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1 Università degli Studi di Cagliari

2 Matematica Generale Corso di Matematica per Economisti A cura di Beatrice Venturi Lezione 1 Presentazione del corso

3 Obiettivi del corso Il corso prende in esame strumenti matematici di base ed avanzati fondamentali per la comprensione di modelli rappresentativi di fenomeni economici: La prima parte del modulo sarà principalmente orientato all analisi di strumenti matematici di base (Calcolo differenziale e matriciale) Nella seconda parte verranno prese in esame nuove metodologie con le relative applicazioni economiche (Equazioni differenziali) Beatrice Venturi 3

4 Obiettivi del corso In economia hanno particolare interesse problemi di Ottimizzazione statica Ottimizzazione dinamica Beatrice Venturi 4

5 Modulo (Prof.ssa Venturi) Richiami di calcolo differenziale ed integrale una e più variabili. Richiami su concetti di algebra lineare. Vettori. Matrici. Sistemi lineari. Autovalori ed autovettori. Diagonalizzazione. Teorema spettrale Equazioni differenziali ordinarie ed alle differenze finite. Equazioni e sistemi di equazioni lineari e non lineari. Sistemi autonomi. Punti di equilibrio ed analisi della stabilità. Analisi qualitativa. Biforcazioni. Cicli limite. Dinamiche caotiche. Applicazioni della teoria svolta a modelli di crescita economica Beatrice Venturi 5

6 Richiami di calcolo differenziale ed integrale una e più variabili. Definizione di derivata in una variabile ed in più variabili. Proprietà delle derivate Regole di Derivazione. Derivate elementari. Massimi e minimi in una variabile ed in più variabili Beatrice Venturi 6

7 ESEMPIO ECONOMICO Condizione di max profitto Funzione di profitto = f (q) = R (q) - C (q) Pendenza della funzione di profitto: Profitto marginale = R (q) - C (q) Il punto di max profitto si ha quando la pendenza è zero, ovvero quando il profitto marginale è nullo: R (q) - C (q) = 0 ovvero R (q) = C (q) NB: Condizione matematica, che vale sempre, a prescindere dalla forma di mercato Beatrice Venturi 7

8 Rappresentazione grafica della tangente alla curva nel punto x o. Legame concetto derivata di una variabile. lim x x 0 y x lim x x 0 f ( x) x ( x '( x) Beatrice Venturi 8 f x 0 y=f(x 0 )+f (x 0 )(xx 0 ) 0 ) l f

9 FUNZIONI DI DUE VARIABILI DERIVATE DIREZIONALI Beatrice Venturi 9

10 FUNZIONI DI DUE VARIABILI DERIVATE DIREZIONALI Beatrice Venturi 10

11 FUNZIONI DI DUE VARIABILI DERIVATE DIREZIONALI Simbologia Beatrice Venturi 11

12 FUNZIONI DI DUE VARIABILI DERIVATE DIREZIONALI Simbologia Beatrice Venturi 12

13 FUNZIONI DI DUE VARIABILI DERIVATE DIREZIONALI Beatrice Venturi 13

14 FUNZIONI DI DUE VARIABILI DERIVATE DIREZIONALI Beatrice Venturi 14

15 Massimi minimi liberi Condizioni del Primo ordine Gli eventuali punti x y massimi minimi relativi sono soluzioni del sistema: Beatrice Venturi 15

16 Massimi minimi liberi Beatrice Venturi 16

17 Massimi minimi liberi Condizioni del secondo ordine Hessiano Beatrice Venturi 17

18 Massimi minimi vincolati Beatrice Venturi 18

19 Massimi minimi vincolati Beatrice Venturi 19

20 Prerequisiti E richiesta la conoscenza: Matematica di base. Concetti del calcolo infinitesimale. E quindi preferibile che lo studente si rinfreschi la memoria con semplici esercizi su: Limiti, operazioni con i limiti Derivate delle funzioni elementari Regole di derivazione Operazioni con le derivate. Integrali Beatrice Venturi 20

21 Contenuti del corso Nozioni introduttive alla teoria dei sistemi dinamici: Definizione di equazione differenziale. Concetto di soluzione. Teoremi di esistenza. Alcuni tipi di equazioni differenziali del I e II ordine. economiche. Applicazioni economiche. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, omogenee e non omogenee Beatrice Venturi 21

22 Dinamica del prezzo di equilibrio dp dt a( ) p a( ) soluzione p( t) ( p(0) dove k a( p) e kt ) p, Beatrice Venturi 22

23 Stabilità dinamica dell equilibrio Beatrice Venturi 23

24 Orario Docente Prof.ssa Beatrice Venturi Lezioni Giovedi dalle 9:00 alle 11:00 Laboratorio Venerdì dalle 09:00 alle 11:00 Laboratorio Esercitazioni Giovedi dalle 17:00 alle 19:00 Laboratorio Beatrice Venturi 24

25 Calendario A.A Primo semestre (5 settimane): Inizio: 4 ottobre; fine: 15 novembre febbraio (esami) Beatrice Venturi 25

26 Calendario Appelli d esame: febbraio aprile giugno settembre Beatrice Venturi 26

27 Come funziona La frequenza al corso NON è obbligatoria ma è CONSIGLIATA. Alla fine del corso vi sarà una prova scritta Beatrice Venturi 27

28 Altrimenti Questa è la modalità consigliata per il superamento dell esame. Negli appelli successivi ci si iscrive, si svolge un compito sull intero programma e con voto maggiore o uguale a diciotto e si sostiene l orale Beatrice Venturi 28

29 Coordinate del docente Prof.ssa Beatrice Venturi Studio N 14 al primo piano nuova ala della Facoltà di Economia di Cagliari. Telefono: Ricevimento: lunedì ore 9:00-11:00. Info: Beatrice Venturi 29

30 Materiale didattico Testi consigliati: CHIANG A. C., Introduzione all economia matematica. CHIANG A. C., Dynamic optimization. Per argomenti di richiamo del corso di matematica generale: Blasi A., Matematica. Corso base per la facoltà di economia. Edizioni Kappa, Roma, Per esempi di applicazioni economiche consultare: Ambrosetti A. e Musu I., Matematica generale ed applicazioni all economia, Liguori, Napoli, Dowling E., Matematica per economisti, Collana Schaum teoria e problemi, Etas Libri, Milano, Beatrice Venturi 30

31 Cosa conviene quindi fare Seguire attentamente tutte le lezioni. Quando non si hanno le idee chiare: interrompere, fare domande e chiedere di ripetere. Ripassare la lezione ogni volta. Fare le prove di valutazione e le esercitazioni. Sfruttare i ricevimenti per risolvere i problemi quando si manifestano, senza accumularli Beatrice Venturi 31

32 Domande Beatrice Venturi 32

33 Beatrice Venturi 33

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