PROCESSI STOCASTICI 1: INTEGRAZIONI

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1 PROCESSI STOCASTICI 1: INTEGRAZIONI 1. Definizioni e risultati sparsi Def. Dato un insieme I, si chiama processo stocastico con spazio degli stati I una famiglia {X t } t T di variabili aleatorie a valori in I e definite sullo stesso spazio di probabilità, dove T R. Un processo stocastico corrisponde ad un sistema dinamico stocastico, T puo essere pensato come la famiglia di tempi in cui il sistema viene osservato e X t corrisponde allo stato del sistema al tempo t. Sia P matrice stocastica su I. Sia λ una distribuzione su I e sia {X n } n 0 una catena di Markov con matrice di transizione P e distribuzione iniziale λ. Abbiamo visto che, pensato λ con vettore riga, il vettore riga λp k è la distribuzione di X k per ogni k 0. Sia P matrice stocastica su I. Sia f : I C una funzione limitata. Pensato f come vettore colonna, vale P k f(i) = E i (f(x k )). Infatti, per definizione di prodotto di matrici e poi per definizione di valore atteso abbiamo P k f(i) = j I p (k) i,j f(j) = j I P i (X k = j)f(j) = E i (f(x k )). Sia P matrice stocastica. 2. Stazionarietà Def. Una misura λ : I [0, ) si dice invariante (o stazionaria) rispetto a P se λp = λ e λ 0. Def. Una distribuzione λ : I [0, 1] si dice invariante (o stazionaria) rispetto a P se λp = P. Def. Una catena di Markov {X n } n 0 di parametri (λ, P ) si dice invariante (o stazionaria) se per ogni ogni m 0 intero il processo stocastico {X n+m } n 0 è anch esso una catena di Markov di parametri (λ, P ). Prop. Una catena di Markov {X n } n 0 di parametri (λ, P ) è stazionaria se e solo se λ è distribuzione stazionaria rispetto a P. Dim. Supponiamo che {X n } n 0 sia stazionaria. Allora per ogni i I deve valere P (X 0 = i) = P (X 1 = i). Per le note regole di calcolo questo equivale al fatto che λ(i) = (λp )(i) per ogni i I. Quindi λ è distribuzione stazionaria rispetto a P. Supponiamo ora che λ sia distribuzione stazionaria rispetto a P. Fissiamo m 0 intero 1

2 2 PROCESSI STOCASTICI 1: INTEGRAZIONI e dimostriamo che {Y n } n 0 è catena di Markov di parametri (λ, P ), dove Y n := X m+n. Sappiamo che ci basta provare (vedi esercizi oppure Th del Norris) che P (Y 0 = i 0, Y 1 = i 1,..., Y n = i n ) = λ(i 0 )p i0,i 1 p in 1,i n (2.1) per ogni n 0 e ogni i 0, i 1,..., i n I. Per definizione di Y k e poi per le note regole di calcolo otteniamo P (Y 0 = i 0, Y 1 = i 1,..., Y n = i n ) = P (X m = i 0, X m+1 = i 1,..., X m+n = i n ) = (λp m ) i0 p i0,i 1 p in 1,i n. Al fine di ottenere (2.1) ci basta osservare che per la stazionarietà di λ vale (λp m ) i0 = λ(i 0 ). Sia P matrice stocastica. 3. Reversibilità Def. Una misura λ : I [0, ) si dice reversibile (o che soddisfa l equazione del bilancio dettagliato) rispetto a P se λ 0 e λ(i)p i,j = λ(j)p j,i i, j I. (3.1) Def. Una distribuzione λ : I [0, 1] si dice reversibile (o che soddisfa l equazione del bilancio dettagliato) rispetto a P se λ(i)p i,j = λ(j)p j,i i, j I. (3.2) Def. Una catena di Markov {X n } n 0 di parametri (λ, P ) si dice reversibile se per ogni N 0 intero il processo stocastico {Y n } 0 n N dove Y n = X N n è una catena di Markov di parametri (λ, P ) a tempi in {0, 1,..., N}. Prop. Una distribuzione λ reversibile rispetto a P è anche invariante rispetto a P. Dim. Vedi Markov chains di Norris. Prop. Una catena di Markov {X n } n 0 di parametri (λ, P ) è reversibile se e solo se λ è distribuzione reversibile rispetto a P. Dim. Supponiamo che {X n } n 0 sia reversibile. Prendendo N = 1 otteniamo per ogni i, j I che P (X 0 = i, X 1 = j) = P (X 1 0 = i, X 1 1 = j) = P (X 0 = j, X 1 = i). Per le note regole di calcolo possiamo riscrivere il primo e l ultimo membro come λ(i)p i,j = λ(j)p j,i. Abbiamo quindi verificato che λ soddisfa l equazione del bilancio dettagliato. Supponiamo ora che valga l equazione del bilancio dettagliato. Per il Teo del Norris, ci basta dimostrare che per ogni N 0, i 0, i 1,..., i N I vale P (Y 0 = i 0, Y 1 = i 1,..., Y N = i N ) = λ(i 0 )p i0,i 1 p in 1,i N (3.3)

3 PROCESSI STOCASTICI 1: INTEGRAZIONI 3 dove Y k := X N k. Per tale definizione di Y k e per le note regole di calcolo vale P (Y 0 = i 0, Y 1 = i 1,..., Y N = i N ) = P (X 0 = i N, X 1 = i N 1,..., X N 1 = i 1, X N = i 0 ) = λ(i N )p in,i N 1 p in 1,i N 2 p i1,i 0 (3.4) Per l equazione del bilancio dettagliato possiamo sostituire λ(i N )p in,i N 1 con p in 1,i N λ(i N 1 ) ottenendo P (Y 0 = i 0, Y 1 = i 1,..., Y N = i N ) = p in 1,i N λ(i N 1 )p in 1,i N 2 p i1,i 0. Analogamente possiamo sostituire λ(i N 1 )p in 1,i N 2 con p in 2,i N 1 λ(i N 2 ). Reiterando questo passaggio arriviamo all espressione finale P (Y 0 = i 0, Y 1 = i 1,..., Y N = i N ) = p in 1,i N p in 2,i N 1 p i0,i 1 λ(i 0 ), che banalmente coincide con (3.3), cioè con quanto volevamo provare. 4. Distribuzioni invarianti In questa sezione studiamo la struttura delle distribuzioni invarianti. Tutto si riferisce ad una data matrice di transizione (matrice stocastica) P, che sarà spesso sottintesa. Teorema di Markov Kakutani Se I <, allora esiste almeno una distribuzione invariante. Dim. Fissiamo una distribuzione λ su I. Consideriamo la media di Cesaro λ n = 1 n 1 λp k. n k=0 È facile provare che λ n è una distribuzione su I, ovvero λ n A, A := {v R I : v(i) 0, i I v(i) = 1}. A è compatto, quindi esiste una sottosuccessione n k tale che λ nk converge a qualche ˆλ A. Dico che ˆλ è distribuzione invariante. Poichè ˆλ A, ho ˆλ distribuzione. Inoltre ( λ n λ n P = 1 n 1 ) n λp k λp k = 1 n n (λ λp n ) Dato che λ(i) λp n (i) λ(i) + λp n (i) = 2, otteniamo k=0 λ nk (i) λ nk P (i) 2/n k i I. Mandando k ad infinito, otteniamo ˆλ(i) ˆλP (i) = 0 per ogni i, cioè l invarianza di ˆλ: ˆλ = ˆλP. Se I = allora l esistenza di qualche distribuzione invariante non è garantita: Esercizio: determinare le misure invarianti della passeggiata tra siti primi vicini su Z dove, per ogni x Z, p x,x+1 = p, p x,x 1 = q := 1 p. Provare che non esistono distribuzioni invarianti. Nel seguito, volendo studiare la struttura delle distribuzioni invarianti, ci concentriamo prima sui loro supporti. Ricordiamo che se λ è distribuzione su I allora il suo supporto è dato dall insieme {i : λ(i) > 0} (analoga definizione vale per misure). Fatto. Sia P irriducibile. Allora ogni misura λ invariante rispetto a P soddisfa λ(i) > 0 per ogni i I. Dim. Dato che λ 0 deve esistere i con λ(i) > 0. Dato che i conduce a tutti gli elementi di I la tesi segue dal lemma successivo.

4 4 PROCESSI STOCASTICI 1: INTEGRAZIONI Lemma 0. Sia λ distribuzione invariante, siano i, j stati con λ(i) > 0 e i j. Allora λ(j) > 0. Dim. Dato che i j esiste n 0 tale che (P n ) i,j > 0. Dato che λ = λp n deve essere λ j = k I λ k (P n ) k,j λ i (P n ) i,j > 0. Definizione. Diciamo che uno stato i I è essenziale se per ogni j I tale che i j deve valere j i. Lemma 1 i è essenziale se e solo se la classe comunicante di i è chiusa. Dim. Sia i essenziale e sia C la sua classe comunicante. Se C non fosse chiusa avremmo j C and z C tale che j z ma z j. Poichè i j e j z, abbiamo i z. Dato che i è essenziale vale z i. Ma siccome i, j C abbiamo i j. Quindi z i j contro il fatto che z j. Assumiamo ora che C sia chiusa. Se i j, per la chiusura di C abbiamo j C e quindi j i. Quindi i è essenziale. Prop. 1 Sia i elemento non essenziale e sia λ una distribuzione invariante. Allora λ(i) = 0 Dim. Definisco A = {j I : j i}. Osservo che i A e che k j se p k,j > 0. Quindi se j A e p k,j > 0 allora k A. Dato che λ(j) = k λ(k)p k,j abbiamo λ(j) = λ(k)p k,j = λ(k)p k,j. j A j A j A k k A Scambiando j e k nell ultima espressione abbiamo: ( ) λ(j) p j,k. j A λ(j) = j A Dato che k A p j,k 1 per avere la suddetta uguaglianza deve essere k A p j,k = 1 per ogni j A tale che λ(j) > 0. Quindi vale la seguente proprietà che chiamo (P): per ogni elemento j di A per cui λ(j) > 0 con un sol passo da j si può andare solo in un elemento di A. Supponiamo ora per assurdo che λ(i) > 0. Applicando (P) a i (dato che i A e λ(i) > 0), concludiamo che da i in un sol passo vado in elementi di A. Per il Lemma 0, tutti questi hanno misura λ positiva. Applicando ad essi la proprietà (P) deduciamo che da questi elementi con un sol passo andiamo in altri elementi di A che, per il Lemma 0, hanno misura λ positiva. Reiterando tale ragionamento otteniamo che i conduce solo ad elementi di A. Dato che per definizione gli elementi di A conducono tutti ad i, arriviamo all assurdo (cioè i è essenziale). La suddetta proposizione ci dice che le distribuzioni invarianti devono essere concentrate sull unione delle classi comunicanti chiuse, inoltre se non esistono classi comunicanti chiuse non esistono distribuzioni invarianti. Diciamo che una distribuzione su I è concentrata in un sottinsieme J I (o equivalentemente che la distribuzione ha supporto in J) se λ(x) = 0 per ogni x I \ J. Le distribuzioni su I concentrate in J sono in modo naturale in bigezione con le distribuzioni su J, la bigezione si ottiene associando a λ la sua restrizione λ J : J [0, 1], λ J (j) = λ(j) per ogni j J. k A

5 PROCESSI STOCASTICI 1: INTEGRAZIONI 5 Teorema 1 Per ogni classe comunicante chiusa C denotiamo con Inv(I, C) l insieme (eventualmente vuoto) delle distribuzioni invarianti su I con supporto in C. Supponiamo che vi siano N, con N N { }, classi comunicanti chiuse C per cui Inv(I, C). Se N = 0 allora non esistono distribuzioni invarianti. Se N 1, denotiamo le classi comunicanti chiuse C per cui Inv(I, C) come C 1, C 2,..., C N se N è finito, altrimenti come C 1, C 2,.... Allora le distribuzioni invarianti di P sono tutte e sole della forma λ = N α kλ k dove α k 0, N α k = 1 e λ k Inv(I, C k ). Dim. Se N = 0 la tesi segue dalla Prop. 1. Supponiamo che sia N 1. Sia λ = N α kλ k dove α k 0, N α k = 1, λ k Inv(I, C k ). Verifichiamo che λ è una distribuzione. λ(x) = N α kλ k (x) e poichè ogni addendo è non negativo abbiamo che λ(x) 0 per ogni x I. Inoltre abbiamo ) N N N α k λ k (x) = λ k (x) = α k = 1. x I λ(x) = x I α k ( x I La penultima indentità segue dal fatto che λ k è una distribuzione, mentre l ultima segue dal fatto che N α k = 1. Questo conclude la verifica che λ è una distribuzione. Verifichiamo ora l invarianza. Dato che λ k P = λ k e data la linearità del prodotto di matrici vale N N λp = α k (λ k P ) = α k λ k = λ, quindi λ è una distribuzione invariante. Supponiamo ora che λ sia una distribuzione invariante. Data una classe comunicante chiusa C con λ(c) > 0 definiamo λ C : I [0, 1] come { λ(x)/λ(c) se x C, λ C (x) = 0 se x C. Proviamo che λ C Inv(I, C). Banalmente λ C è una distribuzione su I con supporto in C. Sia i I. Per l invarianza di λ abbiamo λ(i) = (λp )(i) = j I λ(j)p j,i. (4.1) Nella suddetta formula distinguiamo vari casi. Se j è inessenziale, allora λ(j) = 0 per la Prop.1 e quindi j non contribuisce. Se j non è inessenziale, allora la classe comunicante di j è chiusa (per il Lemma 1). Se fosse p j,i > 0 avremmo che j i, ma per la chiusura della classe comunicante di j avremmo che j e i devono stare nella stessa classe comunicante. In particolare, se i C si ha che nella somma in (4.1) contribuiscono solo gli stati j che stanno nella stessa classe comunicante di i e quindi solo gli stati j in C. Quindi, per i C, (4.1) puo essere riscritta come λ(i) = j C λ(j)p j,i, i C. (4.2) Dividendo entrambi i membri per λ(c) e usando la definizione di λ C otteniamo che λ C (i) = j I λ C (j)p j,i = (λ C P ) i, i C.

6 6 PROCESSI STOCASTICI 1: INTEGRAZIONI Se invece prendiamo i C per definizione λ C (i) = 0. Mentre siccome λ C ha supporto in C possiamo scrivere (λ C P )(i) = j I λ C (j)p j,i = j C λ C (j)p j,i. (4.3) Se fosse p j,i > 0 avremmo due stati j C e i C tali che j i. Per la chiusura di C dovrebbe essere i C contro l ipotesi i C. Ne deriva che nell ultimo membro di (4.3) tutti i termini p j,i sono nulli quindi deve essere (λ C P ) i = 0. Abbiamo provato che λ C (i) = 0 = (λp ) i nel caso i C. Questo conclude la dimostrazione che λ C è una distribuzione invariante per P. Siccome λ C Inv(I, C), deve essere C = C k per qualche k. Quindi se λ(c) > 0 deve essere C = C k per qualche k. In particulare, abbiamo che λ ha supporto in N C k. Questo implica che, ponendo α k := λ(c k ), vale 1 = λ ( N C ) N k = λ(c k ) = N α k. Inoltre banalmente α k 0. Resta da dimostare che N λ(x) = α k λ Ck (x) x I. (4.4) Se x N C k già sappiamo che entrambi i membri sono nulli (ricordare chi è il supporto di λ e la definizione di λ Ck ). Se invece x C k per qualche k allora (4.4) si riduce a λ(x) = α k λ Ck (x) e questo si deriva subito dalla definizione di λ Ck. Prop 2 Sia C una classe comunicante chiusa. Allora la matrice ˆP = {p i,j } i,j C è una matrice stocastica irriducibile con spazio degli stati C. Sia Inv(I, C) l insieme delle distribuzioni invarianti su I per P con supporto in C e sia Inv( ˆP ) l insieme delle distribuzioni invarianti su C per ˆP. Allora la mappa che a λ associa la restrizione λ C è una bigezione tra Inv(I, C) e Inv( ˆP ). Proof. Banalmente ˆP i,j 0 per ogni i, j C. Fissiamo i C. Se p i,j > 0 allora i j, ma dato che C è chiusa deve essere j C. Quindi abbiamo per ogni i C che ˆP i,j = p i,j = p i,j = 1. j C j C j I L ultima identità segue dal fatto che P è matrice stocastica. Questo conclude la dimostrazione che ˆP è matrice stocastica. Dimostriamo che ˆP è irriducibile. Siano i, j C. Essendo C classe comunicante per P esistono stati i 0, i 1,..., i n con i 0 = i, i n = j e p ik,i k+1 > 0 per ogni k {0, 1,..., n 1}. Dato che i 0 = i e p i0,i 1 > 0 deve essere i i 1 e quindi i 1 C poichè C è chiusa. Ma allora ˆP i0,i 1 = p i0,i 1 > 0. Iterando questo ragionamento otteniamo che tutti gli stati i 0, i 1,..., i n stanno in C ed inoltre ˆP ik,i k+1 = p ik,i k+1 > 0 per ogni k {0, 1,..., n 1}. Questo conclude la dimostrazione che ˆP è irriducibile (cioè tutti i suoi stati sono tra di loro comunicanti). Se λ Inv(I, C), usando l invarianza e il fatto che λ ha supporto in C otteniamo λ(i) = j I λ(j)p j,i = j C λ(j)p j,i = j C λ(j) ˆP j,i, i C.

7 PROCESSI STOCASTICI 1: INTEGRAZIONI 7 Quindi λ C Inv( ˆP ). Viceversa, se ˆλ Inv( ˆP ) definiamo λ : I [0, 1] come {ˆλ(i) se i C, λ(i) = 0 altrimenti. Banalmente λ C = ˆλ. Inoltre è banale verificare che λ Inv(I, C) (esercizio). Grazie alla Proposizione 2 e al Teorema in Markov Chains di J.Norris, per ogni classe comunicante chiusa C rispetto a P vale Inv(I, C) = 0, 1, inoltre Inv(I, C) = 1 se e sole se gli stati di C sono ricorrenti positivi. In tal caso l unica distribuzione λ Inv(I, C) è data da { 1/E x (T x ) se x C λ(x) = 0 altrimenti. Nel caso di C = possiamo avere Inv(I, C) = 0 come pure Inv(I, C) = 1. Ad esempio, la passeggiata simmetrica su Z non ha distribuzioni invarianti (sapendo che e irriducibile e ricorrente, otteniamo allora che tutti gli stati sono ricorrenti nulli). Esempi con Inv(I, C) = 1 possono essere esibiti. Nel caso C < invece c e un unica possibilità, come specificato dalla Prop.3. Per la Proposizione 2, a meno di ridurre lo spazio degli stati a C e considerare ˆP, possiamo restringerci al caso in cui P sia irriducibile. Allora vale Prop. 3 Se P è irriducibile e I <, allora tutti gli stati sono positivi ricorrenti ed esiste un unica distribuzione invariante. Dim. Notiamo che P è ricorrente, infatti esiste un unica classe comunicante (P è irriducibile) e questa è chiusa. Per I finito sappiamo che gli stati ricorrenti sono tutti e soli quelli che stanno in classi comunicanti chiuse, quindi abbiamo che tutti gli stati sono ricorrenti.per i Teoremi e in Markov Chains di J.Norris, sabbiamo che P ammette un unica misura invariante a meno di fattori moltiplicativi. Tutte queste misure sono normalizzabili dato che I è finito. Quindi otteniamo che esiste un unica distribuzione invariante. Per il Teorema in Markov Chains di J.Norris sappiamo che questo implica che tutti gli stati sono positivi ricorrenti. Potevamo dare una dimostrazione alternativa della suddetta proposizione. Infatti per il Teorema ci basta provare che tutti gli stati sono positivi ricorrenti. In realtà vale un fatto ancora più forte (la cui dimostrazione è data in appendice per chi fosse interessato, ma non fa parte del programma di PS1!). Lemma 2. Sia P irriducibile e I <. Allora per ogni a, i I vale E a (T i ) <, dove T i = inf{n 1 : X n = i}. In particolare, la catena di Markov che inizia in uno stato a I visita in un tempo positivo qualsiasi stato in I con probabilità 1. Dai precedenti risultati e osservazioni otteniamo : Cor. 1 Sia I <. Siano C 1, C 2,..., C N le classi comunicanti chiuse (sappiamo 1 N < ). Allora le distribuzioni invarianti di P sono tutte e sole della forma λ = N α kλ k dove α k 0, N α k = 1 e λ k è l unica distribuzione invariante con supporto in C k. In particolare, esiste sempre almeno una distribuzione invariante. Essa è unica se e solo se vi è un unica classe comunicante chiusa.

8 8 PROCESSI STOCASTICI 1: INTEGRAZIONI Si noti che il suddetto corollario fornisce una dimostrazione alternativa al teorema di Markov Kakutani Applicazione. Mostriamo ora un esempio di applicazione della teoria sviluppata finora. Consideriamo la seguente matrice stocastica 1/4 1/ / /3 1/ P = 0 0 1/3 2/ /3 1/3 0 1/ / / /2 1/ /2 1/ sullo spazio degli stati I = {1, 2,..., 8}. Vogliamo determinare le distribuzioni invarianti di P. Per fare questo dovremmo prima di tutto risolvere il sistema λp = λ, che include 8 gradi di libertà e quindi sarebbe piuttosto calcoloso. Per semplifare possiamo procedere come segue. Osserviamo che le classi comunicanti sono {1, 2, 6, 8}, {3, 4}, {5, 7}. Sono chiuse solo C 1 := {1, 2, 6, 8} e C 2 := {3, 4}. Consideriamo dapprima la matrice ˆP = {p i,j } i,j C1, cioè ˆP = 1/4 1/4 1/ /2 0 1/2 1/2 1/2 0 0 Per la Prop. 2 questa matrice è una matrice stocastica irriducibile su C 1. Per la Prop. 3 ˆP ammette un unica distribuzione invariante. La calcoliamo risolvendo il sistema 1/4 1/4 1/2 0 (a, b, c, d, ) /2 0 1/2 = (a, b, c, d). 1/2 1/2 0 0 Si ottiene facilmente che l unica soluzione (a, b, c, d, ) che è anche distribuzione su {1, 2, 6, 8} è data da ( 2 16, 5 16, 6 16, 16) 3. Ne deriva che λ 1 := ( 2 16, 5 6, 0, 0, 0, 16 16, 0, 3 ) 16 è l unica distribuzione invariante per P con supporto in C 1. Similemente la matrice {p i,j } i,j C2 è stocastica con spazio degli stati C 2 ed è irriducibile. Si ottiene facilmente come sopra che l unica distrubizione invariante è data da (1/2, 1/2). Ne deriva che λ 2 := ( 0, 0, 1 2, 1, 0, 0, 0, 0) 2 è l unica distribuzione invariante per P con supporto in C 2. Grazie al Teorema 1 o equivalentemente al Corollario 1 abbiamo che le distribuzioni invarianti per P sono tutte e sole della forma αλ 1 + (1 α)λ 2 = ( 2α 16, 5α 16 (1 α),, 2 (1 α) 2., 0, 6α 16 3α), 0, 16 α [0, 1].

9 PROCESSI STOCASTICI 1: INTEGRAZIONI 9 Appendix A. Dimostrazione del Lemma 2 Dim. Siccome tutti gli stati comunicano tra loro abbiamo che per ogni j I vale P j (X n = i per qualche n 0) > 0. Se j i, abbiamo {X n = i per qualche n 0} = {T i < }. Quindi concludiamo che P j (T i < ) > 0 per ogni j i. Invece, sapendo che i è stato ricorrente deve valere P i (T i < ) = 1. Quindi concludiamo che per ogni j I vale P j (T i < ) > 0, ovvero che P j (T i = ) < 1, j I. (A.1) Per il teorema sulle successione monotone, siccome {T i = } = s=1 {T i > s} otteniamo lim P j(t i > s) = P j (T i = ). s (A.2) Unendo (A.1) e (A.2) e usando che I è finito otteniamo che esiste ε > 0 ed s N per cui P j (T i > s) 1 ε, j I. (A.3) Vogliamo dimostrare che P a (T i > ks) (1 ε) k per ogni k N +. Lo facciamo per induzione. Il caso k = 1 segue da (A.3) con j = a. Supponiamo ora la tesi vera fino a k. Allora possiamo scrivere (vedi le spiegazioni sotto) P a (T i > (k + 1)s) = j i P a (T i > (k + 1)s, X ks = j) = P a (X n i n : ks + 1 n (k + 1)s, T i > ks, X ks = j) = j i P a (X n i n : ks + 1 n (k + 1)s} T i > ks, X ks = j) P a (T i > ks, X ks = j) = j i P j (X n i n : 1 n s)p a (T i > ks, X ks = j) j i (A.4) Nella precedente formula la prima uguaglianza segua dalla additività numerabile di P, la seconda segue dal fatto che abbiamo riscritto in termini diversi lo stesso evento, la terza segue dalla legge della probabilità totale mentre la quarta dalla proprietà di Markov (ricordarsi di sincronizzare l orologio!!). Per (A.3) abbiamo quindi da (A.4) deriviamo che P j (X n i n : 1 n s) = P j (T i > s) 1 ε P a (T i > (k + 1)s) (1 ε) j i P a (T i > ks, X ks = j) = (1 ε)p a (T i > ks) (l ultima uguaglianza segue dalla numerabile additività). Per ipotesi induttiva l ultimo fattore è limitato da (1 ε) k, da cui si ottiene la tesi, cioè P a (T i > ks) (1 ε) k per ogni k 1. Si ottiene quindi P a (T i > m) (1 ε) m/s, m N, dove x denota la parte intera di x. Dalla suddetta stima si ottiene m=0 P a(t i > m) <. Ma sappiamo che vale E a (T i ) = m=0 P a(t i > m). Quindi abbiamo E a (T i ) <, cioè i è ricorrente positivo.

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