= 0, y(x, t) < M, e ove 0 < x < L. Poniamo y = X(x) T (t) d 2 X dx 2 = 1. d 2 T dt 2 = κ2 ; v 2 T. dt 2 + v2 κ 2 T = 0.

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1 Modi normali Una corda di lunghezza è tesa tra i punti x = e x =.All istante t = essa ha una configurazione data da f(x) con < x < ed è rilasciata con velocità nulla. Trovare lo spostamento della corda in ogni istante successivo. equazione da risolvere è l equazione delle onde x y(x, t) 1 y(x, t) = v t con le condizioni y(x, ) = f(x), y t (x, ) = t y(x, t) t= =, y(x, t) < M, e ove < x <. Poniamo y = X(x) T (t) Risolvendo 1 X d X dx = 1 v T d X dx + κ X =, d T dt = κ ; d T dt + v κ T =. X = a 1 cos κx + b 1 sin κx, T = a cos 4κvt + b sin κvt ovvero y(x, t) = (a 1 cos κx + b 1 sin κx) (a cos κvt + b sin κvt). Quindi la soluzione (a variabili separabili) che soddisfa le condizioni al contorno y(, t) = può essere scritta y(x, t) = sin κx [A sin κvt + B cos κvt]. Dalla y(, t) = abbiamo (il fattore temporale non può annullarsi identicamente) sin κ =, cioè κ = mπ ovvero κ = mπ/. Dalla y t (x, ) = si ha invece Aκv sin κx = ovvero A =. In conclusione la soluzione cercata è y(x, t) = B sin mπx 1 mπvt cos.

2 Per soddisfare la condizione y(x, ) = f(x) occorrerà sovrapporre queste soluzioni. y(x, t) = B m sin mπx mπvt cos, e quindi m=1 y(x, ) = f(x) = Per la teoria delle serie di Fourier ed in conclusione y(x, t) = m=1 ( B m = m=1 B m sin mπx. f(x) sin mπx f(x) sin mπx ) sin mπx mπvt cos e si può verificare che è proprio la soluzione. I termini della serie rappresentano i modi normali di vibrazione. 1. Risolvere x y(x, t) = 1 y(x, t) 16 t con le condizioni y(, t) =, y(, t) =, y(x, ) = 6 sin πx 3 sin 4πx, y t (x, ) = y(x, t t) t= =, y(x, t) < M. Poniamo y = X(x) T (t), 1 X d X dx = 1 16T d T dt = λ ; Risolvendo d X dx + λ X =, d T dt + 16λ T =. X = a 1 cos λx + b 1 sin λx, T = a cos 4λt + b sin 4λt ovvero y(x, t) = (a 1 cos λx + b 1 sin λx) (a cos 4λt + b sin 4λt).

3 Per trovare le costanti è più facile iniziare da quelle condizioni al contorno che contengono due zeri, da y(x, t) = a 1 (a cos 4λt + b sin 4λt) =, ovvero a 1 = da cui la soluzione si riduce a e derivando rispetto a t, y(x, t) = (b 1 sin λx) (a cos 4λt + b sin 4λt), y t (x, t) = (b 1 sin λx) ( 4λa sin 4λt+4λb cos 4λt), y t (x, ) = (b 1 sin λx) (4λb ) =, quindi b =. a soluzione diviene (B = b 1 a ) Da y(, t) = troviamo y(x, t) = B sin λx cos 4λt. B sin λ cos 4λt = ovvero sin λ =, cioè λ = mπ o λ = mπ/ con m =, ±1, ±,... Pertanto y(x, t) = B sin mπx cos mπt è una soluzione. Poiché questa soluzione è limitata y(x, t) è automaticamente soddisfatta. Per soddisfare l ultima condizione y(x, ) = 6 sin πx 3 sin 4πx, usiamo il principio di sovrapposizione y(x, t) = B 1 sin m 1πx quindi a t = y(x, ) = B 1 sin m 1πx cos m 1 πt + B sin m πx + B sin m πx cos m πt, = 6 sin πx 3 sin 4πx che si riduce a B 1 = 6, m 1 =, B = 3, m = 8, quindi la soluzione richiesta è y(x, t) = 6 sin πx cos 4πt 3 sin 4πx cos 16πt. interpretazione: una corda tesa deformata all inizio con forma data e poi lasciata vibrare. 3

4 . Una corda ha gli estremi fissi in x = e x =. Essa viene spostata ad una distanza h nel punto di mezzo all istante t = e poi rilasciata. Formulare un problema che dia lo spostamento y(x, t) di un punto generico x della corda all istante t. a y(x, t) = y(x, t) x t con le condizioni y(, t) =, y(, t) =, y t (x, ) = y(x, t) t= =, t y(x, t) < M. { hx/ per x / y(x, ) = h( x ) / per / x 3. Una corda lunga due metri è tesa tra due punti fissi x = e x = m. Se lo spostamento della corda dall asse è dato da f(x) =.3x( x) e se la velocità iniziale è nulla, trovare lo spostamento ad ogni istante successivo. y(x, t) =.96 π 3 n=1 1 (n 1)πx sin (n 1) 3 cos (n 1)πct 4. Una corda infinita viene spostata inizialmente di y(x, ) = f(x) e poi rilasciata. Determinare il suo spostamento in ogni istante successivo t. il problema è y(x, t) = a y(x, t) t x con le condizioni y(x, ) = f(x), y t (x, ) = t y(x, t) t= =, y(x, t) < M, e ove < x < +. a soluzione che soddisfa la condizione sulla derivata ottenuta per separazioni di variabili come nel problema... è y(x, t) = (A cos λx + B sin λx) cos λat. Supponendo che A e B siano funzioni di λ ed integrando tra λ = e λ giungiamo alla possibile soluzione y(x, t) = dλ [A(λ) cos λx + B(λ) sin λx] cos λat. 4

5 Ponendo t = dalla condizione iniziale si ha y(x, ) = f(x) = Segue dalle (1) e () dell appendice, che dλ [A(λ) cos λx + B(λ) sin λx] A(λ) = 1 π f(v) cos λv dv, B(λ) = 1 π f(v) sin λv dv. Sostituendo nella soluzione si ha y(x, t) = 1 π = 1 π = 1 π dove si è usata l identità trigonometrica f(v) [cos λx cos λv + sin λx sin λv] cos λat dv dλ = f(v) cos λ(x v) cos λat dv dλ = f(v) [cos λ(x + at v) cos λ(x at v)] dv dλ, cos A cos B = 1 [cos(a + B) + cos(a B)] con A = λ(x v) e B = λat. Dal teorema integrale di Fourier nella forma (3) sappiamo che f(x) = 1 π λ= v= f(v) cos λ(x v) dv dλ e sostituendo x con x + at e x at, si può scrivere y(x, t) = 1 [f(x + at) + f(x at)] che è la soluzione richiesta. Così la soluzione viaggiante si è ottenuta dallo sviluppo in modi normali. 5. 5

6 Appendice integrale di Fourier Supponiamo che f(x) goda delle seguenti proprietà: 1. f(x) ed f (x) siano generalmente continue in ogni intervallo finito,. f(x) dx converga, cioè f(x) sia assolutamente integrabile in (, + ). Allora il teorema di Fourier afferma che ove f(x) = A(α) = 1 π B(α) = 1 π {A(α) cos αx + B(α) sin αx} dα (1) f(x) cos αx dx f(x) sin αx dx. () Il risultato (1) vale se x è un punto di continuità per f(x). Se x è un punto di discontinuità dobbiamo sostituire f(x) con f(x+)+f(x ) come nel caso della serie di Fourier. Si noti che le condizioni precedenti sono sufficienti ma non necessarie. a somiglianxa delle (1), () con i corrispondenti risultati per le serie di Fourier è evidente. Il secondo membro della (1) è talvolta chiamato sviluppo integrale di Fourier di f(x). Forme equivalenti del teorema integrale di Fourier Si può scrivere il teorema integrale di Fourier anche nelle forme: f(x) = 1 π f(x) = 1 π f(x) = 1 π α= u= e iαx dα f(u) cos α(x u) du dα, f(u) e iα(x u) du dα, u= f(u) e iαu du. (3) 6