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1 LEZIONE Combinazioni lineari. Definizione Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e v 1,..., v n V vettori fissati. Un vettore v V si dice combinazione lineare di v 1,..., v n se esistono scalari α 1,..., α n k tali che v = α 1 v α n v n = n α i v i. i=1 Il sottoinsieme di V costituito dai vettori che sono combinazione lineare di v 1,..., v n si indica con L(v 1,..., v n ). L insieme L(v 1,..., v n ) si dice generato da v 1,..., v n ed i vettori v 1,..., v n si dicono generatori di L(v 1,..., v n ). Qualora esistano v 1,..., v n V tali che V = L(v 1,..., v n ), lo spazio V si dice finitamente generato. Per capire meglio il concetto di combinazione lineare prendiamo in considerazione alcuni esempi. Esempio Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e v 1,..., v n V vettori fissati. Allora 0 V = 0v v n ovvero il vettore nullo è sempre combinazione lineare di un qualsiasi insieme di vettori Esempio Fissato nello spazio ordinario S 3 un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O ı j k, in V 3 (O) rimangono definiti tre versori ı, j, k: per il Teorema di Decomposizione ogni vettore geometrico v V 3 (O) si può decomporre come v = a ı + b j + c k per opportuni a, b, c R. Quindi V 3 (O) = L( ı, j, k ), ovvero ı, j, k sono generatori di V 3 (O): in particolare V 3 (O) è finitamente generato. 1 Typeset by AMS-TEX

2 COMBINAZIONI LINEARI Esempio In R 3 si considerino i vettori e 1 = (1, 0, 0) ed e 2 = (0, 1, 0). Allora v = (3, 2, 1) L(e 1, e 2 ), cioè v non è combinazione lineare di e 1, e 2. Infatti l equazione vettoriale v = αe 1 + βe 2 si scrive per esteso (3, 2, 1) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0), Confrontando le componenti nelle stessa posizione dei vettori al primo ed al secondo membro otteniamo il sistema α = 3 β = 2 0 = 1 che, ovviamente, non ammette soluzioni. Quindi e 1 ed e 2 non sono generatori di R 3. Invece v = (3, 2, 0) L(e 1, e 2 ) cioè v è combinazione lineare di e 1, e 2. Infatti l equazione vettoriale v = αe 1 + βe 2 si traduce in (3, 2, 0) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0), quindi, confrontando le componenti nelle stessa posizione dei vettori al primo ed al secondo membro, nel sistema α = 3 β = 2 0 = 0 avente soluzione (α, β) = (3, 2). Più in generale gli elementi di L(e 1, e 2 ), cioè i vettori che sono combinazione lineare di e 1 ed e 2, sono tutti e soli i vettori del tipo (α, β, 0) al variare di α, β R, cioè L(e 1, e 2 ) = { (x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 3 = 0 }. Verificare per esercizio che L(e 1, e 2 ) è un sottospazio vettoriale di R 3. Esempio In R 3 si considerino i vettori e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) e e 3 = (0, 0, 1). Allora ogni vettore di R 3 è combinazione lineare di e 1, e 2, e 3 : infatti (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 (1, 0, 0) + x 2 (0, 1, 0) + x 3 (0, 0, 1). Quindi R 3 = L(e 1, e 2, e 3 ), ovvero e 1, e 2, e 3 generano R 3 : in particolare R 3 è finitamente generato.

3 LEZIONE 12 3 Più in generale sia k = R, C. In k n si considerino i vettori e 1,..., e n così definiti: e i ha tutte le componenti nulle tranne la i esima che vale 1. Allora e 1,..., e n sono generatori di k n. Infatti scelto x = (x 1,..., x n ) k n si ha x 1 (1, 0, 0, 0,..., 0, 0)+ x 2 (0, 1, 0, 0,..., 0, 0)+ x 3 (0, 0, 1, 0,..., 0, 0)+. x n (0, 0, 0, 0,..., 0, 1) = (x 1, x 2, x 3, x 4,..., x n 1, x n ) cioè x = x 1 e 1 + +x n e n. In particolare k n = L(e 1,..., e n ) è finitamente generato. Esempio In C 2,2 si considerino i vettori ( ) ( ) E 1,1 =, E 0 0 1,2 =, E 0 0 2,1 = Allora ( a1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 ) ( ), E 2,2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = a 1,1 + a 0 0 1,2 + a 0 0 2,1 + a 1 0 2,2, 0 1 quindi C 2,2 = L(E 1,1, E 1,2, E 2,1, E 2,2 ), ovvero E 1,1, E 1,2, E 2,1, E 2,2 sono generatori di C 2,2 : in particolare C 2,2 è finitamente generato. Più in generale in k m,n si consideri per ogni coppia di indici (i, j), con 1 i m e 1 j n, la matrice E i,j avente tutte le entrate nulle tranne quella in posizione (i, j) che vale 1. Allora le matrici E i,j con 1 i m e 1 j n sono generatori di k m,n, cioè k m,n = L(E i,j 1 i m, 1 j n). In particolare k m,n è finitamente generato. Osservazione In tutti gli esempi presi in considerazione sopra la scrittura di un dato vettore come combinazione lineare dei vettori dati è unica. Questo non è detto che accada in generale, cioè uno stesso vettore può essere scritto in più di un modo come combinazione lineare di un insieme di vettori. Per esempio in R 3 si considerino i tre vettori v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (2, 3, 0), v 3 = ( 3, 2, 1). Allora (si veda l Esempio ) 0(1, 1, 1) + 0(2, 3, 0) + 0( 3, 2, 1) = = (0, 0, 0) = 1(1, 1, 1) + 1(2, 3, 0) + 1( 3, 2, 1). Il lettore verifichi per esercizio che il vettore 0 R 3 combinazione lineare dei vettori v 1, v 2, v 3. si scrive in infiniti modi come

4 COMBINAZIONI LINEARI Non tutti gli spazi vettoriali sono finitamente generati come mostra il seguente Esempio Si consideri l insieme k[x] dei polinomi nella variabile x a coefficienti in k = R, C. k[x] è uno spazio vettoriale su k con l usuale operazione di somma di polinomi e di prodotto di un polinomio per una costante in k. Infatti k[x] poiché contiene tutti i polinomi costanti, in particolare il polinomio nullo. Inoltre le operazioni di somma e prodotto si possono definire a partire dalla successione dei coefficienti del polinomio utilizzando le operazioni di somma e prodotto definite in k. Per esempio se allora p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n +... αp(x) = αa 0 + αa 1 x + αa 2 x 2 + αa 3 x αa n x n Poiché la somma ed il prodotto di numeri soddisfano le condizioni (S1), (S2), (S3), (S4), (P1), (P2), (SP1), (SP2), anche le operazioni di somma e prodotto in k[x] soddisfano le stesse proprietà. Si noti che in k[x] si possono considerare i polinomi formati da un solo addendo, cioè i polinomi della forma p(x) = ax n ove a k ed n Z, n 0: tali polinomi particolari si dicono monomi nell indeterminata x. Se a 0 si definisce grado di ax n il numero deg(ax n ) = n, mentre se a = 0 si pone deg(0) =. Un polinomio nell indeterminata x è, dunque, una qualsiasi somma finita di monomi che possiamo assumere di grado diverso (altrimenti ne consideriamo la somma): il grado deg(p) di un polinomio p(x) è il grado massimo dei monomi che compaiono nella sua scrittura. Si noti che deg(p + q) max{ deg(p), deg(q) }, deg(αp) deg(p) per ogni α k e p(x), q(x) k[x]. Si noti che esistono monomi e, quindi, polinomi di ogni grado. Verifichiamo che k[x] non è finitamente generato. Consideriamo un qualsiasi insieme finito di polinomi p 1 (x),..., p n (x) k[x] e sia d = max{ deg(p i ) i = 1,..., n }. Allora se p(x) L(p 1 (x),..., p n (x)) k[x] segue che deg(p) d, dunque, comunque si scelgano p 1 (x),..., p n (x) k[x], esistono polinomi che non sono loro combinazione lineare (per esempio quelli di grado maggiore di d). Altri esempi sono forniti dagli spazi di funzioni R I, C p (I), p 0, ove I R è un intervallo aperto. Infatti, per esempio, si consideri R[x] come sottospazio di R R, C p (R) con la naturale identificazione di un polinomio con la funzione polinomiale corrispondente: vedremo più avanti che se V è uno spazio vettoriale finitamente generato allora tali sono tutti i suoi sottospazi. Poiché R[x] non è finitamente generato allora nè R R nè C p (R) possono esserlo. Si noti che in tutti gli esempi presi in esame sopra l insieme generato da un certo numero di vettori di uno spazio vettoriale V viene ad essere, di fatto, un sottospazio vettoriale di V, eventualmente coincidente con V stesso. Questo è un fatto del tutto generale come dimostra la seguente

5 LEZIONE 12 5 Proposizione Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e v 1,..., v n V vettori fissati. Allora l insieme L(v 1,..., v n ) è un sottospazio vettoriale di V. Inoltre ( ) L(v 1,..., v n ) = L(v 1 ) + + L(v n ). Dimostrazione. Iniziamo a verificare la prima parte dell enunciato nel caso n = 1. In questo caso le combinazioni lineari di v 1 sono esattamente i vettori della forma α 1 v 1 al variare di α 1 k, cioè i multipli di v 1. In particolare 0 V = 0v 1 L(v 1 ). Se poi consideriamo α 1v 1, α 1v 1 L(v 1 ), si ha α 1v 1 + α 1v 1 = (α 1 + α 1)v 1 L(v 1 ). Infine, se consideriamo α k e α 1 v 1 L(v 1 ), si ha α(α 1 v 1 ) = (αα 1 )v 1 L(v 1 ). Concludiamo che L(v 1 ) è un sottospazio vettoriale di V. A questo punto si osservi che gli elementi di L(v 1,..., v n ) sono tutti e soli i vettori della forma α 1 v α n v n : poiché α i v i L(v i ) per ogni i = 1,..., n, segue l identità ( ). Poiché, quindi, L(v 1,..., v n ) è somma di sottospazi vettoriali di V, per , esso è a sua volta sottospazio vettoriale di V. Ciò conclude la dimostrazione dell enunciato. Per tale motivo, dora innanzi, chiameremo L(v 1,..., v n ) il sottospazio vettoriale di V generato dai vettori v 1,..., v n. Si noti che se conosciamo gli insiemi di generatori di due sottospazi siamo anche in grado di determinare un insieme di generatori per la loro somma: infatti Corollario Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e W, W V sottospazi finitamente generati. Allora anche W + W è finitamente generato. Inoltre se W = L(w 1,..., w n ), W = L(w 1,..., w n ) si ha W + W = L(w 1,..., w n, w 1,..., w n ). Dimostrazione. Utilizzando ripetutamente la formula ( ) si ottiene L(w 1,..., w n )+L(w 1,..., w n ) = =L(w 1) + + L(w n ) + L(w 1 ) + + L(w n ) = =L(w 1,..., w n, w 1,..., w n ). Ciò dimostra completamente l enunciato.

6 DIPENDENZA LINEARE Concludiamo che un insieme di generatori per la somma di sottospazi finitamente generati è l unione di insiemi di generatori per ciascuno dei sottospazi Dipendenza lineare. Definizione Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e v 1,..., v n V vettori fissati. I vettori v 1,..., v n si dicono linearmente dipendenti se esistono scalari α 1,..., α n k non tutti nulli tali che α 1 v α n v n = 0 V. In caso contrario i vettori v 1,..., v n si dicono linearmente indipendenti. Quindi dei vettori v 1,..., v n sono linearmente indipendenti se per ogni scelta di scalari α 1,..., α n k non tutti nulli risulta α 1 v α n v n 0 V. Un altro modo per definire la lineare indipendenza è il seguente: i vettori v 1,..., v n sono linearmente indipendenti se l equazione in V α 1 v α n v n = 0 V ha (α 1,..., α n ) = 0 k n k n come unica soluzione, mentre sono linearmente dipendenti se ha soluzioni non nulle. Esempio Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e si considerino i vettori v 1,..., v n. Allora 1 0 V + 0v 1 + 0v v n = 0 V, cioè 0 V, v 1, v 2,..., v n sono linearmente dipendenti. In particolare, se in un insieme di vettori c è il vettore nullo, allora l insieme è costituiito da vettori linearmente dipendenti. Più in generale siano v 1,..., v n V linearmente dipendenti e siano α 1,..., α n k non tutti nulli tali che α 1 v α n v n = 0 V : pertanto nella relazione di dipendenza lineare α 1 v α n v n + 0v n v m = 0 V non tutti gli scalari sono nulli, quindi anche v 1,..., v n, v n+1,..., v m sono linearmente dipendenti. Esempio Fissato nello spazio ordinario S 3 un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O ı j k, in V 3 (O) i tre versori ı, j, k sono linearmente indipendenti: infatti 0 = a ı + b j + c k se e solo se 0 = 0 = a ı + b j + c k = a 2 + b 2 + c 2 ovvero se e solo se a = b = c = 0.

7 LEZIONE 12 7 Esempio In R 3 i tre vettori v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (2, 3, 0), v 3 = ( 3, 2, 1) sono linearmente dipendenti poiché 1(1, 1, 1) + 1(2, 3, 0) + 1( 3, 2, 1) = (0, 0, 0). Invece i vettori e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) sono linearmente indipendenti poiché α 1 (1, 0, 0) + α 2 (0, 1, 0) + α 3 (0, 0, 1) = (α 1, α 2, α 3 ) che è nullo se e solo se α 1 = α 2 = α 3 = 0. Esempio In k n i vettori e 1,..., e n sono linearmente indipendenti. Similmente in k m,n i vettori E i,j, 1 i m, 1 j n, sono linearmente indipendenti. Osservazione Si noti che le definizioni di lineare dipendenza ed indipendenza non dipendono dall ordine dei vettori. Ovvero se dei vettori sono linearmente dipendenti od indipendenti in un fissato ordine lo sono in qualsiasi altro. Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e v 1,..., v n V. Ci domandiamo cosa significhi che uno, due, tre od n vettori siano linearmente dipendenti. Dire che v 1 è linearmente dipendente equivale ad affermare che esiste α 1 k \{ 0 } tale che α 1 v 1 = 0 V : per la legge di annullamento del prodotto ciò significa che v 1 = 0 V : quindi un vettore è linearmente dipendente se e solo se è nullo. Dire che v 1 e v 2 sono linearmente dipendenti equivale ad affermare che esistono α 1, α 2 k non contemporaneamente nulli tali che α 1 v 1 + α 2 v 2 = 0 V : supponiamo che sia α 2 0. Allora sommando ad ambo i membri delle relazione di dipendenza lineare l opposto di α 1 v 1 e moltiplicando ambo i membri della relazione così ottenuta per α 1 2 (che esiste perché α 2 0), si ottiene v 2 = ( α 1 /α 2 )v 1, cioè uno dei vettori è multiplo dell altro (cioè è sua combinazione lineare). Viceversa, se ciò accade, diciamo v 2 = λv 1 per qualche λ k, sommando ad ambo i membri l opposto di λv 1 si ottiene la relazione di dipendenza lineare ( λ)v 1 + 1v 2 = 0 V, i cui coefficienti non sono tutti nulli (infatti 1 0): quindi due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se uno dei due è multiplo dell altro.

8 DIPENDENZA LINEARE Dire che v 1, v 2 e v 3 sono linearmente dipendenti equivale ad affermare che esistono α 1, α 2, α 3 k non contemporaneamente nulli tali che α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 = 0 V : supponiamo che sia α 3 0. Allora sommando ad ambo i membri delle relazione di dipendenza lineare l opposto di α 1 v 1 + α 2 v 2 e moltiplicando ambo i membri della relazione così ottenuta per α 1 3 (che esiste perché α 3 0), si ottiene v 3 = ( α 1 /α 3 )v 1 + ( α 2 /α 3 )v 2, cioè uno dei vettori è combinazione lineare dei rimanenti. Viceversa, se ciò accade, diciamo v 3 = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 per qualche λ 1, λ 2 k, sommando ad ambo i membri l opposto di λ 1 v 1 + λ 2 v 2 si ottiene la relazione di dipendenza lineare ( λ 1 )v 1 + ( λ 2 )v 2 + 1v 3 = 0 V, i cui coefficienti non sono tutti nulli (infatti 1 0): quindi tre vettori sono linearmente dipendenti se e solo se uno di loro è combinazione lineare dei rimanenti. Esempio Consideriamo i tre vettori v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (2, 3, 0), v 3 = ( 3, 2, 1) dell Esempio : i tre vettori sono linearmente dipendenti e si ha ( 1)(1, 1, 1) + ( 1)(2, 3, 0) = ( 3, 2, 1). Quanto detto sopra, con le modifiche del caso, è alla base della dimostrazione di Proposizione Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e v 1,..., v n V vettori fissati. i) I vettori v 1,..., v n sono linearmente dipendenti se e solo se uno di loro è combinazione lineare dei rimanenti. ii) I vettori v 1,..., v n sono linearmente dipendenti se e solo se uno di loro è combinazione lineare di quelli che lo precedono. Dimostrazione. I vettori v 1,..., v n sono linearmente dipendenti se e solo se esistono α 1,..., α n k non contemporaneamente nulli tali che se, per fissare le idee, α n 0 si ottiene α 1 v α n v n = 0 V : v n = ( α 1 /α n )v ( α n 1 /α n )v n 1,

9 cioè uno dei vettori è combinazione lineare dei rimanenti. Viceversa, se ciò accade, diciamo LEZIONE 12 9 v n = λ 1 v λ n 1 v n 1 per qualche λ 1,..., λ n 1 k, si ottiene la relazione di dipendenza lineare ( λ 1 )v ( λ n 1 )v n 1 + 1v n = 0 V, i cui coefficienti non sono tutti nulli, quindi v 1,..., v n sono linearmente dipendenti. Ciò dimostra completamente i). Per quanto riguarda ii) è chiaro che se esiste m tale che v m L(v 1,..., v m 1 ) allora i vettori sono linearmente dipendenti dalla parte i) dell enunciato. Viceversa supponiamo che v 1,..., v n siano linearmente dipendenti e sia α 1 v α n v n = 0 V una loro relazione di dipendenza lineare a coefficienti α 1,..., α n k non tutti nulli. Poniamo m = max{ i = 1,..., n α i 0 }: ciò significa che nella relazione di dipendenza lineare α i = 0 per i m + 1. Quindi tale relazione di dipendenza lineare è del tipo α 1 v α m v m = 0 V con α m 0: per quanto visto sopra v m = (α 1 /α m )v ( α m 1 /α m )v m 1 ovvero v m L(v 1,..., v m 1 ).

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