3.6 Metodi basati sui piani di taglio

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1 3.6 Metodi basati sui piani di taglio Problema generale di Programmazione Lineare Intera (PLI) con A matrice m n e b vettore n 1 razionali min{ c t x : x X = {x Z n + : Ax b} } Sappiamo che esiste una formulazione ideale: Proposizione: conv(x) = {x R n + : Ax b} è un poliedro. Risultato valido anche per programmi misti interi con X = {(x, y) R n + Z p + condizione che i coefficienti di A, G e b siano razionali. : Ax + Gy b} a Per i problemi N P -difficili la formulazione ideale non è nota e/o direttamente utilizzabile. Si cerca di migliorare la formulazione iniziale, ovvero di ottenere una migliore approssimazione di conv(x), aggiungendo delle disuguaglianze valide. 1

2 Definizione: π t x π 0 è una disuguaglianza valida per X R n se π t x π 0 per ogni x X. Due principali modi di utilizzare le disuguaglianze valide: aggiungerle a priori rafforzare la formulazione generarle in modo automatico metodi dei piani di taglio 1) Aggiunta a priori di disuguaglianze valide Esempio: Data la formulazione debole del problema di localizzazione ottima (UFL) con vincoli aggregati i M x ij my j, aggiungere i vincoli di coerenza x ij y j per ogni i M e j N. 2) Metodi dei piani di taglio Sia un generico PLI: min{c t x : x X = P Z n } dove P = {x R n + : Ax b} è la regione ammissibile del rilassamento continuo. Consideriamo una famiglia F di disuguaglianze πx π 0 valide per X, (π, π 0 ) F. Spesso il numero di disuguaglianze in F è troppo elevato per essere aggiunte a priori. 2

3 Definizione: Dato x P con x X, un (piano di) taglio è una disuguaglianza π t x π 0 tale che π t x π 0 è valida per X = P Z n π t x > π 0 Idea: La formulazione ideale di X (conv(x)) non è necessaria, basta aggiungere un insieme di tagli che fornisca una buona descrizione di conv(x) intorno alla soluzione ottima x P LI, ovvero faccia emergere come vertice ottimo del rilassamento continuo per il dato c. x P LI Problema di separazione: Dato un x / X e una famiglia di disuguaglianze valide F per X, trovare un piano di taglio in F che separa x da conv(x) o stabilire che non esiste. Algoritmo dei piani di taglio: Inizializzazione P := P = {x R n + : Ax b} 1. Risolvere il rilassamento continuo min{c t x : x X = P Z n }, sia x P L 2. IF x P L Zn THEN termina perché x P L è anche soluzione ottima del PLI ELSE Risolvere il problema di separazione per x P L, F e X una soluzione ottima. IF π t x π 0 è il taglio trovato THEN P := P {x R n : π t x π 0 } e torna a (1) ELSE termina. 3

4 Esempio: Tagli frazionari di Gomory (cf e corso di Fondamenti di R.O.) NB: Se non si trova una soluzione x P L intera, la formulazione P è comunque più stringente di P Disuguaglianze valide semplici 1) Insieme binario X = {x {0, 1} 5 : 3x 1 4x 2 + 2x 3 3x 4 + x 5 2} Se le variabili con coefficiente negativo sono nulle (x 2 = x 4 = 0), il vincolo non può essere soddisfatto. Quindi x 2 + x 4 1 è una disuguaglianza valida. Se x 1 = 1 e x 2 = 0, il vincolo non può essere soddisfatto. Quindi x 1 x 2 è un altra disuguaglianza valida. 2) Insieme misto 0-1 Sia X = {(x, y) : x cy, 0 x b, y {0, 1}} con c > b (ad esempio c = 9 e b = 5). Poiché X = {(0, 0), (x, 1) con 0 x b}, la disuguaglianza x by è valida e fornisce, con x 0 e y 1, il guscio convesso di X. 4

5 3) Insieme misto intero Sia X = {(x, y) : x cy, 0 x b, y 0 intero}. Se c b (ad esempio c = 10 e b = 14), la disuguaglianza con k = b c x b γ(k y), ( ) b e γ = b 1 c, è valida per X. c 4) Insieme combinatorio: accoppiamenti ( matching ) Dato un grafo non orientato G = (V.E), X = {x {0, 1} E : e δ(i) x e 1, i V }, con δ(i) = {e E : e = {i, j} per qualche j V }, è l insieme dei vettori binari che corrispondono a tutti gli accoppiamenti. Sia T V di cardinalità, T, dispari. Poiché il numero di lati di qualsiasi accoppiamento aventi entrambi gli estremi in T è al più e E(T ) x e ( T 1), 2 ( T 1) 2, dove E(T ) = {e E : e = {i, j}, i, j T }, è una disuguaglianza valida per X se T 3 è dispari. 5

6 3.6.2 Disuguaglianze di Chvátal Idea: Generare disuguaglianze valide tramite arrotondamento dei coefficienti. z P LI = min x 1 x 2 x 3 s.v. x X = {x Z 3 + : x 1 + x 2 1, x 2 + x 3 1, x 1 + x 3 1} z P L = min x 1 x 2 x 3 s.v. x P = {x R 3 + : x 1 + x 2 1, x 2 + x 3 1, x 1 + x 3 1} soluzioni ottime rispettive: x P LI = (1, 0, 0) con z P LI = 1, x P L = (0.5, 0.5, 0.5) con z P L = 1.5 Moltiplicando il primo vincolo per 0.75, gli altri due vincoli per 0.5 e sommandoli, si ottiene 5 4 x x 2 + x disuguaglianza valida per P e quindi anche per X. Arrotondando i coefficienti per difetto, si ottiene la disuguaglianza x 1 + x 2 + x valida per P dato che x 0 e quindi anche per X. Poichè le variabili x i debbono essere intere, la disuguaglianza 7 x 1 + x 2 + x 3 = 1 4 è valida per X ma non per P. Ad esempio è violata da x P L. 6

7 Procedura di Chvátal-Gomory per generare disuguaglianze valide: Sia X = P Z n con P = {x R n + : Ax b} Scegliere un u R+ m e considerare u t Ax u t b Ponendo π t = u t A, si ottiene π t x u t b con m π j = u i a ij j = 1,..., n che è valida per P e per X. i=1 Ponendo π 0 = u t b si ottiene π t x π 0 che è valida per X (ma non necessariamente per P ). Esempio: Per il problema di accoppiamento (massimo), le disuguaglianze valide e E(T ) x e ( T 1) 2 con T V e T 3 dispari sono disuguaglianze di Chvátal-Gomory rispetto al sistema x e 1 i V (1) e δ(i) x e Z + e E. (2) 7

8 Sia X = {x {0, 1} E : e δ(i) x e 1, i V }. Consideriamo un qualsiasi T V con T 3. Prendendo la combinazione lineare dei vincoli (1) con u i = 0.5 per i T e u i = 0 per i T, si ottiene e E(T ) x e e δ(t ) x e T 2 che è valida per X. Poiché x e 0 e x e Z per ogni e E, anche è valida per X. e E(T ) x e T 2 (3) Se T è pari, la disuguaglianza (3) è chiaramente implicata dai vincoli (1) associati ai nodi i T e dai vincoli (2). Se T è dispari, T T 1 2 = 2 e la disuguaglianza (3) non è implicata. 8

9 La procedura di Chvátal-Gomory permette di generare tutte le disuguaglianze valide di un PLI! Teorema (Chvátal) Ogni disuguaglianza valida per X può essere ottenuta applicando la procedura di Chvátal-Gomory un numero finito di volte. Per la dimostrazione del caso X {0, 1} n cf. L. Wolsey, Integer Programming, Wiley, p Dato un qualsiasi vertice x P L di P a coordinate non tutte intere, esiste sempre un u 0 tale che la corrispondente disuguaglianza di Chvátal-Gomory π t x π 0, con π t = u t A e π 0 = u t b, non è solo valida per X ma anche violata da x P L. Definizione: Indichiamo con A 1 x b 1 la famiglia di tutte le disuguaglianze ottenibili al variare del vettore u in R m +. P 1 = {x R n + : Ax b, A 1 x b 1 } è la prima chiusura di Chvátal di P. Ovviamente P 1 P e P 1 = P se e solo se P non ha vertici frazionari, ovvero P = conv(x). Se permangono vertici a coordinate frazionarie (P 1 conv(x)), si può iterare la procedura ottenendo le chiusure di Chvátal P k di rango superiore, con k 2. Definizione: Il più piccolo intero k tale che P k = conv(x) è il rango di Chvátal di conv(x) rispetto a P. Chiaramente P k = conv(x)... P 2 P 1 P. 9

10 3.6.3 Metodo dei piani di taglio con tagli frazionari di Gomory Consideriamo un generico problema di Programmazione Lineare Intera (PLI) in forma standard: min{ c t x : Ax = b, x 0, x Z n } dove A matrice m n e b vettore n 1 a coefficienti interi, con n > m. Idea: Ad ogni iterazione del metodo dei piani di taglio, generare tagli di Chvátal-Gomory sfruttando l informazione associata alla soluzione di base ottima x P L del rilassamento continuo corrente. Sia B la sottomatrice di base (m m non singolare) di A associata a x P L. Partizionando le colonne di A in colonne di base e fuori base, il sistema Ax = b, x 0 si riscrive Bx B + Nx N = b con x B 0 e x N 0, e può quindi essere espresso nella forma canonica x B = B 1 b B 1 Nx N con x B 0 e x N 0 che mette in evidenza la soluzione di base ottima x P L = (x B, x N ) = (B 1 b, 0). Se tutte le componenti di B 1 b sono intere allora x P L è anche soluzione ottima del PLI. 10

11 Se almeno una delle componenti di B 1 b è frazionaria, si genera un taglio di Chvátal-Gomory (una disuguaglianza che appartiene alla prima chiusura di Chvátal ed è violata da x P L ). Sia x h una variabile di base frazionaria corrispondente alla riga t del tableau ottimo (detta riga generatrice del taglio) x h + a tj x j = b t (= x h) (4) j N dove N è l insieme degli indici delle variabili fuori base. NB: L equazione (4) corrisponde a prendere u uguale alla t-esima riga di B 1 nella relazione generale u t Ax = u t b, ovvero u t = e t tb 1 dove e t è il t-esimo vettore unitario con m componenti. Applicando all equazione (4) la procedura di arrotondamento di Chvátal si ottiene la forma intera del taglio di Gomory: x h + j N a tj x j b t. (5) La (5) è chiaramente valida per X, ma violata da x P L poiché x j = 0 per j N e x h = b t è frazionaria. Sottraendo (5) da (4) si ottiene la forma frazionaria del taglio di Gomory (a tj a tj ) x j b t b t. (6) j N 11

12 Sia ϕ(y) := y y 0 la parte frazionaria di y R, allora la forma frazionaria equivale a ϕ(a tj )x j ϕ(b t ). j N Esempi: ϕ(4/3) = 1/3 e ϕ( 4/3) = 4/3 ( 2) = 2/3 La forma intera e quella frazionaria di un taglio di Gomory sono chiaramente equivalenti. La differenza (scarto) tra i termini di sinistra e destra di (6) è sempre intero quando x è intero. NB: Ogni taglio di Gomory richiede uno sforzo minimo dal punto di vista computazionale Teorema (Gomory): Il metodo dei piano di taglio con tagli frazionari di Gomory termina dopo un numero finito di iterazioni. In genere numero molto elevato, i tagli frazionari di Gomory tendono ad essere poco efficaci dopo le prime iterazioni. Parziale rimedio: introdurre molti tagli ad ogni iterazione, ad esempio tutti quelli con ϕ(b t ) > ε = 0.01 Se c è intero e il valore ottimo z 0 = c t B B 1 b di x P L è frazionario, si può generare un taglio anche dalla riga (del tableau ottimo) relativa alla funzione obiettivo, ovvero da z = z 0 +c t N x N con c N = (c t N ct B B 1 N), ottenendo j N ϕ(c j)x j ϕ(z 0 ). 12

13 Esempio: Si consideri il PLI max x 1 + x 2 s.t. x 1 + x 2 5 2x 1 + x 2 0 5x 1 + 2x 2 18 x 1, x 2 Z + 1. Risolvere il rilassamento continuo per via geometrica. 2. Scrivere il sistema in forma standard. 3. Siano x x x 5 = 8 3 x x x 5 = 7 3 3x 3 + x 4 + x 5 = 3 i vincoli espressi in forma canonica rispetto ad una delle soluzioni ottime del rilassamento continuo. Scrivere tutti i corrispondenti tagli di Gomory, in forma intera e frazionaria. 4. Esprimere il taglio intero associato alla variabile di base frazionaria x 1 in funzione delle sole variabili x 1, x 2 e riportarlo sul disegno. 5. Aggiungere questo taglio di Gomory al PLI di partenza e risolvere il nuovo rilassamento continuo. Cosa si osserva? 13

14 Riassunto delle risposte: 1. Ci sono due soluzioni di base ottime x = (5/3, 10/3) e x = (8/3, 7/3) di valore Rilassamento continuo in forma standard: max x 1 + x 2 s.t. x 1 + x 2 + x 3 = 5 2x 1 + x 2 + x 4 = 0 5x 1 + 2x 2 + x 5 = 18 x 1,..., x Il sistema 3.) è messo in forma canonica rispetto alla soluzione di base ottima (8/3, 7/3, 0, 0, 0) del rilassamento continuo. Tagli di Gomory derivanti da x 1 - forma intera: x 1 x forma frazionaria: 1 3 x x Tagli di Gomory derivanti da x 2 - forma intera: x 2 + x 3 x forma frazionaria: 2 3 x x Sostituendo x 3 = 5 x 1 x 2 in x 1 x 3 2, si ottiene il taglio 2x 1 + x

15 5. Aggiungendo il taglio 2x 1 + x 2 7 al problema originario, si ottiene una soluzione ottima del nuovo rilassamento continuo x P L = (2, 3) con tutte le coordinate intere, che e quindi anche ottima per il PLI di valore 5. 15