Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica finanziaria aa lezione 5: 24 febbraio 2014

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1 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca fnanzara aa lezone 5: 24 febbrao 2014 professor Danele Rtell 1/24?

2 Eserczo Trovare quale legge d captalzzazone f(t) ha ntenstà stantanea d nteresse δ(t) = t. Successvamente stablre l tempo t 2 necessaro per l raddoppo del captale con la funzone montante così determnata. 2/24?

3 Eserczo Trovare quale legge d captalzzazone f(t) ha ntenstà stantanea d nteresse δ(t) = t. Successvamente stablre l tempo t 2 necessaro per l raddoppo del captale con la funzone montante così determnata. m(t; C) = C exp ( t 0 ) ds 1 + s 2/24?

4 Eserczo Trovare quale legge d captalzzazone f(t) ha ntenstà stantanea d nteresse δ(t) = t. Successvamente stablre l tempo t 2 necessaro per l raddoppo del captale con la funzone montante così determnata. m(t; C) = C exp ( t 0 ) ds 1 + s = Ce ln(1+t) = C(1 + t) 2/24?

5 Eserczo Trovare quale legge d captalzzazone f(t) ha ntenstà stantanea d nteresse δ(t) = t. Successvamente stablre l tempo t 2 necessaro per l raddoppo del captale con la funzone montante così determnata. ( t m(t; C) = C exp 0 ) ds 1 + s = Ce ln(1+t) = C(1 + t) dunque f(t) = 1 + t attenzone al msprnt d pagna 15 2/24?

6 Eserczo Trovare quale legge d captalzzazone f(t) ha ntenstà stantanea d nteresse δ(t) = t. Successvamente stablre l tempo t 2 necessaro per l raddoppo del captale con la funzone montante così determnata. ( t m(t; C) = C exp 0 ) ds 1 + s = Ce ln(1+t) = C(1 + t) dunque f(t) = 1 + t attenzone al msprnt d pagna 15 er l raddoppo s deve rsolvere l equazone 2 = 1 + t 2/24?

7 Yeld curve La curva de rendment, n funzone del tempo t è la meda della forza d nteresse (spot rate) nell ntervallo [0, t] δ(t) := 1 t t 0 δ(s)ds 3/24?

8 Yeld curve La curva de rendment, n funzone del tempo t è la meda della forza d nteresse (spot rate) nell ntervallo [0, t] δ(t) := 1 t t 0 δ(s)ds In questo modo posamo rscrvere la legge d captalzzazone come m(t; C) = Ce δ(t) t 3/24?

9 Yeld curve La curva de rendment, n funzone del tempo t è la meda della forza d nteresse (spot rate) nell ntervallo [0, t] δ(t) := 1 t t 0 δ(s)ds In questo modo posamo rscrvere la legge d captalzzazone come m(t; C) = Ce δ(t) t In regme composto la curva de rendment è patta essendo δ(t) = 1 t t 0 δds = δ 3/24?

10 Mentre nel regme semplce, dove δ(t) = 1 + t s ha δ(t) = 1 t ln(1 + t) 4/24?

11 Attualzzazone L attualzzazone pone l problema nverso della captalzzazone. E possede un ttolo d credto esgble nel futuro Questo sgnfca n concreto che un soggetto D s mpegna a corrspondere a E l captale C n una fssata data futura operazone d attualzzazone s nverte la stuazone studata nella captalzzazone 5/24?

12 Attualzzazone L attualzzazone pone l problema nverso della captalzzazone. E possede un ttolo d credto esgble nel futuro Questo sgnfca n concreto che un soggetto D s mpegna a corrspondere a E l captale C n una fssata data futura E decde d rvolgers ad un ntermedaro B allo scopo d cedere mmedatamente l credto, n modo da avere subto dsponble l captale C a < C operazone d attualzzazone s nverte la stuazone studata nella captalzzazone 5/24?

13 Defnzone. Dremo legge d attualzzazone assocata alla legge d captalzzazone m(t; C) la funzone a (t; C): m (t; a(t; C)) = C 6/24?

14 La funzone d attualzzazone è determnata dalla funzone captalzzazone cu fa rfermento C = m (t; a(t; C)) 7/24?

15 La funzone d attualzzazone è determnata dalla funzone captalzzazone cu fa rfermento C = m (t; a(t; C)) = a(t; C) f(t) 7/24?

16 La funzone d attualzzazone è determnata dalla funzone captalzzazone cu fa rfermento C = m (t; a(t; C)) = a(t; C) f(t) 7/24?

17 La funzone d attualzzazone è determnata dalla funzone captalzzazone cu fa rfermento C = m (t; a(t; C)) = a(t; C) f(t) a(t; C) = C f(t) 7/24?

18 La funzone d attualzzazone è determnata dalla funzone captalzzazone cu fa rfermento C = m (t; a(t; C)) = a(t; C) f(t) a(t; C) = C f(t) ϕ(t) = 1 f(t) 7/24?

19 La funzone d attualzzazone è determnata dalla funzone captalzzazone cu fa rfermento C = m (t; a(t; C)) = a(t; C) f(t) a(t; C) = C f(t) ϕ(t) = 1 f(t) s dce fattore d attualzzazone conugato al fattore d captalzzazone. È ben defnto n forza del fatto che f(t) > 0. 7/24?

20 I fattor d attualzzazone conugat rspettvamente alle legg lneare ed esponenzale sono: ϕ L (t) = t, 8/24?

21 I fattor d attualzzazone conugat rspettvamente alle legg lneare ed esponenzale sono: ϕ L (t) = t, ϕ E(t) = 1 (1 + ) t 8/24?

22 I fattor d attualzzazone conugat rspettvamente alle legg lneare ed esponenzale sono: ϕ L (t) = t, ϕ E(t) = 1 (1 + ) t qund le legg d attualzzazone ne due regm sono a L (t; C) = C 1 + t, a E(t; C) = C (1 + ) t 8/24?

23 Valore attuale e forza d nteresse a(t; C) = C exp ( t 0 ) δ(s)ds 9/24?

24 Rendte Il concetto d rendta ha nel calcolo fnanzaro la funzone d strumento d ndagne teorca nella valutazone d dverse stuazon fnanzare che s verfcano n stant temporal dvers. 10/24?

25 Rendte Il concetto d rendta ha nel calcolo fnanzaro la funzone d strumento d ndagne teorca nella valutazone d dverse stuazon fnanzare che s verfcano n stant temporal dvers. La comprensone d questa nozone è ndspensable quando ad una prestazone fnanzara fanno rscontro un certo numero d controprestazon, cascuna delle qual matura n stant dvers: rmborso d un prestto o valutazone d un nvestmento 10/24?

26 Defnzone Sa n N un ntero postvo. S dce rendta temporanea, un nseme fnto d captal Cs, dsponbl a temp ts, s = 1, 2..., n 0 C1 C2 C3 t1 t2 t3... Cs... ts Cn tn Fgura 1: Asse de temp R = (ts ; Cs ) 11/ L2 3M 33 22?

27 Defnzone. Sa assegnata la rendta R = (t s ; C s ) e sa f(t) un fattore d montante. La quanttà: n V (R; t n ) = C k f(t n t k ) k=1 prende l nome d montante della rendta R all stante fnale t n 12/24?

28 Montante n Regme composto V (R; t n ) = n C k (1 + ) t n t k k=1 13/24?

29 Montante n Regme semplce V (R; t n ) = n k=1 ) C k (1 + (t n t k ) 14/24?

30 Defnzone. Sa assegnata la rendta R = (t s ; C s ) e sa ϕ(t) un fattore d sconto. Il valore attuale della rendta R è: n V (R; 0) = C k ϕ(t k ) k=1 15/24?

31 Valore attuale n Regme composto V (R; 0) = n C k (1 + ) t k k=1 16/24?

32 Valore attuale n Regme semplce V (R; 0) = n C k (1 + t k ) 1 k=1 17/24?

33 Eserczo. Una rendta è costtuta da captal 800, 250, 1 500, qual sono dsponbl rspettvamente dopo un mese, quarantotto gorn, quattro mes, otto mes e dec gorn dall orgne della rendta. Determnare, n regme semplce, l montante ed l valore attuale al tasso annuo = 0, /24?

34 Eserczo. Una rendta è costtuta da captal 800, 250, 1 500, qual sono dsponbl rspettvamente dopo un mese, quarantotto gorn, quattro mes, otto mes e dec gorn dall orgne della rendta. Determnare, n regme semplce, l montante ed l valore attuale al tasso annuo = 0, 06. Soluzone {( ) 30 R = 360 ; 800, ( ) ; 250, ( ) ; 1 500, ( )} ; /24?

35 Eserczo. Determnare, n regme semplce, l montante ed l valore attuale al tasso annuo = 0, 06. Soluzone {( ) 30 R = 360 ; 800, {( ) 1 R = 12 ; 800, ( ) ; 250, ( ) 2 15 ; 250, ( ) ; 1 500, ), ( 1 3 ; ( )} ; )} ( ; /24?

36 Eserczo. Soluzone {( ) 1 R = 12 ; 800, V ( R; 25 ) 36 = [ = = 3 820, 25 ( ) 2 15 ; 250, ( ) 1 3 ; 1 500, ( )] ( )] [ [ [ ( )} ; ( )] + 15 ( )] 36 21/24?

37 Eserczo. Soluzone {( ) 1 R = 12 ; 800, V (R; 0) = = = 3 666, 62 ( ) 2 15 ; 250, ( ) 1 3 ; 1 500, ( )} ; /24?

38 Eserczo. Una rendta è costtuta da captal 800, 250, 1 500, qual sono dsponbl rspettvamente dopo un mese, quarantotto gorn, quattro mes, otto mes e dec gorn dall orgne della rendta. Determnare, n regme composto, l montante ed l valore attuale al tasso annuo = 0, 06. V ( R; 25 36) = 3 819, 21 V (R; 0) = 3 667, 75 23/24?

39 Eserczo. Una rendta è costtuta da captal 800, 250, 1 500, qual sono dsponbl rspettvamente dopo un mese, quarantotto gorn, quattro mes, otto mes e dec gorn dall orgne della rendta. Determnare, n regme composto, l montante ed l valore attuale al tasso annuo = 0, 06. V ( R; 36) 25 = 3 819, 21 V (R; 0) = 3 667, 75 NB 3 819, 21 = 3 667, 75 ( ) /24?

40 Eserczo Una rendta è costtuta da due termn: 3 all epoca t = 1 e 4 all epoca t = 2. Sapendo che l suo valore attuale è d 6 determnare, n regme esponenzale l tasso untaro d nteresse. 24/24?

41 Eserczo Una rendta è costtuta da due termn: 3 all epoca t = 1 e 4 all epoca t = 2. Sapendo che l suo valore attuale è d 6 determnare, n regme esponenzale l tasso untaro d nteresse. V (R, 0) = 3 (1 + ) (1 + ) 2 24/24?

42 Eserczo Una rendta è costtuta da due termn: 3 all epoca t = 1 e 4 all epoca t = 2. Sapendo che l suo valore attuale è d 6 determnare, n regme esponenzale l tasso untaro d nteresse. V (R, 0) = 3 (1 + ) (1 + ) 2 v = (1 + ) 1 = 4v 2 + 3v 6 = 0 24/24?

43 Eserczo Una rendta è costtuta da due termn: 3 all epoca t = 1 e 4 all epoca t = 2. Sapendo che l suo valore attuale è d 6 determnare, n regme esponenzale l tasso untaro d nteresse. V (R, 0) = 3 (1 + ) (1 + ) 2 da cu v = 1 8 v = (1 + ) 1 = 4v 2 + 3v 6 = 0 ( ) = 0, e = 1 = 0, v 24/24?