Sistemi e segnali a tempo discreto

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1 Sistemi e segnali a tempo discreto Segnali Per segnale si intende una grandezza fisica qualsiasi a cui è associata informazione. L informazione che trasporta il segnale, lo caratterizza. I segnali possono essere grandezze fisiche di natura diversa, ossia di tipo: acustico, elettrico, luminoso, elettromagnetico, ecc. Di solito, si è interessati all'andamento temporale di tale grandezza: SEGNALE FUNZIONE DEL TEMPO M. Usai Circuiti digitali 2 1

2 La trasmissione dei segnali può avvenire lungo percorsi prestabiliti: circuiti e guide d onda o nell aria. Durante la trasmissione, il segnale può subire interferenze, rumore, diafonie, distorsioni che possono alterare la forma e l informazione. Per contrastare e ridurre tali fenomeni, i segnali possono essere amplificati, attenuati, elaborati attraverso dei dispositivi detti filtri. L analisi e la caratterizzazione di un filtro si effettua analizzando la risposta del filtro ad un ingresso test composto da segnali campione, come l impulso, il gradino ecc. Principalmente lo studio dei segnali si effettua esaminando : l andamento nel dominio del tempo e lo spettro nel domino della frequenza. M. Usai Circuiti digitali 2 2

3 Più in generale si esamina l'andamento di una grandezza in funzione di un numero qualsiasi di grandezze SEGNALE FUNZIONE DI PIÙ VARIABILI INDIPENDENTI. Per esempio: il segnale voce è una funzione continua e limitata del tempo e le immagini sono funzioni continue e limitate dello spazio bidimensionale (2 variabili x, y) o tridimensionale (3 variabili x, y e z). M. Usai Circuiti digitali 2 3

4 I segnali possono essere: s. analogici, esprimibili con funzioni continue. L ampiezza di questi segnali può assumere qualunque valore, nel suo intervallo di definizione. s. discreti, esprimibili con funzioni discrete. L ampiezza può assumere solo un insieme finito di valori nel campo di definizione della variabile indipendente. Essi sono esprimibili con funzioni discrete i cui valori sono calcolati per un insieme definito di punti (non necessariamente equispaziati) della variabile indipendente. s. digitali, esprimibili con funzioni discrete ed a precisione limitata. Essi sono rappresentabili con un codice contenente un numero finito di cifre (tipicamente binarie) M. Usai Circuiti digitali 2 4

5 Si deve tenere sempre presente che : I concetti di base e le relazioni della teoria dei segnali e dei sistemi discreti nel tempo sono analoghi a quelli dei segnali e sistemi continui nel tempo. M. Usai Circuiti digitali 2 5

6 Segnali analogici I segnali analogici sono segnali che riproducono l'andamento di grandezze del mondo fisico e con esse sono in stretta analogia. Come esempio si possono considerare le tensioni e le correnti in un circuito elettrico ed elettronico. Per la loro natura sono esprimibili con funzioni limitate, reali e ovunque continue: t R e x(t) R M. Usai Circuiti digitali 2 6

7 2. Sistemi e segnali a tempo discreto 2.1 Segnali discreti I segnali discreti sono definiti come funzioni di variabili indipendenti che possono assumere solo un insieme finito di valori discreti. Un segnale discreto nel tempo x, consiste in una sequenza di numeri indicata con x n, x(n) o x(nt), essendo n un indice intero. L'espressione x(nt) indica che la sequenza è derivata o legata a un segnale continuo nel tempo (es: campionamento di x(t) negli istanti t=nt). M. Usai Circuiti digitali 2 7

8 Si usa la notazione x(n) quando: la variabile indipendente è diversa dal tempo; la sequenza é prodotta con un segnale campionato in istanti non equispaziati e non é necessario legare la sequenza direttamente al segnale continuo nel tempo. In generale si indica con: x(n) un singolo numero della sequenza per un dato indice di valore n e con; {x(n)} un insieme infinito che comprende la sequenza. M. Usai Circuiti digitali 2 8

9 Si può definire la somma di due sequenze: { x ( n) } + { y( n) } = { x( n) + y( n) } (2.1.1) e il prodotto di una costante per una sequenza: { x( n) } { a* x( n) } (2.1.2) a = M. Usai Circuiti digitali 2 9

10 Esistono sequenze di particolare importanza alle quali sono state date nomi specifici: Impulso unitario ( unit-sample) o sequenza impulso (impulse-sequence) definita per tutti i valori di n da: δ ( n) = 1, 0, n = 0 n 0 (2.1.3) La sua notazione è simile a quella della funzione impulso o funzione di Dirac, utilizzata nella teoria dei sistemi continui nel tempo M. Usai Circuiti digitali 2 10

11 L impulso unitario è una funzione molto utilizzata, infatti una sequenza arbitraria può essere rappresentata come una somma di impulsi ritardati e scalati (proprietà del campionamento), ossia: x[ n] = + x k = [ k] δ [ n k] Gradino unitario ( unit step): definita per tutti i valori di n da: 1, n 0 u( n) = (2.1.4) 0, n < 0 M. Usai Circuiti digitali 2 11

12 Il gradino unitario viene utilizzato per rappresentare altre sequenze come la sequenza esponenziale: a n u( n) = a 0, n, n 0 n < 0 (2.1.5) Una operazione importante sulla sequenza x(n) è quella dell'operatore ritardo di nd campioni ( delay by nd ) che genera un'altra sequenza: y(n) = x(n - nd) M. Usai Circuiti digitali 2 12

13 Per esempio: p(n) = u(n-n1)-u(n-n2) è una sequenza rettangolare di durata finita e di ampiezza unitaria: il cui primo campione diverso da zero si ha per n = n1 e gli elementi diversi da zero si hanno per n1 n n2, assumendo che n2 > n1. Il termine delay (ritardo ) è utilizzato per n corrispondente a valori discreti nel tempo; il termine shift (sfasamento) è un termine più appropriato in un altri contesti. Se il valore di nd è negativo, per descrivere l'operazione si usa il termine anticipo (advance) e si pone na = -nd: y(n) = x(n+ na) M. Usai Circuiti digitali 2 13

14 Fig. 2.1 Sequenze: impulso, gradino unitario, sequenza rettangolare, sequenza esponenziale M. Usai Circuiti digitali 2 14

15 Una sequenza è detta periodica se e solo se : x(n) = x(n+ np) per alcuni np interi per tutti i valori di n. Per una sequenza periodica i segnali risultano equispaziati. Si noti che il campionamento di segnali periodici continui nel tempo per produrre x(n), non assicura che x(n) sia una sequenza periodica, a meno che(n p T)sia un multiplo intero del periodo del segnale continuo nel tempo, dove T è l'intervallo di campionamento. Per una sequenza x(n) generica i campioni non sono necessariamente equispaziati. M. Usai Circuiti digitali 2 15

16 Segnali digitali (o quantizzati) I segnali digitali sono definiti come funzioni discrete di variabili indipendenti discrete e sono una sequenza di numeri digitali. La discretizzazione si ha sia nel dominio che nel codominio. Ai numeri digitali si devono associare: la grandezza e la precisione. Esistono vari tipi di rappresentazione dei numeri digitali, per esempio: intera (complemento a 2), reale (fixed-point, floatingpoint) M. Usai Circuiti digitali 2 16

17 La discrettizazione dei segnali comporta che per ciascun intervallo della variabile indipendente si associ un solo valore alla variabile indipendente. Ciò introduce degli errori detto errori di quantizzazione, dovuti alla differenza tra il valore quantizzato e il suo valore reale. Tali errori diminuiscono: al diminuire dell intervallo di campionamento del segnale e all aumentare del numero di livelli della quantizzazione (dimensione degli intervalli in cui si suddivide il campo dei possibili valori). M. Usai Circuiti digitali 2 17

18 Sistemi per il trattamento dei segnali Così come sono stati suddivisi i segnali, si possono suddividere i sistemi per il loro trattamento: SISTEMI ANALOGICI: SEGNALE CIRCUITO ANALOGICO SEGNALE ANALOGICO x(t) ANALOGICO y(t) dove x(t) e y(t) sono segnali analogici (Per esempio il doppio bipolo). M. Usai Circuiti digitali 2 18

19 SISTEMI DISCRETO: SEGNALE CIRCUITO NUMERICO SEGNALE DISCRETO x(t) DISCRETO y(t) dove x(t) e y(t) sono sequenze SISTEMI DIGITALE: SEGNALE CIRCUITO NUMERICO SEGNALE DIGITALE x(t) DIGITALE y(t) dove x(t) e y(t) sono sequenze e il circuito numerico è a precisione finita. M. Usai Circuiti digitali 2 19

20 SISTEMI ANALOGICI I s. a. sono usualmente realizzati con circuiti elettrici a costanti concentrate o distribuite. I vantaggi sono: alta velocità; basso costo potenziale; capacità di gestire anche grandi potenze. Gli svantaggi sono: sensibilità al rumore; mancanza di riproducibilità; scarsa flessibilità: M. Usai Circuiti digitali 2 20

21 SISTEMI DIGITALI I s.d. sono una buona approssimazione dei sistemi discreti che spesso vengono realizzati con circuiti digitali programmabili. I vantaggi sono: riproducibilità; insensibilità al rumore; alta flessibilità (capacità di adattamento, etc.); basso costo rapportato alla complessità; possibilità di integrazione a larga scala (VLSI, WSI); facilità di interazione con gli operatori umani (buona interfaccia uomo-macchina). Gli svantaggi sono: bassa velocità; allo stato attuale scarsamente capaci di gestire potenze; hanno problemi di precisione (rumore interno). M. Usai Circuiti digitali 2 21

22 2.2 Sistemi e filtri discreti nel tempo Se una sequenza x(n) viene utilizzata per produrre un'altra sequenza y(n), si può pensare a queste sequenze come input e output rispettivamente di un sistema o filtro discreto nel tempo come illustrato in figura 2.2(a): x(n) Filtro LTI y(n) δ(n) Filtro LTI h(n) Fig. 2.2 Filtro LTI Lineare Tempo Invariante con a) generico input e output o b) input impulso δ(n) e risposta impulsiva h(n) M. Usai Circuiti digitali 2 22

23 In generale per un filtro si ha che: x(n) y(n) input output x(n) FILTRO y(n) Il filtro è digitale quando x(n) e y(n) possono assumere solo un numero finito di possibili valori di ampiezza. M. Usai Circuiti digitali 2 23

24 Un filtro discreto nel tempo è lineare se, essendo assegnate le sequenze di input x 1 (n) e x 2 (n), che danno in uscita al sistema rispettivamente le sequenze di output y 1 (n) e y 2 (n), una combinazione lineare qualsiasi di x 1 (n) e x 2 (n) in ingresso x(n) = a x 1 (n) + b x 2 (n), da in uscita y(n) = a y 1 (n) + b y 2 (n) ossia se: x 1 (n) y 1 (n) e x 2 (n) y 2 (n) allora: x(n) = a x 1 (n) + b x 2 (n) y(n) = a y 1 (n) + b y 2 (n) per tutti i valori di a e di b. M. Usai Circuiti digitali 2 24

25 Un filtro tempo-invariante o ritardo-invariante (time-invariant or shift-invariant filter) implica che se: {x(n) y(n)} {x(n-nd) y(n-nd)} per tutti i valori di n e di nd. A un ritardo in ingresso nd corrisponde un uguale ritardo in uscita o in qualunque istante applichi la sequenza di ingresso l uscita non varia il suo andamento M. Usai Circuiti digitali 2 25

26 Convoluzione (Convolution) Se l'input è la sequenza impulso δ(n), l'output risultante è la risposta all'impulso del filtro (impulse response of the filter) o risposta impulsiva o risposta al campione unitario del filtro (unit-sample response of the filter) e si indica con h(n), vedi fig 2.2(b): δ(n) h(n). M. Usai Circuiti digitali 2 26

27 L'input e l'output di un filtro a tempo discreto lineare tempo-invariante (LTI) possono essere facilmente espressi attraverso la risposta di impulso del filtro come segue: x( n) = x( k ) δ ( n k ) (2.2.1) k = ossia : l input x(n) può essere pensato come la somma di un numero infinito di sequenze di impulsi ritardati e pesati, con impulso K-esimo δ(n-k) pesato con x(k), come in fig M. Usai Circuiti digitali 2 27

28 Fig. 2.3 Singoli impulsi ritardati e pesati costituenti la sequenza x(n) espressa in (2.2.1) M. Usai Circuiti digitali 2 28

29 Ma per l'invarianza temporale all input δ(n-k) corrisponde l output h(n-k) e per la linearità, l'output relativo alla sommatoria pesata in (2.2.1) è: y( n) = k = x( k ) h( n k ) (2.2.2) Questa è la somma di convoluzione che lega l'input e l'output di un filtro discreto nel tempo, con l'output che si può scrivere : y( n) = k = x( n k ) h( k ) (2.2.3) Si userà il simbolo * per indicare l'operazione di convoluzione di due sequenze: y(n)=x(n) * h(n) (2.2.4) M. Usai Circuiti digitali 2 29

30 Proprietà della operazione di convoluzione L'operazione di convoluzione presenta le seguenti proprietà: p. commutativa: x(n) * h(n) = h(n) * x(n). p. associativa: [w(n) * x(n)] * h(n) = w(n) * [x(n) * h(n)] e p. distributiva: [w(n) + x(n)] * h(n) = [w(n) * h(n)] + [x(n) * h(n)] Un'altra proprietà utile è che se y(n) = x(n) * h(n): x(n-n 1 ) * h(n- n 2 ) = y(n-n 1 -n 2 ) (2.2.5) cioè i due ritardi n 1 e n 2 si sommano per produrre il ritardo di output (n 1 +n 2 ). M. Usai Circuiti digitali 2 30

31 Due filtri si dicono in cascata quando l output del primo filtro è l input del secondo filtro, come illustrato in figura 2.8. Per filtri lineari tempo invarianti, si se: y 1 (n)= x(n)*h 1 (n), per il collegamento dei filtri in cascata deve essere: y(n)=y 1 (n)*h 2 (n)=[x(n)*h 1 (n)]*h 2 (n)=x(n)*[h 1 (n)*h 2 (n)]. La risposta all impulso della cascata di filtri equivale a quella di un filtro singolo con risposta impulsiva : h(n)=h 1 (n)*h 2 (n). Per la proprietà commutativa della convoluzione scambiando l ordine dei filtri, l output y(n) non cambia. M. Usai Circuiti digitali 2 31

32 x(n) h 1 (n) y 1 (n) h 2 (n) y(n) x(n) h 1 (n)*h 2 (n) y(n) x(n) h 2 (n) y 2 (n) h 1 (n) y(n) Fig. 2.8 Interconnessione in cascata di due filtri con risposte impulsive h 1 (n) e h 2 (n) M. Usai Circuiti digitali 2 32

33 Due filtri si dicono in parallelo se sono collegati in modo che l input sia lo stesso per entrambi e l output sia la somma degli output come come in fig 2.9. Quindi essendo: y(n) = y 1 (n)+y 2 (n) per il collegamento dei filtri in parallelo si ha y(n) = [x(n)*h 1 (n)]+ [x(n)*h 2 (n)] = x(n)* [h 1 (n)]+ h 2 (n)] e la risposta totale all impulso di due filtri in parallelo equivale a quella di un filtro singolo con risposta impulsiva: h(n)= h 1 (n) + h 2 (n). M. Usai Circuiti digitali 2 33

34 x(n) h 1 (n) h 2 (n) y 1 (n) y 2 (n) + y(n) x(n) h 1 (n)+h 2 (n) y(n) Fig. 2.9 Rappresentazioni equivalenti della interconnessione di due filtri con risposte impulsive h 1 (n) e h 2 (n) M. Usai Circuiti digitali 2 34

35 2.3 Stabilità e causalità Stabilità Un filtro a tempo discreto è definito stabile se una sequenza finita di input limitati genera una sequenza finita di output cioè, se: x(n) M 1 <+ y(n) M 2 <+ (2.3.1) per certe costanti finite M 1 e M 2 e per tutti i valori di n. Si dimostra che un filtro lineare tempo-invariante mantiene la stabilità se e solo se la risposta all'impulso è assolutamente sommabile. M. Usai Circuiti digitali 2 35

36 Causalità Un filtro discreto nel tempo ècausalese per ogni due sequenze di input x 1 (n) e x 2 (n) uguali per tutti gli n n 0, le corrispondenti sequenze di output y 1 (n) e y 2 (n) sono anch'esse uguali per n n 0. Per un filtro lineare tempo-invariante, ciò equivale alla condizione che: h(n) = 0, n<0. (2.3.2) Quindi causalità significa che il filtro non risponde a un input prima che l'input sia effettivamente applicato. M. Usai Circuiti digitali 2 36

37 Sebbene ogni filtro implementato fisicamente sia sempre causale, sarà conveniente alle volte assumere versioni non causali del filtro per scopi analitici. (Se il filtro è implementato con software in un computer con una matrice di dati, potrebbe essere infatti non causale). Ogni sequenza x(n) sarà detta causale se x(n) = 0, n<0, o in altre parole, se la sequenza può essere la risposta impulsiva di un filtro causale. Quindi per esempio tutti i segnali mostrati in fig.2.1 sono causali. M. Usai Circuiti digitali 2 37

38 Inoltre per un sistema causale, le espressioni della convoluzione nella (2.2.2) e (2.2.3) diventano rispettivamente: y( n) = n k= x( k) h( n k) (2.3.3) y( n) = k= 0 x( n k) h( k) (2.3.4) Entrambe le relazioni mostrano chiaramente che l output dipende esclusivamente dai valori precedenti e dal valore attuale (relativo all ultimo termine) della serie di n input, mentre non compare alcun termine successivo (con indice >n). M. Usai Circuiti digitali 2 38