statistica è la tecnica che ha come scopo la conoscenza quantitativa dei fenomeni collettivi.

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1 CORSO DI BASE IN STATISTICA a cura d Paolo Padolf e Gula Cavr

2 Ua possble defzoe d statstca (data da Guseppe Let, professore d Isttuzo d statstca presso la Facoltà d Sceze statstche dell Uverstà d Roma) è la seguete: statstca è la tecca che ha come scopo la coosceza quattatva de feome collettv. I altre parole, la statstca aalzza term quattatv feome collettv, ossa feome l cu studo rchede l osservazoe d u seme d mafestazo dvdual. (Soo feome collettv l cosumo d u determato bee u perodo fssato, l reddto d u seme d dvdu, l peso d u gruppo d oggett o d persoe, ecc.). Esempo: CARATTERE MODALITA Sesso mascho, femma Età da 0 a.?. Stato cvle celbe/uble, sposato/a, separato/a, dvorzato/a, vedovo/a; Voto all esame d maturtà umer ter da 36 a 60 (da 60 a 100) Uso d atbotc ospedale sì, o Temperatura corporea ( C) umer real tra 0 C e 4 C? I caratter che possoo costture oggetto d studo della statstca soo classfcabl sulla base delle caratterstche delle loro modaltà. 1

3 U carattere può assumere modaltà dfferet corrspodeza delle dverse utà statstche del collettvo. Le modaltà del carattere debboo essere esaustve e o sovrapposte Per esaustve s tede che le modaltà elecate debbao rappresetare tutt mod d essere del carattere. Le modaltà s defscoo o sovrapposte se a og utà s può assocare ua sola modaltà.

4 U carattere qualtatvo vee dstto : Carattere scoesso (o co scala omale): se date due sue modaltà è possble solo affermare se queste soo ugual o dverse. Carattere ordato (o co scala ordale): se date due sue modaltà è possble solo dare u orde, specfcado che ua precede l altra. I caratter quattatv (o varabl) vegoo a volte dstt caratter quattatv co scala a tervall o co scala d rapport: I u carattere quattatvo co scala a tervall o esste uo zero assoluto, aturale e o arbtraro, l quale deve vece esstere u carattere quattatvo co scala d rapport. Per u carattere co scala a tervall ha seso cosderare la dffereza tra le modaltà del carattere ma o l rapporto tra tal modaltà. 3

5 I caratter quattatv vegoo ache dstt dscret e cotu: I u carattere quattatvo dscreto l seme delle modaltà assumbl può essere messo corrspodeza buvoca co u sottoseme de umer ter. I u carattere quattatvo cotuo l seme delle modaltà assumbl può essere messo corrspodeza buvoca co u sottoseme de umer real. 4

6 NO NON ORDINATA o SCONNESSA: * Esemp: sesso, stato cvle, relgoe * Operazo possbl: = o ATTRIBUTI (stat d gradezza QUALITATIVI) CARATTERE : le sue modaltà soo (oggetto d studo) NUMERI CARDINALI (stat d gradezza QUANTITATIVI) MUTABILE STATISTICA: gl attrbut ammettoo u orde d successoe? l carattere MUTA smbol A, B, C,. SI ORDINATA: gl attrbut presetao u prmo e u ultmo terme (o covezoale). DISCRETA N (seme Numer Natural) VARIABILE STATISTICA: umer cardal possoo varare l carattere VARIA IN R (seme Numer Real) smbol X, Y, Z,. CONTINUA 5

7 Ua varable può assumere qualuque valore etro u determato seme d valore, detto DOMINIO della varable. U solo valore COSTANTE Qualuque valore fra due valor VARIABILE CONTINUA Altrmet VARIABILE DISCRETA Varable cotua Varable dscreta Dat cotu Dat dscret 6

8 seme statstco cardaltà carattere modaltà tpo d carattere protocollo elemetare I gruppo Gruppo 0, A, B, AB mutable { } sagugo statstca scoessa II gruppo Sego zodacale Arete; Toro; Gemell; Cacro; Leoe; Verge; Blaca; Scorpoe; Sagttaro; Caprcoro; Acquaro; Pesc mutable statstca ordata cclca { } III gruppo Gudzo fale suffcete mutable statstca {.....} all esame d dscreto ordata scuola meda buoo rettleare ferore dstto ottmo IV gruppo Numero d umer ter compres varable {.... } compoet tra 1 ed u massmo statstca della famgla o oto a pror dscreta (camba fuzoe (eumerable) dell seme statstco) V gruppo Statura ( cm) umer real compres tra u mmo ed u massmo o ot a pror (cambao fuzoe dell seme statstco) varable statstca cotua (msurable) { } 7

9 Esemp d Tp d dat: Cotue Pressoe del sague Statura Peso Età QUANTITATIVI Dscrete Numero d bamb Numero d attacch d asma per settmaa QUALITATIVI Ordal (Categore ordate) Nomal (Categore o ordate) Grado d gravtà del tumore al polmoe Ottmo, Buoo, Suffcete, Scarso, Isuffcete Mglore, uguale, peggore Sesso (mascho/femma) Vvo o morto Gruppo sagugo 0, A, B, AB 8

10 Defzoe d UNITA STATISTICA: S defsce utà statstca l utà elemetare su cu vegoo osservat caratter oggetto d studo. Defzoe d COLLETTIVO: U seme d utà statstche omogeee rspetto a ua o pù caratterstche costtuscoo u collettvo statstco o ua popolazoe. Soo esemp d collettvo statstco: la popolazoe resdete a Roma al cesmeto del 1991, le automobl vedute Itala u certo perodo, gl esercz commercal a Mlao l 1/1/94 alle ore 4. La popolazoe resdete a Roma e gl esercz commercal d Mlao costtuscoo de collettv d stato, quato soo dvduabl maera esatta solo se s fssa u precso state d tempo. Vceversa, le automobl vedute Itala u dato perodo costtuscoo de collettv d movmeto. Se tutte le utà che costtuscoo la popolazoe soo effettvamete osservabl, l collettvo vee detto emprco, altrmet vee detto teorco. Se l seme è costtuto da u umero fto d utà statstche vee detto fto, altrmet vee detto fto. 9

11 Crter d formazoe delle class per le varabl Se l carattere è ua varable cotua, le class sarao ecessaramete eterograde, ovvero defte da tervall. Come fssare gl tervall? No esstoo regole geeral, crter-guda assolut. S possoo però dare delle dcazo d larga massma: ) se s vogloo cofrotare drettamete le frequeze d class dverse, gl tervall devoo avere uguale ampezza; ) se s vogloo detfcare co le class delle tpologe allora gl tervall potrao avere ampezza dversa, fssata fuzoe delle dverse tpologe che s desdera detfcare. (esempo de comu: la classe de 6 comu co oltre abtat detfca grad cetr abtat ; la classe de 1959 comu co meo d abtat dvdua l pccolo aggregato umao ; ecc...) E buo crtero adottare tervall brev, salvo po rure le utà tervall pù amp, a secoda delle esgeze descrttve ed vestgatve. 10

12 Passaggo da ua scala all altra 1 caso: da quattatvo a qualtatvo ordato rettleo. Cosderamo l carattere X=statura ( cm). Possbl sem d modaltà: 1 : 168, 169, 170, 171, 17,... (approssmado la statura a valor ter) : (o m teressa cooscere le stature co la precedete approssmazoe): raggruppo le stature tervall, ad esempo: , ,... 3 : gl tervall potrebbero essere vece solo 3: fo a 165, da 165 a 175, oltre : potre addrttura detfcare le 3 modaltà precedet co degl aggettv: bassa, meda, alta. I questo modo s passa da u carattere quattatvo ad u carattere qualtatvo ordato rettleo. Cosa comporta questo passaggo? Perdta d formazo! 11

13 E possble realzzare ache l passaggo verso? No sempre. Esempo: l lvello d struzoe (mutable ordata rettlea) può essere quatfcato facedo corrspodere ad og ttolo d studo coseguto l umero d a d struzoe ecessar d orma per cosegure quel ttolo. Ma cò mplca delle potes sottostat che o soo sempre accettabl (uguale redmeto ad og ao d studo). Questo secodo passaggo è qud molto complesso e spesso arbtraro, e o sempre possble. 1

14 Classfcazoe de caratter statstc secodo l lvello d msurazoe. CARATTERI CARATTERISTICHE ELABORAZIONI CONSENTITE Caratter Qualtatv (Mutabl) 1. Scala Nomale Operazo cosette: =,. Nessu ordameto delle modaltà (qualtatve). Scala Ordale Operazo cosette: =,, >, <. Le modaltà (qualtatve) possedoo u ordameto semplce Frequeze assolute; frequeze relatve; percetual; altr rapport statstc, ecc. Msure d tedeza cetrale: moda. Msure d mutabltà: dc d eterogetà, etropa, ecc. Frequeze assolute; frequeze relatve; percetual; altr rapport statstc, ecc. Msure d tedeza cetrale: moda. Msure d mutabltà: dc d eterogetà, etropa, ecc. 13

15 CARATTERI CARATTERISTICHE ELABORAZIONI CONSENTITE Caratter Quattatv (Varabl) 3. Scala a Itervall Operazo cosette: +, -. Esste u utà d msura costate, qud ua dstaza tra le modaltà (quattatve) 4. Scala d Rapport Operazo cosette: *,:. Esste uo zero aturale (assoluto) Frequeze assolute, relatve, percetual, cumulate; altr rapport statstc, ecc. Msure d tedeza cetrale: mede aaltche (artmetca, geometrca, ecc.). Msure d varabltà: scostamet semplc med, scarto quadratco medo, varaza, campo d varazoe, coeffcete d varazoe, ecc. Frequeze: come sopra. Msure d tedeza cetrale: come sopra. Msure d varabltà: come sopra.. 14

16 Ua tabella è forse l modo pù semplce per stetzzare ua sere d osservazo e può essere utlzzata per tutt tp d dat. Le tabelle forscoo maggor formazo quado o soo troppo complesse. Come regola geerale, le tabelle e le coloe al loro tero devoo essere sempre defte co charezza. Se soo utlzzate delle utà d msura, esse devoo essere specfcate. S cosder la dstrbuzoe d uo stesso carattere due stuazo (luogh o temp) dverse. Esempo: Dstrbuzoe de lvell d colesterolo serco.94 soggett della popolazoe maschle degl Stat Ut, Lvello d colesterolo (mg/100 ml) Età 5-34 Età Numero d soggett Numero d soggett Totale Suppoamo d volere cofrotare due grupp d soggett per valutare se l lvello d colesterolo è dverso. 15

17 Poché soggett pù aza soo pù umeros, o è corretto cofrotare le coloe delle frequeze assolute de due grupp. Al cotraro, l cofroto delle frequeze relatve ha u sgfcato. MA: l cofroto tra le composzo de due collettv è codzoato dal fatto che ess hao umerostà dversa. Occorre qud rdurre la umerostà de due collettv allo stesso valore, seza però alterare la composzoe tera de collettv stess. Questo può avvere calcolado le frequeze relatve, co le qual le umerostà de due collettv vegoo rese par all utà. Calcolamo qud le frequeze relatve e quelle percetual. I che modo? f p 1,..., f è detta FREQUENZA RELATIVA f * 100 p è detta FREQUENZA PERCENTUALE 0 f 1 per 1,..., fatt f e 0 per og m 1 f 1 m 1 p 100% La frequeza relatva d u tervallo è la percetuale del umero d osservazo che appare ell tervallo stesso. Le frequeze relatve soo utl per cofrotare sere d dat che cotegoo umer dvers d osservazo. 16

18 Età 5-34 Età Lvello d colesterolo Numero d soggett Frequeza relatva Numero d soggett Frequeza relatva (mg/100 ml) (%) (%) Totale f 1 per 1,..., fatt f e 0 1 f 1 per og 17

19 Sulle dstrbuzo delle frequeze relatve e/o percetual dveta possble effettuare cofrot. S può dre ad esempo che: * soggett pù aza presetao lvell d colesterolo serco pù elevat rspetto a pù gova; * soggett pù gova hao ua proporzoe pù elevata d osservazo al d sotto d 00 mg/100ml, metre pù aza presetao ua proporzoe pù elevata al d sopra d questo valore. Osservazo 1. La dstrbuzoe delle frequeze relatve e quella delle frequeze percetual permettoo cofrot, ma el passaggo dalla dstrbuzoe d frequeza ad esse s perde u formazoe mportate: la umerostà complessva del collettvo a cu la dstrbuzoe s rfersce. E qud buoa orma rportare, a faco della dstrbuzoe delle frequeze relatve ache la dstrbuzoe d frequeza (o almeo la umerostà del collettvo d rfermeto).. La frequeza relatva d ua classe c dà l peso statstco d quella classe sul totale. 3. Dalla dstrbuzoe d frequeza posso sempre rcavare la dstrbuzoe delle frequeze relatve (o %), qualuque sa l carattere (mutable o varable). 4. Dalla dstrbuzoe delle frequeze relatve posso rsalre alla dstrbuzoe d frequeza solo se coosco la umerostà del collettvo statstco. 5. Il umero d cfre decmal da cosderare quado s calcolao le frequeze relatve deve essere: * l mmo possble e tale che og cfra da formazo sgfcatve (è utle rportare ad esempo 10 decmal...). 18

20 DEFINIZIONE: Date utà statstche d cu presetao la -esma modaltà, s defsce FREQUENZA RELATIVA -esma l rapporto f e FREQUENZA PERCENTUALE l rapporto p f *100 *100 La somma d tutte le frequeze relatve è uguale a 1; metre la somma delle frequeze percetual è uguale a

21 DEFINIZIONE: Dato u carattere X co m modaltà ordate seso crescete, s dca co N... 1 la FREQUENZA ASSOLUTA CUMULATA, co F f f... 1 f la FREQUENZA RELATIVA CUMULATA, e co P p p... 1 p la FREQUENZA PERCENTUALE CUMULATA corrspodete alla -esma classe. 0

22 Frequeze assolute e relatve de lvell d colesterolo serco 94 soggett della popolazoe maschle degl Stat Ut, Età 5-34 Età Lvello d colesterolo (mg/100 ml) Numero d soggett Frequeza relatva (%) Frequeza relat. cumulata crescete Numero d soggett Frequeza relatva (%) Frequeza relat. cumulata decrescete Totale

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24 ESEMPIO: Suppoamo d voler studare le cosegueze del basso peso alla ascta tra eoat. Allo scopo d aalzzare le dmeso del problema, esamamo prma d tutto la dstrbuzoe del peso alla ascta d tutt bamb at egl Stat Ut el Separamo queste osservazo tervall d uguale ampezza; le frequeze corrspodet soo llustrate ella Tabella seguete: Peso alla ascta ( gramm) N eoat Frequeza relatva (%) Totale

25 Peso alla ascta ( gramm) Frequeza relatva (%) Freq. relatva cumulata crescete Freq. relatva cumulata decrescete Totale

26 RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE Da ua dstrbuzoe statstca o s possoo sempre coglere co mmedatezza e facltà tutte le formazo essa coteute. A questo problema s può ovvare utlzzado partcolar rappresetazo grafche, otteute sttuedo u opportua corrspodeza tra et geometrc ed et umerc. Ua rappresetazoe grafca è, rspetto alla corrspodete dstrbuzoe statstca: Pù mmedata da leggere, terpretare, stetzzare e memorzzare; Meo rcca quato a coteuto formatvo. Per questo è opportuo, geerale, rportare etrambe. Le possbl rappresetazo grafche d ua dstrbuzoe statstca dpedoo dal tpo d carattere. I lea geerale è possble rappresetare ua dstrbuzoe u sstema d ass cartesa ortogoal solo se l carattere è ua varable. Gl esemp che seguoo llustrao alcue delle possbl rappresetazo grafche d ua dstrbuzoe statstca, dstte sulla base del tpo d carattere. 5

27 1. Grafc a barre (a astr e a coloe) per mutabl Dagramma a astr vertcal o a coloe: è composto da ua successoe d tat astr (rettagol vertcal) quate soo le modaltà della mutable. I astr soo equdstat; la loro lughezza è uguale o proporzoale alla frequeza della modaltà corrspodete. Le frequeze soo rportate sull asse Y. Decess per fortuo 100 bamb d età compresa tra 5 e 9 a, USA, Causa Numero d decess Icdete stradale 48 Aegameto 14 Icdete domestco 1 Omcdo 7 Altro 19 TOTALE Numero d decess Icdete stradale Aegameto Icdete domestco Omcdo Altro Causa del decesso 6

28 Dagramma a astr orzzotal: è composto da ua successoe d tat astr orzzotal quate soo le modaltà della mutable. Le rghe soo equdstat; la loro lughezza è uguale o proporzoale alla frequeza della modaltà corrspodete. Le frequeze soo rportate sull asse X. Decess per fortuo 100 bamb d età compresa tra 5 e 9 a, USA, Causa Numero d decess Icdete stradale 48 Aegameto 14 Icdete domestco 1 Omcdo 7 Altro 19 TOTALE 100 Altro 19 Causa del decesso Omcdo Icdete domestco Aegameto Icdete stradale Numero d decess 7

29 Cosderazo geeral su dagramm a astr. I grafc a barre hao u solo asse (vertcale el caso de grafc a astr vertcal o a coloe, orzzotale el caso de grafc a astr orzzotal) sul quale soo rportate le frequeze. L asse questoe è scala graduata secodo l utà d msura che s è scelta per rappresetare le frequeze. Sull altro asse soo rportate le modaltà qualtatve della mutable che per covezoe soo equdstat. Se la mutable è scoessa, le modaltà possoo essere rportate u orde qualuque; se è ordata, le modaltà vao rportate rspettado tale orde. 8

30 Dagramma a astr multpl: s pogoo a cofroto due sem statstc classfcat secodo l medesmo carattere. Og astro vee affacato, a scopo comparatvo, al astro che corrspode alla medesma modaltà ell altro seme. Numero d sucd (%) per class d età e sesso ISTAT, Ao 1995 A Masch Femme Fo a e oltre TOTALE Percetual Masch Femme 0.0 Fo a e oltre Età 9

31 Dagramma a astr suddvs: per og classe della dstrbuzoe vegoo forte due frequeze, d cu ua è parte dell altra. Og astro vee segmetato per mettere evdeza la composzoe tera d cascua classe. Numero d sucd (%) per regoe e sesso - ISTAT, 1995 Rego Masch Femme Pemote Valle d'aosta Lombarda Treto-Alto Adge Veeto Frul-Veeza Gula Lgura Emla-Romaga Toscaa Umbra Marche Lazo Abruzzo Molse Campaa Pugla Baslcata Calabra Scla Sardega

32 P e m o t e V a l l e d ' A o s t a L o m b a r d a T r e t o - A l t o A d g e V e e t o F r u l - V e e z a G u l a L g u r a E m l a - R o m a g a T o s c a a U m b r a M a r c h e L a z o A b r u z z o M o l s e C a m p a a P u g l a B a s l c a t a C a l a b r a S c l a S a r d e g a Età Percetual Femm Masch

33 Grafco a torta (areogramma crcolare) per mutabl: è u dagramma crcolare a settor co agol al cetro proporzoal alle frequeze delle sgole modaltà della mutable. se la mutable è ordata, settor devoo sussegurs rspettado tale orde. Co questo tpo d grafco s poe maggormete evdeza, rspetto a tp d grafc precedet, l mportaza relatva delle frequeze delle sgole modaltà rspetto alla frequeza totale del carattere. Peso erogate per tpo (%) ISTAT, Ao 1995 Tpo d pesoe Percetuale Ivaldtà 89.7 Idetare 4.0 Assstezal 6. Beemereza 0.1 TOTALE Ivaldtà Idetare Assstezal Beemereza

34 Cartogramm per sere geografche - terrtoral: I cartogramm soo partcolar rappresetazo grafche adatte alle sere terrtoral. Per la loro costruzoe occorre dsporre d ua carta geografca cu sao charamete delmtate le dverse rpartzo geografche (es. stat, rego, provce, ) cosderate ella sere. Cartogramma a rpartzo colorate: Le rpartzo geografche soo le rego. Il colore assocato a cascua classe d valor cresce d testà al crescere della frequeza. Le frequeze percetual soo mort per tumore og abtat. Mort per tumore og abtat. Ao 1983 Regoe Mort per tumore Pemote 65.6 Valle d'aosta 57.4 Lombarda 75.3 Treto-Alto Adge 34.1 Veeto 5.4 Frul-Veeza Gula Lgura Emla-Romaga Toscaa 99.5 Umbra 44.9 Marche 46.9 Lazo 16.4 Abruzz Molse Campaa Pugla Baslcata 14.3 Calabra 18.0 Scla Sardega

35 Rego talae - Mort per tumore Rego talae 300 a 347 (3) 5 a 300 (5) 16 a 5 (4) 150 a 16 (3) 14 a 150 (5) 34

36 Cartogramma a coloe (cartodagramma): Le rpartzo geografche soo le rego. Le frequeze (assolute o percetual) soo rappresetate attraverso coloe d altezza proporzoale a valor relatv a cascua regoe. Rego talae - Mort per tumore 35

37 Dagramma cartesao a cae d orgao (ad aste, a det d pette): S utlzza per dstrbuzo co class omograde. Sull asse X s rportao valor putual della varable; sull asse Y le frequeze corrspodet. S ottee u seme d m put el pao (m = umero d modaltà della varable). Per redere maggormete vsbl tal put s traccao de segmet vertcal coguget l ascssa co l puto del pao corrspodete. N.B.: o è corretto cogugere put co ua spezzata poché la varable è dscreta, e o ammette valor termed a quell dcat sull asse X. Il grafco seguete è caratterzzato da u sstema dmetrco: questo sgfca che l utà d msura degl ass X e Y è dversa (se vece cocde, allora s drà moometrco). La scelta tutta covezoale dell utà d msura de ass codzoa fortemete la rappresetazoe. 36

38 Famgle talae per umero d compoet (ao 1990) (Fote: ISTAT, Compedo statstco talao, edzoe 1993). umero d compoet umero d famgle (dat mglaa) frequeze relatve f = / , , , , , , , o pù (*) 40 0, ,0000 (*) s è scelto 8,5 come valore rappresetatvo F a m g le ta la e p e r u m e ro d c o m p o e t (a o ) Famgle (frequeze %) N u m e r o d c o m p o e t 37

39 Noostate o sa corretto cogugere put co ua spezzata, poché la varable è dscreta e la spezzata descrve ua cotutà rreale, a volte può essere ugualmete d auto farlo per coglere meglo l adameto della dstrbuzoe. La rappresetazoe grafca che s ottee questo caso è deomata polgoo d frequeza. F a m g le ta la e p e r u m e ro d c o m p o e t (a o ) Famgle (frequeze %) N u m e r o d c o m p o e t 38

40 30 F a m g le ta la e p e r u m e ro d c o m p o e t (a o ) 5 0 Famgle (frequeze %) o pù (*) N u m e r o d c o m p o e t 39

41 Grafco d ua sere storca: Il grafco s ottee rportado sull asse X temp cu s è rlevato l feomeo (ad esempo gl a) ed ordata valor regstrat della gradezza osservata. Se l feomeo rlevato ella sere temporale vara co cotutà el tempo, allo scopo d evdezare meglo l evoluzoe del feomeo el corso del tempo, può essere utle collegare co segmet d retta put del pao: cò equvale ad assumere che tra due temp cosecutv osservat l feomeo abba seguto u adameto leare. Cas d malara otfcat Itala el perodo (Fote: ISTAT, Le rego cfre, 1994) A Cas d A Cas d A malara malara Cas d malara

42 600 Cas d malara otfcat Itala el perodo Numero d cas d malara A 41

43 MEDIA ARITMETICA Le tabelle, ache se molto utl per orgazzare e stetzzare dat, o cosetoo tuttava d formulare affermazo stetche quattatve e che caratterzzo ua dstrbuzoe el suo seme. Per fare cò dspoamo delle msure d stes umerca. La caratterstca pù comuemete studata d ua sere d dat è l suo ce tro, o l puto cu le osservazo tedoo a raccoglers. La msura d tedeza cetrale pù comuemete utlzzata è la meda artmetca o meda. La meda è calcolata sommado tutte le osservazo ua sere d dat e dvdedo per l umero totale delle msurazo. I geerale c AMMONTARE TOTALE DEL N DI UNITA' STATISTICHE CARATTERE Se abbamo l protocollo elemetare, come s fa ad otteere c? c 1 1 4

44 43 Se abbamo ua dstrbuzoe d frequeza m,..., 1 ; come s fa ad otteere c? c c m m 1 m 1 1 Se abbamo ua dstrbuzoe d frequeza m,..., 1 ; 1 occorre determare m,..., 1, ˆ 1 : c c m m 1 m 1 1 ˆ ˆ ˆ N.B.: poché m m m f È possble calcolare ache a partre dalla dstrbuzoe delle frequeze relatve m f,..., 1 ; m 1 f ˆ

45 ESERCIZI SUL CALCOLO DI NELLE DIVERSE SITUAZIONI. 1) Co l protocollo elemetare: I temp d arrvo d 8 uotator ua battera d 00 metr stle lbero soo stat seguet ( mut e secod): 1:3 1:18 1: 1: 1:4 1:19 1:19 1:0 Calcolare l tempo medo artmetco della battera. Soluzoe: Prma d tutto è ecessaro rdurre dat a u uca utà d msura, ad esempo l muto secodo (o, equvaletemete, l muto prmo): Il tempo medo artmetco della battera rsulta par a ( ) / 8 = 80,875 sec., ovvero poco meo d 1 muto e 1 secod 8 1 c

46 ) Co la dstrbuzoe 1 m ;.,..., DISTRIBUZIONI DI 1863 FAMIGLIE ITALIANE SECONDO IL NUMERO DI COMPONENTI Numero d compoet Numero d famgle c (440 * ) (41 * 3) (401* 4) (177 * 5) (101* 6) ,

47 3) Co la dstrbuzoe ; f 1,..., m, gor d asseza. Dstrbuzoe delle frequeze relatve per u campoe d dpedet d u azeda classfcat secodo l umero d gor d asseza dal lavoro per malatta el mese d geao 1993: X=Gor d asseza Frequeze relatve f = o oto 0 * * 0.15 * * ,675 fatt: 1 m m f 46

48 4) Co la dstrbuzoe 1 ; 1,..., m, laureat. Cosderamo la dstrbuzoe de laureat Ecooma el 1986 Itala secodo le class d età alla laurea. Class d età Frequeze assolute oltre Totale 613 Notamo subto che le class cu è stato suddvso l carattere o soo d ampezza regolare e che l ultma d queste è aperta a destra. Duque sceglamo u valore ragoevole per trasformare tale classe assumedo come estremo superore, per esempo, 40 a. Calcolamo qud valor cetral delle class: 3.5, 5, 7, 9 e 35. Ife possamo calcolare la meda artmetca ella seguete maera: Possamo cocludere percò che Itala, el 1986, laureat Ecooma avevao u età meda d 6.7 a. 47

49 ESEMPIO: I seguet valor s rferscoo a temp d sopravvveza ( mes) d 6 ratt dopo trattameto co radazo: ,4 1,7,3,5 3, 3,8 Calcolare la meda artmetca ,14 1,7,3,5 3, 3,8 6 14,9 6,48,5 Costruamo ora la dstrbuzoe d frequeza partedo dal protocollo elemetare dato: c 1,0,0 (1,5) 1,5* = 3,0 3,0 (,5),5 * = 5 3,0 4,0 (3,5) 3,5 * = 7 Totale c ,5 48

50 PROPRIETA DELLA MEDIA ARITMETICA La meda artmetca delle osservazo è quel valore che, sosttuto a cascu valore dvduale, lasca alterato l ammotare totale del carattere. 1 a propretà) IDENTITA DI SOMMA: Il valore costate, attrbuto a cascua delle utà, è tale da rprodurre, ell seme, l ammotare totale del carattere. ( smbol): m 11 a propretà) NULLITA DELLA SOMMA ALGEBRICA DEGLI SCARTI: la somma algebrca degl scart tra sgol valor e la loro meda artmetca è 0. ( smbol): 1 m

51 50 3 a propretà) MINIMO DELLA SOMMA DEI QUADRATI DEGLI SCARTI: la somma algebrca de quadrat degl scart tra sgol valor e la loro meda artmetca è MINIMA. MINIMO 1 h h MINIMO per coè 1. Perché predamo l quadrato? Per trasformare ua dffereza (che può essere egatva) ua dstaza (che è sempre postva, o al pù ulla). I questo modo esprme d quato s allotaa dalla meda. Dmostrazoe per assurdo: Suppoamo che : h h h h h h h h h h h h IMPOSSIBILE!!!

52 Volum esprator forzat u secodo 13 adolescet asmatc Soggetto Volume espratoro forzato u secodo ( ltr) ,95 ltr ,73 ltr 13 51

53 La meda è estremamete sesble a valor solt. Spesso l errore potrebbe o essere così evdete, oppure l osservazoe solta potrebbe addrttura o essere u errore. Poché l ostro obettvo è quello d caratterzzare u tero gruppo d dvdu, potremmo preferre ua msura d stes che o sa così sesble ad og sgola osservazoe. MEDIANA Ua msura d tedeza cetrale che o è così sesble al valore d cascua msurazoe è la medaa, che può essere utlzzata come msura d stes per dat ordal, dscret e cotu. La medaa è defta come l cquatesmo percetle d ua sere d msurazo; se ua lsta d osservazo è classfcata orde crescete, la metà de valor sarà maggore o uguale alla medaa, metre l altra metà sarà more o uguale ad essa. Pertato, se ua sere d dat cotee u totale d osservazo dove è dspar, la medaa è l valore cetrale o la msurazoe corrspodete a [(+1)/]; se è par, la medaa è la meda de due valor cetral, l osservazoe corrspodete a (/) e a [(/)+1]. 5

54 Volum esprator forzat u secodo 13 adolescet asmatc Soggetto Volume espratoro forzato Volume espratoro forzato u secodo ( ltr) u secodo ( ltr) Medaa = (13+1)/ = 7 osservazoe =.8 ltr Pertato, la medaa del volume espratoro forzato u secodo rmarrà.8 ltr. La medaa è defta robusta, coè molto meo sesble a valor solt rspetto alla meda. 53

55 MEDIANA Determable ache rspetto a caratter QUALITATIVI, purché RIGOROSAMENTE ORDINABILI (Mutabl Ordate Rettlee) ESERCIZIO 1: Suppoamo d avere u collettvo d 7 professor uverstar, per qual studamo l carattere: CLASSE DI STIPENDIO (5 modaltà: I, II, III, IV, V). Il protocollo elemetare è: I, IV, III, V, II, II, III. ORDINIAMO IL PROTOCOLLO: I, II, II, III, III, IV, V =7 dspar u posto cetrale: (+1)/ = 8/ = 4 posto ella graduatora ordata, l posto cetrale (4 ) è occupato da u professore che percepsce uo stpedo la cu classe è III Me = III a classe d stpedo. 54

56 ESERCIZIO : Suppoamo che al ostro collettvo d 7 professor uverstar se e agguga 1, così da avere 8. Il carattere studato è sempre la CLASSE DI STIPENDIO (5 modaltà: I, II, III, IV, V). Il protocollo elemetare è: I, IV, III, V, II, II, III, V. ORDINIAMO IL PROTOCOLLO: I, II, II, III, III, IV, V, V =8 par due post cetral: /= 4 posto e (/)+1 = 5 posto ella graduatora ordata: Me = III a classe d stpedo. ESERCIZIO 3: Partedo dal collettvo zale d 7 professor uverstar, e aggugamo uo co CLASSE DI STIPENDIO II. Il protocollo elemetare è: I, IV, III, V, II, II, III, II. ORDINIAMO IL PROTOCOLLO: I, II, II, II, III, III, IV, V =8 par due post cetral: / = 4 posto e (/)+1 = 5 posto ella graduatora ordata: tal caso le modaltà che corrspodoo a post cetral o cocdoo s hao modaltà medae: Me = II a e III a classe d stpedo. 55

57 ESERCIZIO 4: Suppoamo d avere u collettvo d 0 doe su cu osservamo l carattere NUMERO DI FIGLI AVUTO. Il protocollo elemetare è: 0, 3, 1, 1,, 5, 1, 0, 4,, 0, 1, 3,, 1, 6, 1,,, 1. ORDINIAMO IL PROTOCOLLO: 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,,,,,, 3, 3, 4, 5, 6. =0 par due post cetral: / = 10 posto (modaltà 1) e (/)+1 = 11 posto (modaltà ) ella graduatora ordata: tal caso le modaltà che corrspodoo a post cetral o cocdoo e per covezoe se e fa la MEDIA ARITMETICA tal caso è possble. Me = (1+)/ = 1.5 fgl. 56

58 ESERCIZIO 5: Suppoamo d avere u collettvo d 11 studet su cu osservamo l carattere GIUDIZIO ALL ESAME DI SCUOLA MEDIA INFERIORE. Il protocollo elemetare è: Buoo, Suffcete, Ottmo, Ottmo, Suffcete, Suffcete, Dscreto, Dscreto, Buoo, Dstto, Dscreto. ORDINIAMO IL PROTOCOLLO: Suff., Suff., Suff., Dscreto, Dscreto, Dscreto, Buoo, Buoo, Dstto, Ottmo, Ottmo. =11 dspar u posto cetrale: (+1)/ = 6 posto Me = Dscreto ESERCIZIO 6: Aggugamo uo studete, così da avere u collettvo d 1 studet su cu osservamo che l carattere GIUDIZIO ALL ESAME DI SCUOLA MEDIA INFERIORE è par a Dscreto. Il protocollo elemetare è: Buoo, Suffcete, Ottmo, Ottmo, Suffcete, Suffcete, Dscreto, Dscreto, Buoo, Dstto, Dscreto, Dscreto. ORDINIAMO IL PROTOCOLLO: Suff., Suff., Suff., Dscreto, Dscreto, Dscreto, Dscreto, Buoo, Buoo, Dstto, Ottmo, Ottmo. =1 par due post cetral: / = 6 posto e (/)+1 = 7 posto Me = Dscreto 57

59 ESERCIZIO 7: Suppoamo che l 1 studete serto presetasse u GIUDIZIO ALL ESAME DI SCUOLA MEDIA INFERIORE par a Buoo. Il protocollo elemetare è: Buoo, Suffcete, Ottmo, Ottmo, Suffcete, Suffcete, Dscreto, Dscreto, Buoo, Dstto, Dscreto, Buoo. ORDINIAMO IL PROTOCOLLO: Suff., Suff., Suff., Dscreto, Dscreto, Dscreto, Buoo, Buoo, Buoo, Dstto, Ottmo, Ottmo. =1 par due post cetral: / = 6 posto e (/)+1 = 7 posto Abbamo due Medae = Dscreto e Buoo. ESERCIZIO 8: Suppoamo d avere u collettvo d 0 studet su cu osservamo l carattere VOTO ALL ESAME DI MATURITA. Il protocollo elemetare è: 60, 5, 44, 36, 39, 41, 51, 57, 50, 48, 46, 36, 36, 40, 45, 60, 44, 43, 55, 39. ORDINIAMO IL PROTOCOLLO: 36, 36, 36, 39, 39, 40, 41, 43, 44, 44, 45, 46, 48, 50, 51, 5, 55, 57, 60, 60. =0 par due post cetral: / = 10 posto e (/)+1 = 11 posto ella graduatora ordata: tal caso le modaltà che corrspodoo a post cetral o cocdoo e per covezoe se e fa la MEDIA ARITMETICA tal caso è possble. Me = (44+45)/ =

60 ESERCIZIO 9: Suppoamo d avere la seguete dstrbuzoe degl scrtt all Uverstà ( totale) ell a.a per grupp d cors d laurea: GRUPPI a ISCRITTI Scetfco Medco Igegerstco Agraro Ecoomco Poltco-socale Gurdco Letteraro TOTALE Qual è la medaa? 59

61 ESERCIZIO 10: Sa data la classfcazoe della popolazoe resdete Itala, d età superore a 6 a, per grado d struzoe (Fote: ISTAT, 1981) GRADO DI ISTRUZIONE FREQUENZA Aalfabet Alfabet seza ttolo d studo Lceza d scuola elemetare Lceza d scuola meda ferore Dploma d scuola meda superore Laurea TOTALE Determare l grado d struzoe medao. = è par, qud abbamo due post cetral: / = e (/)+1 = A questo puto occorre costrure la dstrbuzoe CUMULATA CRESCENTE. S ottee qud che l grado d struzoe MEDIANO è la terza modaltà, coè lceza d scuola elemetare. 60

62 ESERCIZIO 11: Sa data la classfcazoe delle famgle talae per umero d compoet (Fote: ISTAT, 1993) Numero d compoet Numero d famgle (dat mglaa) X Dstrubuzoe cumulata X X X X X X X o pù (*) 40 X (*) s è scelto 8,5 come valore rappresetatvo Determare l umero medao d compoet. = famgle è dspar, qud abbamo u posto cetrale: (+1)/ = posto A questo puto occorre costrure la dstrbuzoe CUMULATA CRESCENTE. S ottee qud che l umero MEDIANO d compoet è par a 3. 61

63 ESERCIZIO 1: Cosderamo ora ua varable dscreta. Sa data la dstrbuzoe delle abtazo d uova costruzoe Itala el 198 secodo l umero d staze (abtazo fabbrcat resdezal). Numero d staze N d abtazo X Dstrubuzoe cumulata X X X e pù qualuque Determare l umero medao d staze. = abtazo è dspar, qud abbamo u posto cetrale: (+1)/ = / = posto A questo puto occorre costrure la dstrbuzoe CUMULATA CRESCENTE. 3 4 è l tervallo medao, quello cu s trova la MEDIANA. Qual è la medaa? Ipotes d uforme dstrbuzoe delle abtazo dell tervallo 3 4: tale tervallo cotee modaltà suddvdo equamete la frequeza tra le modaltà attrbuamo ad esempo frequeza ( /) alla modaltà tre staze e frequeza alla modaltà quattro staze. 6

64 X Dstrubuzoe cumulata X X X = X qualuque Pertato, la medaa è par a 4 staze. 63

65 QUARTILI S calcolao dvdedo l collettvo ordato = 4 grupp d uguale umerostà. I term percetual, og gruppo ha u umero d utà par al 5% del totale. X ¼ = 1 quartle X ½ = quartle = Medaa X ¾ = 3 quartle Qual è la percetuale delle utà statstche che hao u valore del carattere X o superore a X ¼? Il 5%. Qual è la percetuale delle utà statstche che hao u valore del carattere X o superore a X ¾? Il 75%. SESTILI S calcolao dvdedo l collettvo ordato = 6 grupp d uguale umerostà. 64

66 ESERCIZIO: Data la seguete dstrbuzoe de lvell d colesterolo serco 1067 soggett della popolazoe maschle degl Stat Ut, d età 5-34 a ( ), calcolare la medaa e quartl del lvello d colesterolo. Lvello d colesterolo (mg/100 ml) Numero d soggett Frequeza cumulata Totale 1067 = 1067 soggett è dspar, qud abbamo u posto cetrale: (+1)/ = 1068/ = 534 posto. Dopo aver calcolato la dstrbuzoe cumulata crescete, posso vedere che l tervallo medao è Ma se voglo cooscere l valore della medaa? Suppogo l uforme dstrbuzoe, dvdo 44 per l ampezza dell tervallo medao; calcolo po la dstrbuzoe cumulata per og valore putuale dell tervallo e ottego che la medaa è par a 19. Aalogamete, ottego che l tervallo 1 quartle è e l 1 quartle (67 posto) è 169 mg/100 ml; metre l 3 quartle è l tervallo e allo stesso modo calcolo l valore putuale. 65

67 MODA Ua terza msura d tedeza cetrale è la moda, che può essere utlzzata come msura d stes per tutt tp d dat. La moda d ua sere d valor è l osservazoe che s verfca co maggore frequeza. La moda è determable per og tpo d carattere. La moda è determable a partre della dstrbuzoe, o f, o f *100. I ua dstrbuzoe v possoo essere pù modaltà che presetao l massmo delle frequeze. I questo caso, la dstrbuzoe avrà pù d ua moda. ESEMPIO d dstrbuzoe BIMODALE: Le due mode soo 1 e 3. Se avess tre mode dstrbuzoe TRIMODALE. 66

68 ESERCIZIO 1: Moda d ua MUTABILE SCONNESSA Dstrbuzoe degl scrtt all Uverstà (Totale) ell a.a per grupp d cors d laurea. Grupp a Iscrtt Scetfco Medco Igegera Agraro Ecoomco Poltco-socale Gurdco Letteraro TOTALE Moda = Gruppo Letteraro. ESERCIZIO : Moda d ua MUTABILE ORDINATA Dstrbuzoe della popolazoe per grado d struzoe (ISTAT, 1991). Grado d struzoe a Popolazoe Aalfabet Alfabet prv d ttolo d studo Lceza d Scuola Elemetare Lceza d Scuola Meda Iferore Dploma d Scuola Meda Superore Laurea TOTALE Moda = Lceza d Scuola Elemetare. 67

69 ESERCIZIO 3: Moda d ua VARIABILE DISCRETA Dstrbuzoe delle famgle talae per umero d compoet (Fote: ISTAT, Compedo statstco talao, edzoe 1993). Numero d compoet Numero d famgle (dat mglaa) o pù Frequeza relatva f Moda = compoet. OSSERVAZIONE: l ultma classe è u tervallo. 68

70 ESERCIZIO 4: Moda d ua VARIABILE CONTINUA (class d uguale ampezza) Frequeze assolute e relatve de lvell d colesterolo serco 94 soggett della popolazoe maschle degl Stat Ut, Età 5-34 Età Lvello d Numero d Frequeza Numero d Frequeza colesterolo soggett relatva soggett relatva (mg/100 ml) (%) (%) Totale Moda per soggett d età 5-34 a = mg/100 ml. Moda per soggett d età a = mg/100 ml. 69

71 ESERCIZIO 5: Moda d ua VARIABILE CONTINUA (class d ampezza dversa) Dstrbuzoe de comu tala per class d ampezza demografca. (Fote: ISTAT, Compedo statstco talao, edzoe 199). class d ampezza demografca -1 - umero d comu fo a abtat oltre I tal caso, per dvduare la moda, poché l ampezza degl tervall è dversa, o s possoo cofrotare drettamete le frequeze (assolute o relatve) S deve elmare tale elemeto d dverstà tra le class; questo avvee costruedo, per og classe, l rapporto tra la frequeza e la corrspodete ampezza d : Destà d frequeza =1,, d La moda deve, qud, essere dvduata sulla base della pù elevata Destà d frequeza. 70

72 class d ampezza demografca -1 - N comu Destà d frequeza fo a abtat /1000 = 1, /1000 = 1, /3000 = 0, /5000 = 0, /10000 = 0, /30000 =0, /50000 = 0, / = 0, /50000 =0,0000 Oltre * 6 6/ =0, * potzzo L tervallo modale è fo a abtat. 71

73 MISURE DI VARIABILITA Per sapere quato sa realmete valda la msura d tedeza cetrale calcolata, dobbamo avere u dea della varabltà tra valor de dat. Tutte le osservazo tedoo ad essere sml e percò a stuars vco al cetro, o soo dstrbute u ampo tervallo d valor? ESEMPIO: Temperature mme goralere regstrate a Bolzao el mese d aprle 1985 ( C): Msuramo la varabltà: 7

74 1) CAMPO DI VARIAZIONE (o INTERVALLO DI VARIABILITA o RANGE) Uo de umer che può essere utlzzato per descrvere la varabltà ua sere d dat è l campo d varazoe. Il campo d varazoe d u gruppo d msurazo è defto come la dffereza tra l osservazoe pù grade e quella pù pccola. I V = X MAX X MIN = 7.3 C (-.6 C) = 9.9 C = [X () X (1) ] È uguale a 0 se o c è varabltà e aumeta all aumetare della varabltà; No sfrutta tutte le formazo dspobl È fortemete dpedete dall evetuale preseza d dat aomal. È espresso ella stessa utà d msura della varable X. La sua utltà è molto lmtata, quato esso cosdera solo valor estrem d ua sere d dat e o la maggoraza delle osservazo. Pertato, come la meda, è molto sesble a valor eccezoalmete grad o eccezoalmete pccol. 73

75 ) DEVIANZA Dev(X) = 1 1 = = 1 ESEMPIO: 30 10,6 10,6 3, 4C ,14 3,4 565,14 350,89 14,48 Dev( X ) 565,14 30 C È uguale a 0 se o c è varabltà e aumeta all aumetare della varabltà; È espressa el quadrato dell utà d msura della varable X. È fluezata dal valore d. 74

76 3) VARIANZA V(X) = Var(X) = DEV(X) = = 1 ESEMPIO: 14,48C V ( X ) Var( X ) 7,14C 30 Rspetto a Dev(X), o è pù fluezata dal valore d. 75

77 4) SCARTO QUADRATICO MEDIO o DEVIAZIONE STANDARD (o Scostameto Quadratco Medo dalla Meda Artmetca) SD(X) = DS(X) = S (X) = V (X ) = 1 = 1 1 = 1 ESEMPIO: SD( X ) DS( X ) S ( X ) Var( X ) 7,14C, 67C Per la propretà d mmo della meda artmetca, DS(X) è l mmo degl scostamet quadratc med da u qualuque altro valore medo. È espresso ella stessa utà d msura d X. Rspetto agl scostamet semplc med, sovrappesa gl scart pù elevat, perché l eleva al quadrato. 76

78 5) COEFFICIENTE DI VARIAZIONE (o COEFFICIENTE DI VARIABILITA ) C.V.(X) = DS ( X ) ESEMPIO: 3.4 DS ( X ) C C. V.( X ) % 3.4C È u umero puro (o ha utà d msura). No dpede dal valor medo della X. Può essere utlzzato per cofrotare la varabltà: Dello stesso carattere due o pù collettv avet mede dverse. Dello stesso carattere espresso dverse utà d msura. D due caratter dvers per utà d msura e per lvello medo. 77

79 ESEMPIO: Sa data la seguete dstrbuzoe de volum esprator forzat u secodo 13 adolescet asmatc. Soggetto Volume espratoro forzato u secodo ( ltr) M Ma ltr Me posto X Me.8 Mo = Tutt valor o esste u uca moda perché tutt valor appaoo ua volta sola I V ltr V ( X ) ltr 13 SD ( X ) V ( X ) 0.36 ltr 0.6 ltr CV ( X ) * ltr 0.6 ltr 1