi i modi. Parametrizziamo il segmento lungo la retta y / + / e la semicirconferenza di equazione + y ponendo Quindi t t t yt t/ + / ω, y ω, y + ω, y ] t + t 8 Pertanto, ω, y t, ], t t + t dt t cos t yt + sin t ] t + sin t cos t + sin t ω, y + t, ]. cos t + sin t cos t cos t dt ω, y Se invece vogliamo applicare il teorema di Gauss-Green, possiamo chiudere il percorso con il segmento verticale lungo la retta. Tenendo conto dell orientazione assegnata alla curva, si ottiene y ω, y ω, y y ddy + ddy ω, y ω, y, y ddy + y ddy ω, y ȳ + ȳ ω, y, ω, y + dove e rappresentano rispettivamente le aree del semicerchio di centro, e raggio e del triangolo rettangolo di vertici,,,,,, mentre ȳ e ȳ rappresentano le coordinate y dei rispettivi baricentri. Allora abbiamo che ω, y + 7 ω, y.

41 5 R. Tauraso - Analisi Matematica II Per il calcolo dell integrale curvilineo, parametrizziamo il segmento ponendo t, t con t, ] e si ha ] t ω, y t dt. In conclusione ω, y ω, y + ω, y Esercizio.8 Prova scritta del /7/. Calcolare l integrale curvilineo y y + cos d sin + y dy dove è la poligonale non chiusa che unisce i seguenti punti nell ordine assegnato:,,,,, e,. La forma differenziale assegnata ω, y è definita in tutto R, insieme semplicemente connesso, ma non è chiusa e quindi neanche esatta dato che + + sin + y + + cos, y y + y cos y + cos. Tuttavia sfruttando la linearità, possiamo scrivere ω, y come la somma delle forme ω, y e ω, y con ω, y y + y cos d + + sin dy, ω, y y d + + y dy. In tal modo la forma ω, y risulta chiusa e quindi esatta in R. unque ω, y ammette una funzione potenziale U, y tale che U U, y y + y cos,, y + sin. Integrando la prima rispetto ad si ha U, y y + y cos d y + y sin + Cy, e derivando ora l espressione trovata rispetto ad y otteniamo Per l esattezza deve essere e pertanto una funzione potenziale è y + y sin + Cy + sin + C y. + sin + C y + sin C y Cy, U, y y + y sin. Quindi l integrale di ω, y lungo è ω, y U, U,.

42 Integrali curvilinei 6 Consideriamo ora la forma ω, y che non è chiusa e quindi nemmeno esatta. Per il calcolo dell integrale si può procedere con il calcolo diretto, oppure applicando il teorema di Gauss-Green, chiudendo il percorso con il segmento verticale. Seguiamo questo secondo procedimento, ω, y Per il calcolo dell integrale doppio, si ottiene + y ddy y y y/+ + y ddy + y y ddy ω, y + y ddy ω, y + y ddy ω, y. y ] y/ + + y/ + y dy y y + y y y y y y 6 y + 8y ] y + y ] y/+ dy ] dy y y ] y y Per il calcolo dell integrale curvilineo lungo il segmento, parametrizzato t, t con t, ], si ottiene ω, y t ] t + t dt t dt. In definitiva + 5/ 9/. Esercizio.9 Prova scritta del /7/. Calcolare l integrale curvilineo 6 y d + dy + dove è l arco di circonferenza da, a,, passante per,. ] dy La forma differenziale assegnata ω, y è definita in tutto R, insieme semplicemente connesso, ma non è chiusa e quindi neanche esatta dato che y + +. Tuttavia, per linearità, possiamo scrivere ω, y come la somma delle forme ω, y e ω, y con ω, y 6 y + d + dy, + ω, y dy.

43 7 R. Tauraso - Analisi Matematica II In tal modo la forma ω, y risulta chiusa e quindi esatta in R. unque ω, y ammette una funzione potenziale U, y tale che U, y 6 y +, U, y +. Integrando la seconda rispetto ad y si ha U, y + dy y + + C e derivando ora l espressione trovata rispetto ad otteniamo y + + C y + + C. Per l esattezza deve essere y + + C 6 y + C 6 Cy + c e pertanto una funzione potenziale è U, y y + +. Allora l integrale di ω, y lungo è ω, y U, U, 5. Consideriamo ora la forma ω, y che non è chiusa e quindi nemmeno esatta. Per il calcolo dell integrale possiamo procedere con il calcolo diretto, oppure applicando il teorema di Gauss-Green. Procediamo in entrambi i modi. Parametrizziamo la circonferenza di equazione + y ponendo Allora ω, y t t + cos t yt + sin t t, ]. + cos t cos t dt cos t + cos t dt sin t + ] t + sin t cos t + 9 e possiamo concludere che ω, y ω, y + ω, y Per applicare il teorema di Gauss-Green, chiudiamo il percorso con il segmento, lungo la retta di equazione y. Quindi ω, y ddy ω, y ddy ω, y ω, y, dove è l area dell insieme. Senza utilizzare del calcolo integrale, l area di si ottiene come la somma di tre quarti dell area del cerchio di raggio e l area del triangolo di vertici,,, e,. Per l integrale curvilineo invece

44 Integrali curvilinei 8 parametrizziamo il segmento sulla retta y ponendo t t, t con t, ]. Così si ottiene ω, y m ω, y + t dt 9 + ] t Pertanto il risultato finale è 5/ + 9/ + / + 9/. Esercizio. Prova scritta del /9/. Calcolare l integrale curvilineo + y d + y dy dove è data nell ordine dal segmento da, a,, dalla semicirconferenza da, a, passante per, e dal segmento da, a,. La forma differenziale ω, y assegnata è definita in tutto R, insieme semplicemente connesso, ma non è chiusa e quindi nemmeno esatta, dato che y y + y. Per il calcolo dell integrale lungo la curva si può procedere per via diretta oppure applicando il teorema di Gauss-Green ad un opportuno percorso chiuso. Procediamo in entrambi i modi. Parametrizziamo le curve che compongo ponendo t t, t con t, ], t + cos t, + sin t, con t /, 5/] e t t, con t, ]. Allora ω, y ω, y cos t] 5 5 sin t t + t + t dt t + t t dt + t ] , sin t sin t cos t sin t + cos t + cos t + cos t sin t ] 5 t sin t cos t] , ] t ω, y t dt 6. In definitiva 5/ 8/ t + sin t cos t] 5 + sin t] 5 cos t Se invece applichiamo il teorema di Gauss-Green, chiudendo opportunamente il percorso assegnato con il segmento lungo la retta y, si ottiene ω, y y ddy ω, y + ω, y. ] 5 Per il calcolo degli integrali curvilinei, quello lungo è stato calcolato precedentemente, mentre per il segmento, parametrizziamo ponendo t t, t con t, ]. Così abbiamo che ω, y t + t ] dt t + t 7. dt

45 9 R. Tauraso - Analisi Matematica II Consideriamo ora l integrale doppio sull insieme definito come, y R : + y, y }. In questo caso conviene considerare un cambiamento di variabili una traslazione ponendo u e v y con fattore jacobiano di trasformazione uguale a, in modo tale che anziché integrare la funzione y sull insieme integreremo la funzione v sull insieme dato da Quindi passando in coordinate polari, u, v R : u + v, v u}. Φρ, ϑ ρ cos ϑ, ρ sin ϑ, ρ, ], ϑ, 5 ] e ricordando il fattore jacobiano di trasformazione ρ dρdϑ, si ottiene y ddy v dudv + ρ 5 ϑ. ρ ρ sin ϑ dρdϑ ρ ] cos ϑ] 5 In conclusione, il risultato finale é ancora ω, y y ddy ω, y + ω, y Esercizio. Prova scritta del /9/. Calcolare l integrale curvilineo y y + e y d + y + e y dy dove + e :, y R : + y + y, > }. La forma differenziale ω, y assegnata è definita in tutto R, insieme semplicemente connesso, ma non è chiusa e quindi neanche esatta dato che y + e y y + e y + ye y y y + e y y + e y + ye y. Tuttavia, per linearità, possiamo scrivere la forma ω, y come la somma delle forme ω, y e ω, y con ω, y ye y d + e y dy, ω, y y d + y dy. In tal modo la forma ω, y risulta chiusa e quindi esatta in R, pertanto l integrale lungo la curva chiusa è nullo. Consideriamo ora la forma ω, y che non è chiusa e quindi nemmeno esatta. Per il calcolo dell integrale possiamo procedere con il calcolo diretto, oppure applicando il teorema di Gauss-Green. Procediamo in entrambi i modi, anche se è evidente che l applicazione del teorema di Gauss-Green è più conveniente. Parametrizziamo l ellisse di equazione / + y e la circonferenza di equazione + y ponendo t cos t, sin t con t /, /] e

46 Integrali curvilinei t cos t, sin t con t /, /]. Allora ω, y sin t sin t + 8 cos t sin t cos t dt ω, y 8 sin t + 8 sin t sin t dt t sin t cos t ] sin t + 8 cos t sin t dt 8 sin t sin t dt 8 t sin t cos t cos t sin t sin t sin t + cos t sin t cos t dt sin t + sin t sin t dt t sin t cos t ] ] 8, sin t + cos t sin t dt sin t 5 sin t dt 5 8 t sin t cos t cos t sin t ] Quindi in definitiva: + / /8 /8. Applicando invece il teorema di Gauss-Green al dominio individuato dalla frontiera di, abbiamo ω, y y y ddy y ddy. Osservando la simmetria della funzione integranda e del dominio di integrazione rispetto all asse, otteniamo ω, y y ddy. A questo punto si può notare che l insieme + è equivalente alla differenza tra insiemi + \ + dove } +, y R : + y,, y, +, y R : + y,, y }. Pertanto l integrale è equivalente a ω, y + + y ddy + + y ddy. Iniziamo calcolando l integrale sull insieme +. Passando in coordinate ellittiche, ponendo cioè Φρ, ϑ ρ cos ϑ, ρ sin ϑ, ρ, ], ϑ, ], e ricordando il fattore jacobiano di trasformazione abρdρdϑ ρdρdϑ, si ottiene ] y ρ ddy ρ sin ϑ dρdϑ ϑ sin ϑ cos ϑ + ρ ϑ Per l integrare sull insieme +, si passa in coordinate polari ponendo Φρ, ϑ ρ cos ϑ, ρ sin ϑ, ρ, ], ϑ Ricordando il fattore jacobiano di trasformazione ρdρdϑ, si ottiene ] y ρ ddy ρ sin ϑ dρdϑ + ρ ϑ, ]. ϑ sin ϑ cos ϑ ] ]. 8.

47 R. Tauraso - Analisi Matematica II Quindi, come prima, il risultato finale è ω, y ω, y + y ddy Esercizio. Prova scritta del //5. Calcolare l integrale curvilineo + y + y 5 + y d + + y + y + y dy dove è data nell ordine dal quarto di circonferenza + y da, a,, dal segmento da, a, e dal quarto d ellisse 9 + y 6 da, a,. La forma differenziale ω, y assegnata è definita in tutto R \, }, insieme connesso, ma non semplicemente connesso. Tuttavia, se consideriamo l insieme Ω, come in figura, che contiene la curva, otteniamo un insieme semplicemente connesso. La forma differenziale non è chiusa e dunque neanche esatta. Infatti, scrivendo opportunamente la forma differenziale, y ω, y + y + y d + + y + dy, si ha che y + y + y + y + y + y y + y +, Notiamo però, che per linearità, possiamo scrivere la forma ω, y come la somma delle forme ω, y e ω, y con y ω, y + y d + + y dy, ω, y y d + dy. In tal modo la forma ω, y è chiusa e quindi esatta in Ω e dunque ammette una funzione potenziale U, y tale che U, y + y, U, y y + y. Integrando la prima delle rispetto ad otteniamo U, y + y d + y d + y ln + y + Cy e derivando l espressione trovata rispetto ad y si ha ln + y + Cy Quindi per l esattezza si deve avere e pertanto una funzione potenziale è y + y + C y. y + y + C y y + y C y Cy U, y ln + y.