Unità 3 Metodi particolari per il calcolo di reti

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1 Unità 3 Metodi prticolri per il clcolo di reti 1 Cos c è nell unità Metodi prticolri per il clcolo di reti con un solo genertore Prtitore di tensione Prtitore di corrente Metodi di clcolo di reti con più genertori Teorem di Millmn Principio di sovrpposizione degli effetti Teorem di Thevenin e rppresentzione Thevenin Teorem di Norton e rppresentzione Norton Thevenin e Norton: csi prticolri Legmi tr circuiti Thevenin e Norton 2

2 Metodi prticolri per il clcolo di reti 3 Prtitori di tensione e di corrente Prtitore di tensione: si f riferimento d un tensione not che liment un SEIE di resistori Prtitore di corrente: si f riferimento d un corrente not che liment un PAALLELO di resistori 4

3 Prtitori di tensione e di corrente 5 Prtitore di tensione e i = e e = v2 = i2 = e 1+ 2 Il fttore 2 /( ) viene chimto fttore di prtizione, dove: numertore si pone l resistenz del resistore su cui si vuole clcolre l tensione denomintore l somm delle resistenze dei resistori su cui l tensione del genertore si riprtisce 6

4 Prtitore di tensione In bse l principio di sostituzione, l formul del prtitore di tensione trov ppliczione più generle: n e i = ; e = e l= 1 l v j = n l= 1 j l e 7 Esempio 1: Prtitore di tensione Clcolre l tensione v tr i morsetti A e B 8

5 Esempio 1: Prtitore di tensione isult: ( ) ( ) ( 5 6 7) ( 8 9) 1 ( 2 3 4) AB v= e = e AB AC ( 5 6 7) ( 8 9) 1 ( 2 3 4) Con: AB = + + = + AC 9 Esempio 2: Prtitore di tensione Clcolre l tensione v tr i morsetti A e B Dti: =11A; =7O 10

6 Esempio 2: Prtitore di tensione Psso 1: clcolo v CD 3 = + = CB BD = ( + 2) 2= eq = ( CB + BD) = vcd = eq = Esempio 2: Prtitore di tensione Psso 2: Noto v CD clcolo v BD con un prtitore di tensione 51 vcd = ; CB = ; BD = ; 2 13 BD 12 vbd = vcd = + 77 CB BD 12

7 Esempio 2: Prtitore di tensione Psso 3: Noto v BD clcolo v con un secondo prtitore di tensione 12 vbd = v= vbd = Esempio 2: Prtitore di tensione Psso 4: Sostituisco i vlori numerici ssegnti =11A; =7O 4 v = = 4V 77 14

8 Prtitori di tensione e di corrente 15 Prtitore di corrente v = G e e G = G + G 1 2 G 2 1 i2 = vg2 = = G1 + G Il fttore G 2 /(G 1 +G 2 ) viene chimto fttore di prtizione, dove: numertore si pone l conduttnz del resistore su cui si vuole clcolre l corrente denomintore l somm delle conduttnze dei resistori su cui l corrente del genertore si riprtisce 16

9 Prtitore di corrente In bse l principio di sostituzione, l formul del prtitore di corrente trov ppliczione più generle: m v= ; Ge = Gl G e l= 1 i j = m G l= 1 j G l = i 17 Prtitore di corrente 18

10 Esempio: Prtitore di corrente Clcolre l corrente i nel resistore 4 19 Esempio: Prtitore di corrente Psso 1: clcolo i X con un prtitore di corrente = + eq ix = 1+ eq 20

11 Psso 2: Noto i X clcolo i con un secondo prtitore di corrente Esempio: Prtitore di corrente 1 ix = 1+ eq ( )( ) ; i = ix = i = ( )( ) eq ; 21 Prtitori di corrente e di tensione 22

12 Esempio: Prtitori di corrente e tensione Clcolre l corrente i e l tensione v indicte nell figur destr 23 Esempio: Prtitori di corrente e tensione Si sle lungo l scl fino ll sezione del genertore Si ridiscende lungo l scl con prtitori fino clcolre tutte le uscite richieste 24

13 Esempio: Prtitori di corrente e tensione Si ridiscende lungo l scl con prtitori fino clcolre tutte le uscite richieste e/80 i = e/ Metodi prticolri per il clcolo di reti 26

14 Metodi di clcolo di reti con più genertori Teorem di Millmn Principio di sovrpposizione degli effetti Teorem di Thevenin e rppresentzione Thevenin Teorem di Norton e rppresentzione Norton Thevenin e Norton: csi prticolri Legmi tr circuiti Thevenin e Norton 27 Metodi di clcolo di reti con più genertori 28

15 Teorem di Millmn Teorem di Millmn si f riferimento d un rete costituit dl prllelo di n bipoli ciscuno dei quli è costituito d un genertore di tensione in serie con un resistore 29 Teorem di Millmn Per il generico lto r vlgono le seguenti equzioni: v = e i AB r r r er vab ir = ; r = 1,2,, n r 30

16 Teorem di Millmn L equzione di Kirchhoff per le correnti entrnti nel nodo in lto A porge: e1 e2 en n n er vab 1 2 n ir = = 0 vab = r= 1 r= r n 31 Con riferimento lle conduttnze si h: Teorem di Millmn v AB Ge 1 1+ Ge Ge n = G + G + + G 1 2 n n 32

17 Teorem di Millmn L tensione tr i due morsetti del prllelo di più bipoli costituiti d genertori di tensione in serie con resistori è dt d un frzione in cui l numertore si pone l somm dei prodotti delle tensioni dei genertori per le reltive conduttnze ed l denomintore l somm delle conduttnze 33 Teorem di Millmn L tensione tr i due morsetti del prllelo di più bipoli costituiti d genertori di tensione in serie con resistori è dt d un frzione in cui l numertore si pone l somm dei prodotti delle tensioni dei genertori per le reltive conduttnze ed l denomintore l somm delle conduttnze il numertore è un somm di correnti il denomintore è un somm di conduttnze 34

18 Teorem di Millmn L tensione tr i due morsetti del prllelo di più bipoli costituiti d genertori di tensione in serie con resistori è dt d un frzione: il numertore è un somm di correnti, dove ciscun generico ddendo r numertore corrisponde ll corrente di cortocircuito erogt dll r -esimo bipolo nel cso in cui questi vesse il suo morsetto A collegto in cortocircuito l morsetto B 35 Teorem di Millmn L tensione tr i due morsetti del prllelo di più bipoli costituiti d genertori di tensione in serie con resistori è dt d un frzione: il denomintore è un somm di conduttnze dove ciscun generico ddendo r denomintore corrisponde ll conduttnz dell r -esimo bipolo misurt genertore idele spento 36

19 Teorem di Millmn In bse ll precedente osservzione, senz formlmente ripetere l dimostrzione, il teorem di Millmn si può pplicre nche in presenz di lti costituiti d genertori di corrente 37 Teorem di Millmn un bipolo costituito d un genertore di corrente in serie d un resistore è equivlente l semplice genertore di corrente (e se spento offre i suoi terminli un conduttnz null) 38

20 Teorem di Millmn Ai fini del clcolo dell tensione v AB, il bipolo di morsetti A-B indicto in figur sinistr equivle l bipolo riportto in figur destr, e pertnto il Teorem di Millmn porge: v AB e e e = Teorem di Millmn L tensione tr i due morsetti del prllelo di più bipoli, costituiti d genertori di tensione in serie con resistori e/o d genertori di corrente, è dt d un frzione il cui numertore è l somm delle correnti dei genertori di corrente cui v ggiunt l somm dei prodotti delle tensioni dei genertori di tensione per le reltive conduttnze 40

21 Teorem di Millmn Il denomintore dell frzione è l somm delle conduttnze, tenendo conto che i bipoli con genertori di corrente in serie offrono conduttnz null 41 Metodi di clcolo di reti con più genertori 42

22 Principio di sovrpposizione degli effetti Le reti che stimo esminndo sono tutte costituite d bipoli con relzioni costitutive lineri (resistori ideli, genertori ideli di tensione e di corrente) Le equzioni di Kirchhoff sono lineri 43 Principio di sovrpposizione degli effetti Pertnto, se si vuole clcolre un qulsisi grndezz di rete (tensione o corrente su un qulsisi bipolo dell rete LINEAE) si può pplicre il principio di sovrpposizione degli effetti 44

23 Principio di sovrpposizione degli effetti Chimeremo effetto di un genertore il vlore che ssume l uscit che si vuole clcolre (tensione o corrente su un dto bipolo) qundo nell rete gisce solo quel genertore, e sono invece ssunti nulli tutti gli ltri genertori presenti nell rete 45 Principio di sovrpposizione degli effetti In un rete linere un qulsisi grndezz di tensione e/o di corrente è ottenibile sommndo gli effetti di tutti i genertori presenti nell rete 46

24 Principio di sovrpposizione degli effetti Un genertore di tensione con tensione null è equivlente d un corto circuito Un genertore di corrente con corrente null è equivlente d un circuito perto 47 Principio di sovrpposizione degli effetti Nello studio di un rete linere medinte il principio di sovrpposizione degli effetti, ogni singolo effetto può essere determinto pplicndo i metodi elementri, visti in precedenz, per il clcolo di reti con un solo genertore presente Il principio è vlido solo per il clcolo delle tensioni e delle correnti, e non per il clcolo delle potenze (prodotto di tensione per corrente non linere ) 48

25 Principio di sovrpposizione degli effetti Il principio è vlido solo per il clcolo delle tensioni e delle correnti, e non per il clcolo delle potenze = prodotto ( non linere) di tensione per corrente i= i' + i"; 2 ( e1+ e2) 2 p = = i (' + i") ; p p' + p" = i (') + i (") Principio di sovrpposizione degli effetti 50

26 Esempio: Sovrpposizione degli effetti e1 e2 e v = = v + v + v + v I II III IV AB AB AB AB AB ; 51 Esempio: Sovrpposizione degli effetti v I 1 AB = = e e e = 0; = 0; e = 0 1 ; e1 e2 e v = = v + v + v + v I II III IV AB AB AB AB AB ; 52

27 Esempio: Sovrpposizione degli effetti v I AB e1 + e II 1 4 = 1; vab = 1; e4 + III IV 1 2 vab = ; v + + AB = Metodi di clcolo di reti con più genertori 54

28 Teorem di Thevenin Il teorem di Thevenin è il teorem fondmentle per l rppresentzione di bipoli e, più in generle, di multipoli lineri 55 Teorem di Thevenin Considerimo un bipolo A, costituito d un rete di genertori e di resistori ideli (bipolo linere), chiuso su di un bipolo B di crico (eventulmente B può nche non essere linere) In bse l teorem di equivlenz, il bipolo B può essere sostitutito d un genertore idele di corrente di vlore i(t) 56

29 Teorem di Thevenin Dopo l sostituzione l rete è linere L tensione sul bipolo viene scritt sovrpponendo due effetti: quello dei genertori interni l bipolo A quello del genertore di corrente introdotto in bse l teorem di equivlenz 57 Teorem di Thevenin Effetto (complessivo) dei soli genertori interni l bipolo A il genertore di corrente che simul il crico B è spento il contributo ll tensione cerct è un contributo di tensione vuoto 58

30 Teorem di Thevenin Effetto del solo genertore di corrente esterno, che simul il crico B tutti i genertori interni l bipolo A sono spenti i due morsetti di questo bipolo si misur un resistenz equivlente b 59 Teorem di Thevenin Effetto del solo genertore di corrente esterno, che simul il crico B il secondo contributo ll tensione cerct è un contributo di cdut di tensione resistiv dovut l genertore esterno b 60

31 ppresentzione Thevenin L somm dei due contributi porge l equzione Thevenin v= v0 + i 0 che è nche l equzione costitutiv del bipolo in figur destr 61 Teorem di Thevenin: ppresentzione Thevenin un bipolo linere mmette come rppresentzione un bipolo costituito dll serie di un genertore idele di tensione ed un resistore l tensione del genertore di tensione e l resistenz del resistore sono rispettivmente l tensione vuoto e l resistenz equivlente del bipolo linere 62

32 Metodi di clcolo di reti con più genertori 63 Teorem di Norton Il teorem di Norton è il teorem dule di quello di Thevenin per l rppresentzione di bipoli e, più in generle, di multipoli lineri 64

33 Teorem di Norton Considerimo un bipolo A, costituito d un rete di genertori e di resistori ideli (bipolo linere), chiuso su di un bipolo B di crico (eventulmente B può nche non essere linere) In bse l teorem di equivlenz, il bipolo B può essere sostitutito d un genertore idele di tensione di vlore v(t) 65 Teorem di Norton Dopo l sostituzione l rete è linere L corrente nel bipolo viene scritt sovrpponendo due effetti: quello dei genertori interni l bipolo A quello del genertore di tensione introdotto in bse l teorem di equivlenz 66

34 Teorem di Norton Effetto (complessivo) dei soli genertori interni l bipolo A il genertore di tensione che simul il crico B è spento il contributo ll corrente cerct è un contributo di corrente di corto circuito 67 Teorem di Norton Effetto del solo genertore di tensione esterno, che simul il crico B tutti i genertori interni l bipolo A sono spenti; i due morsetti del genertore di tensione si misur un resistenz equivlente 68

35 Teorem di Norton Effetto del solo genertore di tensione esterno, che simul il crico B il secondo contributo ll corrente cerct è un contributo di corrente che ttrvers l resistenz equivlente del bipolo A, ed è dovut l solo genertore esterno 69 ppresentzione Norton L somm dei due contributi porge l equzione Norton i = i0 + Gv 0 che è nche l equzione costitutiv del bipolo in figur destr 70

36 ppresentzione Norton Teorem di Norton: un bipolo linere mmette come rppresentzione un bipolo costituito dl prllelo di un genertore idele di corrente ed un resistore l corrente del genertore di corrente e l conduttnz del resistore sono rispettivmente l corrente di corto circuito e l conduttnz equivlente del bipolo linere 71 Metodi di clcolo di reti con più genertori 72

37 Thevenin e Norton: csi prticolri Non tutti i bipoli lineri mmettono rppresentzione si Thevenin che Norton Però, per un dto bipolo linere, esiste sempre lmeno un delle due rppresentzioni I bipoli lineri che mmettono solo un delle due rppresentzioni costituiscono dei csi notevoli (eccezioni) 73 Thevenin e Norton: csi prticolri Il bipolo in figur sinistr non mmette rppresentzione Thevenin (non è comndbile in corrente). Non può inftti essere lscito vuoto Tle bipolo h l equivlente Norton riportto in figur destr 74

38 Thevenin e Norton: csi prticolri Il bipolo in figur sinistr non mmette rppresentzione Norton (non è comndbile in tensione). Non può inftti essere chiuso su di un corto circuito Tle bipolo h l equivlente Thevenin riportto in figur destr 75 Metodi di clcolo di reti con più genertori 76

39 Legmi tr circuiti Thevenin e Norton A prte i precedenti csi eccezionli, secondo le convenzioni riportte in figur, per un bipolo linere rppresentbile Thevenin e Norton si hnno i seguenti legmitr tensione vuoto v 0, corrente di corto circuito i CC, e resistenz equivlente 0 : v 0 0 CC i = v / CC = i = v / i CC 77 Legmi tr circuiti Thevenin e Norton A prte csi eccezionli, si hnno dunque tre possibilità per clcolre l equivlente di un dto bipolo linere determinre l tensione vuoto e l corrente di cortocircuito in mnier dirett, 0 secondo l formul: / 0 = v0 icc 78

40 Legmi tr circuiti Thevenin e Norton determinre l resistenz equivlente e l tensione vuoto in mnier dirett, i CC secondo l formul: i = v / CC 0 0 determinre l resistenz equivlente e l corrente di corto circuito in mnier dirett, v 0 secondo l formul: v = i 0 0 CC 79 Legmi tr circuiti Thevenin e Norton In generle, dovendo rppresentre Thevenin o Norton un dto bipolo, un delle tre possibilità risult più conveniente (dl punto di vist dell complessità del problem ed nche dei clcoli) delle ltre due Solo l esercizio ed il mestiere consentono di individure priori l possibilità più conveniente 80

41 Legmi tr circuiti Thevenin e Norton 81 Esempio: Thevenin e Norton ppresentre secondo Thevenin e Norton il bipolo di morsetti MN 82

42 Esempio: Thevenin e Norton Tensione vuoto (3 prtitori di tensione + 1 KVL) v = e; = + + v v ( ) ( ) 1 HK 1 b c d + 1 MK NK b = vhk; + b d = vhk; + c v v v v d b d MN = MK NK = HK + b c + d 83 Esempio: Thevenin e Norton Corrente C.C. (rete elementre + 2 prtitori di corrente + 1 KCL) e i= ; 2 = c + b d + b 2 c i = i; + c d ib = i; + i i i i d c d CC = b = + c b + d 84

43 Esempio: Thevenin e Norton esistenz equivlente in mnier dirett ete non scl trsformzione tringolo stell isult qui più conveniente clcolre l resistenz equivlente come rpporto dell tensione vuoto sull corrente di cortocircuito 85

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