5.5 Metodi dei piani di taglio

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1 5.5 Metodi dei piani di taglio Problema generale di Programmazione Lineare Intera (PLI) max{c t x : x X} dove X = {x Z n + : Ax b}, con A matrice m n e b vettore n 1 razionali Proposizione: conv(x) = {x R n + : Ax b} è un poliedro. Risultato valido anche per programmi misti interi con X = {(x,y) R n + Z p + : Ax + Gy b} a condizione che i coefficienti di A, G e b siano razionali. Benché la descrizione ideale esista, per i problemi N P-difficili non è nota e/o direttamente utilizzabile. Si cerca di approssimare conv(x) per l istanza di interesse Definizione: α t x α 0 è una disuguaglianza valida per X R n se α t x α 0 per ogni x X. 1

2 5.5.1 Disuguaglianze valide Zaino Binario X = {x {0,1} 5 : 3x 1 4x 2 +2x 3 3x 4 +x 5 2} Se le variabili con coefficiente negativo sono nulle (x 2 = x 4 = 0), il vincolo non può essere soddisfatto. Quindi x 2 +x 4 1 è una disuguaglianza valida. Se x 1 = 1 e x 2 = 0, il vincolo non può essere soddisfatta. Quindi x 1 x 2 è un altra disuguaglianza valida. Problema misto 0-1 X = {(x,y) : x 666y,0 x 5,y {0,1}} la disuguaglianza x 5y è valida poiché X = {(0,0),(x,1) con 0 x 5} e fornisce l inviluppo convesso di X. 2

3 Problema misto intero Ponendo k = che è valida. B C e γ = B X = {(x,y) : x Cy,0 x B,y 0 e intero} ( ) B 1 C, si ottiene la disuguaglianza C x B γ(k y) Accoppiamento massimo ( maximum matching ) X = {x {0,1} E : dove δ(i) = {e E : e = [i,j] per qualche j V}. Sia T V di cardinalità, T, dispari. e δ(i) x e 1 per i V} Poiché il numero di lati di qualsiasi accoppiamento aventi entrambi gli estremi in T è al più ( T 1) 2, e E(T) x e ( T 1) 2 è una disuguaglianza valida per X se T 3 è dispari. 3

4 Generazione di disuguaglianze valide tramite arrotondamento z PLI = min x 1 x 2 x 3 s.v. x X = {x Z 3 + : x 1 +x 2 1,x 2 +x 3 1,x 1 +x 3 1} z PL = min x 1 x 2 x 3 s.v. x P = {x R 3 + : x 1 +x 2 1,x 2 +x 3 1,x 1 +x 3 1} soluzioni ottime rispettive: x PLI = (1,0,0) con z PLI = 1, x PL = (0.5,0.5,0.5) con z PL = 1.5 Moltiplicando il primo vincolo per 0.75, gli altri due vincoli per 0.5 e sommandoli, si ottiene 5 4 x x 2 +x disuguaglianza valida per P e quindi anche per X. Arrotondando i coefficienti per difetto, si ottiene la disuguaglianza x 1 +x 2 +x valida per P dato che x 0 e quindi anche per X. Poichè le variabili x i debbono essere intere, la disuguaglianza 7 x 1 +x 2 +x 3 = 1 4 è valida per X ma non per P. Ad esempio è violata da x PL. 4

5 Metodo di Chvátal-Gomory per generare disuguaglianze valide Sia X = P Z n con P = {x R n + : Ax b} Scegliere un u R m + e considerare u t Ax u t b Ponendo α = u t A, si ottiene α t x u t b con m α j = u i a ij che è valida per P e per X. i=1 j = 1,...,n Ponendo α 0 = u t b si ottiene α t x α 0 che è valida per X (ma non necessariamente per P). Esempio: Per il problema di accoppiamento massimo, le disuguaglianze valide e E(T) x e ( T 1) 2 con T V e T 3 dispari, sono disuguaglianze di Chvátal-Gomory (ottenute prendendo u i = 0.5 per i T e u i = 0 per i T). 5

6 Questa semplice procedura permette di generare tutte le disuguaglianze valide di un PLI Teorema (Chvátal) Ogni disuguaglianza valida per X può essere ottenuta applicando la procedura di Chvátal-Gomory un numero finito di volte. Definizione: Indichiamo con A 1 x b 1 la famiglia di tutte le disuguaglianze ottenibili al variare del vettore u in R m +. P 1 = {x R n + : Ax b,a 1 x b 1 } è la prima chiusura di Chvátal di P. Ovviamente P 1 P e P 1 = P se e solo se P non ha vertici frazionari. Se permangono vertici a coordinate frazionarie, si può iterare la procedura ottenendo le chiusure di Chvátal di rango superiore (k 2). Il più piccolo intero k tale che conv(x) = P k è il rango di Chvátal di conv(x) rispetto a P. 6

7 Due principali modi di utilizzare le disuguaglianze valide: aggiungerle a priori rinforzare la formulazione generarle in modo automatico metodi dei piani di taglio Sia X = P Z n dove P = {x R n + : Ax b} è la regione ammissibile del rilassamento continuo (lineare) del PLI max{c t x : x X} Definizione: Dato x P con x X, un (piano di) taglio è una disuguaglianza α t x α 0 tale che α t x α 0 è valida per X = P Z n α t x > α 0 Problema di separazione: Dato un x / X, trovare un piano di taglio 7

8 Idea: Non è necessaria la descrizione ideale di X, basta una buona descrizione intorno ad una soluzione ottima x PLI Algoritmo dei piani di taglio: Risolvere il rilassamento continuo (lineare) associato al PLI, sia x PL una soluzione ottima While x PL non intero Do Risolvere il problema di separazione di x PL da X trovando un taglio αt x α 0 Aggiungere il vincolo α t x α 0 al rilassamento continuo corrente Risolvere il nuovo rilassamento continuo ottenendo un nuovo x PL Return x PL Esempio: Tagli frazionari di Gomory (cf. corso di Fondamenti di R.O.) Tagli generati (tramite arrotondamento dei coefficienti) a partire dalla soluzione (di base) ottima x PL del rilassamento continuo corrente del problema di PLI 8