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1 Corso d Statstca medca e applcata 6 a Lezone Dott.ssa Donatella Cocca

2 Concett prncpale della lezone precedente I concett prncpal che sono stat presentat sono: I fenomen probablstc RR OR ROC-curve Varabl casual Dstrbuzone Bnomale Dstrbuzone d Posson Dstrbuzone d Gauss

3 Introduzone alla Statstca Inferenzale La statstca nferenzale permette d trarre concluson su tutt dat d una popolazone, quando se ne conoscono solamente poch, raggruppat n uno o pù campon. Nelle spermentazon generalmente operamo con campon rappresentatv e non con ntere popolazon. Quando s passa dal CAMPIONE alla POPOLAZIONE le asserzon perdono l carattere d certezza e dventano esprmbl solo n termn d probabltà (STIMA) La non conoscenza delle caratterstche della popolazone c obblga a dover prendere delle decson. Tutto questo prevede l correre de rsch.

4 Introduzone alla Statstca Inferenzale Esempo: Un gruppo d rcercator potzza che l assunzone d un farmaco accresca la dures n proporzone alla dose mpegata e per confermare tale potes selezona un gruppo d 5 persone. Stando al grafco (A), la relazone sembra vera. Tuttava

5 Introduzone alla Statstca Inferenzale se avessero sommnstrato l farmaco a tutta la popolazone, sarebbe rsultata evdente l assenza d correlazone (B). Il gruppo scelto NON E RAPPRESENTATIVO della popolazone Il gruppo scelto NON E UN CAMPIONE CASUALE della popolazone. Per cautelarc ne confront d quest rsch: 1) S formulano delle potes 2) S verfcano statstcamente (lvello d sgnfcatvtà del test) L potes è un affermazone relatva ad un evento futuro, o comunque ad un evento l cu rsultato è sconoscuto al momento n cu l affermazone vene fatta.

6 Introduzone alla Statstca Inferenzale La verfca d una potes è un procedmento logco dove: nzalmente s nega l potes appena formulata; ndchamo con H 0 potes nulla (potes d base coè quella n cu s suppone che non c sano dfferenze tra dvers grupp rspetto al parametro consderato) successvamente s valuta la probabltà che la stessa accada, potes alternatva H 1. Coè, raccolt dat s msurerà la consstenza d quest con l potes nulla. Pù precsamente s determnerà quale delle due potes sa pù plausble tenendo conto che generalmente s vorrebbe rfutare l potes nulla (assenza d effetto o dfferenza) n favore dell potes alternatva.

7 Introduzone alla Statstca Inferenzale A questo proposto Test d sgnfcatvtà consentono d determnare, con una data probabltà, se le caratterstche rscontrate nel campone rappresentano anche caratterstche della popolazone o sono solo fluttuazon casual. Dunque, Test d sgnfcatvtà sono mezz utl per verfcare quanto dat a dsposzone sano o meno a favore della ma potes o d quella nulla (n tale contesto s defnsce l P-value come la probabltà che esprme se sa pù plausble che dat osservat provengano dall potes nulla o da quella alternatva).

8 Test d sgnfcatvtà - Scelta del lvello d sgnfcatvtà p-value Come sempre avvene, rsultat d un Test statstco non hanno un valore assoluto coè non sono matematche certezze, ma sono solo probabltà. Pertanto, una decsone d respngere l potes nulla (presa sulla base del test statstco) è probablmente gusta, ma potrebbe essere errata. La msura d questo rscho d cadere n errore s chama: lvello d sgnfcatvtà del test. Quando s accetta o meno l potes nulla è possble commettere due tp d error: errore d tpo I che consste nel rfutare l potes nulla quando n realtà questa e vera (ndcato con la letteraα) errore d tpo II che consste nell accettare l potes nulla quando n realtà questa è falsa (ndcato con la letteraβ) E' ovvo che pù aumenta l numero delle osservazon e pù s rducono gl error alfa e beta.

9 Test d sgnfcatvtà - Scelta del lvello d sgnfcatvtà p-value Il lvello d sgnfcatvtà del 5% (0.05) e dell' 1 % (0.01) vengono adottat molto frequentemente n quanto suffcentemente pccol da poter concludere che sa puttosto mprobable che la dfferenza trovata sa dovuta al semplce caso. Alle volte è bene non lmtars a fornre una ndcazone sntetca dell'esto dell'espermento (del tpo sgnfcatvtà o non sgnfcatvo), ma dare un'ndcazone pù analtca così da mettere n condzone altre persone, che non hanno eseguto l test, d valutare l perché abbamo rtenuto d rfutare o accettare l test. Il valore p o p-value è appunto un ndcatore della plausbltà dell'potes nulla, e s defnsce come: l mnmo lvello d sgnfcatvtà α del test per l quale s rfuterebbe l'potes nulla. Ecco che s capsce l perché l valore-p venga anche chamato: lvello d sgnfcatvtà osservato (ndcato con α oss ), n quanto concde con

10 Test d sgnfcatvtà - Scelta del lvello d sgnfcatvtà p-value l pù pccolo lvello d sgnfcatvtà n corrspondenza del quale H 0 è rfutata. In defntva l Valore d p (p-value): ndca l esatta probabltà d errore che s rscha d commettere sostenendo che esste una dfferenza; n altr termn, mentreαndca la massma probabltà d errore che s può accettare, p ndca l'esatta probabltà d errore che s commette rfutando H 0.

11 Test d sgnfcatvtà - Scelta del lvello d sgnfcatvtà p-value Interpretazone del P-value Il P-value non fornsce soltanto una regola per l accettazone o l rfuto dell potes nulla, ma esprme la forza dell evdenza a favore o contro tale potes. Infatt, come gà detto, valor pccol, prossm allo 0, fornscono una forte evdenza (crescente) contro l potes nulla, mentre valor grand fornscono un evdenza a favore d questa. In base all approcco del p-value, la regola decsonale per rfutare H 0 è la seguente: Se l p-value è α, l potes nulla non è rfutata. Se l p-value è < α, l potes nulla è rfutata. Pù n dettaglo è consuetudne nterpretare l P-value (P), sulla base d valor sogla convenzonalmente fssat, come segue:

12 Test d sgnfcatvtà - Scelta del lvello d sgnfcatvtà p-value P P < P < P < 0.01 P < Assenza d evdenza contro l potes nulla: dat consstent con l potes nulla; però c s può sbaglare e n tal caso s fa un errore d secondo tpo Debole evdenza contro l potes nulla, n favore d quella alternatva Moderata evdenza contro l potes nulla, n favore d quella alternatva Forte evdenza contro l potes nulla, n favore d quella alternatva Fortssma evdenza contro l potes nulla, n favore d quella alternatva; però c s può sbaglare e n tal caso s fa un errore d prmo tpo

13 Test d sgnfcatvtà - Scelta del lvello d sgnfcatvtà p-value Esempo : Lanco d una moneta - Approcco del p-value alla verfca d potes TEST n.1: Lanco la moneta 100 volte ed l numero d volte n cu esce testa è T73 (valore del test). La probabltà d ottenere un numero d teste maggore o uguale a 73 è dato da: 100 k 100 k P value k 2 2 k 73 Conclusone: Dstrbuzone bnomale, coè la probabltà dell evento k: p n k n k ( k) p q k Essendo P-value < 0.05 concludo che la moneta è truccata, ovvero RIFIUTO H 0

14 Test d sgnfcatvtà - Scelta del lvello d sgnfcatvtà p-value Esempo: Lanco d una moneta - Approcco del p-value alla verfca d potes TEST n.2: Lanco la moneta 100 volte ed l numero d volte n cu esce testa è T48 (valore del test). La probabltà d ottenere un numero d teste maggore o uguale a 48 è dato da: 100 k 100 k P value k 2 2 k 48 Conclusone: Essendo P-value > 0.05 concludo che la moneta NON è truccata, ovvero ACCETTO H 0

15 Esempo potes H 0 Esempo : PROBLEMA: Stud su soggett pertes s sono concentrat sull effetto che una deta posodca può avere su tal soggett. Pertanto s è msurata la dures meda: soggett pertes (senza deta): Dures meda: 1300cc/de - Scarto quadratco medo: 105(cc/de) 2 soggett con deta posodca: Dures meda: 1350cc/de - Scarto quadratco medo: 105(cc/de)2 Tes: L aumento è dovuto ad un effettvo benefco del trattamento oppure è solo l rsultato d fluttuazon casual? H 0 : La deta NON nfluenza la dures, ovvero le fluttuazon sono casual

16 I Test parametrc e non parametrc Nell'ambto statstco, a seconda delle potes s dstngue tra: test parametrco test non parametrco S defnsce test parametrco un test statstco che s può applcare n presenza d una dstrbuzone normale de dat, coè sono que metod che presuppongono che la popolazone d orgne segua una dstrbuzone normale, o comunque nell'ambto della statstca parametrca. Cò avvene effettuando un controllo delle potes sul valore d un parametro, quale la meda, la proporzone, la devazone standard, l uguaglanza tra due mede Usano la curva normale, la bnomale, t-student, F-Fscher.

17 I Test parametrc e non parametrc Al contraro un test non parametrco non presuppone nessun tpo d dstrbuzone della popolazone. S usano quando s hanno campon d pccole dmenson e s è n dubbo sulla forma della popolazone. Pur essendo applcable solo n presenza d dstrbuzon d tpo normale, test parametrc rsultano pù attendbl rspetto a quell non parametrc n quanto assocat ad una maggore probabltà d ruscre a rfutare un potes statstca errata. Infatt una volta formulata l potes l passo successvo è quello d verfcarla e uno de metod per decdere se rfutare l potes (nulla) s basa sul p-value precedentemente esposto.

18 I Test parametrc e non parametrc Un crtero d scelta de test è l seguente: adottare l modello che meglo s approssma a dat emprc caratter CONTINUI e campon d dmenson elevate test PARAMETRICO caratter DISCRETI o pccol campon estratt da una caratter DISCRETI o pccol campon estratt da una popolazone d cu s gnora la dstrbuzone test NON PARAMETRICO.

19 Gl error n medcna Qualunque tpo d ndagne statstca n medcna come n altra dscplna comporta una certa possbltà d commettere un errore. Per cercare d dmnure la possbltà d errore s cerca d soddsfare due condzon: l'accuratezza e la precsone. Per Accuratezza s ntende la capactà d una certa msura d essere l pù vcna possble al valore reale del fenomeno. La Precsone è la capactà d una certa msurazone d fornre rsultat molto sml ad altr valor msurat. La mancanza d precsone determna un aumento della varabltà delle msure.

20 Gl error n medcna L'mprecsone può essere compensata da un maggor numero d msurazon oppure rpetendo la stessa msura pù volte. Un altro tpo d errore assa dffuso e molto dffcle da rconoscere, è l errore d vzo. Questo tpo d essere non produce varabltà ma consste n un'alterazone costante de dat. Può essere causato, ad esempo, da uno strumento non tarato. In assenza d valor standard d rfermento è mpossble da rconoscere e qund da evtare ed ha conseguenze pù grav della semplce mprecsone. Il vzo nfatt determna sottostme e sovra stme e altera confront con dat ottenut n altr laborator facendo apparre dfferenze dove nvece non ce ne sono.

21 Dstrbuzone camponara Abbamo parlato delle potes H 0 e de test ora affrontamo l problema del camponamento. Def: Se da una popolazone s estraggono tutt possbl campon d dmensone n, s calcola per cascuno una determnata statstca e s assoca ad ogn valore ottenuto la frequenza con cu s presenta, s ottene la DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA. Ogn dstrbuzone camponara è una dstrbuzone teorca d probabltà e costtusce un modello a cu s fa rfermento ne problem dell nferenza (Gaussana, t-student, F-Fsher).

22 Dstrbuzone camponara Vedamo come effettuare una scelta del campone: o SCELTA RAGIONATA: possedendo nformazon sulla popolazone s scegle l campone n modo da rcostrure al meglo la popolazone (scelta SOGGETTIVA: manca presupposto d casualtà è dffcle fare nferenza sulla popolazone) o SCELTA CASUALE: s assegna una probabltà, fssa e conoscuta, ad ogn componente dell unverso che deve far parte del campone (scelta MATEMATICA). Rsulta evdente che la mglore scelta è quella casuale. Def: L nseme de possbl campon che possono essere estratt da una popolazone vene detto UNIVERSO DEI CAMPIONI.

23 Dstrbuzone camponara Rsulta evdente che la mglore scelta è quella casuale. Il camponamento casuale, per popolazone d numerostà N e campon d ampezza k, può essere del tpo: camponamento casuale senza rentroduzone o esaustvo: ogn elemento, una volta estratto, non vene remmesso nella popolazone per cu, dopo ogn estrazone, la probabltà che gl element restant entrno a far parte del campone vene modfcata. o Probabltà d estrazone d cascun elemento: 1 N, 1, K, ( N 1) ( N k+ 1) o Unverso camponaro: N (N-1) (N-k+1) N! ( N k)! 1

24 Dstrbuzone camponara camponamento casuale con rentroduzone o bernoullano: ogn elemento che vene estratto vene rentrodotto nella popolazone n modo tale che ad ogn estrazone successva non venga alterata la composzone della popolazone ed ogn elemento estratto ha sempre la stessa probabltà d venre scelto o Probabltà d estrazone d cascun elemento:,, K, N N N o Unverso camponaro: N k Vedamo ora un esempo d dstrbuzone camponara con camponamento bernoullano ed esaustvo a confronto.

25 Dstrbuzone camponara Esempo: Dstrbuzone de rcoverat n 5 ospedal Popolazone d N5 ospedal d cu è nota la meda de rcoverat relatvamente ad una settmana. Ospedal Dat: Meda rcover O1 15 O2 20 O3 25 O4 30 O5 35 Calcolamo la meda (µ) e la varanza (σ 2 ) della popolazone: µ N x 1 N σ N ( µ ) x 1 N

26 Dstrbuzone camponara Estraamo campon d ampezza k2 n modo BEROULLIANO.

27 Dstrbuzone camponara Segue che: µµ x e σkσ 2 x ( ) n 1 n x n 1 n 1 x n n x n n x x µ σ µ

28 Dstrbuzone camponara

29 Dstrbuzone camponara Segue che: µµ x e σ 2 σ 2 x ( ) n 1 n x n 1 n 1 x n n x n n x x µ σ µ ( ) k N 1 N k

30 Dstrbuzone camponara Concluson: Nella estrazone bernoullana campon estrabl sono In quella esaustva sono GENERALIZZANDO per popolazone d numerostà N e campon d ampezza k: Estrazone Bernoullana N k campon Estrazone Esaustva N (N-1) (N-2)... (N-k-1) campon

31 Dstrbuzone camponara Statstca campone Sul campone s possono calcolare le statstche camponare (come meda camponara, medana camponara, varanza camponara,.) Le statstche camponare sono stmator delle analoghe statstche calcolate sulla popolazone: x la meda camponara ( ) stma la meda della popolazone (µ) la d.s. (devazone standard) camponara (s) stma la d.s. della popolazone (σ) Sa x sa s sono stmator non dstort. La meda camponara stma qund la meda della popolazone, ma con ncertezza. Il grado d ncertezza dpende da: 1) la dmensone del campone 2) la varabltà nella popolazone Poché le mede camponare sono dverse l una dall altra:

32 Dstrbuzone camponara Statstca campone Qual è la loro dstrbuzone? Supponamo d estrarre da una popolazone un campone casuale e d calcolarne la meda x 1. Dalla stessa popolazone estraamo ora un secondo campone d uguale dmensone rspetto al precedente e calcolamo la meda x 2. Se rpetamo pù volte questa operazone, avremo pù mede che s dstrburanno n una Dstrbuzone delle Mede Camponare, dove consderamo cascuna meda come una sngola osservazone della popolazone. Se calcolamo la meda d questa dstrbuzone (ovvero calcolamo la meda delle mede) tale meda è uguale alla meda della popolazone d orgne. La varanza d questa dstrbuzone delle mede è nvece par a n doveσ 2 è la varanza della popolazone ed n è l numero de campon estratt. Nelle applcazon pratche s rcorre alla selezone d un solo campone e su questo s fanno "nferenze" sulla popolazone. 2 σ

33 Propretà delle dstrbuzon delle mede camponare 1) Il valore medo della dstrbuzone camponara è uguale alla meda µ della popolazone. 2) La devazone standard della dstrbuzone camponara è funzone della numerostà n del campone, sa della d.s. σ della popolazone. Tale quanttà è nota come errore standard: σ ES n 3) La dstrbuzone camponara è approssmatvamente normale, ndpendentemente dalla dstrbuzone della popolazone, posto n suffcentemente grande. Rassumendo l tutto: v sono 3 lvell 1. popolazone (meda µ ; d.s σ) 2. campone (meda µ; d.s. s) σ 3. dstrbuzone camponara (meda µ ; d.s. ES ) n

34 Dstrbuzone camponara Regone Crtca La dstrbuzone camponara della statstca test è dvsa n due regon: regone d rfuto (chamata anche regone crtca) regone d accettazone

35 Dstrbuzone camponara Regone Crtca Se la statstca test cade nella regone d accettazone, l potes nulla non può essere rfutata e se la statstca test cade nella regone d rfuto, l potes nulla deve essere rfutata. La regone d rfuto può essere vsta come l nseme d tutt valor della statstca test che non è probable che s verfchno quando l potes nulla è vera, mentre è probable che quest valor s verfchno quando l potes nulla è falsa. Per prendere una decsone sull potes nulla, dobbamo n prmo luogo defnre le regon d rfuto e d accettazone e questo vene fatto determnando l cosddetto valore crtco della statstca test. La determnazone d questo valore dpende dall ampezza della regone d rfuto, che è legata al rscho comportato dal prendere una decsone sul parametro alla luce delle sole nformazon camponare. In seguto analzzeremo come defnre la regone d accettazone e d rfuto n base al tpo d test statstco utlzzato.

36 Stma puntuale e stma ntervallare de parametr d una popolazone Abbamo vsto che nella realtà s studano le caratterstche general d una popolazone partendo dalle msure effettuate su un campone rappresentatvo d quella popolazone. Le metodologe mpegate per la stma de parametr rlevat dal campone sono d due tp: la stma "puntuale" e quella "ntervallare". Le stme puntual sono quelle che producono un sngolo valore (puntuale) espresso per stmare l parametro preso n consderazone; es. la meda. Possamo utlzzare stmator dvers (ad es. la moda o la medana sono stmator alternatv alla meda). La scelta d un partcolare stmatore vene effettuata sulla base d tre propretà: la correttezza, la consstenza e l'effcaca.

37 Stma puntuale e stma ntervallare de parametr d una popolazone La Correttezza: uno stmatore rsulta corretto quanto pù l suo valore è uguale al parametro da stmare. La Consstenza: ndca che l valore dello stmatore tende a quello del parametro da stmare all'aumentare della numerostà del campone. L'Effcaca: tra pù stmator l pù effcente è quello con mnore varanza. Il problema degl stmator puntual rsede nel fatto che non c dcono quanto s dscostno dal valore vero del parametro da studare. Per ovvare a questo nconvenente s rcorre a stme ntervallar.

38 Stma puntuale e stma ntervallare de parametr d una popolazone Nella stma ntervallare non s fornsce nfatt un valore unco ma bensì due che defnscono un ntervallo all'nterno del quale è ragonevole rtenere che cada l valore vero d quel parametro della popolazone che stamo studando. Questo ntervallo vene defnto "Intervallo d Confdenza". Concluson La statstca nferenzale permette d affrontare PROBLEMI: d decsone n condzon d ncertezza - Test statstco d prevsone/conoscenza del mondo reale basandos su dat spermental camponar - Scelta del campone

39 Concett prncpale della lezone I concett prncpal che sono stat presentat sono: Introduzone alla Statstca Inferenzale Test d sgnfcatvtà Scelta del lvello d sgnfcatvtà p-value I Test parametrc e non parametrc Gl error n medcna Dstrbuzone camponara Stma puntuale e stma ntervallare

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