Fondamenti di Automatica

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1 Fondamenti di Automatica

2 Proprietà strutturali e leggi di controllo aggiungibilità e controllabilità etroazione statica dallo stato Osservabilità e rilevabilità Stima dello stato e regolatore dinamico 2

3 Proprietà strutturali e leggi di controllo

4 aggiungibilità e controllabilità Definizioni ed esempi introduttivi Analisi della raggiungibilità di sistemi dinamici LTI Esempi di studio della raggiungibilità Il problema della realizzazione 4

5 aggiungibilità e controllabilità

6 Introduzione Le proprietà di raggiungibilità e di controllabilità descrivono le possibilità di azione della funzione di ingresso u ( ) al fine di influenzare il movimento dello stato La proprietà di raggiungibilità descrive le possibilità di modificare lo stato del sistema a partire da un particolare stato iniziale prefissato agendo opportunamente sull ingresso u ( ) La proprietà di controllabilità descrive le possibilità di trasferire lo stato del sistema ad un particolare stato finale prefissato agendo opportunamente sull ingresso u ( ) 6

7 Definizione di stato raggiungibile Uno stato x * si dice raggiungibile (dallo stato zero x 0 al tempo t *) se esistono: Un istante di tempo t * [t 0, ) Una funzione di ingresso u *(t ) definita in t [t 0,t *] tali che, detto x (t ), t [t 0,t *] il movimento dello stato generato da u *(t ) a partire dallo stato x 0 (x (t 0 ) = x 0 ), risulti: x( t ) = x * * 7

8 L insieme di raggiungibilità L insieme di tutti gli stati raggiungibili (dallo stato zero x 0 al tempo t *) rappresenta l insieme di raggiungibilità X (t *) al tempo t * L insieme X (t *) costituisce un sottospazio lineare dello spazio di stato X x 1 x * X (t *) x 0 t 0 t * t x 2 8

9 La completa raggiungibilità Si definisce il sottospazio di raggiungibilità X come l insieme di raggiungibilità X (t ) di dimensione massima: X = max X ( t) t [ t, ) Un sistema è completamente raggiungibile se X 0 = Per i sistemi non completamente raggiungibili si definisce il sottospazio di non raggiungibilità X N come il complemento ortogonale di X : X N = X X 9

10 Definizione di stato controllabile Uno stato x * si dice controllabile (allo stato zero x 0 al tempo t *) se esistono: Un istante di tempo t * [t 0, ) Una funzione di ingresso u *(t ) definita in t [t 0,t *] tali che, detto x (t ), t [t 0,t *] il movimento dello stato generato da u *(t ) a partire dallo stato x *(x (t 0 ) = x *), risulti: x t * ( ) = x 0 10

11 L insieme di controllabilità L insieme di tutti gli stati controllabili (allo stato zero x 0 al tempo t *) rappresenta l insieme di controllabilità X C (t *) al tempo t * L insieme X C (t *) costituisce un sottospazio lineare dello spazio di stato X x 1 X C (t *) x * x 0 t 0 t * t x 2 11

12 La completa controllabilità Si definisce il sottospazio di controllabilità X C come l insieme di controllabilità X C (t ) di dimensione massima: X = max X ( t) C t [ t, ) Un sistema dinamico è completamente controllabile se X = X C 0 Per i sistemi non completamente controllabili si definisce il sottospazio di non controllabilità X NC come il complemento ortogonale di X C : X NC = X C C 12

13 Il concetto di stato zero Lo stato zero x 0 è uno stato prefissato considerato come obiettivo Tipicamente si tratta di uno stato di equilibrio non coincidente, in generale, con l origine dello spazio di stato: x 0 0 Tuttavia, per semplicità di trattazione e senza perdere generalità, si assumerà x 0 coincidente con lo stato nullo In modo analogo, si può assumere: t 0 = 0 13

14 elazioni tra raggiungibilità e controllabilità Per i sistemi LTI TC si ha: X = X C Per i sistemi LTI TD si ha in generale: X X C Se la matrice A è non singolare X = X C 14

15 Studio della raggiungibilità Per i sistemi LTI si ha quindi in generale: X X C Quindi, se un sistema LTI è completamente raggiungibile è anche completamente controllabile Pertanto, si studieranno sempre le proprietà di raggiungibilità 15

16 Parte raggiungibile e non raggiungibile In un sistema LTI con dimensione finita n e non completamente raggiungibile sono stati definiti: Il sottospazio di raggiungibilità X (dim(x ) = r < n ) parte raggiungibile Il sottospazio di non raggiungibilità X N (dim(x N ) = n r ) parte non raggiungibile Al sottospazio di raggiungibilità sono associati r degli n autovalori della matrice A Al sottospazio di non raggiungibilità sono associati n r degli n autovalori della matrice A 16

17 Parte raggiungibile e non raggiungibile L ingresso u ( ) agisce sulla sola parte raggiungibile Gli stati raggiungibili non influenzano la parte non raggiungibile Gli stati non raggiungibili possono influenzare la parte raggiungibile u parte raggiungibile X X parte non raggiungibile X N 17

18 Esempio introduttivo 1 Consideriamo il seguente sistema dinamico: 1 2 u (t ) C 1 C 2 y (t ) x 1 (t ) x 2 (t ) Il circuito aperto su y (t ) impedisce all ingresso u (t ) di agire sulla variabile di stato x 2 (t ) La variabile di stato x 2 (t ) non è controllabile dall ingresso u (t ) 18

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20 Esempio introduttivo 2 Consideriamo il seguente sistema dinamico: u (t ) + - C x (t ) Il circuito rappresenta un ponte simmetrico Se x (0) = 0 x (t ) = 0 t, u (t ) u (t ) non ha nessun effetto su x (t ) x (t ) non è controllabile dall ingresso u (t ) 19

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22 Esempio introduttivo 3 Consideriamo il seguente sistema dinamico: u (t ) + - C C x 1 (t ) x 2 (t ) Nel circuito sono presenti due impedenze identiche in parallelo ad un generatore di tensione Se x 1 (0) = x 2 (0) = 0 x 1 (t )= x 2 (t ) t, u (t ) Mediante u (t ) posso imporre qualsiasi valore a x 1 (t )e x 2 (t ) con il vincolo che siano identici La variabile x 1 (t ) x 2 (t ) non è controllabile 20

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24 aggiungibilità e controllabilità

25 Determinazione di X per sistemi LTI TD (1/6) Consideriamo un sistema dinamico LTI TD descritto dalle equazioni di stato: x( k + 1) = Ax( k) + Bu( k) Vogliamo determinare: L insieme di raggiungibilità X ( ) al tempo Il sottospazio di raggiungibilità X Una condizione necessaria e sufficiente per la completa raggiungibilità del sistema 22

26 Determinazione di X per sistemi LTI TD (2/6) Consideriamo, per semplicità, il caso in cui: Il sistema abbia un solo ingresso (p = 1 B n 1 ) Si ha: x( k + 1) = Ax( k) + Bu( k) La condizione iniziale sia nulla: x 0 = x (0) = 0 x(1) = Ax(0) + Bu(0) = Bu(0) x(2) = Ax(1) + Bu(1) = ABu (0) + Bu (1) 2 x(3) = Ax(2) + Bu(2) = A Bu (0) + ABu (1) + Bu (2) 1 x () = A Bu (0) + + ABu ( 2) + Bu ( 1) 23

27 Determinazione di X per sistemi LTI TD (3/6) x A Bu ABu Bu 1 () = (0) + + ( 2) + ( 1) Si può compattare l espressione in forma matriciale: u ( 1) u ( 2) x() B AB A B M ( ) u (0) 1 = = x () = M () U() U ( ) 24

28 Determinazione di X per sistemi LTI TD (4/6) La matrice M () B AB A B 1 n, = rappresenta il legame tra la sequenza di ingresso [u (0), u (1),, u ( - 1)] e lo stato x ( ) raggiunto al tempo Pertanto, l insieme di raggiungibilità X ( ) al tempo corrisponde allo spazio immagine ( ) generato dalle colonne della matrice M ( ): ( ) ( 1 ) X () = M () = B AB A B 25

29 Determinazione di X per sistemi LTI TD (5/6) Per determinare il sottospazio di raggiungibilità X bisogna trovare l insieme di raggiungibilità X ( ) avente dimensione massima: X = max X ( ) [0, ) Questo corrisponde a determinare per quale istante la matrice M ( ) ha rango massimo A tal fine, ricordiamo che nel caso considerato (p = 1), M ( ) viene costruita affiancando le colonne: B, AB,, A -1 B M () B AB A B 1 = 26

30 Determinazione di X per sistemi LTI TD (6/6) Ogni volta che viene aggiunta una colonna del tipo A j -1 B (j = 1,, ) il rango della matrice M ( ) aumenta di una unità o rimane costante Gli eventuali aumenti di rango possono avvenire solo fino a quando il numero delle colonne aggiunte eguaglia il numero n di righe di M ( ) e cioè coincide con la dimensione del sistema Pertanto: X = X ( n) 27

31 La matrice di raggiungibilità Definiamo la matrice di raggiungibilità M come la matrice M (n) M B AB A B n 1 = Il sottospazio di raggiungibilità è quindi definito come: X = ( M ) 28

32 La condizione di completa raggiungibilità Pertanto, la dimensione del sottospazio di raggiungibilità X è pari al rango r della matrice di raggiungibilità M dim( X ) = ρ( M ) = r Un sistema dinamico LTI TD è quindi completamente raggiungibile (e anche controllabile) se e soltanto se il rango della matrice di raggiungibilità M è pari alla dimensione n del sistema: ρ ( M ) = n 29

33 Generalizzazione Il risultato appena enunciato vale anche: Nel caso di sistemi dinamici LTI TC del tipo ( x t) = Ax() t + Bu() t per cui la matrice di raggiungibilità è definita allo stesso modo Nel caso di sistemi LTI TC e TD a più ingressi (p > 1) nei quali la matrice di raggiungibilità M assume la forma più generale: n b M = B AB A B, b = ρ( B) 30

34 MatLab La matrice di raggiungibilità M di un sistema dinamico LTI può essere calcolata in MatLab mediante l istruzione: M_ = ctrb(a,b) A, B: matrici della rappresentazione di stato ( x t ) = Ax () t + Bu () t x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu ( k ) Il rango r della matrice di raggiungibilità può essere calcolato con l istruzione: r = rank(m_) Per maggiori dettagli sulle istruzioni, digitare help ctrb, help rank al prompt di MatLab 31

35 aggiungibilità e controllabilità

36 Esempio 1: formulazione del problema Si consideri il seguente sistema LTI TC: xt () = xt () 2 ut () Studiarne le proprietà di raggiungibilità 33

37 Esempio 1: procedimento di soluzione Per analizzare le proprietà di raggiungibilità occorre: Calcolare la matrice di raggiungibilità M a partire dalle matrici A e B delle equazioni di stato Valutare il rango r di M e confrontarlo con la dimensione n del sistema; in particolare Se r = n allora il sistema risulta completamente raggiungibile Se r < n allora il sistema non è completamente raggiungibile 34

38 Esempio 1: calcolo di M Le matrici A e B del sistema dato sono: A = = 4 2 5, B Il sistema è a un ingresso p = 1 e di ordine n = 3 La matrice di raggiungibilità è quindi del tipo: n 1 2 M = B AB A B = B AB A B 35

39 Esempio 1: procedura di calcolo di M Per calcolare M conviene procedere alla sua costruzione per colonne come segue: Si parte dalla colonna B : M = B Si calcola la seconda colonna eseguendo il prodotto AB : M = B AB Si calcola la terza colonna A 2 B eseguendo il prodotto A (AB ): 2 M = B AB A B 36

40 Esempio 1: calcolo di M (1/3) Nel primo passaggio si riporta la matrice B come prima colonna di M : A = B 2 = M = B AB 2 A B 37

41 Esempio 1: calcolo di M (2/3) Nel secondo passaggio si costruisce la seconda colonna di M con il prodotto righe per colonne AB : A = B 2 = M = B AB 2 A B 38

42 Esempio 1: calcolo di M (3/3) Nel terzo passaggio si costruisce la terza colonna di M con il prodotto righe per colonne A 2 B eseguito tramite il prodotto A (AB ) A = B 2 = M = B AB A B 39

43 Esempio 1: analisi della raggiungibilità Si ottiene la matrice di raggiungibilità: M = Poiché: Si ha: det( M ) = ρ ( M ) = 3 = n Il sistema risulta completamente raggiungibile 40

44 Esempio 2: formulazione del problema Si consideri il seguente sistema LTI TD: xk ( + 1) = xk ( ) 2 + uk ( ) Studiarne le proprietà di raggiungibilità 41

45 Esempio 2: procedimento di soluzione Per analizzare le proprietà di raggiungibilità occorre: Calcolare la matrice di raggiungibilità M a partire dalle matrici A e B delle equazioni di stato Valutare il rango r di M e confrontarlo con la dimensione n del sistema; in particolare Se r = n allora il sistema risulta completamente raggiungibile Se r < n allora il sistema non è completamente raggiungibile 42

46 Esempio 2: calcolo di M Le matrici A e B del sistema dato sono: A = 0 0 1, B 2 = Il sistema è a un ingresso p = 1 e di ordine n = 3 La matrice di raggiungibilità è quindi del tipo: n 1 2 M = B AB A B = B AB A B 43

47 Esempio 2: analisi della raggiungibilità (1/2) La matrice di raggiungibilità è: M = Si ha det( M ) = 0 ρ( M ) < 3 Si nota che M ha una riga nulla mentre le altre due sono linearmente indipendenti ρ ( M ) = 2 44

48 Esempio 2: analisi della raggiungibilità (2/2) M = , ρ( M ) = Il sistema risulta non completamente raggiungibile Inoltre: dim( X ) = ρ( M ) = 2 45

49 aggiungibilità e controllabilità

50 appresentazioni di sistemi dinamici SISO Un sistema dinamico SISO LTI si può rappresentare con Equazioni di stato (rappresentazione ingresso stato uscita) x() t = Ax() t + B u() t y () t = C x() t + D u() t Funzione di trasferimento (rappresentazione ingresso uscita) x( k + 1) = Ax( k) + B u( k) y( k) = C x( k) + D u( k) H( s) = m m 1 bms + bm 1s + + b0 n n 1 as n + an 1s + + a0 H( z) = m m 1 bmz + bm 1z + + b0 n n 1 az n + an 1z + + a0 47

51 Il problema della realizzazione (1/3) Vogliamo studiare come è possibile passare dalla rappresentazione in equazioni di stato a quella in funzione di trasferimento e viceversa. Equazioni di stato Funzione di trasferimento x() t = Ax() t + Bu() t x( k + 1) = Ax( k) + Bu( k) yt () = Cxt () + Dut () y( k) = Cx( k) + Duk ( ) = + = H( s) C( si A) B D H( z) C( zi A) B D La soluzione è unica 48

52 Il problema della realizzazione (2/3) Funzione di trasferimento Equazioni di stato b s + b s + + b b z + b z + + b H( s) = ( ) = as a s a az a z a m m 1 m m 1 m m 1 0 m m 1 0 H z n n 1 n n 1 n + n n + n A =??, B =??, C =??, D =?? A =??, B =??, C =??, D =?? Il problema di determinare un insieme di equazioni di stato a partire da una funzione di trasferimento non ha soluzione unica ed è detto problema della realizzazione 49

53 Il problema della realizzazione (3/3) Nel caso in cui la funzione di trasferimento H (s ) non sia strettamente propria (cioè m = n ), prima di procedere alla realizzazione occorre compiere la divisione (polinomiale) tra il numeratore e il denominatore: n n 1 n n 1 0 n n 1 as n + an 1s + + a0 n 1 b n 1s + + b 1s + b 0 n n 1 s + a n 1s + + a 1s + a 0 H( s) bs + b s + + b = = = + b n 50

54 La forma canonica di raggiungibilità Data la funzione di trasferimento: H( s) b s + + b s + b = + b n 1 n n n 1 s + a n 1s + + a 1s + a 0 la forma canonica di raggiungibilità x() t = Ax() t + Bu() t B A = = y () t = Cx() t + Du() t,,, a0 a1 an 1 1 C b b b,,, = 0 1 n 1 n =, D b n costituisce una sua possibile realizzazione 51

55 Forma canonica di raggiungibilità: proprietà Nella forma canonica di raggiungibilità ,,,, A B = = C = b0 b1 bn 1 D bn =,,, a0 a1 an 1 1 La matrice A è in forma compagna inferiore il polinomio caratteristico è: λ n + +a 1 λ + a 0 Il sistema dinamico individuato dalle matrici A, B, C, D è sempre completamente raggiungibile Il medesimo procedimento si applica a sistemi TD 52

56 Esempio: formulazione del problema Data la seguente funzione di trasferimento: Hs ( ) = 2 s + 3s s s s Determinarne la realizzazione secondo la forma canonica di raggiungibilità 53

57 Esempio: realizzazione La funzione di trasferimento data è di ordine n = 3: Hs ( ) s + 3s + 1 bs + bs + b = = + b 3 s s s s a s as a La sua realizzazione secondo la forma canonica di raggiungibilità è quindi della forma: ,,,, A = B = 0 C b D b 3 0 b1 b = 2 =,,, a0 a1 a

58 Esempio: calcolo della realizzazione (1/3) Hs ( ) s + 3s + 1 bs + bs + b = = + b 3 s s s s a s as a ,,,, A = B = 0 C b D b 3 0 b1 b = 2 =,,, 1 a0 1 a1 1 a 2 1 ' a = 1 2 ' a = 1 1 ' a =

59 Esempio: calcolo della realizzazione (2/3) Hs ( ) s + 3s + 1 bs + bs + b = = + b 3 s s s s a s as a ,,,, B 0 A = = C = b D = b 3 0 b1 b ,,, 1 a a1 1 a 2 ' b = 1 2 ' b = 3 1 ' b =

60 Esempio: calcolo della realizzazione (3/3) Hs ( ) s + 3s + 1 bs + bs + b = = + b 3 s s s s a s as a ,,,, A = B = 0 C b D b 3 0 b1 b = = 0,,, 1 a0 1 a1 1 a 2 1 ' b =

61 Esempio: risultato La realizzazione secondo la forma canonica di raggiungibilità della funzione di trasferimento data è quindi: x() t = x() t 0 + u() t y() t = x() t 58