Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

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1 Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle definito problem inverso del clcolo dell derivt: dt un funzione f, trovre un funzione F tle che F = f integrle indefinito

2 Integrle Definito: Clcolo delle Aree Voglimo clcolre l re del trpezoide individuto dl grfico di un funzione positiv f, definit e continu su un intervllo [, b]. y y=f() b Se f è un costnte o un polinomio di primo grdo, il problem è bnle. Se f è un funzione generic, il problem è molto più complicto.

3 Integrle Definito: Clcolo delle Aree Possimo pprossimre l re del trpezoide considerndo dei rettngoli inscritti e dei rettngoli circoscritti. Suddividendo l intervllo [, b] in n prti, ottenimo n rettngoli di bse l = b n. Indichimo con m i il minimo di f sull i-esimo intervllo. y L re s n del plurirettngolo inscritto è dt d s n = n i=1 m i l b

4 Integrle Definito: Clcolo delle Aree Indichimo con M i il mssimo di f sull i-esimo intervllo. y L re S n del plurirettngolo circoscritto è dt d S n = n i=1 M i l b L re S del trpezoide è compres tr s n e S n : s n S S n

5 Integrle Definito: Clcolo delle Aree Aumentndo il numero dei rettngoli l pprossimzione di S divent sempre più precis. y y y b b b y y y b b b

6 Integrle Definito: Clcolo delle Aree Aumentndo il numero dei rettngoli l pprossimzione di S divent sempre più precis. Considerndo un numero di rettngoli vi vi crescente, ottenimo due successioni: ree di plurirettngoli inscritti s 1, s 2,..., s n,... ree di plurirettngoli circoscritti S 1, S 2,..., S n,... che convergono ll re del trpezoide. Teorem 1. Se f è un funzione continu e positiv in [, b], llor le successioni delle ree (s n ) e (S n ) convergono llo stesso limite S ugule ll re del trpezoide: lim s n = n + lim S n = S. n +

7 Integrle Definito: Definizione Le considerzioni precedenti si estendono nche funzioni continue, non necessrimente positive su tutto l intervllo [, b]. Dt un funzione f definit e continu in [, b], si chim integrle definito di f sull intervllo [, b] il limite lim n + n i=1 e si indic con il simbolo m i l = lim n + f() d. n i=1 M i l = S Not: se f cmbi segno in [, b], l integrle rppresent l cosiddett re orientt sottes dl grfico di f.

8 Proprietà dell Integrle Definito linerità: k f() d = k f() d per ogni k R ( ) f() + g() d = f() d + g() d dditività: monotoni: f() d = c f() d + c f() d se m f() M per ogni in [, b], llor m(b ) f() d M(b )

9 Funzioni Primitive Il clcolo dell integrle come limite di somme è estremmente complesso e per null conveniente. Occorre quindi trovre un ltro metodo per clcolrlo. A questo scopo si introduce il concetto di primitiv. Si dice che F è un primitiv dell funzione f in [, b] se F è derivbile in [, b] e risult F () = f() per ogni [, b]. Il problem del clcolo dell primitiv è il problem inverso del clcolo dell derivt: clcolre l primitiv signific, dt un funzione f, trovre un ltr funzione F tle che F () = f() per ogni [, b].

10 Funzioni Primitive: Alcuni Esempi Un primitiv di 2 è 2. Inftti, D( 2 ) = 2 Un primitiv di cos è sin. Inftti, D(sin ) = cos Un primitiv di 1/ in (0, + ) è ln. Inftti, D(ln ) = 1/ Un primitiv di e è e. Inftti, D(e ) = e Osservimo però che: D( 2 1) = D( 2 + 5) = D( 2 + k) = 2 Quindi, nche le funzioni 2 1, 2 + 5, 2 + k sono primitive di 2.

11 Funzioni Primitive Osservzione. Se F è un primitiv di f, llor nche l funzione G() = F () + k è un primitiv di f, qulunque si k R. Vicevers, se F e G sono primitive di f, llor F e G differiscono per un costnte: G() = F () + k. In ltre prole, un funzione mmette infinite primitive che differiscono tr loro per un costnte rele e i cui grfici costituiscono un fmigli infinit di curve ottenibili per trslzione lungo l sse y.

12 Integrle Indefinito L insieme di tutte le primitive di un funzione f si chim integrle indefinito di f, si indic col simbolo f() d e si legge integrle indefinito di f() in d.

13 Funzioni Primitive: Alcuni Esempi 1 d = + c 2 d = 2 + c cos d = sin + c e d = e + c 1 cos 2 d = tn + c

14 Teorem di Torricelli-Brrow Si f un funzione continu sull intervllo [, b] e si un punto in [, b]. Al vrire di in [, b], l integrle definito f(t) dt ssume vlori vribili, cioè è un funzione di, che indichimo con F () e chimimo funzione integrle. Teorem di Torricelli-Brrow. funzione integrle è derivbile e risult: F () = Se f è continu in [, b], llor l f(t) dt F () = f(), cioè l funzione integrle F è un primitiv di f.

15 Clcolo dell Integrle Definito Possimo finlmente clcolre l integrle definito f(t) dt. Inftti, considerimo l funzione integrle: per il teorem di Torricelli- Brrow bbimo f(t) dt = G() + c, dove G è un primitiv di f. Per = bbimo f(t) dt = G() + c = 0, d cui G() = c. Per = b ottenimo f(t) dt = G(b) + c = G(b) G() = [ G() ] b.

16 Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle. L integrle definito di un funzione continu f, clcolto sull intervllo [, b], è ugule ll differenz tr i vlori che un qulunque primitiv di f ssume gli estremi dell intervllo d integrzione: f(t) dt = G(b) G() = [ G() ] b.

17 Esercizi sugli Integrli 1. Tr le primitive dell funzione f() = trovre quell pssnte per il punto P di coordinte (0, 3). 2. Tr le primitive dell funzione f() = e trovre quell pssnte per il punto P di coordinte (1, 0). 3. Clcolre l re delle seguenti figure pine: A = {(, y) : 0 1, 0 y 2 } B = {(, y) : 0 2, e y 2 + 5}

18 Esercizi sugli Integrli 4. Clcolre l re delle seguenti figure pine: A = {(, y) : 1 1, e y 0} B = {(, y) : 0 1, 1 2 y 2} 5. Clcolre l re dell seguente figur pin: C = {(, y) : 0 3, 0 y f()}, dove l funzione f è definit d f() = 2 per per 1 3

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