Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L.

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1 Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L AA 2006/ Foglio 1 In tutti gli esercizi che seguiranno lo spazio ambiente sarà il piano cartesiano a valori nel campo dei numeri reali, dove supporremo fissato un sistema di riferimento cartesiano Oxy ortogonale con unità di misura u Esercizio 11 Scrivere l equazione cartesiana e le equazioni parametriche della retta passante per il punto ( 2, 3) R 2 e di direzione il vettore v = (4, 1) Esercizio 12 Scrivere l equazione cartesiana della generica retta: 1 parallela all asse x; 2 parallela all asse y; 3 passante per l origine Esercizio 13 Siano A := (x A, y A ) e B := (x B, y B ) R 2 Verificare che la retta passante per i punti A e B ha equazioni parametriche { x = xa + (x B x A )t y = y A + (y B y A )t e se AB non è parallelo ad un asse, allora l euqazione cartesiana della medesima retta risulta y y A y B y A x x A x B x A = Esercizio 14 Scrivere l equazione cartesiana e le equazioni parametriche della retta passante per i punti A = (2, 1), B = ( 1, 4) R 2 Esercizio 15 Calcolare la distanza tra i punti A e B di cui all esercizio?? Esercizio 16 Scrivere l equazione cartesiana e le equazioni parametriche della retta passante per il punto A := ( 1 2, 3) e parallela alla retta y = 2x + 1 Esercizio 17 Verificare che la retta parallela ad r : ax + by + c = 0 e passante per il punto Q := (x 1, y 1 ) si può scrivere nella forma a(x x 1 ) + b(y y 1 ) = 0 Esercizio 18 Dimostrare che se b 0 e le equazioni ax + by + c = 0 e y = mx + q definiscono la medesima retta, allora m rappresenta il coefficiente angolare della retta (ossia la tangente trigonometrica dell angolo che la retta forma con il verso positivo del vettore individuante l asse x) Dimostrare inoltre che q è l ordinata all origine (ie l intersezione tra r e l asse y è il punto (0, q)) 1

2 Foglio 1 Esercizio 19 Trovare il fascio di rette di centro P := (1, 2) e determinanrne due generatrici Esercizio 110 Nel fascio generato dalle rette x y = 0 e 2x = 1 trovare quella passante per il punto Q := (1, 2) Esercizio 111 Dato il fascio di rette kx + 2(k 1)y + 3k = 0 determinare se è un fascio proprio o improprio e trovarne la/le generatrice/i Nel caso sia un fascio proprio trovare il punto in comune a tutte le rette Quante rette appartenenti al fascio suddetto passano per il punto Q := ( 3, 0)? È possibile trovare un valore di k per cui l equazione del fascio sia l equazione di tale retta? Esercizio 112 Nel fascio improprio delle rette parallelle all asse y determinare quella che incide la retta 3y + x 1 = 0 nel punto di coordinate (7, 2) Esercizio 113 Determinare nel fascio improprio delle rette parallele ad r : 2x y + 2 = 0 la retta che stacca sull asse delle x un segmento di lunghezza 6u 2

3 Foglio 2 2 Foglio 2 Esercizio 21 Dati i vettori u := ( 1 2, 0, 1), v := (1, 1, 1), w := (2, 1, 0) R 3 Sia z = 2u + 2v 3 2 w Scrivere z come combinazione lineare dei seguenti vettori: u := (0, 0, 3), v := (0, 1, 1), w := ( 1, 1, 0) R 3 Esercizio 22 Verificare che l insieme M (n,m) (R) delle matrici m n ad elementi reali è uno spazio vettoriale su R Esercizio 23 Verificare che l insieme V dei vettori applicati (ad esempio in un punto P 0 ) è uno spazio vettoriale Esercizio 24 Stabilire se i seguenti sottoinsiemi di V = R 3 sono dei sottospazi di V : S 1 := {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 = 0}, S 2 := {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 = 1}, S 3 := {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 0} Esercizio 25 Verificare che se S ed S sono sottospazi di uno spazio vettoriale V, allora anche S S è uno sottospazio di V Esercizio 26 Verificare che S := {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 1 + 3x 2 x 3 + 4x 4 = 0} è un sottospazio di R 4 e calcolarne una base Esercizio 27 Dimostrare che l insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognite x 1,, x n a coefficienti in C è uno spazio vettoriale su C Esercizio 28 Sia V un R-spazio vettoriale di vettori applicati in P 0 Siano π un piano passante per P 0 ed r, s due rette per P 0 Stabilire se i seguenti sottoinsiemi di V sono sottospazi: S π := {(P P 0 ) V P π}, S r := {(P P 0 ) V P r}, S s := {(P P 0 ) V P s}, S r S s Esercizio 29 Verificare che tre vettori nello spazio sono linearmente indipendenti se e solo se sono non-complanari Esercizio 210 Dimostrare che due vettori nel piano sono linearmente indipendenti se e solo se non giacciono sulla stessa retta Esercizio 211 Siano S 1 ed S 2 due sottospazi di V Si definisca S 1 + S 2 := {v V v 1 S 1, v 2 S 2 : v = v 1 + v 2 } Verificare che S 1 + S 2 è un sottospazio di V Esercizio 212 Siano U =< u 1, u 2, u 3 > e W =< w 1, w 2, w 3 > due sottospazi di R 4 con u 1 = (1, 1, 0, 1), u 2 = (1, 2, 3, 0), u 3 = (2, 3, 3, 1), w 1 = (1, 2, 2, 2), w 2 = (2, 3, 2, 3), w 3 = (1, 3, 4, 3) Determinare la dimensione di U + W 3

4 Foglio 2 Esercizio 213 Sia V = M (n,n) (R) Siano S il sottoinsieme delle matrici simmetriche di V ed S il sottoinsieme delle matrici antisimmetriche di V Verificare che S ed S sono sottospazi di V e dimostrare che S S = V Esercizio 214 Stabilire se le seguenti terne di vettori sono linearmente indipendenti in R 4 : v 1 = (1, 0, 0, 0), v 2 = (0, 1, 0, 0), v 3 = (2, 1, 0, 0); w 1 = (1, 0, 0, 0), w 2 = (1, 1, 0, 0), w 3 = (0, 1, 2, 1) Esercizio 215 Verificare che v 1 = ( 1, 0, 0), v 2 = (0, 1, 1), v 3 = (0, 0, 1), v 4 = (1, 1, 1) è un sistema di generatori di R 3 ma non è una base Esercizio 216 Determinare quali tra i seguenti sottoinsiemi di R 4 sono sottospazi e trovarne eventualmente una base: W 1 := {(a, b, 2a, b) R 4 a, b R}, W 2 := {(a, 1 + a, a b, 0) R 4 a, b R}, W 3 := {(a + b, b a, 0, b) R 4 a, b R}, W 4 := {(a, 0, b, ab) R 4 a, b R} Esercizio 217 Si considerino i seguenti sottospazi di R 4 : V = {(x, y, z, t) R 4 x ky = z = 0} e W = {(x, y, z, t) R 4 t + y = kx + z = 0} dove k è un parametro reale Dopo aver scritto una base per V ed una base per W, determinare i valori di k per cui risulta W + V = R 4 Esercizio 218 Torvare una base del sottospazio S = {(x, y, z) R 3 x + y = 0} R 3 Esercizio 219 Trovare una base di S S R 3 dove S = {(x, y, z) R 3 x y = 0} ed S = {(x, y, z) R 3 x + 2y z = 0} Esercizio 220 Trovare una base del sottospazio S +S R 4 dove S = {(x, y, z, t) R 4 x y = 0} ed S è l intersezione dei seguenti sottospazi T e T con T = {(x, y, z, t) R 4 x 2z = 0} e T = {(x, y, z, t) R 4 y z = 0} 4

5 Foglio 3 3 Foglio 3 Esercizio 31 Sia V = R 3 Si consideri S V t c S := {(x, y, z) R 3 x + 3y 2z = 7, 4x + 2y z = 3, 3x + 5y = 1} Descrivere il generico elemento di S e dedurre che S non è un sottospazio di V (vedi Esercizio 7 del Foglio 2) Esercizio 32 Sia V = R 3 Trovare una base del seguente sottospazio S V : S := {v = (x, y, z) V x + 2y = 0, x z = 0, 2x + 2y z = 0} Esercizio 33 Risolvere, se possibile, il seguente sistema lineare in R 3 : x + z = 2 2y + z = 1 x y = 1 3x y + z = 4 Esercizio 34 Risolvere, se possibile, il seguente sistema lineare in R 3 : x + 2y z = 0 2x y + z = 3 x + 3y + z = 2 Esercizio 35 Discutere al variare del parametro h R e risolvere, ove possibile, il seguente sistema lineare in R 2 : { hx + (2h 1)y = 2 x + hy = 2h Esercizio 36 Discutere al variare del parametro h R e risolvere, ove possibile, il seguente sistema lineare in R 3 : x + hy + z = 2h 1 x + y + hz = 0 hx + y + z = 5 Esercizio 37 Determinare al variere di h R la dimensione del sottospazio vettoriale di V = R 3 generato dai vettori u = (0, 1, 1), v = (1, 1, h), w = ( 1, h, 0) ed esprimere poi il vettore s = (1, 1, 1) come combinazione lineare di u, v, w Esercizio 38 Siano U :=< u 1, u 2 >, W :=< w 1, w 2 > sottospazi di R 3 con u 1 = (1, 2, 1), u 2 = (0, 1, 1), w 1 = (1, 0, 1) e w 2 = (1, 3, 0) Determinare la dimensione di U + W Esercizio 39 Siano S 1 := {(x, y, z, t) R 4 x y t = 0} ed S 2 := {(x, y, z, t) R 4 x y = 0, y 3z = 0} due sottospazi di V = R 4 Torvare una base per S 1 S 2 V ed una base per S 1 + S 2 V 5

6 Foglio 3 Esercizio 310 Discutere al variare del parametro h R e risolvere, ove possibile, il seguente sistema lineare in R 2 : x + y = 2 hx y = 1 x y = 1 h Esercizio 311 Discutere al variare del parametro h R e risolvere, ove possibile, il seguente sistema lineare in R 3 : x + (h + 1)y + z = 2 + h (h + 3)y + z = 2h 2 x + (5 + h)y + (1 + h)z = 6 h Esercizio 312 Sia h R un parametro reale e siano S 1, S 2 sottospazi di V = R 4 cosí definiti: S 1 := {(x, y, z, t) V hy + t = 0, 2x z = 0}, S 2 := {(x, y, z, t) V y hz = 0, (h + 1)x 2z ht = 0} Stabilire la dimensione di S 1 S 2 V = R 4 al variare di h R Esercizio 313 Sia h R un parametro reale e sia S V = R 4 il seguente sottospazio: Trovare una base di S S := {(x, y, z, t) R 4 x hy + ht, 2y z + t = 0, x + y + hz = 0} Esercizio 314 Dsicutere in R 2 il sistema dove h è un parametro reale x + y = 1 hx + 2y = 2 x + y = 3 Esercizio 315 Discutere e, ove possibile, risolvere il seguente sistema in R 3 : 2x + y 5z = h x + 3y + hz = 0 3x + 2y 9z = 0 x + y 2z = 0 dove h è un parametro reale 6

7 Foglio 4 4 Foglio 4 In tutti gli esercizi che seguono lo spazio ambiente è R 3 Esercizio 41 Scrivere l equazione del piano di R 3 passante per i punti A : (0, 1, 0), B : (2, 1, 0) e C : (0, 1, 1) Esercizio 42 Scrivere l equazione del piano π R 3 passante per il punto A : (2, 1, 1) R 3 e parallelo al piano π R 3 definito dall equazione cartesiana x 3y + z 1 = 0 Esercizio 43 Scrivere l equazione del piano di R 3 passante per la retta x = y = z 1 e per il punto P : (5, 1, 1) R 3 Esercizio 44 Scrivere l equazione del piano di R 3 passante per i punti A : (3, 0, 1), B : (2, 2, 2) R 3 e parallelo alla direzione individuata dal vettore v = (1, 1, 0) Esercizio 45 Scrivere l equazione del piano di R 3 passante per i punti P : (1, 1, 1), Q : (2, 1, 2) e parallelo alla retta r R 3 di equazioni x = t y = 2t z = 3t Esercizio 46 Determinare la distanza tra i piani π e π di R 3 con equazioni rispettive x y + 4z = 0 e x y + 4z 9 = 0 Esercizio 47 Scrivere l equazione del piano assiale al segmento di estremi A : (1, 0, 1) e B : (2, 2, 0) Esercizio 48 Si considerino i punti A : (1, 1, 1), B : (0, 1, 0), C : (0, 2, 1), D : (0, 0, 0) R 3 Stabilire se sono complanari Esercizio 49 Siano date le rette { x + y + z + 1 = 0 r : x y = 1, s : x = 1 + 2t y = 2 + 3t z = t Scrivere le equazioni parametriche di r e le equazioni cartesiane di s Esercizio 410 Scrivere le equazioni della retta di R 3 congiungente i punti A : (1, 1, 1) e B : (2, 3, 5) Esercizio 411 Scrivere le equazioni della retta r R 3 passante per il punto Q : (1, 1, 0) R 3, incidente la retta s : x = y = z e parallela al piano π : 2x y + 4 = 0 Esercizio 412 Scrivere l equazione del piano passante per il punto P : (1, 1, 0) R 3 e parallelo al piano di equazione x z + 1 = 0 Esercizio 413 Scrivere l equazione della retta r R 3 passante per i punti A : (1, 2, 3) e B : (0, 4, 1) Esercizio 414 Scrivere le equazioni della retta r R 3 passante per i punto P : (1, 0, 0) R 3 ed ortogonale al piano π R 3 descritto in forma parametrica dalle seguenti equazioni: x = 2 + t 1 π : y = t 2 z = 3 + t 1 7

8 Foglio 4 Esercizio 415 Sia r R 3 la retta così definita: x = 3 + t r : y = t z = 2 2t ; trovare una retta passante per il punto B : (3, 1, 2) R 3, sgemba con r e parallela al seguente piano π R 3 : x = 1 t 1 + t 2 π : y = 3t 2 z = t 1 2t 2 Esercizio 416 Scrivere l equazione del piano di R 3 passante per il punto P : (1, 2, 0) R 3 e contenente la retta r R 3 definita dalle seguenti equazioni cartesiane: { x + y = 0 r : 2x + z + 1 = 0 Esercizio 417 Scrivere l equazione della retta r R 3 passante per Q : (1/2, 3, 0) R 3, parallela al piano di equazione cartesiana 2x y + 1 = 0 e incidente la retta s R 3 : { x = y s : y = z + 2 Esercizio 418 Stabilire se le rette r : sghembe { y = 1 z = 3 ed s : { x = 1 y + z 1 = 0 Esercizio 419 Stabilire per quali valori del parametro reale h le rette sono incidenti, parallele o r : { x 2hy + 3z = 0 hx + y = 0, s : { x + hy = 2 y hz = 0 sono parallele Esercizio 420 Scrivere le equazioni della retta r R 3 che passa per il punto P : (1, 1, 1) R 3, è perpendicolare alla retta s R 3 di equazioni: x = 2 + t y = 2 + 2t z = 2 + 3t ed è parallela al piano π R 3 di equazione x + 3y = 0 Esercizio 421 Scrivere le equazioni della retta di R 3 incidente e perpendicolare ad entrambe le rette x = 1 x = t r : y = 0, s : y = 2t z = τ z = 2t 8

9 Foglio 4 Esercizio 422 Stabilire se le seguenti rette di R 3 sono complanari o sghembe: r : { x 1 = 0 y = 0, s : { 2x = y y = z Esercizio 423 Siano date nello spazio le rette sghembe r : { 2x z = 0 y z = 0 Calcolare la distanza minima tra r e s, s : { x + y + z 1 = 0 3x + 2z = 0 Esercizio 424 Calcolare la distanza dal punto P : (2, 0, 1) R 3 dalla retta r R 3 di equazioni: { x + y = 0 y z + 1 = 0 Esercizio 425 Scrivere l equazione del luogo dei punti dello spazio equidistanti dal piano π : z = 1 e dal punto P : (α, α, 0) R 3 con α parametro reale Successivamente determinare α in modo tale che il punto Q : (0, 1, 1) R 3 appartenga al luogo Esercizio 426 Siano dati i piani π, π R 3 di equazioni rispettive 2x + y + z = 0 e x z 1 = 0 Scrivere l equazione del piano π simmetrico di π rispetto a π Esercizio 427 Si considerino nello spazio le rette { { { x = 0 y = 1 x = 0 p : y = 1, q : z = 2, r : z = 2 Stabilire se p, q, r appartengono ad un medesimo fascio Esercizio 428 Si consideri il sistema { (h + 1)x + y h 2 = 0 y + hz 1 = 0 dove h R 1 Verificare che il sistema rappresenta una retta nello spazio h R; 2 detta F h la famiglia di rette data dal sistema al variare di h, determinare una retta di F h perpendicolare alla retta r : 3x = 3y = 2z Esercizio 429 Si consideri la famiglia di rette F h dell esercizio precedente 1 stabilire se esistono rette di F h ortogonali al piano π di equazione x 2y + 2z 3 = 0; 2 verificare che le tutte rette di F h passano per uno stesso punto V R 3 Determinare V 9

10 Foglio 4 Esercizio 430 Scrivere le equazioni del luogo dei punti dello spazio che appartengono al piano y 2x 2 = 0 e sono equidistanti dalla retta r: { x = z e dal piano x = 0 y = 0 Esercizio 431 Scrivere l equazione del luogo delle rette che sono parallele al piano z = 0 ed incidenti all asse z e alla retta r di equazioni x = 3 + t y = 2 + t z = 1 + t Esercizio 432 Siano 1 π R 3 un piano passante per la retta x = y = z; 2 P R 3 l intersezione di π con la retta r R 3 di equazioni x = 2t y = t z = 1 + t 3 σ R 3 il piano per P e parallelo al piano 2y z + 1 = 0; 4 s R 3 la retta intersezione dei piani π e σ Scrivere l equazione della superficie descritta da s al variare di π Esercizio 433 Si considerino la famiglia di piani e la retta r : 2x = 2y = z 1 Determinare i piani di F paralleli a r F : (k 2 2k + 2)x + (2 k)y + z 1 = 0 2 Scrivere l equazione del luogo delle rette passanti per il punto O : (0, 0, 0) e perpendicolari ai piani di F Esercizio 434 Si considerino le rette x = 1 t r : y = h + t z = t, s : { x + y hz = 0 2x + hz 1 = 0 Trovare i valori di h in modo che r ed s siano incidenti In corrispondenza dei valori trovati scrivere l equazione del piano contenente r e s 10

11 Foglio 4 x = 3t Esercizio 435 Dato il fascio di piani kx+2y (3+k)z +41 = 0 in R 3 e il fascio di rette r : y = t ; z = αt trovare k ed α reali tali che le equazioni dei due fasci rappresentino rispettivamente un piano ed una retta tra loro perpendicolari Calcolare poi la distanza del loro punto di intersezione dal piano del fascio (se esiste) parallelo alla retta y = z = 0 Esercizio 436 Siano π : x + y + z = 0 e π : x + 2z + 1 = 0 due piani di R 3 Trovare il piano π simmetrico a π rispetto a π Esercizio 437 Scrivere il luogo dei punti di R 3 che appartengono al piano π R 3 di equazione x = 0, che sono equidistanti dalla retta r R 3 e dal piano π R 3 così definiti: r : { x = 1 + y z = 0 e π : y = 1 Esercizio 438 Scrivere l equazione del luogo dei punti dello spazio equidistanti dal piano π : x = 1 e dal punto P : (0, 0, a) R 3 dove a è un parametro reale Determinare poi a in modo tale che il punto Q : ( 4, 0, 0) R 3 appartenga al luogo Esercizio 439 Trovare, se possibile, k R in modo tale che i seguenti punti di R 3 siano complanari: P 1 : (0, 0, k), P 2 : (1, k, 0), P 3 : (k, 0, k) e P 4 : (1, 1, k) Dopodiché, per uno di questi valori di k, trovare un piano paralello a quello generato da P 1,, P 4 passante per Q = (1, 1, 1) R 3 Esercizio 440 Sia dato il fascio di piani incidenti in r : x = 2 + t y = t z = 1 t Trovare in esso il piano π R 3 passante per il punto P : (0, 0, 2) R 3 Sia ora π R 3 il piano parallelo a π e passante per Q : (2, 4, 0) R 3 Si consideri il fascio di rette costituito da tutte le rette di π perpendicolari ad r In quest ultimo fascio di rette trovare quela passante per R proiezione ortogonale di M su π dove M è il punto medio del segmento P Q Calcolare infine l area del triangolo di vertici P, Q, R 11

12 Foglio 5 5 Foglio 5 Esercizio 51 Si considerino la seguenti applicazioni 1 f : R R, definta da f(x) = x 2 + 5; 2 g : R + R, definita da g(x) = log(x) Specificare quali applicazioni sono iniettive, suriettive, bijettive Esercizio 52 Si considerino le applicazioni 1 f : R R tale che f(x) = x 6 ; 2 g : R R tale che g(x) = e x + 1 Verificare che f e g non sono bijettive Stabilire se è possibile modificare dominio e codominio di f e g in modo che diventino entrembe bijettive Esercizio 53 Sia f : R 3 R 2 l applicazione lineare con matrice associata rispetto alle basi canoniche nei rispettivi spazi: ( ) 1 a 1 A = b 2b 1 Si determinino gli eventuali valori di a, b R per cui f è suriettiva Esercizio 54 Sia data un applicazione f : R 3 R 3 tale che f((0, 1, 1)) = (3, 0, 0) Stabilire se f è lineare f((2, 0, 1)) = (2, 1, 2) f((2, 1, 2)) = (0, 1, 1) Esercizio 55 Si consideri l endomorfismo f : R 3 R 3 tale che f(e 1 ) = 2e 1 + e 2 3e 3 f(e 2 ) = e 1 + 3e 2 2e 3 f(e 3 ) = f(e 1 ) 2f(e 2 ) dove {e 1, e 2, e 3 } è la base canonica di R 3 Si scriva una matrice associata ad f e si calcoli le dimensioni di Ker(f) o Im(f) Esercizio 56 Si considerino in R 3, in cui è fissata la base canonica, i tre vettori v 1 = (0, 1, 2), v 2 = (3, 2, 1), v 3 = (0, 1, 0) Dopo aver verificato che v 1, v 2, v 3 formano una base di R 3, scrivere le equazioni della sostituzione lineare omogenea tra le coordinate (x, y, z) di un vettore di R 3 rispetto alla base canonica e le coordinate (x, y, z ) dello stesso vettore rispetto alla base (v 1, v 2, v 3 ) Esercizio 57 Siano B = (v 1, v 2 ) e B = (v 1, v 2) due basi di R 2 con v 1 = (2, 1), v 2 = (0, 1), v 1 = (1, 1), v 2 = (1, 1) Scrivere le equazioni della sostituzione lineare tra le coordinate (x, y) rispetto a B e (x, y ) rispetto a B 12

13 Foglio 5 Esercizio 58 In R 2 si consideri la base B = (v 1, v 2 ) con v 1 = (1, 1) e v 2 = ( 1, 0), e l applicazione lineare f che, rispetto alla base B, è associata alla matrice ( ) 3 2 M = 1 2 Determinare la matrice di f rispetto alla base canonica E = (e 1, e 2 ) Esercizio 59 In R 3, fissata la base canonica, si consideri l endomorfismo definito da f(e 1 ) = me 1 + e 2 f(e 2 ) = 2e 1 + me 2 f(e 3 ) = e 1 e 2 + 2e 3 ove m è un parametro reale Stabilire se f è semplice Esercizio 510 In R 4 si consideri l endomorfismo f definito dalla sostituzione lineare omogenea y 1 = 2x 1 + x 2 + 3x 3 + x 4 y 2 = x 1 x 2 + 2x 4 y 3 = x 2 + x 3 x 4 y 4 = 0 1 Determinare la dimensione e una base per Im(f) 2 Trovare una base per Ker(f) Esercizio 511 In R 4, in cui si pensa fissata la base canonica E = {e 1, e 2, e 3, e 4 }, sono dati: l applicazione lineare f tale che f(e 1 ) = e 1 2e 2 f(e 2 ) = e 3 + e 4 f(e 3 ) = e 2 f(e 4 ) = e 1 e 2 + e 3 + e 4 il sottospazio V di equazioni x 1 + x 4 = 0 2x 1 + x 3 x 4 = 0 x 2 + x 4 = 0 ove x 1, x 2, x 3, x 4 sono le coordinate in R 4 associate a E Determinare la dimensione e una base per f(v ) Esercizio 512 Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (hx y, y, hx + hy + z) dove h R Dopo aver determiato i valori di h in corrispondenza dei quali f è un automorfismo, scrivere un espressione analitica dell applicazione lineare inversa f 1 13

14 Foglio 5 Esercizio 513 Si consideri l endomorfismo f h : R 3 R 3 associato alla matrice A h = 1 1 h h 0 h con h R Si stabilisca se f è semplice Esercizio 514 Calcolare dimensioni di Ker(f) e Im(f) delle applicazioni lineari descritte negli esercizi precedenti Trovarne poi rispettive basi Esercizio 515 Sia f un endomorfinsmo di R 3 tale che f(x, y, z) = (2x, z y, y + x) 1 Trovare dimensioni e basi di Im(f) e Ker(f); 2 Determinare dimensioni e basi per f(u) f(v ) e f(u) + f(v ) dove U =< (0, 0, 1), (2, 1, 0) > e V =< (1, 0, 1), (1, 1, 0) > Esercizio 516 Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 3, tc f(x, y, z) = (2x+y+z, 4x+z, 6x+y+2z) Determinare le dimensioni di Im(f) e Ker(f) Trovare poi (x, y, z) R 3 tc f(x, y, z) = (3, 2, 5) Esercizio 517 Sia {e 1, e 2, e 3 } la base canonica di R 3 Trovare una base per Ker(f) dove f(e 1 ) = e 1 2e 3 f(e 2 ) = e 1 + e 2 + 3e 3 f(e 3 ) = 2e 1 4e 3 Esercizio 518 Sia data f : R 3 R 3 applicazione lineare tc (x, y, z) f (x+y, x y +2z, x) Descrivere una matrice associata ad f Siano poi U :=< u 1, u 2 > e V :=< v 1, v 2 > due sottospazi di R 3 generati rispettivamente dai vettori u 1 = (2, 2, 0), u 2 = ( 2, 2, 2) e v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (2, 2, 0) Determinare la dimensione e rispettive basi per gli spazi f(u) f(v ) e f(u) + f(v ) Esercizio 519 Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 2 cosí definita: f(x, y, z) = (x y, x z) Stabilire la dimensione dell immagine e del nucleo di f Esercizio 520 In R 3, fissata la base canonica, si consideri l endomorfismo f t associato alla matrice t 0 (t + 1)2 M t := 0 t (t + 1) Determinare il valore del parametro per cui f t risulta un automorfismo Determinare la dimensione e una base per Im(f t ) nel caso in cui t = 1 Esercizio 521 Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 3 tc f(x, y, z) = (x, 2y, y z, x + 2z) Determinare dim(im(f)) e dim(ker(f)) e relative basi Esercizio 522 Studiare Im(f) e Ker(f) di f : R 4 R 3 con (x, y, z, t) f (x y + z + t, x 2z t, x + y + 3z 3t) 14

15 Foglio 5 Esercizio 523 Sia f : R 4 R 4 tc f(x, y, z, t) = (x + 2y + z, 4x + z, x + y, z + t), Sia S R 4 il sottospazio S := {(x, y, z, t) R 4 x + t = 2x + z t = y + t = 0} Trovare una base per f(s) Esercizio 524 Si fissi in R 4 la base canonica e si consideri f k : R 4 R 4 con matrice associata k 0 1 k A k = k k Stabilire per quali k R, dim(ker(f)) = 1 15

16 Foglio 6 6 Foglio 6 Esercizio 61 Trovare quei k R tali che la seguente applicazione lineare sia un automorfismo di R 3 : f : R 3 R 3 f(x, y, z) = (x + ky + z, 2x + y + kz, 2x + y) Esercizio 62 Sia f : R 3 R 3 con f(x, y, z) = (kx y, x + ky 2z, x + ky + z) Trovare quei k R, se esistono, tali che dim(im(f)) 2 Esercizio 63 Sia f : R 4 R 3 con f(x, y, z, t) = (x + t, x + ky + kz + t, kz) Trovare quei k R, se esistono, tali che dim(ker(f)) 2 Esercizio 64 Sia f : R 3 R 2 con f(x, y, z) = ( 2x + (2 k/2)y + 3z, 4x + (6 k/2)y + 5z) Sia inoltre U R 3 il sottospazio generato dai vettori u 1 = (1, 0, 1) e u 2 = (1, 2, 0) Trovare, se esistono, quei k R tali che f(u) sia una retta di R 2 Esercizio 65 Sia B := {v 1, v 2, v 3 } una base di R 3 con v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (0, 1, 1) e v 3 = ( 1, 0, 2) Trovare f un endomorfismo di R 3 tale che l immagine di B sia una base ortonormale di R 3 ed < f(v 1 ), f(v 2 ) >= {(x, y, z) R 3 x + y z = 0} Esercizio 66 Discutere al variare di k in R, le dimensioni di Im(f) e Ker(f) dove f è così definita f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (kx y, zk, x y) Esercizio 67 Sia B := {v 1, v 2, v 3 } una base di R 3 con v 1 = (0, 1, 2), v 2 = (1, 0, 1) e v 3 = (3, 0, 0) Discutere al variare di k in R, le dimensioni di Im(f) e Ker(f) dove f è l endomorfismo di R 3 definito nel modo seguente tramite l immagine dei vettori di B: f(v 1 ) = (1, 0, 1) f(v 2 ) = (0, 1, 1) f(v 3 ) = (k, k, k) Esercizio 68 Sia f : R 2 R 4 con f(x, y) = (kx, y, x ky, 2x ky) Discutere al variare di k in R, le dimensioni di Im(f) e Ker(f) Esercizio 69 Discutere al variare di k in R, le dimensioni di Im(f) e Ker(f) dove f è così definita f : R 4 R 3 f(x, y, z, t) = (x t, kz + t, x + 2z) Esercizio 610 Sia f : R 3 R 3 con f(x, y, z) = (kx, ky + z, kx 2kz) Studiare dim(im(f)) e dim(ker(f)) Esercizio 611 Nello spazio vettoriale R 4 si considerino i vettori v 1 = (1, 0, 1, 0), v 2 = (2, 0, 0, 1), w 1 = (1, 1, 1, 0), w 2 = (0, 0, 2, 1) e i sottospazi V =< v 1, v 2 > e W =< w 1, w 2 > Studiare i sottospazi V W e V + W Esercizio 612 Siano dati i vettori u 1 = (2, 5, 0), u 2 = (3, 1, 2), u 3 = (1, 9, 2) e u 4 = (1, 4, 2) in R 3 Stabilire qual è la dimensione di U =< u 1, u 2, u 3, u 4 > Esercizio 613 Si considerino i seguenti sottospazi di R 4 : V := {(x, y, z, t) R 4 x ky = z = 0} e W := {(x, y, z, t) R 4 t + y = kx + z = 0} dove k è un parametro reale Determinare i valori di k per cui risulta dim(v + W ) = 4 16

17 Foglio 7 7 Foglio 7 Esercizio 71 Determinare autovalori e autovettori della seguente applicazione lineare: f : R 2 R 2 con f(x, y) = (x, y) Esercizio 72 Stabilire se la seguente applicazione lineare sia semplice e trovarne gli autospazi: f : R 3 R 3 tale che f(x, y, z) = ( 2y, 1 2 x, 7x + z) Esercizio 73 Dimostrare che l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (x, 2x y + z, x + 5y + 3z) è semplice Trovare una base di autovettori e scrivere la matrice che rappresenta la f in tale base Esercizio 74 Dimostrare che l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (x, 2x x + y + z, x + 2z) è semplice Trovare una base di autovettori e scrivere la matrice che rappresenta la f in tale base Esercizio 75 Determinare autovalori e autovettori della seguente applicazione lineare: f : R 2 R 2 con f(x, y) = (x + y, y) Esercizio 76 Determinare autovalori e autovettori della seguente applicazione lineare: f : R 2 R 2 con f(x, y) = (x, x + y) Esercizio 77 Determinare autovalori e autovettori della seguente applicazione lineare: f : R 2 R 2 con f(x, y) = (x + y, x + y) Esercizio 78 Determinare autovalori e autovettori della seguente applicazione lineare: f : R 2 R 2 con f(x, y) = (x + ay, bx + y) dove a, b sono parametri reali Esercizio 79 Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita nel modo seguente: f(x, y, z) = (y z, x+ 2y z, x y + 2z) Dimostrare che è semplice e trovare una base di autovettori per R 3 e determinare la matrice che rappresenta f in tale base Esercizio 710 Stabilire se l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita è semplice Descriverne poi gli autospazi f(x, y, z) = ( 6x + 2y 5z, 4x + 4y 2z, 10x 3y + 8z) Esercizio 711 Stabilire se l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita è semplice Descriverne poi gli autospazi f(x, y, z) = ( 8x 13y 14z, 6x 5y 8z, 14x + 17y + 21z) Esercizio 712 Stabilire se l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (x, 3y 15z, 2y + 8z) è semplice In caso affermativo trovare una base di autovettori per R 3 e determinare la matrice che rappresenta f in tale base 17

18 Foglio 7 Esercizio 713 Stabilire se l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita è semplice Descriverne poi gli autospazi f(x, y, z) = ( 5x + 4y z, 4x + y 2z, 8x 4y + 3z) Esercizio 714 Stabilire se l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (13x + 59y + 34z, 10x + 40y + 24z, 18x 79y 46z) è semplice Descriverne poi gli autospazi Esercizio 715 Stabilire se l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita è semplice Descriverne poi gli autospazi f(x, y, z) = ( 4x + 2y + 5z, 44y 120z, 16y + 44z) Esercizio 716 Stabilire se l applicazione lineare f : R 4 R 4 cosí definita è semplice Descriverne poi gli autospazi f(x, y, z, t) = (y, z, t, x) Esercizio 717 Trovare per quali valori reali di k R l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (x + y, y, kz) è semplice Esercizio 718 Trovare per quali valori reali di a, b R l applicazione lineare f : R 2 R 2 cosí definita f(x, y) = (x + ay, bx + y) è semplice Esercizio 719 Trovare per quali valori reali di k R l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (kx + y, y + z, z) è semplice Esercizio 720 Trovare per quali valori reali di k R l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (y kz, x kz, kz) è semplice Esercizio 721 Trovare per quali valori reali di k R l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (2kz, x + ky, x) è semplice Esercizio 722 Trovare per quali valori reali di k R l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (y, x ky, z) è semplice Esercizio 723 Trovare per quali valori reali di k R l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (10x, ky + 3z, x + y z) è semplice 18

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