Calcolo combinatorio

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1 Calcolo combinatorio Fattoriale: n! = n( n 1)( n 2) n n = 0 Fattoriale discendente: n( n 1)...( n k + 1) n! (n) k = = ( n k)! 1 1 k n k = 0 Coefficiente binomiale (k n) : n (n) = k n! = k k! k!( n k)! semplici: Si dicono semplici di un insieme di n oggetti presi a k a k (di classe k), tutti i possibili raggruppamenti di k oggetti distinti (k n), scelti da fra gli n elementi. Due raggruppamenti risultano distinti sia se differiscono almeno un elemento, sia se differiscono l ordine con cui si presentano. D n,k = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) con ripetizioni: Si dicono con ripetizioni di un insieme di n oggetti presi a k a k (di classe k), tutti i possibili raggruppamenti di k oggetti distinti (0 k), scelti da fra gli n elementi. Due raggruppamenti risultano distinti sia se differiscono almeno un elemento, sia se differiscono l ordine con cui si presentano. D n,k = n k ermutazioni (Caso particolare di semplici, k=n): Si dicono ermutazioni di un insieme di n oggetti presi a n a n (di classe n), tutti i possibili raggruppamenti di n oggetti distinti (0 n), scelti da fra gli n elementi. Due raggruppamenti risultano distinti se differiscono l ordine con cui si presentano. n = n! D. Chirico 1

2 semplici: Si dicono semplici di un insieme di n oggetti presi a k a k (di classe k), tutti i possibili raggruppamenti di k oggetti distinti (k n), scelti da fra gli n elementi. Due raggruppamenti risultano distinti solo se differiscono almeno un elemento. C n,k = n = k D n, k k! con ripetizioni: Si dicono con ripetizioni di un insieme di n oggetti presi a k a k (di classe k), tutti i possibili raggruppamenti di k oggetti distinti (0 k), scelti da fra gli n elementi. Due raggruppamenti risultano distinti solo se differiscono almeno un elemento. Applicazione delle formule agli esercizi C n,k = n + k 1 k 1- Individuare n e k. 2- Individuare se vale o non vale l ordine. 3- Individuare se sono ammesse o non ammesse le ripetizioni. ordine ripetizioni ripetizioni Semplici Con Ripetizioni Semplici Con Ripetizioni n C(n,k)= k n + k 1 C (n,k)= D(n,k)= ( ) k k n D (n,k)= n k se n>k posso avere tutti i tipi tranne le mutazioni se n<k posso avere C o D ( ripetizioni) se n=k posso avere n = n! o banalmente C(n,n) = 1 D. Chirico 2

3 robabilità Esimento : azione o processo che genera esiti osservabili. Esimento casuale: esimento il cui esito è incerto. Spazio campione (relativo ad un esimento) : insieme di tutti i possibili esiti. Evento : sottoinsieme dello spazio campione. Evento elementare : singolo esito dell esimento casuale. Approccio Classico (aprioristico, oggettivo) La probabilità di un evento è il rapporto tra i casi favorevoli (all occorrenza dell evento) e quelli possibili. Gli eventi possibili devono essere equiprobabili. (E) = casi favorevoli / casi possibili Limiti : finitezza ed equiprobabilità dei casi possibili Vantaggi: aprioristico, oggettivo, semplice. Approccio Frequentista (empirico, oggettivo, fondato sulla legge empirica del caso) : La probabilità di un evento non è valutabile a priori, ma soltanto dopo aver effettuato un numero elevato di prove identiche in cui si rileva il verificarsi o meno dell evento dato. La probabilità di un evento risulta essere il rapporto tra le prove che verificano l evento ed il numero totale di prove. Le prove devono essere ripetute nelle stesse condizioni ed il numero di prove deve essere sufficientemente grande. (E) = prove in cui E si verifica / numero di prove Legge empirica del caso : La frequenza relativa dei successi di un evento (numero di successi/numero di prove) tende, aumentando il numero di prove, alla probabilità teorica dell evento. Limiti : prove effettuate nelle stesse condizioni e ripetute molte volte; non aprioristico Vantaggi: oggettivo, applicabile in condizioni di non equiprobabilità. Approccio Soggettivista (aprioristico, soggettivo) : la probabilità di un evento è p/v, supposto che uno scommettitore esto ritenga equo pagare la somma p riscuotere la vincita v, nel caso in cui l evento si verifichi. Limiti : soggettivo Vantaggi: aprioristico, sempre applicabile (E) = p / v In ogni approccio la misura della probabilità è tale che : 1) 0 (E) 1 2) (O)=1 3) E 1, E 2,, E n aventi intersezione a due a due nulla : (E 1 E 2.. E n ) = (E 1 )+ (E 2 )+ + (E n ) (E) = 0 E è detto evento impossibile (E) = 1 E è detto evento certo. D. Chirico 3

4 robabilità totale (A B) = (A) + (B) - (A B) (legge delle probabilità totali) Se A B = Ø allora A e B si dicono incompatibili; er eventi incompatibili la legge delle probabilità totali si riduce a : (A B) = (A) + (B) Se A B Ø allora A e B si dicono compatibili er eventi compatibili : (A B) = (A) + (B) - (A B) Nel caso di tre eventi: (A B C) = (A) + (B) + (C) - (A B) - (A C) - (B C) + (A B C) A,B,C sono incompatibili se e solo se risulta: A B = Ø, A C = Ø, B C = Ø Nota: A B C = Ø non implica l incompatibilità di A,B,C. Se A, B, C sono incompatibili allora (A B C) = (A) + (B) + (C) robabilità condizionata In molti casi ha senso chiedersi quale è la probabilità di un evento A sapendo che si è verificato l evento B. (A B) probabilità di A essendosi verificato B, probabilità di A dato B Due eventi A,B si dicono indipendenti se risulta (A B) = (A) e (B A) = (B) (Cioè se il verificarsi di un evento non condiziona il verificarsi dell altro evento.) In caso contrario gli eventi si dicono dipendenti. (A B) = (A) (B A) = (B) (A B) (legge delle probabilità composte) Se gli eventi A,B sono indipendenti risulta: (A B) = (A) (B) = (B) (A) Tre o più eventi sono indipendenti quando sono mutuamente indipendenti (cioè tutte le coppie di eventi risultano indipendenti). Dalla legge delle probabilità composte risulta: ( A B) ( B) ( A B) = e ( A B) ( A) ( ) (A) B = B (valide solo se l evento B ha probabilità non nulla) D. Chirico 4

5 Teorema di Bayes Siano H 1, H 2,,H n eventi incompatibili ed esaustivi (cioè la loro unione sia tutto Ω ). Un tale insieme viene detto insieme completo di alternative. Sia B un evento e sia (B)>0. Risulta : ( H B) i ( B Hi ) ( Hi ) ( B Hk ) ( Hk ) = (Teorema di Bayes) k Gli eventi H i costituiscono le possibili cause dell evento B; Tale formula esprime la probabilità che l'evento B che si è verificato, è stato provocato dalla causa H i. [ La formula si ottiene osservando che (H i B) rappresenta una probabilità condizionata e dunque vale p ( H B) i ; inoltre p( H vale (H i B) i) (B H i ) p( B) p(b), al denominatore, può essere riscritta, le proprietà dell insieme completo di alternative, nel seguente modo: p(b H 1 ) + p(b H 2 ) + + p(b H n ) ; inoltre ogni addendo p(b H i ) vale (B) (H i B) ] In figura è mostrato un insieme completo di alternative {H 1, H 2, H 3, H 4 } di Ω. Si osservi che, nel caso mostrato in figura, risulta (B H 1 ) = 0 e, conseguentemente, applicando la formula del teorema di Bayes, (H 1 B) = 0. Sapendo che si è verificato l evento B la probabilità che esso sia stato prodotto da H1 è nulla. Chiaramente H 3 avrà una probabilità maggiore, rispetto alle altre alternative, di aver prodotto B. Cioè (H i B) assume valore massimo i = 3. Ω er ricordare la formula: Il denominatore si ottiene riscrivendo il numeratore, e poi scrivendo gli addendi analoghi, che si ottengono facendo variare le cause. D. Chirico 5