Automi a Pila e Grammatiche Libere dal Contesto. Automi a Pila e Grammatiche Libere dal Contesto

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2 utomi a Pila Un automa a pila (PDA) e una estensione degli automi a stati finiti, che ha una memoria (una pila) Vedremo due modi equivalenti per definire il linguaggio accettato da un PDA Vedremo che la classe dei linguaggi accettati da PDA (nondeterministici) e esattamente quella dei CFL

3 etermismo e Non-Determismo Vedremo come nel caso dei PDA la versione deterministica e non deterministica non siano equivalenti Gli automi a pila deterministici operano in modo simile ai parser dei compilatori, e importante capire quali costrutti linguistici non possono essere catturati.

4 escrizione Intuitiva Un automa a pila (PDA) e in pratica un ɛ-nfa con una pila, la pila contiene simboli ordinati LIFO Input Finite state control Accept/reject Stack

5 osse dell automa Il PDA in un certo stato puo (al solito) leggere un simbolo di input o eseguire una ɛ-transizione Leggere il simbolo memorizzato al top della pila Quando si muove 1 puo cambiare stato 2 rimpiazzare il top della pila con una stringa (la pila rimane invariata, o viene eliminato il top della pila, o viene aggiunta una stringa in cima alla pila)

6 sempio Consideriamo il linguaggio CFL con grammatica L wwr = {ww R : w {0, 1} }, P 0P01P1 ɛ Possiamo definire un PDA che utilizza la pila nel seguente modo: 1 fino a che legge i simboli di w memorizza i simboli letti nella pila 2 quando inizia w R, svuota la pila, se il simbolo memorizzato al top e uguale a quello in input

7 DA: Descrizione Intuitiva Un PDA per L wwr ha tre stati, e funziona come segue: 0: Scommette che sta leggendo w. Rimane nello stato 0, e mette il simbolo di input sulla pila. 0: Scommette che sta nel mezzo di ww R. Va spontaneamente nello stato 1. 1: Sta leggendo la testa di w R. La paragona al top della pila. Se sono uguali, fa un pop della pila, e rimane nello stato 1. Se non sono uguali, si ferma. 1: Se la pila e vuota, va nello stato 2 e accetta la stringa.

8 DA: Diagramma di Transizione 0, Z 0 / 0 Z 0 1, Z 0 / 1 Z 0 0, 0 / 0 0 0, 1 / 0 1 1, 0 / 1 0 1, 1 / 1 1 0, 0 / ε 1, 1 / ε Start q 0 q q 1 2 ε, Z 0 / Z 0 ε, Z 0 / Z 0 ε, 0 / 0 ε, 1 / 1

9 ommenti Gli archi del diagramma sono etichettati con a, Z/α che rappresentano: 1 il simbolo in input (o ɛ) 2 Z il simbolo al top della pila 3 α la stringa che viene messa al top della pila (al posto di Z) Z 0 e il simbolo memorizzato inizialmente nella pila

10 ommenti in q 0 qualsiasi simbolo legga in input lo pusha al top della pila in q 0 si puo muovere in q 1 senza leggere input e lasciando la pila invariata in q 1 cancella (rimpiazzandolo con ɛ) il simbolo al top della pila se combacia con l input in q 1 si muove in q 2 se la pila e vuota (contiene Z 0 )

11 efinizione Formale di PDA Un PDA e una tupla di 7 elementi: P = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, F ), dove Q e un insieme finito di stati, Σ e un alfabeto finito di input, Γ e un alfabeto finito di pila, δ : Q Σ {ɛ} Γ 2 Q Γ e la funzione di transizione, q 0 e lo stato iniziale, Z 0 Γ e il simbolo iniziale per la pila, e F Q e l insieme di stati di accettazione.

12 unzione di Transizione la funzione di transizione δ : Q Σ {ɛ} Γ 2 Q Γ restituisce un insieme di coppie (q, α) dove q e uno stato e α e la stringa nell alfabeto della pila che deve rimpiazzare il simbolo al top l automa e nondeterministico, esistono ovviamente varie scelte

13 sempio Il PDA 0, Z 0 / 0 Z 0 1, Z 0 / 1 Z 0 0, 0 / 0 0 0, 1 / 0 1 1, 0 / 1 0 1, 1 / 1 1 0, 0 / ε 1, 1 / ε Start q 0 q q 1 2 ε, Z 0 / Z 0 ε, Z 0 / Z 0 ε, 0 / 0 ε, 1 / 1 e la 7-tupla P = ({q 0, q 1, q 2 }, {0, 1}, {0, 1, Z 0 }, δ, q 0, Z 0, {q 2 }), dove δ e data dalla tavola seguente:

14 a Funzione di Transizione 0, Z 0 1, Z 0 0,0 0,1 1,0 1,1 ɛ, Z 0 ɛ, 0 ɛ, 1 q 0 q 0, 0Z 0 q 0, 1Z 0 q 0, 00 q 0, 01 q 0, 10 q 0, 11 q 1, Z 0 q 1, 0 q 1, 1 q 1 q 1, ɛ q 1, ɛ q 2, Z 0 q 2

15 escrizioni Istantanee Per descrivere le computazioni di un PDA dobbiamo descrivere la configurazione dell automa ad un certo punto Usiamo delle descrizioni istantanee (ID) del PDA. Una ID e una tripla (q, w, γ) dove q Q e lo stato, w Σ l input rimanente, e γ Γ e una stringa, il contenuto della pila. Nota: la pila e rappresentata da una stringa γ = aα a e il top

16 omputazione Per descrivere le computazioni di un PDA introduciamo una nozione di tra configurazioni istantanee, ID 1 ID 2 l automa nella configurazione ID 1 si muove in un passo nella configurazione ID 2 Al solito usiamo la chiusura riflessiva e transitiva di.

17 efinizione: Passo di Computazione Sia P = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, F ) un PDA. Allora w Σ, β Γ : (p, α) δ(q, a, X ) (q, aw, X β) (p, w, αβ). dove q Q, a Σ {ɛ} e X Γ.

18 sempio Su input 1111 il PDA 0, Z 0 / 0 Z 0 1, Z 0 / 1 Z 0 0, 0 / 0 0 0, 1 / 0 1 1, 0 / 1 0 1, 1 / 1 1 0, 0 / ε 1, 1 / ε Start q 0 q q 1 2 ε, Z 0 / Z 0 ε, Z 0 / Z 0 ε, 0 / 0 ε, 1 / 1 ha le seguenti sequenze di computazioni ( a causa del nondeterminismo)

19 sempio ( q 0, 1111, Z 0 ) ( q 0, 111, 1Z 0 ) ( q, 1111, Z 1 0 ) ( q 2, 1111, Z 0 ) ( q 0, 11, 11Z 0 ) ( q, 111, 1Z 1 0 ) ( q, 11, 1 Z 0 ) ( q 0, 1, 111Z 0 ) ( q, 11, 11Z 1 0 ) ( q 2, 11, Z 0 ) ( q 0, ε, 1111Z 0 ) ( q, 1, 111Z 1 0 ) ( q, 1, 1 Z 1 0 ) ( q, 1 ε, 1111Z 0 ) ( q, ε, 11 Z 1 0 ) ( q, ε, 1 Z 0 ) ( q 2, ε, Z 0 )

20 on Determinismo A causa del nondetermiminsmo e delle ɛ-transizioni 1 alcune computazioni non arrivano nello stato finale q 2 2 alcune computazioni arrivano nello stato finale q 2, ma non avendo consumato l input 3 alcune computazioni arrivano nello stato finale q 2 avendo consumato l input (quindi la stringa viene accettata)

21 ccettazione per stato finale Sia P = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, F ) un PDA. Il linguaggio accettato da P per stato finale e L(P) = {w : (q 0, w, Z 0 ) (q, ɛ, α), q F }. la configurazione iniziale contiene q 0, l input w e Z 0 sulla pila la configurazione finale contiene q accettante, input ɛ, e sulla pila una stringa arbitaria α

22 sempio Sia P l automa visto. Proviamo che L(P) = L wwr. (direzione.) Sia x L wwr. Allora x = ww R, e la seguente e una sequenza di computazione legale (q 0, ww R, Z 0 ) (q 0, w R, w R Z 0 ) (q 1, w R, w R Z 0 ) (q 1, ɛ, Z 0 ) (q 2, ɛ, Z 0 ).

23 direzione.) Osserviamo che l unico modo in cui il PDA puo andare in q 2 e se e nello stato q 1 con la pila vuota. Quindi e sufficiente mostrare che se (q 0, x, Z 0 ) (q 1, ɛ, Z 0 ) allora x = ww R, per una qualche stringa w. Mostreremo per induzione su x che (q 0, x, α) (q 1, ɛ, α) x = ww R. Base: Se x = ɛ allora x e una palindrome. Induzione: Supponiamo che x = a 1 a 2 a n, dove n > 0, e che l ipotesi induttiva valga per stringhe piu corte. Ci sono due mosse per il PDA da ID (q 0, x, α):

24 direzione.) Mossa 1: La mossa spontanea (q 0, x, α) (q 1, x, α). Allora (q 1, x, α) (q 1, ɛ, β) implica che β < α, che implica β α. Mossa 2: (q 0, a 1 a 2 a n, α) (q 0, a 2 a n, a 1 α). In questo caso c e una sequenza (q 0, a 1 a 2 a n, α) (q 0, a 2 a n, a 1 α) (q 1, a n, a 1 α) (q 1, ɛ, α). Quindi a 1 = a n e (q 0, a 2 a n, a 1 α) (q 1, a n, a 1 α). Per il teorema 6.6 possiamo rimuovere a n. Quindi (q 0, a 2 a n 1, a 1 α (q 1, ɛ, a 1 α). Allora, per ipotesi induttiva a 2 a n 1 = yy R. Allora x = a 1 yy R a n e una palindrome.

25 ccettazioe per pila vuota Sia P = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0, F ) un PDA. Il linguaggio accettato da P per pila vuota e N(P) = {w : (q 0, w, Z 0 ) (q, ɛ, ɛ)}. Nota La configurazione iniziale e la stessa, mentre quella finale contiene uno stato q qualsiasi, ɛ come input,e la pila vuota (ɛ).

26 omande 1 come modificare il PDA per le palindromi per accettare lo stesso linguaggio per pila vuota? 2 esiste un metodo generale e sistematico? 3 esiste un metodo generale e sistematico per fare anche la trasformazione opposta?

27 a pila vuota a stato finale Teorema 6.9: Se L = N(P N ) per un PDA P N = (Q, Σ, Γ, δ N, q 0, Z 0 ), allora PDA P F, tale che L = L(P F ). Prova: Costruiamo una automa dove P F = (Q {p 0, p f }, Σ, Γ {X 0 }, δ F, p 0, X 0, {p f }) δ F (p 0, ɛ, X 0 ) = {(q 0, Z 0 X 0 )}, per un nuovo stato iniziale p 0 per ogni q Q, a Σ {ɛ}, Y Γ : δ F (q, a, Y ) = δ N (q, a, Y ) per ogni q Q, (p f, ɛ) δ F (q, ɛ, X 0 ) per un nuovo stato p f accettante

28 automa P F ε, X 0 / ε ε, X 0 / ε Start ε, X 0 / Z 0 X p 0 0 q 0 P N p f ε, X 0 / ε ε, X 0 / ε

29 ntuitivamente L automa P F inizia nel nuovo stato iniziale p 0 1 da p 0 si muove nello stato iniziale di q 0 di P N impilando Z 0 2 in q 0 (trovando Z 0 al top della pila) simula eseguendo le mosse di P N, fino a quando non arriva alla pila vuota in un certo stato q 3 da q trovando X 0 sulla pila si muove nel nuovo stato accettante p f

30 rova della correttezza della costruzione Valgono le seguenti proprieta : 1 Se una sequenza di ID e una computazione legale per un PDA, allora lo e anche la sequenza ottenuta aggiungendo una stringa alla fine della seconda componente (input). 2 Se una sequenza di ID e una computazione legale per un PDA, allora lo e anche la sequenza ottenuta aggiungendo una stringa alla fine della terza componente. 3 Se una sequenza di ID e una computazione legale per un PDA, e la coda di un input non e consumata, allora rimuovendola da tutte le ID si ottiene una computazione lecita.

31 ormalmente Teorema 6.5: w Σ, β Γ : (q, x, α) (p, y, β) (q, xw, αγ) (p, yw, βγ). Prova: Induzione sulla lunghezza della sequenza sulla destra. Nota: Se γ = ɛ abbiamo la proprieta 1, e se w = ɛ abbiamo la proprieta 2. Nota: L inverso del teorema e falso. Dalla proprieta 3 abbiamo Teorema 6.6: (q, xw, α) (p, yw, β) (q, x, α) (p, y, β).

32 rova del Teorema 6.9 Dobbiamo mostrare che L(P F ) = N(P N ). (direzione ) Sia w N(P N ). Allora (q 0, w, Z 0 ) N (q, ɛ, ɛ), per un qualche q. Dal teorema 6.5 abbiamo Dato che δ N δ F, abbiamo Concludiamo che (q 0, w, Z 0 X 0 ) N (q, ɛ, X 0 ). (q 0, w, Z 0 X 0 ) F (q, ɛ, X 0 ). (p 0, w, X 0 ) F (q 0, w, Z 0 X 0 ) F (q, ɛ, X 0 ) F (p f, ɛ, ɛ). (direzione ) Basta esaminare il diagramma.

33 sempio Vogliamo definire un P N per trovare errori in stringhe della grammatica if-else G S ɛ SS is ise. Problema, deve essere possibile abbinare ogni else con l if che lo precede. Ad esempio, {ieie, iie, iei} G, e {ei, ieeii} G =.

34 utoma e, Z/ ε i, Z/ZZ Start q P N = ({q}, {i, e}, {Z}, δ N, q, Z), dove δ N (q, i, Z) = {(q, ZZ)} e δ N (q, e, Z) = {(q, ɛ)}. L automa ha un solo stato q e un solo simbolo di stack Z, che viene usato per contare la differenza tra il numero di i ed e letti. Inseriamo una Z quando troviamo una i, cancelliamo una Z quando troviamo una i. La pila parte con Z, quindi se ad un certo punto abbiamo Z n sulla pila la differenza tra i ed e e n 1. Se la pila e vuota, allora abbiamo trovato l errore, il numero degli e e diventato illecito.

35 Da P N otteniamo P F = ({p, q, r}, {i, e}, {Z, X 0 }, δ F, p, X 0, {r}), dove δ F (p, ɛ, X 0 ) = {(q, ZX 0 )}, δ F (q, i, Z) = δ N (q, i, Z) = {(q, ZZ)}, δ F (q, e, Z) = δ N (q, e, Z) = {(q, ɛ)}, and δ F (q, ɛ, X 0 ) = {(r, ɛ)} Il diagramma per P F e e, Z/ ε i, Z/ZZ Start p ε, X 0 /ZX 0 ε, X 0 / ε q r

36 a stato finale a pila vuota Teorema 6.11: Sia L = L(P F ), per un PDA P F = (Q, Σ, Γ, δ F, q 0, Z 0, F ). Allora PDA P n, tale che L = N(P N ). Prova: Costruiamo dove P N = (Q {p 0, p}, Σ, Γ {X 0 }, δ N, p 0, X 0 ) δ N (p 0, ɛ, X 0 ) = {(q 0, Z 0 X 0 )} per un nuovo stato iniziale p 0 per tutti i q Q, a Σ {ɛ}, Y Γ, δ N (q, a, Y ) = δ F (q, a, Y ) δ N (p, ɛ, Y ) = {(p, ɛ)}, per un nuovo stato p per Y Γ {X 0 }, per tutti i q F e Y Γ {X 0 } (p, ɛ) δ N (q, ɛ, Y ).

37 automa P N Start ε, any/ ε ε, X 0 / Z 0 X p 0 P 0 q 0 F p ε, any/ ε ε, any/ ε

38 ntuitivamente L automa P N inizia nel nuovo stato iniziale p 0 1 da p 0 si muove nello stato iniziale di q 0 di P F impilando Z 0 2 in q 0 (trovando Z 0 al top della pila) simula eseguendo le mosse di P F, fino a quando non arriva in uno stato accettante q F 3 da q F si muove nel nuovo stato p, in cui la pila viene svuotata (senza leggere input)

39 rova Dobbiamo mostrare che N(P N ) = L(P F ). (direzione ) Basta esaminare il diagramma. (direazione ) Sia w L(P F ). Allora (q 0, w, Z 0 ) F (q, ɛ, α), per un q F, α Γ. Dato che δ F δ N, e teorema 6.5 dice che X 0 puo essere infilato sotto la pila, otteniamo Il P N puo calcolare: (q 0, w, Z 0 X 0 ) N (q, ɛ, αx 0 ). (p 0, w, X 0 ) N (q 0, w, Z 0 X 0 ) N (q, ɛ, αx 0 ) N (p, ɛ, ɛ).