Probabilità e Statistica Esercizi

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1 Corso di PIANIFICAZIONE DEI TRASPORTI 1 ing. Antonio Comi Marzo 2006 Probabilità e Statistica Esercizi 1

2 Variabile aleatoria X(E): funzione che associa ad un evento E dello spazio delle prove un numero reale X. Ad ogni valore della v.a. è associata una probabilità P[X(E)] che è la probabilità che si verifichi l evento E, P(E). Ω 1 E X(E) P[X(E)] 0 R 2

3 Se una v.a. assume un numero finito di valori, ovvero una infinità numerabile, essa si dice discreta, altrimenti è continua o mista. Una v.a. è in genere indicata con una lettera maiuscola; i valori che essa assume sono indicati con una lettera minuscola. Ad ogni intervallo di valori di una v.a. corrisponde un sottoinsieme dello spazio delle prove su cui è definita e la probabilità associata a tale sottoinsieme. La corrispondenza fra valori di una v.a. e probabilità può avvenire attraverso la formulazione di una legge di probabilità, che è una relazione fra i valori assunti da una v.a. e le probabilità ad essi corrispondenti. 3

4 Funzione di distribuzione di probabilità La funzione di distribuzione F X (x) di una v.a. X è una funzione della variabile reale x, definita su tutto l intervallo [-,+ ], la quale fornisce la probabilità cumulata che la v.a. X assuma un qualsiasi valore minore o uguale a x. Cioè: F X (x) = Pr(X x) x R 4

5 La funzione di distribuzione gode delle seguenti proprietà: 1) assume valori compresi nell intervallo chiuso [0,1]; 2) tende a zero per x - e a 1 per x + ; 3) per a e b qualsiasi ed a b risulta: F X (a) F X (b) da cui risulta che F X (x) è una funzione monotona non decrescente. Si ha inoltre: F X (b) -F X (a) = Pr(a < X b) 4) Se la v.a. è discreta la sua funzione di distribuzione ha un andamento a scalini, con discontinuità in corrispondenza dei valori assunti dalla v.a. di entità pari alle corrispondenti probabilità. Se F X (x) è continua e derivabile la v.a. è continua. Se F X (x) presenta punti di discontinuità, ma non ha un andamento a scalini, ovvero non è costante fra 5 successivi punti di discontinuità, la v.a. si dice di tipo misto.

6 Funzione di distribuzione per v.a. discreta F X (x) = Pr(X x) Esercizi Probabilità Funzione di distribuzione per v.a. continua F X (x) = Pr(X x) 6

7 Funzione di probabilità Esercizi Probabilità La funzione di probabilità p X (x) di una v.a. discreta X èuna funzione della variabile reale x che ha valore diverso da zero solo in corrispondenza dei valori x assunti dalla v.a. e uguale alla corrispondente probabilità: Proprietà: 7

8 Funzione di densità di probabilità Esercizi Probabilità La funzione di densità di probabilità f X (x) di una v.a. continua X è la derivata della funzione di distribuzione F X (x): Proprietà: 8

9 La funzione di probabilità associa all evento E la probabilità che l evento si verifichi. La funzione di densità di probabilità f X (x) di una v.a. continua X fornisce la probabilità che un valore di x appartenga all intervallo Δx molto piccolo. 9

10 Funzione di densità di probabilità Esercizi Probabilità 10

11 Variabile Normale o Gaussiana Esercizi Probabilità La v.a. normale è una variabile continua X N definita nell intervallo ]-,+ [, caratterizzata dalla funzione di densità di probabilità: ( x) con μ media σ deviazione standard f X 2 1 ( x μ) = exp 2 σ 2π 2σ La v.a. caratterizzata dalla funzione di densità di probabilità con μ=0 e σ =1 prende il nome di variabile aleatoria normale standard. 11

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13 Una v.a. normale qualunque può essere standardizzata ovvero ricondotta ad una normale standard con una semplice trasformazione: Z = X N σ μ f Z ( x) 1 ( x) = exp 2π

14 Esercizi Data la variabile aleatoria normale standard, Z, si calcoli la probabilità che Z sia minore di: 1,2 (0,8849) 0,1 (0,5398) 1,94 (0,9738) 0,65 (0,7422) -2,15 (0,0158) -0,12 (0,4522) Esercizi Probabilità 14

15 Data la variabile aleatoria normale standard, Z, si calcoli la probabilità che Z sia maggiore di: 2,98 (0,0014) -0,11(0,5438) 1,76 2,65-1,75-1,92 15

16 Data la variabile aleatoria normale standard, Z,si calcoli la probabilità che Z sia compreso tra: 1,2 e 2,86 (0,113) -1 e 1,1 (0,7062) -2,35 e 1,97 16

17 Data la variabile aleatoria normale, X (μ = 0,44; σ=3,24), si calcoli la probabilità che X sia minore di: 0,66 (0,5279) -0,54-0,35 si compresa tra: -0,26 e 0,68 (0,115) 17

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