Teoria dei Giochi. Dr. Giuseppe Rose Università degli Studi della Calabria Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata a.a 2011/2012 Handout 5

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1 Teoria dei Giochi Dr. Giuseppe Rose Università degli Studi della Calabria Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata a.a 2011/2012 Handout 5 1 L Equilibrio di Nash con strategie miste Fino ad ora abbiamo focalizzato la nostra attenzione sul concetto di Nash equilibrium in strategie pure, ovvero abbiamo escluso la possibilità che i giocatori giochino delle strategie miste. In realtà, come abbiamo visto è possibile avere delle strategie miste. Un tipico gioco con strategie miste è indicato da: G = (S i ; E[ i ]) n i=1 (1) dove S i rappresenta l insieme di tutte le possibili distribuzioni di probabilità sull insieme delle strategie pure del giocatore i ( n i=1 S i = ); ed E[ i ] rappresenta il payo atteso. Una strategia i 2 S i è una strategia mista e cioè una particolare distribuzione di probabilità sulle strategie pure dell individuo i. De nizione 1 Un pro lo di strategie = ( i ; i ) 2 è un equilibrio di Nash in strategie miste del gioco G se per ogni i : E[ i ( i ; i)] E[ i ( i ; i)] 8 i 2 S i : Possiamo dare anche una de nizione alternativa. Si de nisca per ogni i 2 i S i l insieme delle migliori risposte (best response) rispetto alla strategia i nel modo seguente: i ( i ) = i 2 S i je[ i ( i ; i )] E[ i ( 0 i; i )] 8 0 i 2 S i De nizione 2 Un equilibrio di Nash in strategie miste è un pro lo di strategie = ( i ; i ) tale che i 2 i( i ) per ogni giocatore i: Si noti che se è un equilibrio di nash e (s i ) > 0 allora s i non può essere una strategia dominata in senso stretto. D ora in poi ci riferiremo all equilibrio 1

2 di Nash in strategie miste indicandolo come MNE (ovvero mix strategy Nash equilibrium). Esempio: A2 B2 C2 A1 4, 3-1, -1 0, 0 Giocatore 1 B1-1, -1-2, -2-1, -1 C1 0, 0-1, -1 5, 2 Nel gioco indicato sopra abbiamo due equilibri di nash in strategie pure: (A1; A2) e (C1; C2). E importante ricordare che ogni strategia pura è una strategia mista degenerata. Esiste un MNE in questo gioco? Cerchiamo di capire. Si consideri la seguente strategia mista del giocatore 2: 2 = (p 2 ; q 2 ; 1 p 2 q 2 ): Data tale strategia mista del giocatore 2, cosa farà il giocatore 1? E necessario calcolare quali sono i suoi payo attesi data tale strategia 2 : Se il giocatore 1 sceglie A1 avremo: Se sceglie B1: E[ 1 (A1; 2 )] = 4p 2 1q = q 2 + 4p 2 : Se sceglie C1 : E[ 1 (B1; 2 )] = 1p 2 2q 2 1(1 p 2 q 2 ) = 1 q 2 : E[ 1 (C1; 2 )] = 0 q 2 + 5(1 p 2 q 2 ) = 6q 2 5p 2 + 5: Supponiamo adesso che la strategia del giocatore 2 sia 2 = (5=9; 0; 4=9): Possiamo adesso calcolare i payo s attesi per il giocatore 1: E[ 1 (A1; 2 )] = = 20 9 E[ 1 (B1; 2 )] = 1 E[ 1 (C1; 2 )] = = 20 9 : 2

3 Quello che si può vedere facilmente è che, data questa particolare strategia mista del giocatore 2, il giocatore 1 non giocherebbe mai la strategia B1; mentre egli risulta indi erente tra la strategia A1 e la strategia C1 poichè queste gli garantiscono lo stesso payo atteso. Poichè il giocatore 1 è indi erente tra le due strategie A1 e C1; e non giocherà mai la strategia B1; egli può giocare una strategia mista che prevede una distribuzione positiva di probabilità sulle strategie A1 e C1 e che attribuisce una probabilità zero alla strategia B1: Tale strategia mista garantisce lo stesso payo atteso data la strategia 2 = (5=9; 0; 4=9). Ogni strategia che attribuisce una probabilità positiva alle due strategie A1 e una probabilità pari a zero alla strategia B1 è una best response alla strategia 2 : Mettiamoci adesso nei panni del giocatore due. Consideriamo adesso la seguente strategia mista del giocatore 1: 1 = (p 1 ; q 1 ; 1 p 1 q 1 ): Possiamo calcolare i payo s attesi per il giocatore 2: Se sceglie B1: E[ 2 ( 1 ; A2)] = 3p 1 q 1 Se sceglie C1 : E[ 2 ( 1 ; B2)] = p 1 2q 1 (1 p 1 q 1 ) = 1 q 1 E[ 2 ( 1 ; C2)] = q 1 + 2(1 p 1 q 1 ) = 2 3q 1 2p 1 : Suente strategia mista per il giocatore 1: 1 = (2=5; 0; 3=5): Calcoliamo i payo s attesi del giocatore 2 data 1 : E[ 2 ( 1 ; A2)] = 6 5 E[ 2 ( 1 ; B2)] = 1 E[ 2 ( 1 ; C2)] = 6 5 : Data questa particolare strategia del giocatore 1, possiamo vedere che al giocatore 2 non conviene mai giocare B2 ed in più egli è indi erente tra C2 ed A2: Ogni strategia mista che prevede una attribuzione di probabilità pari a zero per la strategia B2 e una distribuzione di probabilità positiva per le strategie A2 e C2 è una best response alla strategia 1 = (2=5; 0; 3=5): A questo punto, è la strategia 1 = (2=5; 0; 3=5) una best response alla strategia 2 = (5=9; 0; 4=9)? Abbiamo detto di si, poichè tale strategia 1 attribuisce probabilità positive solo alla strategia A1 e C1: E la strategia 2 = (5=9; 0; 4=9) una best response alla strategia 1 = (2=5; 0; 3=5)? 3

4 Abbiamo detto di si, poiché tale strategia attribuisce probabilità positive solo alle strategie A2 e C2: Abbiamo stabilito che le due strategie 1 e 2 sono best response l una dell altra. Questo signi ca che le due strategie costituiscono un MNE: ( 2) ( 1): Infatti, le due strategie sono best response l una dell altra. Da tali distribuzioni di probabilità nessuno dei due giocatori ha incentivo a muoversi. Quindi possiamo concludere che il seguente pro lo di strategie miste rappresenta un MNE: = ( 1; 2) = ([2=5; 0; 3=5]; [5=9; 0; 4=9]): A questo punto è ovvio chiedersi come abbiamo trovato le le due distribuzioni di probabilità che abbiamo usato. Cerchiamo di capire. Ritorniamo un attimo ai payo s del giocatore 1 data la generica strategia mista del giocatore 2 2 = (p 2 ; q 2 ; 1 p 2 q 2 ): E[ 1 (A1; 2 )] = q 2 + 4p 2 E[ 1 (B1; 2 )] = 1 q 2 E[ 1 (C1; 2 )] = 6q 2 5p 2 + 5: In questa situazione se io trovo che ho una strategia pura che mi genera sempre un payo più grande rispetto a quello generato da altre strategie pure, io giocherò sempre la strategia pura che mi genera un payo più alto. A nchè la mia strategia dominante preveda che io decida di randomizzare tra due strategie pure è necessario che il payo che si ricava dall attuazione di una delle strategie pure su cui sto randomizzando non sia sempre più alto rispetto al payo generato dall altra strategia pura dato 2 : Detto ciò, possiamo dare questa ulteriore de nizione di MNE: De nizione 3 Un pro lo di strategie = ( i ; i ) è un equilibrio di Nash in strategie miste se e solo se: 8i se i (s i) > 0 =) E[ i (s i ; i )] E[ i(s 0 i ; i )]: Partendo da tale considerazioni, consideriamo il seguente gioco: p 2 1 p 2 A2 B2 Giocatore 1 A1 2, 10 5, 4 B1 6, 1 2, 3 4

5 In questo gioco non ci sono strategie pure che generano equilibri di Nash. Consideriamo i seguenti pro li di strategie miste: 1 = (p 1 ; 1 p 1 ) 2 = (p 2 ; 1 p 2 ): Il giocatore 1 sarà indi erente tra le strategie A1 e B1 solo se queste generano lo stesso payo. Egli randomizza sulle strategie solo se queste danno lo stesso payo, ovvero egli randomizza solo se: E[ 1 (A1; 2 )] = E[ 1 (B1; 2 )] 5 3p 2 = 2 + 4p 2 p 2 = 3 7 : A nchè il giocatore 1 sia indi erente (e quindi randomizzi) tra le strategie A1 e B1 è necessario che il giocatore 2 giochi la strategia A2 con probabilità 3/7 e la strategia B2 con probabilità (1-(3/7))=4/7. Allo stesso modo per il giocatore 2, a nché egli randomizzi tra A2 e B2 è necessario che i payo attesi da tali strategie siano uguali, ovvero: E[ 2 ( 1 ; A2)] = E[ 2 ( 1 ; B2)] 10 + (1 p 1 ) = 4p 1 + 3(1 p 1 ) p 1 = 1 4 : A nché il giocatore 2 sia indi erente tra la strategia A2 e la strategia B2 è necessario che il giocatore 2 giochi la strategia A1 con probabilità 1/4 e la strategia B2 con probabilità 3/4. Se il giocatore 2 sta attribuendo esattamente le probabilità richieste dal giocatore 1, il giocatore 1 può randomizzare e cioè attribuire probabilità positive alle due strategie. Allo stesso modo se il giocatore 1 sta attribuendo alle sue strategie una probabilità pari a quella richiesta dal giocatore 2, il giocatore 2 può randomizzare e cioè attribuire probabilità positive alle sue strategie. Se entrambi i giocatori randomizzano come richiesto dall altro giocatore, le due randomizzazioni danno origine ad un equilibrio nel quale le randomizzazioni sono best response l una dell altra: = ([1=4; 3=4]; [3=7; 4=7]): Cosa succede nel nostro gioco se una delle due probabilità aumenta o diminuisce leggermente? Il MNE si rompe, poichè ad uno dei due giocatori non conviene più randomizzare. Ritorniamo al nostro esempio di partenza: 5

6 A2 B2 C2 A1 4, 3-1, -1 0, 0 Giocatore 1 B1-1, -1-2, -2-1, -1 C1 0, 0-1, -1 5, 2 La prima cosa che possiamo vedere è che le strategie B2 e B1 sono strettamente dominate. Assumendo RAT 2 posso considerare il seguente gioco piu piccolo: A2 C2 A1 4, 3 0, 0 Giocatore 1 C1 0, 0 5, 2 Che è un gioco con 2 equilibri di nash in strategie pure. Esiste un equilibrio MNE? Vediamo. Il giocatore 1 ottiene un payo atteso dalla strategia A1 che è pari a: a: E[ 1 (A1; 2 )] = 4p 2 Allo stesso tempo egli ottiene un payo atteso dalla strategia C1 che è pari E[ 1 (C1; 2 )] = 5(1 p 2 ): Egli sarà indi erente tra le due strategie solo se E[ 1 (A1; 2 )] = E[ 1 (C1; 2 )]; ovvero solo se p 2 = 5=9: Dato il pro lo di strategie 2 = (5=9; 0; 4=9) il giocatore 1 è indi erente tra le sue due strategie perchè egli ottiene lo stesso risultato. Questo vuol dire che una randomizzazione 1 sul suo set di strategie A1 C1 è una best response alla strategia 2 = (5=9; 0; 4=9): A questo punto possiamo fare lo stesso ragionamento per il giocatore 2 e chiederci per quali valori di p 1 egli è indi erente tra la strategia A2 e la strategia B2: E[ 2 ( 1 ; A2)] = 3p 1 E[ 2 ( 1 ; C2)] = 2(1 p 1 ): Il giocatore 2 sarà indi erente rispetto alle sue strategie A2 e C2 solo se E[ 2 ( 1 ; A2)] = E[ 2 ( 1 ; C2)] ovvero solo se p 1 = 2=5: Quindi una generica randomizzazione 2 è una best response alle strategia 1 = (2=5; 0; 3=5): L equilibrio di Nash è dato dalle due distribuzioni di probabilità che fanno si che nessuno dei due individui abbia incentivo a muoversi da tale posizioni e che queste siano entrambe le migliori risposte l una dell altra. Tali distribuzioni sono: = ( 1; 2) = ([2=5; 0; 3=5]; [5=9; 0; 4=9]): 6

7 Il gioco dei matching pennies illustrato gra camente dal vostro libro (p. 48) fornisce una chiara illustazione gra ca del concetto di MNE. 1.1 Considerazioni Il MNE è soggetto a critiche per due motivi. 1) I giocatori non si a dano alle randomizzazioni. 2) E un concetto di equilibrio debole: piccoli turbamenti nelle distribuzioni di probabilità "rompono". Le giusti cazioni sono: 1) Le randomizzazioni non devono essere viste come tali ma più propriamente possono essere interpreyate come le risultanti di diversi "tipi" di giocatori, scelti a caso, onguno dei quali ha la caratteristica di giocare una sola strategia. Nel gioco appena visto sono necessari 9 giocatori 2 (5 che giocano A2 e 4 che giocano C2) e 5 giocatori 1 (2 che giocano A1 e 3 che giocano C2). 2) Il MNE è il limite dei giochi bayesiani dove c è asimmetria informativa (li vedremo più avanti). 2 Accenni sull esistenza dell equilibrio di Nash Il presente corso prevede una durata troppo breve per entrare nei dettagli riguardo alle condizioni che garantiscono l esistenza dell equilibrio di Nash in strategie pure e miste. Qui ci limiteremo a dire che l equilibrio di Nash esiste sicuramente in un gioco G = (S i ; i ) n i=1 se (le seguenti condizioni sono su - cienti e non necessarie, cioè il NE potrebbe esistere anche se esse non sono veri cate): 1) S i è un insieme convesso e compatto; 2) i è una funzione strettamente quasi concava in s i ; 3) i è una funzione continua in S = (S 1; S 2 :::S n ): Per capire, nel modello di bertrand non è veri cata la terza condizione ma l equilibrio di nash esiste ugualmente. Un equilibri di Nash in strategie miste esiste sempre per qualsiasi gioco purchè l insieme S i sia nito per ogni i: 3 Esercizi 1)Dopo aver cancellato le stratedgie strettamente dominate (assumendo RAT 2 ) disegnare le curve di best response per i due giocatori e trovare gra camente il MNE del seguente gioco (già studiato nella dispensa): A2 B2 C2 A1 4, 3-1, -1 0, 0 Giocatore 1 B1-1, -1-2, -2-1, -1 C1 0, 0-1, -1 5, 2 7

8 2) Si consideri il seguente gioco: A2 B2 C2 D2 A1 0, 7 2, 5 7, 0 0, 1 Giocatore 1 B1 5, 2 3, 3 5, 2 0, 1 C1 7, 0 2, 5 0, 7 0, 1 D1 0, 0 0, -2 0, 0 10, -1 a) Si dimostri che D2 è una strategia dominata in senso stretto da una strategia mista. b) Si calcoli l insieme delle strategie che sopravvivono alla cancellazione iterativa per entrambi i giocatori. 8