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1 DINAMICA DEI SISTEMI Sstema costtuto da N punt materal P 1, P 2,, P N F E rsultante t delle forze esterne agent su P F E F forza eserctata t sul generco punto P j del sstema da P : forza nterna al sstema j F F j j forza eserctata F 12 1 F 23 F j F E 13 F 1 32 F 31 P 3 F E 3 su P j da P P 1 F 21 P 2 F 2 E

2 I N F F j 1,j j rsultante delle forze nterne agent su P dovute all nterazone con gl altr N 1 punt F E I F + F rsultante d tutte le forze (nterne ed esterne) agent su P Legge d Newton applcata al moto d P : F F E + F I m a E I 1, N

3 Sommando le N equazon, s ha N E N I N F + F m a R I N I F 1 rsultante d tutte le forze nterne agent sul sstema R N E E F l d l f 1 rsultante d tutte le forze esterne agent sul sstema

4 Essendo le forze f nterne t F j Fj a due a due ugual ed opposte N I I R F 0 1 R E N E N F m a 1 1 (*)

5 N N E d v d R m m v 1 1 d P P N m v 1 quanttà d moto totale del sstema

6 CENTRO DI MASSA Sstema costtuto da N punt materal P, P,..,P 1 2 N P P 2 O orgne Df Defnzone d P 1 r 1 r 2 O r 3 centro d massa d un sstema d punt materal: punto geometrco la cu poszone è ndvduata dal vettore poszone P 3

7 Coordnate del centro d massa n un sstema d ass cartesan Z z r P x m x m y my O y Y x m X z m z m

8 Dervando rspetto al tempo r : v dr d m r 1 m m m dr m v m veloctà del m m massa totale del sstema 1 v m v m

9 a Dervando rspetto al tempo v : d v d m v 1 d v m m m m a 1 m a accelerazone del m m La (*) s può qund rscrvere E d R ma ( m v ) Teorema del moto del centro d massa

10 In un sstema solato R E 0 a 0 v costante Il centro d massa s muove d moto rettlneo unforme P quanttà d moto ttl totale del dlsstema t s conserva

11 MOMENTO ANGOLARE DI UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI O orgne d un sstema nerzale O polo moble v O veloctà d O rspetto ad O P punto generco del sstema O r vettore poszone d P r O r O vettore poszone d O r r + OP O r P O

12 Dervamo rspetto al tempo d p r d r O d OP + v v O + d OP d OP v v veloctà d P relatva a O O L OP m v momento angolare d P rspetto al polo O

13 Calcolamo dl d ( OP m v ) dop m d v + OP ( m v ) ( v vo ) m v + OP m a Essendo v m v 0 d L v m v + OP O m a

14 Per l sstema costtuto da N punt materal l momento angolare vale dl d L L OP m v dl L v O m v + OP m a v O m v + ( E I ) F F OP +

15 dl v O m v E O m v M M v + + E I + O F + OP F Verfchamo che M I 0 P P, P j punt materal O polo I M j OP F j+ OP J F j ( ) J F j OP I F j OP OP P P j F j 0 F j O P j

16 M I somma de moment M I j relatv a tutte le possbl coppe P P j M I 0 polo O dl M E v O m v

17 Se vo m v 0 dl E M v O m v 1) v O 0 O polo fsso 2) v 0 0 se: 3) O v O v 4) v O // v

18 Sstema d rfermento del centro d massa 1) orgne concdente con 2) ass parallel agl ass del sstema nerzale 3) sstema non nerzale se R E 0 (moto traslatoro accelerato) r r + r O r v v + v r r r P 0, v 0, a 0 r

19 r' mr' 0 m m v ' m v ' 0 m a' ma' 0 m

20 O orgne O TEOREMA DI KÖNIG PER L ENERGIA CINETICA r P r r 1 E 2 K m v 2 1 m ' ' 2 ( v + v ) ( v + v ) r r + r v v + v m v' + m v + m v' v 2 2

21 1 2 mv' 2 E K energa cnetca del sstema rspetto al ( ) m v m v mv energa cnetca del ( m v' ) v 0 E K, E K E K + E K, Teorema dköng per l energa cnetca

22 TEOREMA DI KÖNIG PER IL MOMENTO ANGOLARE Assumamo l polo O concdente con l orgne del sstema nerzale r P r L r m v Rcordando che O r r + r r v v + v L ( ' + ) ( ' + ) r ' r m v' v

23 L ( ) ( ) L r ' + r m v ' + v r ' m v' + r ' m v + + r m v ' + r m v Prmo termne: Secondo termne: r ' m v L' r ' m v' momento angolare del sstema rspetto al m r ' v 0

24 Terzo termne: r m v ' r m v ' 0 Quarto termne: r m v Qd Qund r m v L momento angolare del L L + L Teorema d Köng gper l momento angolare

25 TEOREMA DELLE FORZE VIVE PER UN SISTEMA DI PUNTI Lavoro computo da tutte le forze esterne ed nterne agent sul punto P del sstema per spostarlo da A a B E W AB W + AB I W AB Per l teorema del lavoro e dell energa cnetca W AB m v B m v A

26 Lavoro computo da tutte le forze esterne ed nterne agent sul sstema: E I WAB W W + W AB AB AB W E I W AB AB mv mv 2 B 2 A EKB EKA W AB E KB E KA Teorema delle forze vve EKB EKA varazone d energa cnetca del sstema

27 Se le forze agent ( esterne ed nterne) sono conservatve WAB EPA EPB EKB EKA E E K + E P energa meccanca costante Se le forze non sono tutte conservatve W ( E + E ) ( E + E ) DISS KB PB KA PA ΔE varazone d energa meccanca

28 Abbamo vsto che n generale per defnre lo stato d moto d un sstema nformazon d grande nteresse sono fornte da P quanttà d moto totale del sstema L momento angolare totale del sstema Nel caso d sstem rgd vedremo che lo stato d moto del sstema è completamente defnto se sono not P e L

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