Verifica allo SLU di sezioni inflesse in cap

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1 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione Corso di Cemento Armato Precompresso A/A Verifica allo SLU di sezioni inflesse in cap

2 Introduzione Per la verifica allo Stato Limite Ultimo la normativa italiana considera legami costitutivi indicati nel capitolo 4. Di conseguenza la verifica di una sezione in c.a.p. sarebbe del tutto analoga alla verifica di sezioni in c.a. ordinario, salvo considerare nel cavo uno stato deformativo preesistente, dovuto alla precompressione Questa deformazione va sommata alla deformazione dovuta ai carichi esterni, i quali devono essere ovviamente moltiplicati per i relativi coefficienti allo stato limite ultimo (NTC-08 p ).

3 Stato tensionale e deformativo in travi di cap Stato deformativo e tensionale in una trave in cap allo SLU σ σ 0 ε ε p0 M ε u Deformazione nel cls dovuta alla precompr. (def. di decompressione) ε pd ε po Stato deformativo preesistente dovuto al tiro iniziale del cavo M 0 c.a. c.a.p. M 0 = momento di decompressione legato alla deformazione ε pd χ

4 Fasi di verifica allo SLU di travi in CAP Le operazioni per determinare il momento ultimo sono esattamente le stesse utilizzate per sezioni in cemento armato ordinario, con la differenza che ora occorre considerare per l armatura di precompressione anche la deformazione applicata ai cavi all atto del tiro ε p0 e la deformazione subita dal calcestruzzo ad opera della precompressione, calcolata all altezza del cavo ε pd 1) Determinazione della deformazione iniziale nel cavo di precompressione ε po e le deformazioni nel calcestruzzo a livello del cavo ε pd causate da N; 2) Determinazione della zona di rottura; 3) Determinazione dell asse neutro; 4) Determinazione del Momento ultimo

5 Fasi di verifica allo SLU di travi in CAP Determinazione della deformazione iniziale nel cavo di precompressione ε po e le deformazioni nel calcestruzzo a livello del cavo ε pd causate da N La valutazione della deformazione nel cavo dovute alla forza di precompressione, scontata ovviamente delle perdite e delle cadute ditensione, è immediata Il termine di deformazione del calcestruzzo che porta allo stato di decompressione la fibra di calcestruzzo al livello del cavo, si calcola altrettanto facilmente:

6 Fasi di verifica allo SLU di travi in CAP Determinazione della zona di rottura Come per le travi in c.a. normale la modalità di collasso della trave si determina a partire dalla percentuale meccanica di armatura. Generalmente questa % è tale che il diagramma delle deformazioni ricada in campo 2 o 3. f cd C C a.n. y c ε s T ε p0

7 Fasi di verifica allo SLU di travi in CAP Determinazione dell asse neutro La posizione dell asse neutro si ricava imponendo l equilibrio alla traslazione della sezione. Poiché generalmente la sezione collassa in zona 2 o 3 l espressione dell asse neutro si ricava facilmente nel caso in cui per l acciaio di precompressione si assumesse un comportamento elastoplastico perfetto con tensione di snervamento pari a f pyk : y an = A p f pyk 0.8bf cd

8 Fasi di verifica allo SLU di travi in CAP Determinazione dell asse neutro Qualora si assumesse per l acciaio un comportamento incrudente occorrerebbe operare per tentativi. In tal caso, infatti, la tensione dell acciaio oltre il limite di snervamento dipenderebbe da livello di deformazione post-elastica. In tal caso di procede come segue: σ 2 σ 1 ε 2 ε 1 ε 1 ε 2 Iter. 1 Iter. 2 C T 1) Si sceglie un diagramma delle deformazioni 2) Si determina la deformazione a livello del cavo e si calcola la tensione nell acciaio 3) Si calcolano le risultanti di compressione C e trazione T 4) Si verifica che l equilibrio sia soddisfatto (C=T) 5) Se l equilibrio non risulta soddisfatto si itera finché non si raggiunge la tolleranza desiderata

9 Fasi di verifica allo SLU di travi in CAP Determinazione del Momento Ultimo Utilizzando l approssimazione dello stress block è possibile calcolare facilmente la risultante delle compressioni C e di conseguenza l asse neutro e il momento ultimo. Nell ipotesi di comportamento elastoplastico perfetto dell acciaio da precompressione il momento ultimo si calcola con la nota formula già utilizzata per il cemento armato ordinario M u = A p f pyk (d 0.4y c ) d y c z=d-0.4 y c 0.4 y c T=A p f pyk

10 Fasi di verifica allo SLU di travi in CAP Determinazione del Momento Ultimo Nell ipotesi di comportamento incrudente dell acciaio da precompressione il momento ultimo si calcola come il momento dato dalla coppia interna C-T il cui braccio delle forze interne si può calcolare una volta note C e T e la loro reciproca posizione M u = C z = T z d# y c# z # T=A p σ p#

11 Esempio 1 Esempio 5.10: Si riprenda la trave dell esempio 5.8 e si calcoli il momento ultimo della sezione in mezzeria della trave. Si consideri uno sforzo di precompressione iniziale pari a N 0 = 4000 KN, calcestruzzo avente R ck = 40 MPa, trefoli d acciaio con tensione caratteristica di snervamento f pyk = 1600 MPa e modulo elastico E p = MPa. La deformazione iniziale di precompressione è pari a: ε p0 = N 0 A f E p = La deformazione allo snervamento dell armatura di precompressione è pari a: ε py f pyk = = E p 3 h d p f b L

12 Esempio 1 La resistenza del calcestruzzo allo stato limite ultimo è pari a: f cd = 0.83 R ck 1.5 = MPa Con l ipotesi di rottura in campo 2 e di snervamento dell armatura di precompressione, l asse neutro è dato dalla seguente espressione: y c = A f f pyk 0.89bf cd = cm La deformazione dell acciaio è quindi pari a: ε p = h y c d p y c = alla quale va aggiunta quella in fase di tiro: ε pt = ε pt +ε p0 =

13 Esempio 1 Poiché quest ultima è maggiore della deformazione di snervamento dell armatura di precompressione la sezione collassa è certamente in zona 2. Il momento ultimo della sezione di mezzeria quindi vale: M u = A f f pyk (d 0.4 y c ) = 6424 KNm La trave appoggiata è soggetta ad un momento massimo pari a: 2 L Md = Pd = 4500 KNm 8

14 Esempio 1 Poiché quest ultima è maggiore della deformazione di snervamento dell armatura di precompressione la sezione collassa è certamente in zona 2. Il momento ultimo della sezione di mezzeria quindi vale: Mu = Af f pyk 0. 89( h d p) = 6978 KNm La trave appoggiata è soggetta ad un momento massimo pari a: 2 L Md = Pd = 4500 KNm 8 La sezione risulta dunque verificata.

15 Esempio 2 Ap=558 mm ACCIAIO DA PRECOMPRESSIONE σ(mpa) (b) (a) ε(%) CLS C50/60 ACCIAIO ARM. LENTA B450C As=400 mm Legame costitutivo acciaio da precom. a) EP Perfetto b) EP incrudente Si calcoli il momento ultimo della sezione nell ipotesi di acciaio a comportamento Elasto-Plastico Perfetti ed Elasto-Plastico Incrudente, con le caratteristiche geometriche e meccaniche indicate in Figura.

16 Esempio 2 Caso 1: Acciaio da precompresso a comportamento EEP Caratteristiche Materiali CLS f cd = f ck 0.85 = MPa 1.5 ACCIAIO DOLCE f yd = 450 = 391 MPa 1.15 ACCIAIO ARMONICO f yd =1385) σ(mpa)$ (a)$ ε(%)$ Calcolo Asse Neutro Ipotizzando di essere in fase 2 e utilizzando lo Stress-Block l asse neutro potrà esprimersi come segue y c = C 0.8 f cd b Per l equilibrio delle forze la risultante delle compressioni è uguale a quella delle trazioni pari alla somma della forza di snervamento delle due armature C = T = T ap +T s = = N y c =102.5mm 0.8y c C T ap T s 0.7$ 3.5$

17 Esempio 2 Caso 1: Acciaio da precompresso a comportamento EEP Calcolo Deformazione Acciaio 3.5 y c C T ap T s ε Calcolo Momento Ultimo M u = N c z c + N s z s = ( ) = = 344.4kNm

18 Esempio 2 Caso 2: Acciaio da precompresso a comportamento EEI Caratteristiche Materiali CLS f cd = f ck 0.85 = MPa 1.5 ACCIAIO DOLCE f yd = 450 = 391 MPa 1.15 ACCIAIO ARMONICO 1385$ σ(mpa)$ ACCIAIO ARMONICO (a)$ 1539$ ε(%)$ Calcolo Asse Neutro Essendo presente l incrudimento dell acciaio armonico è necessario operare per tentativi. Occorre fissare un diagramma delle deformazioni di primo tentativo con il quale calcolare le risultanti di trazione e compressione. Se dal confronto le due dovessero risultare diverse occorrerebbe modificare il campo delle deformazioni fino al raggiungimento della condizione di equilibrio C T Tentativo 1..Tentativo n-mo C T C > T C T 0.7$ 3.5$

19 Esempio 2 Caso 2: Acciaio da precompresso a comportamento EEI Caratteristiche Materiali CLS f cd = f ck 0.85 = MPa 1.5 ACCIAIO DOLCE f yd = 450 = 391 MPa 1.15 ACCIAIO ARMONICO $ σ(mpa)$ ACCIAIO ARMONICO (a)$ 0.7$ 3.5$ 1539$ ε(%)$ Calcolo Asse Neutro Dopo vari tentativi fissando la defromazione del cls al 0.35% si giunge al seguente diagramma delle deformazioni che corrisponde ad una condizione di equilibrio 9.8% % 3.5% La tensione dell armatura da precompressione si può calcolare a partire dal valore della deformazione totale somma della def ultima più la deformazione iniziale dei cavi ε p = ε u +ε p0 = (9.8+5) /1000 = σ p =1428MPa C T

20 Esempio 2 Caso 2: Acciaio da precompresso a comportamento EEI Caratteristiche Materiali CLS f cd = f ck 0.85 = MPa 1.5 ACCIAIO DOLCE f yd = 450 = 391 MPa 1.15 ACCIAIO ARMONICO $ σ(mpa)$ ACCIAIO ARMONICO (a)$ 1539$ Verifica Equilibrio E possibile verificare l equilibrio alla traslazione calcolando le risultanti di compressione e Trazione Nc=0.8 x x 400 x = kn Np= 558 x 1428 = kn Ns = 400 x 391 = kn Np + Ns = kn Nc (VERIFICATO) Calcolo Momento Ultimo M u = 349,1kNm 0.7$ 3.5$ ε(%)$ C è quindi un incremento del 1.4% rispetto al caso non incrudente

21 Verifica per Momento minimo Può accadere che in fasi di costruzione intermedie la trave sia soggetta a una diminuzione di momento esterno che conduce a condizioni ultime. Un classico esempio è quello della messa in opera di travi da ponte in c.a.p. Può accadere infatti che durante la costruzione sussista una configurazione strutturale che conduca a condizioni di momento minimo tali da portare la trave a rottura per schiacciamento del calcestruzzo in corrispondenza del cavo. + = Tensione di compressione Eccessiva nel cls

22 Verifica per Momento minimo Il problema si risolve imponendo l equilibrio alla traslazione delle forze interne e valutando poi il livello di tensione del cavo σ p. Dopo di che il momento interno si ricava come prodotto della forza di trazione nel cavo per la distanza tra il cavo e la risultante delle compressioni nel cls M = C z = T z + z = C T Tensione di compressione Eccessiva nel cls