CALCOLO CALCOL COMBINATORIO COMBINAT

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1 CALCOLO COMBINATORIO

2 INDICE Che cos è il calcolo combinatorio? Concetto di raggruppamenti semplici e di raggruppamenti con ripetizione Disposizioni Combinazioni Permutazioni

3 PROBLEMI 1. In quanti modi diversi 3 ragazzi di una compagnia di 5 amici si possono sedere su 3 poltrone libere di un cinema? 2. Quanti numeri di 4 cifre si possono comporre con le cifre 1,2,3,4,5,6? 3. Quanti anagrammi si possono comporre con le lettere della parola ROMA? E con la parola ALA? 4. Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto? 5. In quanti modi diversi 7 caramelle identiche possono essere distribuite tra 4 bambini? E se le caramelle fossero diverse? DS DR PS PR CS CR

4 CHE COS E? Il calcolo combinatorio è un particolare ramo della matematica applicata avente come scopo la costruzione e la misurazione del numero di raggruppamenti diversi che si possono comporre prendendo una determinata quantità di elementi in un assegnato insieme, in modo che siano rispettate determinate regole. VEDI ESEMPI

5 PROBLEMA: Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi che non si ripetono 1 modo COPPIE ORDINATE: ab ac ba bc ca cb 2 modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L ORDINE: ab ac bc DISPOSIZIONI semplici (D 3,2 ) COMBINAZIONI semplici (C 3,2 ) avanti

6 PROBLEMA: Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi che possono ripetersi 1 modo COPPIE ORDINATE: aa ab ac bb ba bc cc ca cb 2 modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L ORDINE: aa ab ac bb bc cc DISPOSIZIONI con ripetizione (D 3,2 ) COMBINAZIONI con ripetizione (C 3,2 ) indietro

7 I RAGGRUPPAMENTI POSSONO ESSERE: SEMPLICI: quando gli oggetti sono tutti diversi CON RIPETIZIONE: quando gli oggetti vi figurano una o più volte

8 NOMI DEI RAGGRUPPAMENTI DISPOSIZIONI: quando l ordine degli elementi è importante. COMBINAZIONI: quando l ordine degli elementi non ha alcuna importanza.

9 TIPI DI RAGGRUPPAMENTI Disposizioni Combinazioni Permutazioni semplici con ripetizione semplici con ripetizione semplici con oggetti identici

10 COME CALCOLARE IL NUMERO DI DISPOSIZIONI?

11 PROBLEMA: DATE LE 4 CIFRE 1,2,3,4 QUANTI SONO I NUMERI DI 2 CIFRE DISTINTE CHE SI POSSONO FORMARE? ; 13 ; ; 23 ; ; 32 ; ; 42 ; 43 Il n di disposizioni semplici di 4 oggetti distinti presi a 2 a 2 è: D 4,2 = 4*3 = 12

12 IN GENERALE: il n di DISPOSIZIONI SEMPLICI di n oggetti distinti presi k per volta è D n,k = n(n-1)(n-2).. (n-k+1) con n>k (cioè il prodotto di k numeri naturali decrescenti a partire da n) PROBLEMI

13 PROBLEMA: DATE LE 3 CIFRE 1,2,3 QUANTI SONO I NUMERI DI 2 CIFRE CHE SI POSSONO FORMARE? , 12 ; ; 22 ; ; 32 ; 33 Il n delle disposizioni con ripetizione di 3 oggetti a gruppi di 2 è : D 3,2 =3*3=3 2 =9

14 IN GENERALE: il n delle DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è D n,k = n k PROBLEMI

15 COME CALCOLARE IL NUMERO DI COMBINAZIONI?

16 PROBLEMA: DATE LE 4 CIFRE 1,2,3,4 QUANTE SONO LE COPPIE DI NUMERI DISTINTI CHE SI POSSONO FORMARE? ;1-3 ; ; Le combinazioni semplici di 4 oggetti presi a 2 a 2 sono : C 4,2 = D 4,2 / 2 = 4*3 / 2 =6

17 IN GENERALE: il n di COMBINAZIONI SEMPLICI di n oggetti distinti presi k per volta è n C n,k = D n,k / k! = ( ) con n>k k PROBLEMI

18 PROBLEMA: DATE LE 2 LETTERE a,b QUANTE SONO LE COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE DI TALI OGGETTI PRESI A 3 A 3? a a a a a b a b b b b b Il n di combinazioni con ripetizione di n oggetti distinti presi a 3 a 3 è : C 2,3 = ( ) = ( ) =

19 IN GENERALE: il n delle COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è C n,k = n(n+1).. (n+k-1) K! (cioè è il prodotto di k fattori crescenti a partire da n, diviso k! ) PROBLEMI

20 CHE COSA SONO LE PERMUTAZIONI?

21 PERMUTAZIONI SEMPLICI ESEMPIO: COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI (anche privi di senso) DELLA PAROLA APE P E A P E A E P A E P P E A E P A E E A P E A A P E A P P A E P A Il n delle permutazioni di 3 oggetti distinti è: P 3 = D 3,3 = 3*2*1 = 6

22 Le permutazioni semplici di n oggetti distinti sono tutti i possibili raggruppamenti contenenti la totalità degli n oggetti e che differiscono solo per l ordine P n = D n,n P n = n! PROBLEMI

23 PERMUTAZIONI CON OGGETTI IDENTICI ESEMPIO: COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI (anche privi di senso) DELLA PAROLA ALA A L L A A L A A L A A L A A L A A A A L A A uguali a 2 a 2 A A L A A L L A A L A LE PERMUTAZIONI DI 3 OGGETTI, 2 DEI QUALI IDENTICI, SONO: P 3 (2) = P 3 /2! = 3

24 IN GENERALE: se tra gli n oggetti dati ve ne sono α uguali tra loro, β uguali tra loro il numero delle permutazioni degli n oggetti assegnati risulta: P n (α, β ) = n! α! * β! PROBLEMI

25 E ora risolviamo i problemi formulati all inizio della presentazione!!!!!