Integrazione di Funzioni Razionali. R(x) = P 0 (x) + P 1(x) Q(x)

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1 Integrazione di Funzioni Razionali Un polinomio di grado n N è una funzione della forma P () = a 0 + a a n n dove a 0, a,..., a n sono costanti reali e a n 0. Una funzione della forma R() = P () dove P () e Q() sono polinomi si dice funzione razionale. Q() Data una funzione razionale R() = P (), con P () polinomio di grado m e Q() polinomio Q() di grado n, se m n possiamo sempre decomporre R() nella forma seguente: R() = P 0 () + P () Q() dove il polinomio P 0 () è detto parte intera di R() e P () è polinomio di grado m < n. Nel seguito considereremo solo funzioni razionali R() = P () dove m < n. Q() Per quanto riguarda la determinazione della primitiva di una funzione razionale R() iniziamo a considerare il seguente caso R() = α + β + b + c. La tecnica di integrazione di tali funzioni risulta differente a seconda del segno del discriminante = b 4c. > 0. In questo caso, dette e le due radici reali distinte del polinomio + b + c, potremo scrivere + b + c = ( )( ) e si determinano due costanti, R tali che α + β + b + c = +. vremo allora α + β + b + c = + = log + log + C. Vediamo un esempio. +. bbiamo = 9 > 0 e + = ( + )( ). Cerchiamo allora, R tali che + = + + ( + ) + =. ( + )( ) Le costanti e saranno date da { + = 0 = { = =

2 llora + = + + = log + + log + C. = 0. In questo caso, detta 0 l unica radice reale del polinomio + b + c, potremo scrivere + b + c = ( 0 ). Si procede quindi nel seguente modo. Se α = 0 otteniamo immediatamente β + b + c = β ( 0 ) = β + C. 0 Mentre se α 0 si procede come segue α + β + b + c = α + β α + b + c = α = α log( + b + c) β αb + C. 0 In alternativa, si determinano due costanti, R tali che ottenendo α + β + b + c = α + β + b + c = b + b + c + α ( 0 ) β α b ( 0 ) ( 0 ) = log 0 + C. 0 Un esempio è il seguente bbiamo = 0 e = ( ). Si procede nel seguente modo = = = log( 4 + 4) 4 + C. In alternativa, si determinano, R tali che = + Le costanti e saranno date da { = = llora = =. ( ) ( ) { = = 4 4 = log ( ) + C. 8 ( )

3 < 0. In questo caso il polinomio + b + c risulta indecomponibile (in R) e procediamo nel seguente modo. Se α = 0 otteniamo β + b + c = β ( + b + b ) + (c b ) = β ( + b 4 4 ) + (c b ) 4 β = ( +b 4c b ) + = β + b arctan( ) + C. Mentre se α 0 si procede come segue α + β + b + c = α + β α + b + c = α = α log( + b + c) + (β αb ) + b + b + c + α = α log( + b + c) + (β αb ) = α log( + b + c) + β α b + b + c ( + b + b ) + (c b ) 4 4 β αb + b arctan( ) + C ( +b 4c b ) + Vediamo un esempio. +. bbiamo = 4 < 0 e procediamo nel seguente modo = = + + = log( + ) + ( + ) + = log( + ) + ( ) = log( + ) + arctan( ) + C.

4 Nel caso di funzioni razionali del tipo R() = P () con Q() polinomio di grado, si procederà Q() come nei seguenti esempi che illustrano le varie situazioni che si possono incontrare in questo caso.. Determiniamo,, C R tali che ( )( )( ) ( )( )( ) = + + C. Si ottiene =, =, C = e quindi ( )( )( ) = + = log log + log + c +. Determiniamo,, C R tali che ( ) + ( ) = + + C ( ). Si ottiene =, = 0, C = e quindi + ( ) = + = log ( ) + c ( )( + ). Osservato che ( + ) non ammette radici reali, determiniamo,, C R tali che ( )( + ) = + + C +. Si ottiene =, =, C = 0 e quindi, per quanto visto nei precedenti esempi ( )( + ) = + + = log + log( + ) + arctan( ) + c 4

5 Nel caso di funzioni razionali del tipo R() = P () con Q() polinomio di grado maggiore di, Q() le situazioni che si possono incontrare sono chiaramente più numerose. Tali casi si tratteranno essenzialmente come negli esempi precedenti esclusi i casi in cui Q() contiene un termine della forma ( + ) n, con n, o riconducibili a tale forma. In tal caso si utilizzerà la seguente formula che si può provare integrando per parti. Per ogni n si ha I n = ( + ) = n + n (n ) ( + ) n (n ) I n osservato che I = = arctan + c + Vediamo un esempio + ( + 5). Osservato che + 5 non ammette radici reali, si procede nel seguente modo. Determiniamo innanzitutto,, C, D R tali che + ( + 5) = C + D ( + 5) Si ottiene = 0, =, C =, D = 5. Quindi, osservato che + 5 = ( ) + 4 = 4[( ) + ], dalla precedente formula con n = si ottiene ( + 5) = [ 8 ( ) + ] = [ 8 (( ) + ) + = [ arctan( ] ) + c llora, utilizzando tecniche già sfruttate nei precedenti esempi si ottiene ] ( ) + + ( + 5) = ( + 5) = = ( ) + + ( + 5) ( + 5) = = arctan( ) + log( + 5) [ arctan( ] ) + c = 7 8 arctan( ) + log( + 5) c 5

6 Esercizi Calcolare i seguenti integrali:. +.. ( ) ( + )( ) 8. 4 ( + 4) 9. ( + ) ( + )( + ) ( )( )( + + 5) ( ) ( + 4) ( )( + ) + ( + + ) / [π/] ( + ) [ log ] log( + ) [Integrare per parti. + π ] 0 log(4 + ) [Integrare per parti. 4 log + π 4 ] arctan parti. log ] [Integrare per 6

7 Formule di razionalizzazione Indicando con R una funzione razionale dell argomento in parentesi, si possono razionalizzare i seguenti integrali mediante le sostituzioni indicate: a + b i) R(, n c + d ) si pone t = n a+b, quindi = dtn b e = ad bc nt n dt; c+d ct n +a ( ct n +a) ii) R(, a + b + c) con a > 0, si pone t = a a + b + c, quindi = at c b at iii) iv) iv) v) e = a(at bt+c) dt; (b at) R(, a + b + c) con a < 0, ci si riconduce al caso (i) osservato che a +b+c = ( α)( β) e quindi a + b + c = a( α) β α ; R(, a + b, c + d) ci si riconduce al caso (ii) ponendo t = a + b, quindi = t b e = t dt; a a R(sin, cos, tan ) ponendo t = tan( t ) si ottiene cos =, sin = t, tan = +t +t t e = dt; t t + R(sin, cos, tan ), ponendo t = tan si ottiene cos = t +, sin = = t + dt; Vediamo un esempio di integrale della forma (iv). Consideriamo l integrale Utilizzando la sostituzione consigliata otteniamo tan sin cos = t t t t + t dt = 4 +t +t e l ultimo integrale si potrà risolvere determinando,, C, D R tali che t ( t )(t + t ) = t + + t + C t + + essendo t + t = (t + )(t + + ). tan. sin cos t ( t )(t + t ) dt D t + + t e t + 7

8 lcuni esercizi con integrali della precedente forma Calcolare i seguenti integralii: ; ; +. + ; 4. ; 5. + ; ; + ( + ) ; ; sin + cos sin cos ; cos sin (tan + ) 8