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1 Incertezze di misura Argomenti: classificazione delle incertezze; definizione di incertezza tipo e schemi di calcolo; schemi per il calcolo dell incertezza di grandezze combinate; confronto di misure affette da incertezza. Premessa Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili: a) disponendo di una serie finita di valori della grandezza (campione) : N xi N i= µ x = b) disponendo dell espressione della funzione di densità di probabilità che caratterizza la grandezza: E( x) µ x p( x) dx = = = σ = ( µ ) N S σ = i i N N N V x p( x) dx Queste modalità di calcolo sono di fatto recepite dalle normative per la definizione delle incertezze associate a misure sperimentali, pur in presenza di una incoerenza formale: la σ della seconda riga corrisponde alla S della prima e non a S / N. ( x x )

2 Incertezze tipo (Standard Uncertainity) 3 Classificazione incertezze Secondo le normative le componenti di incertezza devono essere classificate in relazione al metodo con il quale sono state determinate. Valutazione di tipo A: metodo di valutazione delle incertezze mediante analisi statistica di una serie di osservazioni/misure. Valutazione di tipo B: metodo di valutazione delle incertezze mediante strumenti diversi dall analisi statistica di una serie di misure/osservazioni. L incertezza viene espressa mediante una deviazione standard stimata, detta incertezza standard o tipo, pari alla radice quadrata della varianza stimata. Trattandosi di definizioni tratte dalle normative potrebbero essere prese così come sono in termini operativi In collegamento con i concetti di Probabilità e Statistica assumono un chiaro significato concettuale 4

3 Incertezza tipo A L incertezza standard di tipo A è rappresentata da una quantità u e calcolata dalla deviazione standard S, ricavata come radice della varianza campionaria S, e dal numero di gradi di libertà ad essa associato, ν, con la formula riportata. Incertezza tipo A: u = N S ν + = i xi x N N ( ) Quindi l incertezza standard di tipo A è data dalla deviazione standard della media campionaria di una variabile misurata. La valutazione di una incertezza di tipo A è basata su di un metodo statistico applicato ai dati disponibili. L esempio tipico è il classico calcolo della media e della sua deviazione standard a partire da una serie di osservazioni. 5 Incertezza tipo A: valutazione Valutazione dell incertezza di tipo A per una misura ripetuta: ) acquisizione di N valori di misura; ) calcolo del valor medio: 3) calcolo della deviazione standard campionaria: 4) calcolo dell incertezza della misura come scarto tipo della media: N xi N i = m = N S = ( xi m) N i= u = ± s N 5) valore della misura come media delle misure affetta da un incertezza data dallo scarto tipo della media: x = m ± u (N piccolo comporta una stima poco affidabile dello scarto tipo. In questo caso occorre ricordare N per poter effettuare l espansione del livello di confidenza tramite t-student ) 6 3

4 Incertezze tipo B Un incertezza ottenuta con valutazione di tipo B è rappresentata da una quantità u (radice quadrata della varianza u (x)) determinata in base ad una ragionevole ipotesi di distribuzione di densità di probabilità (p(x)), basata su tutte le informazioni disponibili. u = x p( x) dx ( µ ) Anche in questo caso l incertezza viene rappresentata con una deviazione standard stimata, e definita incertezza standard o tipo, pari alla radice quadrata della varianza stimata. Non sono però disponibili i dati relativi alle misure. Si opera in base ad una ipotesi di distribuzione della variabile in oggetto. 7 Incertezza tipo B: valutazione Valutazione dell incertezza di tipo B: ) individuazione della distribuzione di probabilità applicabile alla misura in esame e congruente con tutte le informazioni disponibili. ) calcolo del valore atteso: 3) calcolo della varianza: 4) calcolo dell incertezza tipo: u = E( x) µ x p( x) dx 5) valore della misura come valore atteso affetto da un incertezza data dalla radice della varianza. = = V = σ = x µ p( x) dx σ ( ) 8 4

5 Incertezza tipo B: valutazione Disponiamo di uno voltmetro a presentazione digitale con risoluzione del display di 0.V. Si utilizza lo strumento per una singola misura di tensione. Definire l incertezza della misura in assenza di ulteriori informazioni. Soluzione: L incertezza deve essere definita, in accordo con le indicazioni della normativa, con una procedura dipendente dalle informazioni disponibili. Classificheremo l incertezza dovuta alla risoluzione come di tipo B, non disponendo di una base statistica di dati con la quale operare. A seguito di tale definizione dovremo adottare una distribuzione di probabilità: l arrotondamento non consente ipotesi diverse da quelle di probabilità uniforme. a L incertezza, di tipo B, è quindi data da: u = = = V 3 3 dove a è la risoluzione del voltmetro (ampiezza della distribuzione rettangolare) e la divisione per la radice di 3 porta al calcolo dell incertezza standard della misura in termini di deviazione standard della distribuzione. 9 Incertezza tipo B: valutazione Una valutazione di incertezza standard di tipo B è basata sull esame di tutte le informazioni disponibili, dalle quali si ricavano gli elementi per l adozione di un particolare tipo di distribuzione. Es.: risultati di precedenti misure; esperienza con, o informazioni sul, sistema di misura; specifiche del produttore; dati di calibrazione. 68 % 58 % 65 %. In sintesi, l incertezza viene definita da qualcun altro o a partire da una distribuzione di probabilità. 0 5

6 Incertezza tipo B: valutazione Dal momento che le informazioni disponibili possono essere anche molto diverse è difficile desumere un criterio unico per l'espressione delle incertezze di tipo B. Quello che si può affermare è che le incertezze tipo di categoria B sono espresse attraverso la deviazione standard della densità di probabilità che si è supposto descrivere la variabile casuale in esame. I valori dei parametri che definiscono la funzione di densità di probabilità, ad esempio i valori degli estremi della distribuzione uniforme, dipendono dalla situazione. Sono di seguito riportati alcuni esempi delle situazioni più frequenti che e possibile incontrare. Incertezza tipo B: casi caratteristici Si supponga che uno strumento a display digitale dia questo risultato:. Il significato della lettura. è che il valore in ingresso è 0.5 < x <.5 Possono essere avanzate ipotesi sulla probabilità dei valori nell intervallo? NO: tutti i valori sono equamente probabili nell intervallo ; la funzione distribuzione di probabilità è costante nell intervallo e nulla fuori. a/ 0 3 Distribuzione rettangolare: Nessun valore ha probabilità di uscita maggiore degli altri Densità di probabilità f(x)=/a nell intervallo, 0 fuori. Come già visto precedentemente lo scarto tipo, nell ipotesi di una distribuzione rettangolare, è: a u = 3 6

7 Incertezza tipo B: casi caratteristici Un dato viene fornito senza incertezza, es. un peso di 3 N. L incertezza è legata alla precisione di rappresentazione ovvero al numero di decimali usati per scrivere il valore: analogamente al caso del display digitale assumeremo per il calcolo dell incertezza tipo ±0.5 N con distribuzione uniforme. Viene dichiarato che una certa grandezza x ha valore: con livello di confidenza del 90%. L'indicazione del livello di confidenza fa pensare ragionevolmente ad un modello distributivo di tipo gaussiano. Poiché per un livello di confidenza del 90% si ha con un coefficiente di copertura k=.64, l'incertezza tipo può essere espressa come: u = = k.64 Nel caso di 95% di probabilità avremmo avuto k= : u = x = x ± 3 Incertezza tipo B: casi caratteristici Viene dichiarato solo che una certa grandezza x ha un valore: x = x ± In questo caso, in mancanza di ulteriori informazioni, si suppone una distribuzione di tipo uniforme e si esprime l'incertezza tipo come: u = 3 Viene dichiarato che una certa grandezza x ha un valore x = x ± con la tendenza a credere più ai valori centrali dell'intervallo che a quelli estremi. In questo caso e possibile assumere una distribuzione di probabilità ad esempio di tipo triangolare, ed esprimere l'incertezza tipo come: u = 6 4 7

8 Incertezza tipo B: valutazione Un documento riporta come risultato della misura della grandezza x il valore x = x ± con la specifica che la media e stata eseguita con 0 misurazioni e che l'incertezza e data al 95%. In questo caso e possibile supporre un modello distributivo dato dalla distribuzione di densità di probabilità t-student. Perciò l'incertezza tipo è data da (consultando la tabella): u = = t.6 Stud Nelle caratteristiche tecniche di uno strumento di misura viene dichiarato che l'accuratezza è pari ad una percentuale d del FS. L'accuratezza esprime l'estremo superiore dell'errore che si commette nell'utilizzo dello strumento calibrato; in mancanza di altre informazioni, è lecito assumere una distribuzione di probabilità uniforme e quindi esprimere l'incertezza tipo come: δ FS u = Incertezza tipo B: valutazione Può risultare utile riprendere il risultato di uno degli esempi svolti: in assenza di una dichiarazione esplicita dell accuratezza, il formato di rappresentazione dei dati implicitamente ne contiene l indicazione; l accuratezza associabile ad un dato è data dalla prima cifra non espressa: 8000 m m 8.0 0^3 m 8 km 8.00 km ±0.5 m ±0.05 m ±50 m ±500m ± 0 m L eccessiva confidenza in questa forma di espressione dell accuratezza del dato può portare a false interpretazioni: se una misura è ottenuta usando uno strumento affetto da una certa incertezza, fornire un grande numero di cifre decimali solo perché riportate dal calcolatore non migliora la qualità del dato. Tutte le cifre oltre quelle significative dello strumento sono, in linea teorica, errate. Per questo le normative prevedono l obbligatorietà dell espressione dell incertezza di misura. 7 8

9 Incertezze estesa (Expanded Uncertainity) 8 Incertezze estesa Per definire l incertezza ad un livello di confidenza differente da quello standard si definisce l incertezza estesa (expanded uncertainty) ottenuta moltiplicando l incertezza tipo per il fattore di copertura (coverage factor), rappresentato normalmente con k. L incertezza estesa della variabile y viene definita come: U = k u(y) Il valore del fattore di copertura viene definito in funzione della distribuzione di probabilità che caratterizza la grandezza y Ci aspettiamo che il valore vero della grandezza, Y, cada in un intervallo attorno al valore y delimitato dall incertezza estesa U, con un livello di probabilità dipendente dal valore di k: Y = y ± U. 9 9

10 Incertezze estesa Il valore del fattore di copertura k viene scelto sulla base del livello di confidenza (fiduciario) desiderato; tipicamente per garantire i livelli 95% o 99%. Se è applicabile l ipotesi di distribuzione normale e u è ottenuta in base ad una stima affidabile della deviazione standard della misura, cioè se l ipotesi di distribuzione gaussiana è affidabile, per il 95% si utilizzerà k= piuttosto che k=3 per il 99%. Se è ancora applicabile l approssimazione di distribuzione normale ma u non è ottenuta da una stima affidabile della deviazione standard si applicherà t-student, cioè k = t%, ν, tenendo conto del livello fiduciario richiesto, %, e del numero di gradi di libertà, ν. 0 Incertezza combinata 0

11 Incertezza combinata Variabile dipendente da molteplici parametri d ingresso: Misure individuali Par Par Par n Relazione tra variabili indipendenti Ogni misura è affetta dalla propria incertezza: Q = f ( x i ) Variabile dipendente w xi Serve una regola di propagazione delle incertezze individuali per ottenere l incertezza della variabile derivata: w Q Incertezze standard Inc. Par Inc. Par Inc. Par n Legge di propagazione incertezze Incertezza standard combinata Incertezza combinata Le incertezze standard, sia di tipo A che di tipo B, vengono utilizzate per propagare il loro effetto su una variabile derivata attraverso la RSS (previa verifica della sua applicabilità) Incertezza della i-esima variabile nella propagazione: (nel senso del valore medio) Propagazione N i w = x x w ( _ ) xi _ Std i k i N Ni i i= N Q = w Q _ Std xi _ Std i= xi Gli esempi sono quelli esaminati nella discussione della propagazione con la RSS Rimane aperto il problema dell estensione ad un richiesto livello fiduciario visto che i diversi contributi possono essere non compatibili per tipo o numero di gradi di libertà. wq _ Ext = k% wq _ Std???? k %???? 3

12 Combinazione di incertezze Quando applicare l estensione: Incertezze standard Par : Tipo A/B, gdl Par : Tipo A/B, gdl Par n: Tipo A/B, gdl Fattore di copertura Incertezza estesa del singolo parametro Legge di propagazione delle incertezze (RSS quando applicabile) Fattore di copertura? Incertezza standard combinata Incertezza estesa della variabile propagata 4 Estensione di un incertezza combinata 5

13 Questione aperta Prima di poterci occupare di come estendere l incertezza combinata ad un richiesto livello di confidenza, occorre definirne la natura ovvero la funzione di densità di probabilità che meglio descrive la distribuzione della grandezza derivata. E necessario capire come incertezze di natura diversa interagiscono nel definire la tipologia della incertezza propagata. Il teorema del limite centrale (J.W. Lindeberg 9) afferma che una somma di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite (con funzioni di densità di probabilità uguali) di media µ e varianza σ, indipendentemente dalla distribuzione di partenza, al tendere del campione all infinito, tende a distribuirsi come una variabile casuale normale La dimostrazione del teorema e la sua applicazione rigorosa è al di là degli scopi del presente corso. Viene mostrata una validazione euristica con generalizzazione al caso di una grandezza combinazione di più parametri affetti da incertezze generiche (A o B): si simula un esperimento per il calcolo di una grandezza generando delle misure dei parametri da cui dipende, in accordo con le rispettive distribuzioni. 6 Combinazione di incertezze Misura perimetro di un triangolo Incertezza rettangolare L Incertezza rettangolare L Incertezza rettangolare L Possibili combinazioni di 3 incertezze L,, Blu: istogramma dei dati Rosso: gaussiana pari dev. std. 7 3

14 Combinazione di incertezze Nelle prime tre righe dei grafici sono riportate 0 valutazioni di 3 incertezze indipendenti a distribuzione uniforme. Nella colonna di sinistra i valori numerici, in quella di destra l istogramma corrispondente (è evidente che, con pochi valori, quest ultimo non è particolarmente indicativo) Nell ultima riga i dati sono ottenuti effettuando tutte le possibili somme delle 60 misure: la dispersione e l istogramma sono relativi a 0 x 0 x 0 = 8000 stime dell operatore e portano all incertezza combinata. L unico vincolo che adotteremo nel corso, tralasciando quelli ben più stringenti del teorema del limite centrale, è quello che le distribuzioni dei parametri indipendenti siano simmetriche rispetto al valor medio: funzioni non simmetriche di partenza non potrebbero condurre ad una configurazione simmetrica come quella gaussiana. 8 Estensione dell incertezza combinata Se combiniamo: incertezze di tipo B e/o incertezze di tipo A con stima delle varianze ritenuta affidabile (quindi determinate con un numero tanto elevato di misure da non necessitare la correzione di Student per la loro estensione) potremo ritenere che l incertezza propagata sia gaussiana con varianza anch essa adeguatamente stimata. Potremo quindi utilizzare il fattore di copertura di una variabile gaussiana. Es. per 95% k= e per 97% k=3 9 4

15 Estensione dell incertezza combinata In presenza di anche una sola incertezze di tipo A con varianza mal valutata (tipicamente ottenute con campioni poco numerosi es. N<30) non possiamo considerare egualmente attendibili tutti i dati. In alcuni casi si potrebbe cercare di omogeneizzare i dati (es. sapendo come definire il fattore di copertura per un certo livello probabilistico e usare il coeff. t-student per amplificare la deviazione std calcolata al livello fiduciario di 67% ) A livello normativo si richiede di lavorare direttamente sull incertezza combinata. Si pesa il contributo dei diversi elementi che compongono l incertezza della grandezza derivata tenendo conto del fatto che il livello di qualità delle diverse incertezze è legato al numero di gradi di libertà utilizzati per caratterizzarle: Tipo A: N- Tipo B: infinito 30 Estensione dell incertezza combinata Si pesano i contributi dei singoli termini che concorrono a definire il numero di gradi di libertà equivalenti dell incertezza combinata utilizzando la formula di Welch-Satterthwaite: m m Q W w i i i= x i i w = Q m 4 4 m m Wi Q 4 ν w Wi i= i i i x i ν = i ν = i i ν = = = Essa pesa la rilevanza di un contributo, W i,, alla qualità totale rapportandola al proprio numero di gradi di libertà ν i. Per ottenere l intervallo di confidenza dell incertezza combinata, estesa al livello di confidenza desiderato, si moltiplica lo scarto tipo per k Si definirà k in termini di fattore di copertura z (gaussiana), o t, Student, in funzione del risultato della formula ( ν maggiore o minore di 30 ). 3 5

16 Incertezza combinata La procedura suggerita dalle norme prevede di: determinare tutte le incertezze tipo con l associato numero di gradi di libertà: propagare le incertezze tipo calcolando l incertezza tipo combinata della variabile dipendente: determinare eventualmente il numero di gradi di libertà equivalenti che caratterizzano l incertezza tipo combinata con la formula di Welch-Satterwhaite: w, ν i w Q ν Q i determinare il fattore di copertura, per il livello fiduciario richiesto, come per una variabile casuale a distribuzione gaussiana se ν Q >30 altrimenti utilizzando il parametro t corrispondente ai gradi di libertà equivalenti: k Q% = t%, ν ν Q k% ν Q calcolare l incertezza combinata estesa al livello fiduciario richiesto: w = k w Q% Q% Q 3 Incertezza combinata Schema generale: Incertezze standard Par : Tipo A/B, gdl Par : Tipo A/B, gdl Par n: Tipo A/B, gdl Legge di propagazione delle incertezze (RSS quando applicabile) Incertezza standard combinata Fattore di copertura Formula di Welch- Satterthwaite Gradi di libertà della variabile propagata Fattore di copertura Incertezza estesa del singolo parametro Incertezza estesa della variabile propagata 33 6

17 Valutazione alternativa dell incertezza propagata Una tecnica alternativa all applicazione della RSS per la valutazione dell incertezza di una grandezza dipendente ricorre all approccio utilizzato per supportare con l evidenza il Teorema del Limite centrale. Date le distribuzioni di ogni variabile indipendente si genera un numero elevato di valutazioni di ciascuno e si genera un campione con tutte le possibili misure conseguenti all utilizzo casuale dei dati disponibili. Si caratterizza la popolazione risultato di questo processo in termini statistici e se ne calcolano valor medio (non utilizzato) e varianza. La varianza viene utilizzata per definire l incertezza cercata. Questa tecnica prende il nome di metodo Monte Carlo. Sito HP: uncertainitycalculator 34 Rappresentazione e confronto di incertezze 35 7

18 Rappresentazione incertezze L incertezza di misura richiede una adeguata modalità di rappresentazione. Le misure e le relative incertezze possono essere rappresentate graficamente mediante barre che hanno l ampiezza dell intervallo definito dall incertezza. Le incertezze rappresentate su uno stesso grafico devono essere confrontabili, quindi espresse con lo stesso livello di confidenza. 36 Compatibilità delle misure Se si esegue la misura di una grandezza (magari con metodi diversi) si ottengono non solo risultati diversi ma anche i valori medi e le incertezze ad essi associati sono in generale differenti. Nel grafico sono riportate i risultati di tre serie di misure della celerità del suono in termini di media e relativa incertezza. Cosa ci suggerisce? Le diverse misurazioni sono confrontabili o, per meglio dire, compatibili? Una misura, come è ormai noto, è una misura aleatoria ed è quindi generalmente impossibile che le medie di sue serie di misure abbiano lo stesso valore: il confronto diretto del valore della grandezza, senza considerare le incertezze, sarebbe dunque fuorviante. Due misurazioni sono compatibili se gli intervalli di confidenza sono, almeno parzialmente, sovrapposti. 37 8

19 Compatibilità delle misure La compatibilità delle misure, riportate allo stesso livello di confidenza, è una condizione che si verifica quando gli intervalli di incertezza assegnati hanno un sotto-intervallo in comune. Il termine compatibilità sostituisce quello di uguaglianza poiché trattiamo una grandezza statistica e non deterministica. Per avere compatibilità tra due misure è necessario e sufficiente che esista un intervallo comune a tutte le fasce di valore: un insieme di misure che soddisfa a questa condizione è detto mutuamente compatibile. 38 Compatibilità delle misure La compatibilità non è una proprietà transitiva. A B C Dalle tre misure riportate nel grafico superiore: le coppie A-B e B-C sono mutuamente compatibili, avendo A-B la fascia azzurra e B-C la fascia rosa in comune; le coppie A e C non sono compatibili perché non ci sono elementi comuni nei loro intervalli

20 Da ricordare Come si calcolano le incertezze in funzione delle informazioni disponibili. Come si recuperano le informazioni per il calcolo delle incertezze. Come si definiscono le incertezze estese per un assegnato livello di confidenza. Come si definiscono le incertezze propagate per un assegnato livello di confidenza. Come si confrontano misure affette da incertezza Domande? 4 0

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