Il Teorema di Markov. 1.1 Analisi spettrale della matrice di transizione. Il teorema di Markov afferma che

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1 1 Il Teorema di Marov 1.1 Aalisi spettrale della matrice di trasizioe Il teorema di Marov afferma che Teorema 1.1 Ua matrice di trasizioe regolare P su u isieme di stati fiito E ha ua uica distribuzioe stazioaria π. Per di più si ha, qualuque sia la distribuzioe iiziale v, (1.1) lim (vp ) j = π j. per ogi j E. Ituitivamete quidi, per ua catea regolare, per grade, la legge di X è approssimativamete uguale alla distribuzioe stazioaria π. Vediamo ora la dimostrazioe questo teorema. Essa si basa su ua aalisi approfodita delle proprietà spettrali delle matrici di trasizioe regolari. Per il mometo vediamo alcue proprietà dello spettro di P che soo vere per ogi matrice di trasizioe, o ecessariamete regolare. Se idetifichiamo R m (risp. C m ) co i vettori riga di dimesioe m, allora sappiamo per il Teorema di Marov-Kautai, che esiste u vettore π, avete tutte le compoeti positive, che è autovettore siistro della matrice di trasizioe P per l autovalore 1: π = πp Il Teorema di Marov-Kautai garatisce l esisteza ma o l uicità: d ora i avati π idicherà ua distribuzioe stazioaria fissata. I C m cosideriamo lo spazio vettoriale V dei vettori aveti la somma delle coordiate uguale a. È facile vedere che l azioe di P trasforma V i V : se x V, allora m m m m m m (xp) i = x j p ji = x j = x j = j=1 j=1 p ji }{{} =1 j=1

2 2 Capitolo 1. Il Teorema di Marov e quidi sex V, achexp V. Idichiamo cov 1 il sottospazio dei vettori che soo multipli della distribuzioe stazioaria π. È immediato che V 1 V = {}, dato che u elemeto di V 1 è della forma tπ (t C) ed ha duque somma delle coordiate uguale a t; esso duque può apparteere a V solo se t = e quidi se e solo se è esso stesso uguale a. Ioltre C m è la somma diretta di V e V 1, dato che V 1 ha dimesioe 1 metre V ha dimesioe m 1. Mostriamo che questo implica che tutti gli altri autovettori di P si trovao i V. Suppoiamo ifatti che v sia u autovettore di P per l autovalore λ. Allora si può scrivere i maiera uica v = tπ + v, dove v V. Si ha quidi vp = tπp + v P = λtπ + λv Duque deve essere πp = λπ v P = λv e duque, a meo chev = che vorrebbe direv = tπ, abbiamo u autovettorev V associato all autovalore λ. Suppoiamo ora che v V sia u autovettore di P di autovalore λ (ricordiamo che v potrebbe essere u vettore complesso, dato che o suppoiamo P simmetrica). Dalla relazioe λv i = (vp) i = v p i prededo i moduli e sommado su i troviamo (1.2) λ v i = =1 v p i =1 =1 v p i = v Poiché v è u autovettore, v e duque dividedo per d v i si deve avere (1.3) λ 1 Questa relazioe vale per qualuque matrice di trasizioe. Duque tutte le matrici di trasizioe hao oltre all autovalore 1 altri autovalori (complessi i geerale) di modulo 1. Suppoiamo ora che P abbia tutti i suoi elemeti >. Si vede allora che ella (1.2) ella disuguagliaza idicata da ua freccia si deve avere ua disuguagliaza stretta. Ifatti per ua somma di umeri complessi il modulo della somma può essere uguale alla somma dei moduli se e solo se tutti i termii o ulli che compaioo ella somma hao lo stesso argometo (provate a mostrarlo, almeo per la somma di due umeri complessi). Ma i umeri complessi v i o possoo avere tutti lo stesso argometo perché la loro somma è uguale a ( ricordiamo che v V ) e il umero complesso v p i ha lo stesso argometo di v (moltiplicado u umero complesso per u reale positivo o cambia l argometo). Duque ella (1.2), e quidi ache ella (1.3) si ha ua disuguagliaza stretta. Abbiamo quasi dimostrato la seguete =1

3 1.2 Il teorema del raggio spettrale 3 Proposizioe 1.2 Per ua matrice di trasizioe P tutti gli autovalori soo i modulo 1. Se P è regolare allora l autovalore 1 è semplice (cioè il suo autospazio ha dimesioe 1) e tutti gli altri autovalori soo i modulo strettamete più piccoli di 1. Dimostrazioe. Ci resta da mostrare la secoda parte, che però abbiamo già provato se per di più P ha tutti gli elemeti >. I geerale però per ua matrice di trasizioe regolare P esiste tale che P abbia tutti gli elemeti >. Sappiamo ioltre che se 1,λ 2,...,λ m soo gli autovalori di P (evetualmete cotati co la loro molteplicità) allora 1,λ 2,...,λ m soo gli autovalori di P. Sappiamo perciò che i umeri λ 2,...,λ m hao tutti u modulo < 1. e segue che ache i umeri λ 2,...,λ m soo ecessariamete strettamete più piccoli di 1 i modulo. Possiamo affrotare la dimostrazioe del Teorema 1.1 di Marov. Azi possiamo euciare il risultato seguete che, isieme alla Proposizioe 1.2 implica il Teorema di Marov. Corollario 1.3 Se la matrice di trasizioe P ha l autovalore 1 semplice e tutti gli altri autovalori i modulo strettamete più piccoli di 1, allora, qualuque sia la distribuzioe iiziale v, (1.4) lim vp = π. Dimostrazioe. Si può scrivere vp = (π + v π)p = πp + (v π)p = π + (v π)p Ora il vettore v π ha somma delle coordiate uguale a e quidi appartiee a V. Abbiamo visto però che l operatore lieare V V defiito da x xp ha tutti gli autovalori che soo i modulo strettamete più piccoli di 1. Duque (v π)p come cosegueza di quello che vedremo el prossimo paragrafo. Osservazioe 1.4 Osserviamo che i realtà abbiamo dimostrato che il Teorema di Marov vale per tutte le matrici di trasizioe per le quali vale la secoda parte della Proposizioe 1.2, cioè tali che 1 sia u autovalore semplice e tali che tutti gli altri autovalori siao i modulo < 1. Si potrebbe i realtà mostrare che ua matrice di trasizioe è regolare se e solo se i suoi autovalori godoo di questa proprietà. E quidi ua matrice di trasizioe che o è regolare ha sicuramete degli autovalori di modulo 1 oltre a 1, oppure è tale che 1 o sia u autovalore semplice. 1.2 Il teorema del raggio spettrale Nella dimostrazioe del Teorema di Marov abbiamo utilizzato il fatto seguete: se ua matrice m m complessa A ha tutti gli autovalori che soo i modulo < 1, allora A x per ogi x C. Questo fatto è vagamete ituitivo, ma richiede ua dimostrazioe rigorosa. Osserviamo

4 4 Capitolo 1. Il Teorema di Marov itato che se A è diagoalizzabile questo è evidete: ifatti i questo caso esiste ua base di autovettori v 1,...,v m ed ogi vettore x si può scrivere x = α i v i, α i C. Duque A x = m α i A v i = m α i λ v i I geerale ua matrice quadrata o è diagoalizzabile, ma può essere messa i forma di Jorda. È l idea che viee sviluppata per fare la dimostrazioe el caso geerale. I realtà dimostreremo u risultato più geerale e iteressate di per se. Teorema 1.5 (Teorema del raggio spettrale) Per ua matrice quadrata A si ha (1.5) lim A = ρ dove ρ è il raggio spettrale, cioè il più grade dei moduli degli autovalori di A e è ua qualuque orma di matrice. Il risultato che ci iteressa segue dal Teorema del raggio spettrale. Ifatti, se ρ < 1, da esso si ricava che per ogi ε e per abbastaza grade A (ρ + ε) Se scegliamo ε abbastaza piccolo i modo che sia ρ + ε < 1, ricaviamo che A ed abbiamo azi ua velocità di covergeza. Sottolieiamo ache che ell euciato del Teorema 1.5 la orma A A è ua qualuque orma di matrice. Ifatti si vede subito che se il risultato è vero per ua scelta di orma di matrice allora esso resta vero ache per le altre. Ifatti se la (1.5) vale per ua orma e è ua orma equivalete, esistoo dei umeri c,c > tali che per ogi matrice B. Duque si avrebbe c B B C B c A A C A e per il teorema del cofroto avremmo duque acora lim Nel seguito cosidereremo soprattutto la orma A = ρ (1.6) B = sup b ij ij

5 1.2 Il teorema del raggio spettrale 5 ma o solo lei. Vediamo la dimostrazioe del Teorema del raggio spettrale. Dimostrazioe del Teorema 1.5. Cosideriamo la orma B Bx = sup x x e osserviamo itato che, i geerale, si ha ρ A. Ifatti vediamo subito che se λ > A allora l operatore λi A è ivertibile: si ha, per ogi vettore x, (λi A)x λx Ax ( λ A ) x > Quidi tutti gli autovalori soo i modulo A. Poiché il raggio spettrale di A è ρ, questo implica immediatamete che ρ A e quidi A ρ lim e, poiché abbiamo visto che il lim o dipede dalla orma, (1.7) lim A ρ Mostriamo ora ua disuguagliaza ell altro seso (e co lim al posto di lim). Comiciamo co l osservare che (1.5) è immediata se la matrice A è diagoale: se λ λ 2... A = λ m allora la orma A è uguale al modulo del più grade degli autovalori, cioè a ρ. Poiché A è ach essa diagoale ed i suoi autovalori soo le poteze -esime degli autovalori di A, si ha A = ρ. Duque la successioe A o solo coverge a ρ ma è ideticamete uguale a ρ. U altro caso i cui la dimostrazioe è facile è quado A è della forma A = Ifatti i questo caso si ha A 2 =... =

6 6 Capitolo 1. Il Teorema di Marov I altre parole A 2 ha ulla, oltre alla diagoale pricipale, ache quella subito sopra ed avrebbe elemeti diversi da solo sulla diagoale successiva. Facedo le poteze successive si vedrebbe che A m 1 = e fialmete che A m è la matrice ideticamete ulla. Questo implica da ua parte che A ha tutti i suoi autovalori uguali a e quidi ρ = e dall altra che A = da m i poi. La (1.5) è duque acora verificata. Ua matrice tale che A m = per qualche m si dice ilpotete. I geerale si può scrivere A = UJU 1 dove J è i forma di Jorda. Poiché A = UJU 1 UJU 1...UJU 1 = UJ U 1, si ha A U J U 1 cost J e quidi basta studiare il comportameto di J. Ora J è della forma a blocchi B B 2... (1.8) J = B dove le B i soo matrici quadrate (evetualmete 1 1) della forma λ i λ i... B i = λ i Poiché λ i λ i B i = λ i......

7 1.2 Il teorema del raggio spettrale 7 si ha B i = λ i I + N, dove I idica la matrice idetità e N è ua matrice ilpotete. Poiché I e N commutao, ripetedo gli argometi che portao al biomio di Newto, si ha B i = (D + N) = = ( ) D N. Ma, ricordado che N = per m, ella somma precedete soo ulli tutti i termii dall m-esimo i poi. Duque m 1 ( ) Bi = D N e quidi Poiché D = λ i ρ, si ha = m 1 ( ) Bi D N = m 1 ( ) Bi ρ ρ N = }{{} :=P i () dove P i è u poliomio. Duque per ogi ε > si ha per abbastaza grade B i Toriamo alla matrice J della (1.8). Poiché e è la orma defiita i (1.6) si ha (ρ + ε) B B2... J = B J = max B (ρ + ε) per abbastaza grade, che implica, per l arbitrarietà di ε (1.9) lim A ρ che, isieme alla (1.7) ci permette di cocludere.

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