Appunti di Geometria - 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Appunti di Geometria - 3"

Transcript

1 Appunti di Geometria - 3 Samuele Mongodi - Cambi di base nel duale Richiami Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K e sia V il suo duale Supponiamo di avere fissate due basi B = {v,, v n } C = {w,, w n } di V e di sapere che la matrice di cambio di base è A; ovvero, se un vettore v ha coordinate (x,, x n ) rispetto alla base B, allora le sue coordinate rispetto alla base C sono date da A x x n Come già sappiamo, le colonne della matrice A sono le coordinate dei vettori che compongono B rispetto alla base C Consideriamo ora le basi di V date da B = {L,, L n } C = {M,, M n } ovvero le basi duali di B e C; vogliamo individuare una matrice D che porti le coordinate rispetto a B nelle coordinate rispetto a C Come già sappiamo, le coordinate di un elemento L V rispetto a B sono date da (L(v ),, L(v n )) mentre le coordinate rispetto a C sono date da (L(w ),, L(w n )) ovvero dai valori di L sugli elementi delle basi di cui B e C sono duali Quindi, vogliamo una matrice D tale che L(v ) L(w ) D L(v n ) = L(w n ) per ogni L V Sappiamo che v = a w + a 2 w a n w n v 2 = a 2 w + a 22 w a n2 w n

2 con v n = a n w + a 2n w a nn w n a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = a n a n2 a nn (ovvero, come già detto, le coordinate di v rispetto a {w,, w n } formano la prima colonna di A e così via) Quindi, abbiamo L(v ) = L(a w +a 2 w 2 + +a n w n ) = a L(w )+a 2 L(w 2 )+ +a n L(w n ) L(v 2 ) = L(a 2 w +a 22 w 2 + +a n2 w n ) = a 2 L(w )+a 22 L(w 2 )+ +a n2 L(w n ) L(v n ) = L(a n w +a 2n w 2 + +a nn w n ) = a n L(w )+a 2n L(w 2 )+ +a nn L(w n ) ovvero cioè L(v ) L(v 2 ) L(v n ) (A t ) = At L(v ) L(v 2 ) L(v n ) Quindi la matrice D cercata è (A t ) = L(w ) L(w 2 ) L(w n ) L(w ) L(w 2 ) L(w n ) Osservazione : Per una qualsiasi matrice invertibile, si ha (A t ) = (A ) t, quindi è equivalente computare prima la trasposta o prima l inversa Osservazione 2: Se invece di avere data la matrice A, formata dalle coordinate dei vettori di B rispetto a C, abbiamo la sua inversa, formata dalle coordinate dei vettori di C rispetto a B, il cambio di base da B a C è semplicemente la sua trasposta Esempio Consideriamo uno spazio vettoriale V di dimensione 4 su R e siano B = {w + 2w 3, 2w + w 3, 3w 2 + 2w 4, 3w 4 + 2w 2 }qquadc = {w, w 2, w 3, w 4 } Determinare il cambio di base da B a C Dobbiamo quindi determinare la matrice di cambio di base da B a C e calcolarne l inversa della trasposta Tale matrice è formata dalle coordinate dei vettori di B rispetto a C, quindi 2 A =

3 La sua inversa è 5 A = e dunque la matrice di cambio di base duale cercata è 5 (A t ) = (A ) t = Esempio Consideriamo V = R 3 con la base canonica {e, e 2, e 3 } e sia V il suo duale con la base canonica duale {L, L 2, L 3 } Siano M = L + L 2 /2 M 2 = L + L 3 /3 M 3 = L 2 /2 + L 3 /3 Essi formano una base di V Vogliamo determinare {v, v 2, v 3 }, base di R 3, che induca {M, M 2, M 3 } come base duale Se A è la matrice che ha come colonne le coordinate di v, v 2, v 3 nella base canonica, (A t ) è la matrice che ha come colonne le coordinate di M, M 2, M 3 rispetto alla base canonica duale Dunque (A t ) = /2 /2 /3 /3 ovvero ovvero e dunque v = /2 3/2 A t = A = v 2 = /2 3/2 v 3 = /2 3/2 Esercizio Trovare il cambio di base in (R 3 ) tra le basi duali di B =,, C =,, Esercizio 2 Trovare la base di R 3 che induce la base duale formata dai vettori M = L + L 2 + L 3 M 2 = L + 2L 2 + 3L 3 M 3 = L + L 2 /2 + L 3 /3 dove {L, L 2, L 3 } è la base canonica duale 3

4 2 Annullatori Richiami Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K e sia V il suo duale Dato un qualsiasi insieme di vettori E V, definiamo Ann(E) = {L V : L(v) = v E} tale insieme si chiama annullatore di E Notiamo subito che, se L, M Ann(E), allora L(v) = e M(v) = v E ma quindi (L + M)(v) = L(v) + M(v) = + = v E ovvero L + M Ann(E) Allo stesso modo, λl Ann(E) per ogni λ K e L Ann(E) Quindi, Ann(E) è un sottospazio vettoriale di V Se poi W è un sottospazio di V, abbiamo che dim W + dim Ann(W ) = n = dim V Infatti, se {w,, w k } è una base di W (con k = dim W ), possiamo costruire una base di V formata da Se ora consideriamo la base duale B = {w,, w k, v,, v n k } B = {L,, L k, M,, M n k } abbiamo che l annullatore di W è generato da M,, M n k, quindi ha dimensione n k Sia ora E un insieme di vettori in V ; definiamo Ann(E ) = {v V : L(v) = L E } tale insieme si chiama annullatore di E Esso è pure un sottospazio vettoriale, ma di V e similmente, se W è un sottospazio di V, vale dim W + dim Ann(W ) = n = dim V Si ha che per ogni E V e similmente Ann(Ann(E)) = Span(E) Ann(Ann(E )) = Span(E ) per ogni E V Infatti, se v E, per ogni L Ann(E), L(v) =, quindi v Ann(Ann(E)) e dunque E Ann(Ann(E)), ovvero Span(E) Ann(Ann(E)) 4

5 D altra parte, se w è un vettore indipendente dai vettori di E, consideriamo una base di Span(E), {v,, v k } e completiamo {v,, v k, w} ad una base {v,, v k, w, u,, u n k } di V Sia poi T tale che T (w) =, T (v i ) = per i =,, k, T (u j ) = per j =,, n k ; allora T Ann(E), visto che T si annulla su una base di Span(E), ma T (w) =, quindi w Ann(Ann(E)) Dunque Ann(Ann(E)) = Span(E) Similmente si dimostra l altra uguaglianza, nel duale Quindi, per un sottoinsieme generico E di V, vale comunque che dim Span(E) + dim Ann(E) = n = dim V e similmente per un sottoinsieme del duale Inoltre, Ann(E) = Ann(Span(E)) Esempio Sia V = R 3 ; siano dim Span(E ) + dim Ann(E ) = n = dim V E = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = } E 2 = {(,, t) : t R} E 3 = {(2, 2, 2)} Vogliamo trovare gli annullatori di questi sottoinsiemi Innanzitutto, nessuno dei tre insiemi è un sottospazio vettoriale Per E 3 è ovvio, in quanto contiene un solo vettore, quindi può essere un sottospazio vettoriale se e solo se tale vettore è quello nullo, ma non è il caso; la somma di due elementi di E 2 è della forma (2,, s), quindi non è più un elemento di E 2 ; il vettore (,, ) sta in E, ma non ci sta nessun altro dei vettori (k,, ) con k R, quindi nemmeno E è un sottospazio Ora, notiamo che (,, ), (,, ) e (,, ) stanno in E, quindi e dunque Span(E ) = R 3 Ann(E ) = Ann(R 3 ) = {} Per quanto riguarda E 2, osserviamo che (,, t) = (,, ) + (,, t) = (,, ) + t(,, ) per ogni t R Quindi ogni vettore di E 2 è combinazione lineare di (,, ) e (,, ) (attenzione: non una qualsiasi combinazione lineare, ma il primo più un multiplo del secondo); questo significa che ogni altro vettore di E 2 è linearmente dipendente da questi due, quindi Span(E 2 ) = Span, = W 5

6 in quanto (,, ) E 2 e (,, ) + (,, ) E 2, quindi (,, ) Span(E 2 ) Dunque Ann(E 2 ) = Ann(W ) A questo punto, consideriamo la base duale della base canonica, {L, L 2, L 3 }; abbiamo, sicuramente, che L 2 = L 2 = quindi L 2 Ann(W ) Del resto, sappiamo che dim Ann(W ) = 3 dim W = 3 2 = e quindi Ann(E 2 ) = Ann(W ) = Span{L 2 } = {λl 2 : λ R} Infine, per E 3, abbiamo che Span(E 3 ) = Span = U e dunque Ann(E 3 ) = Ann(U) ed inoltre dim Ann(U) = 3 dim U = 3 = 2 Per descrivere l annullatore di E 3 ci basta dunque trovare due elementi indipendenti del duale che si annullano su U, ovvero su (2, 2, 2), dopo di che potremo caratterizzare Ann(U) come il sottospazio del duale da loro generato Osserviamo quindi che M = L L 2 N = L L 3 si annullano su (2, 2, 2) e sono linearmente indipendenti in V, quindi Ann(E 3 ) = Span{M, N} Esempio Siano U e U 2 due sottospazi di V ; dimostrare che Ann(U U 2 ) = Ann(U ) Ann(U 2 ) Sia L Ann(U U 2 ), allora, visto che U U U 2, si ha che L(v) = per ogni v U, quindi L Ann(U ); d altra parte, visto che U 2 U U 2, si ha che L(v) = per ogni v U 2, quindi L Ann(U 2 ) Così abbiamo dimostrato che Ann(U U 2 ) Ann(U ) Ann(U 2 ) Del resto, se L Ann(U ) e L Ann(U 2 ), consideriamo w U U 2 Per definizione di somma diretta, possiamo scrivere w = w + w 2 con w U e w 2 U 2 e dunque L(w) = L(w + w 2 ) = L(w ) + L(w 2 ) = + quindi L Ann(U U 2 ) Così abbiamo mostrato che Ann(U U 2 ) Ann(U ) Ann(U 2 ) 6

7 che, unita alla precedente, dà l uguaglianza richiesta Esercizio 3 Per ognuno dei seguenti sottoinsiemi di R 4, dire se è un sottospazio vettoriale, in caso negativo determinare il sottospazio da lui generato e trovare una base per il suo annullatore i E = {(x, y, z, w) : x = y = z = w = } ii E 2 = {(, k, k 2, k 3 ) : k R} iii E 3 = {(,, a, b) : a, b R} iv E 4 = {(,, a, b) : a, b R} v E 5 = {(x, y, z, w) : x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = } vi E 6 = ker A con 2 A = Esercizio 4 Dimostrare che, se U e U 2 sono sottospazi di V, allora Ann(U U 2 ) = Ann(U ) Ann(U 2 ) Esercizio 5 Sia V = R 2 [x] e sia V il suo duale Determinare l annullatore per ognuno dei seguenti sottoinsiemi di V : i E = {M, N } dove M (p(x)) = p() e N (p(x)) = p(x)dx ii E 2 = {L V : L(x 2 ) } iii E 3 = ker T t con T : R 2 [x] R 2 [x] data da T (p(x)) = p (x) Osservazione Solo per completezza, ricordiamo che, data T : V V, si hanno le seguenti uguaglianze Ann(ker T ) = imt t Ann(imT ) = ker T t ker T = Ann(imT t ) imt = Ann(ker T t ) 7

Esercizi di Geometria - 2

Esercizi di Geometria - 2 Esercizi di Geometria - 2 Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it La prima sezione contiene alcune domande aperte e alcune domande verofalso, come quelle che potrebbero capitare nel test. E consigliabile, nel

Dettagli

Esercizi di Geometria - 1

Esercizi di Geometria - 1 Esercizi di Geometria - Samuele Mongodi - smongodi@snsit Di seguito si trovano alcuni esercizi assai simili a quelli che vi troverete ad affrontare nei test e negli scritti dell esame Non è detto che vi

Dettagli

Complemento ortogonale e proiezioni

Complemento ortogonale e proiezioni Complemento ortogonale e proiezioni Dicembre 9 Complemento ortogonale di un sottospazio Sie E un sottospazio di R n Definiamo il complemento ortogonale di E come l insieme dei vettori di R n ortogonali

Dettagli

Somma diretta di sottospazi vettoriali

Somma diretta di sottospazi vettoriali Capitolo 8 Somma diretta di sottospazi vettoriali 8.1 Introduzione Introduciamo un caso particolare di somma di due sottospazi vettoriali: la somma diretta. Anche questo argomento è stato visto nel corso

Dettagli

ESERCIZI VARI su SPAZI VETTORIALI. Si giustifichi la risposta ad ogni esercizio ( o parte di esercizio ) posto in forma di domanda.

ESERCIZI VARI su SPAZI VETTORIALI. Si giustifichi la risposta ad ogni esercizio ( o parte di esercizio ) posto in forma di domanda. ESERCIZI VARI su SPAZI VETTORIALI Si giustifichi la risposta ad ogni esercizio ( o parte di esercizio ) posto in forma di domanda. Esercizio. Dimostrare che i vettori in R sono linearmente indipendenti

Dettagli

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare

Dettagli

Intersezione e somma di sottospazi vettoriali

Intersezione e somma di sottospazi vettoriali Capitolo 6 Intersezione e somma di sottospazi vettoriali 6.1 Introduzione Ricordiamo le definizioni di intersezione e somma di due sottospazi vettoriali. Anche in questo caso rimandiamo al testo di geometria

Dettagli

dipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V?

dipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V? Esercizi Esercizi. In uno spazio vettoriale V ci sono tre vettori v, v 2, v linearmente indipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V? 2. In uno spazio vettoriale V ci sono tre vettori v, v 2,

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI Esercizi Esercizio Date le seguenti applicazioni lineari f : R 2 R 3 definita da fx y = x 2y x + y x + y; 2 g : R 3 R 2 definita da gx y z = x + y x y; 3 h : Rx] 2 R 2 definita da

Dettagli

Parte 5. Sottospazi. A. Savo Appunti del Corso di Geometria

Parte 5. Sottospazi. A. Savo Appunti del Corso di Geometria Parte 5. Sottospazi A. Savo Appunti del Corso di Geometria 03-4 Indice delle sezioni Sottospazi di R n, Equazioni di un sottospazio di R n, 3 3 Sottospazio intersezione, 6 4 Sottospazio somma, 8 5 Formula

Dettagli

Per le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile.

Per le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile. COGNOME............................... NOME..................................... Punti ottenuti Esame di geometria Scrivi cognome e nome negli spazi predisposti in ciascuno dei tre fogli. Per ogni domanda

Dettagli

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare

Dettagli

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ. ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio

Dettagli

Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61

Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61 (15.9) Teorema. Consideriamo il piano affine. Se A A 2 (K) è un punto e r una retta che non passa per A, allora esiste unica la retta per A che non interseca

Dettagli

Matrici simili. Matrici diagonalizzabili.

Matrici simili. Matrici diagonalizzabili. Matrici simili. Matrici diagonalizzabili. Definizione (Matrici simili) Due matrici quadrate A, B si dicono simili se esiste una matrice invertibile P tale che B = P A P. () interpretazione: cambio di base.

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE. Vincenzo Di Gennaro

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE. Vincenzo Di Gennaro ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE Vincenzo Di Gennaro Sono raccolti, in ordine cronologico, gli esercizi di Algebra Lineare proposti nelle prove scritte per i vari corsi di Geometria che ho tenuto presso la

Dettagli

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,

Dettagli

Soluzione facsimile 2 d esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a ISTRUZIONI

Soluzione facsimile 2 d esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a ISTRUZIONI Soluzione facsimile d esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 00-004 COGNOME......................................... NOME......................................... N. MATRICOLA................

Dettagli

Sistemi lineari e spazi vettoriali 1 / 14

Sistemi lineari e spazi vettoriali 1 / 14 Sistemi lineari e spazi vettoriali 1 / 14 Sistemi lineari 2 / 14 Studieremo sistemi lineari costituiti da m equazioni in n incognite (m,n N, m,n 1): cioè a 11 x 1 + +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + +a 2n x n

Dettagli

Esercizi svolti. delle matrici

Esercizi svolti. delle matrici Esercizi svolti. astratti. Si dica se l insieme delle coppie reali (x, y) soddisfacenti alla relazione x + y è un sottospazio vettoriale di R La risposta è sì, perchè l unica coppia reale che soddisfa

Dettagli

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si

Dettagli

Parte 4. Spazi vettoriali

Parte 4. Spazi vettoriali Parte 4. Spazi vettoriali A. Savo Appunti del Corso di Geometria 23-4 Indice delle sezioni Spazi vettoriali, 2 Prime proprietà, 3 3 Dipendenza e indipendenza lineare, 4 4 Generatori, 6 5 Basi, 8 6 Sottospazi,

Dettagli

1 Il polinomio minimo.

1 Il polinomio minimo. Abstract Il polinomio minimo, così come il polinomio caratterisico, è un importante invariante per le matrici quadrate. La forma canonica di Jordan è un approssimazione della diagonalizzazione, e viene

Dettagli

Parte 7. Autovettori e autovalori

Parte 7. Autovettori e autovalori Parte 7. Autovettori e autovalori A. Savo Appunti del Corso di Geometria 23-4 Indice delle sezioni Endomorfismi, 2 Cambiamento di base, 3 3 Matrici simili, 6 4 Endomorfismi diagonalizzabili, 7 5 Autovettori

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (D) A = A = A = R 2,2. D5 Dire come bisogna scegliere i parametri h e k affinché la

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (D) A = A = A = R 2,2. D5 Dire come bisogna scegliere i parametri h e k affinché la ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (D) D1 Nello spazio vettoriale R 2,2 si consideri l insieme { V = X R 2,2 XA = AX, A = ( 1 1 1 2 )} delle matrici che commutano con A. Verifiare che V = L(I 2, A). Verificare

Dettagli

Applicazioni lineari tra spazi euclidei. Cambi di base.

Applicazioni lineari tra spazi euclidei. Cambi di base. pplicazioni lineari tra spazi euclidei. Cambi di base. Esercizio. Data la seguente applicazione lineare f : R R : f(x, y, z) = (x z, x + y, y + z), scrivere la matrice B, rappresentativa di f rispetto

Dettagli

Corso di Laurea in Fisica. Geometria. a.a Canale 3 Prof. P. Piazza Magiche notazioni

Corso di Laurea in Fisica. Geometria. a.a Canale 3 Prof. P. Piazza Magiche notazioni Corso di Laurea in Fisica. Geometria. a.a. 23-4. Canale 3 Prof. P. Piazza Magiche notazioni Siano V e W due spazi vettoriali e sia T : V W un applicazione lineare. Fissiamo una base B per V ed una base

Dettagli

Lezioni di Algebra Lineare con applicazioni alla Geometria Analitica Errata Corrige. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio

Lezioni di Algebra Lineare con applicazioni alla Geometria Analitica Errata Corrige. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio Lezioni di Algebra Lineare con applicazioni alla Geometria Analitica Errata Corrige Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio Riportiamo di seguito gli errata corrige principali, aggiornati alla data

Dettagli

20 gennaio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

20 gennaio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 0 gennaio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore.

Dettagli

SPAZI DUALI. NOTE DI ALGEBRA LINEARE

SPAZI DUALI. NOTE DI ALGEBRA LINEARE SPAZI DUALI. NOTE DI ALGEBRA LINEARE 200- MARCO MANETTI: 4 DICEMBRE 200. Spazi di applicazioni lineari Dati due spazi vettoriali V, W indichiamo con L(V, W ) l insieme di tutte le applicazioni lineari

Dettagli

Spazi Vettoriali ed Applicazioni Lineari

Spazi Vettoriali ed Applicazioni Lineari Spazi Vettoriali ed Applicazioni Lineari 1. Sottospazi Definizione. Sia V uno spazio vettoriale sul corpo C. Un sottoinsieme non vuoto W di V è un sottospazio vettoriale di V se è chiuso rispetto alla

Dettagli

Forme bilineari simmetriche

Forme bilineari simmetriche Forme bilineari simmetriche Qui il campo dei coefficienti è sempre R Definizione 1 Sia V uno spazio vettoriale Una forma bilineare su V è una funzione b: V V R tale che v 1, v 2, v 3 V b(v 1 + v 2, v 3

Dettagli

Foglio di esercizi numero 2 Corso di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Ingegneria Aerospaziale e Meccanica

Foglio di esercizi numero 2 Corso di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Ingegneria Aerospaziale e Meccanica Foglio di esercizi numero 2 Corso di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Ingegneria Aerospaziale e Meccanica Esercizio 1. Sia f l endomorfismo di R 4 definito nel modo seguente: f(x, y, z, w) = (w,

Dettagli

ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 2015/2016 docente: Elena Polastri,

ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 2015/2016 docente: Elena Polastri, ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 05/06 docente: Elena Polastri, plslne@unife.it Esercizi 3: SPAZI VETTORIALI e MATRICI Combinazioni lineari di vettori.. Scrivere il vettore

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni Corso di Geometria 2- BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni Esercizio Calcolare il determinante della matrice 2 3 : 3 2 a) con lo sviluppo lungo la prima riga, b) con lo sviluppo lungo la terza colonna, c)

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 4 gennaio 24 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x x 2 2x 3 = 2 3x x 2 =, { x + x s 2 : 2 x 3 = x 2 =.. Stabilire

Dettagli

LeLing12: Ancora sui determinanti.

LeLing12: Ancora sui determinanti. LeLing2: Ancora sui determinanti. Ārgomenti svolti: Sviluppi di Laplace. Prodotto vettoriale e generalizzazioni. Rango e determinante: i minori. Il polinomio caratteristico. Ēsercizi consigliati: Geoling

Dettagli

Prodotti scalari e matrici

Prodotti scalari e matrici Prodotti scalari e matrici 1 Forme bilineari e matrici In questa sezione vogliamo studiare la corrispondenza biunivoca che esiste tra l insieme delle forme bilineari su di un certo spazio vettoriale V

Dettagli

Esercitazione 6 - Soluzione

Esercitazione 6 - Soluzione Anno Accademico 28-29 Corso di Algebra Lineare e Calcolo Numerico per Ingegneria Meccanica Esercitazione 6 - Soluzione Immagine, nucleo. Teorema di Rouché-Capelli. Esercizio Sia L : R 3 R 3 l applicazione

Dettagli

1 Indipendenza lineare e scrittura unica

1 Indipendenza lineare e scrittura unica Geometria Lingotto. LeLing7: Indipendenza lineare, basi e dimensione. Ārgomenti svolti: Indipendenza lineare e scrittura unica. Basi e dimensione. Coordinate. Ēsercizi consigliati: Geoling. Indipendenza

Dettagli

LEZIONE 13. v =α 1 v α i 1 v i 1 + α i v i = =α 1 v α i 1 v i 1 + α i (λ 1 v λ i 1 v i 1 ) =

LEZIONE 13. v =α 1 v α i 1 v i 1 + α i v i = =α 1 v α i 1 v i 1 + α i (λ 1 v λ i 1 v i 1 ) = LEZIONE 13 13.1. Il metodo degli scarti. Sia dato uno spazio vettoriale V su k = R, C e siano v 1,..., v n V. Quanto visto nella lezione precedente ci suggerisce il seguente algoritmo per stabilire se

Dettagli

LEZIONE 12. v = α 1 v α n v n =

LEZIONE 12. v = α 1 v α n v n = LEZIONE 12 12.1. Combinazioni lineari. Definizione 12.1.1. Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e v 1,..., v n V vettori fissati. Un vettore v V si dice combinazione lineare di v 1,..., v n se esistono

Dettagli

Lezioni di Algebra Lineare con applicazioni alla Geometria Analitica Errata Corrige. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio

Lezioni di Algebra Lineare con applicazioni alla Geometria Analitica Errata Corrige. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio Lezioni di Algebra Lineare con applicazioni alla Geometria Analitica Errata Corrige Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio DA GENNAIO 2015 1 Da gennaio 2015 Riportiamo di seguito gli errata corrige

Dettagli

Analisi dei dati corso integrato - Algebra lineare,

Analisi dei dati corso integrato - Algebra lineare, Analisi dei dati corso integrato - Algebra lineare, 050308-2 1 Ortogonalita nel piano Sia fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico, con origine in O Tranne avviso contrario,

Dettagli

Spazi vettoriali euclidei.

Spazi vettoriali euclidei. Spazi vettoriali euclidei Prodotto scalare, lunghezza e ortogonalità in R n Consideriamo lo spazio vettoriale R n = { =,,, n R}, n con la somma fra vettori e il prodotto di un vettore per uno scalare definiti

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere

Dettagli

Prodotto interno (prodotto scalare definito positivo)

Prodotto interno (prodotto scalare definito positivo) Contenuto Prodotto scalare. Lunghezza, ortogonalità. Sistemi e basi ortonormali. Somma diretta: V = U U. Proiezioni. Teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angoli. Federico Lastaria. Analisi

Dettagli

Parte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale

Parte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale Parte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale A. Savo Appunti del Corso di Geometria 3-4 Indice delle sezioni Prodotto scalare in R n, Basi ortonormali, 4 3 Algoritmo di Gram-Schmidt, 7 4 Matrici ortogonali,

Dettagli

Prova scritta di Geometria 18/01/2016, Soluzioni Ing. Meccanica a.a

Prova scritta di Geometria 18/01/2016, Soluzioni Ing. Meccanica a.a Prova scritta di Geometria 8//26, Soluzioni Ing. Meccanica a.a. 25-6 Esercizio È data la conica γ : 3x2 2xy + 3y 2 + 8x + 3 =. a) Verificare che la conica è un ellisse e determinarne la forma canonica.

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 25 Adolfo Scimone. Equazione della retta perpendicolare ad una retta data passante per un punto

Geometria analitica del piano pag 25 Adolfo Scimone. Equazione della retta perpendicolare ad una retta data passante per un punto Geometria analitica del piano pag 5 Adolfo Scimone Equazione della retta perpendicolare ad una retta data passante per un punto Consideriamo una retta r di equazione r: ax by sia P ( x y), un punto del

Dettagli

Trapani. Dispensa di Geometria, x 1 x 2.x n. (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2.

Trapani. Dispensa di Geometria, x 1 x 2.x n. (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 2006 Trapani Dispensa di Geometria, 1 Distanze Siano P e Q punti di R n con P di coordinate allora la distanza tra P e Q e P Q = x 1 x 2 x n (x 1 y 1 ) 2 + (x n y n ) 2 e Q di coordinate Siano Σ 1 e Σ

Dettagli

i) la somma e il prodotto godano delle proprietà associativa, commutativa e distributiva;

i) la somma e il prodotto godano delle proprietà associativa, commutativa e distributiva; 1 Spazi vettoriali 11 Definizioni ed assiomi Definizione 11 Un campo è un insieme K dotato di una operazione somma K K K, (x, y) x + y e di una operazione prodotto K K K, (x, y) xy tali che i) la somma

Dettagli

Appunti sui Codici di Reed Muller. Giovanni Barbarino

Appunti sui Codici di Reed Muller. Giovanni Barbarino Appunti sui Codici di Reed Muller Giovanni Barbarino Capitolo 1 Codici di Reed-Muller I codici di Reed-Muller sono codici lineari su F q legati alle valutazioni dei polinomi sullo spazio affine. Per semplicità

Dettagli

Matematica per Analisi dei Dati,

Matematica per Analisi dei Dati, Matematica per Analisi dei Dati, 09.03.09 1. Sia n in intero positivo fissato, e sia V un sottospazio di R n. Il massimo numero di vettori linearmente indipendenti in V viene detto dimensione di V, e viene

Dettagli

Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare.

Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizio. Sia r la retta passante per i punti A(2,, 3) e B(,, 2) in R 3. a. Scrivere l equazione cartesiana del piano Π passante per A e perpendicolare

Dettagli

ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007

ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007 ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 //7 () Ridurre la seguente matrice ad una a scala ridotta utilizzando il metodo di Gauss-Jordan. Soluzione. () Determinare quante e quali sono le matrici a scala

Dettagli

AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI

AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI. Esercizi Esercizio. Sia f : R 3 R 3 l endomorfismo definito da f(x, y, z) = (x+y, y +z, x+z). Calcolare gli autovalori ed una base per ogni autospazio di f. Dire se

Dettagli

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria. Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo

Dettagli

x1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 nelle tre incognite x 1, x 2, x 3. Possiamo risolvere l equazione ricavando l incognita x 1 x 1 = 2x 2 3x 3 2r 1 3r 2 x 2 x 3

x1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 nelle tre incognite x 1, x 2, x 3. Possiamo risolvere l equazione ricavando l incognita x 1 x 1 = 2x 2 3x 3 2r 1 3r 2 x 2 x 3 Matematica II -..9 Spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.. Consideriamo l equazione lineare omogenea nelle tre incognite x, x, x 3. x + x + 3x 3 = Possiamo risolvere l equazione ricavando

Dettagli

APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE

APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE. Definizione Si dice spazio vettoriale (sul campo dei numeri reali R) un insieme V per il quale siano definite l operazione interna di somma (che ad ogni coppia di vettori e

Dettagli

(E) : 4x 181 mod 3. h(h 1)x + 4hy = 0

(E) : 4x 181 mod 3. h(h 1)x + 4hy = 0 Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 206-207 Corso di Laurea in Informatica (L-3) Prova scritta di Matematica Discreta (2 CFU) 6 Settembre 207 Parte A [0 punti] Sia data la successione

Dettagli

Cambio di base. Capitolo Introduzione. 8.2 Cambio di base

Cambio di base. Capitolo Introduzione. 8.2 Cambio di base apitolo 8 ambio di base 8 Introduzione Sappiamo che, fissata una base finita in uno spazio vettoriale, ad ogni vettore sono associate le coordinate relative a tale base In questo capitolo vediamo che tali

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA Foglio 4 Esempio. Sia V = P 5 (R) lo spazio dei polinomi di grado strettamente minore di 5. Si considerino i seguenti sottoinsiemi di V (i) Dimostrare

Dettagli

Appunti di Geometria - 5

Appunti di Geometria - 5 Appunti di Geometria - 5 Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it Segnatura di un prodotto scalare Richiami Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione n; sia, : V V R un prodotto scalare. Data una base

Dettagli

Esercizi 2. Soluzioni. 1. Siano dati i vettori 1 1, 1 R 3.

Esercizi 2. Soluzioni. 1. Siano dati i vettori 1 1, 1 R 3. Esercizi. Soluzioni.. Siano dati i vettori,, R. (i) Far vedere che formano una base di R. (ii) Ortonormalizzarla col metodo di Gram-Schmidt. (iii) Calcolare le coordinate del vettore X = 5 Sol. (i) Usiamo

Dettagli

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 10 dicembre 003 - Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 003-004 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura 3 ore. ISTRUZIONI

Dettagli

Applicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5

Applicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5 pplicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5 PPLIZIONI LINERI 01. Dire quali delle seguenti applicazioni tra IR-spazi vettoriali sono lineari a. f :IR 2 IR 3 f(x y =(x y πy b. f :IR 3 IR 3 f(x

Dettagli

2 Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala.

2 Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala. Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala. Esercizio.1 Utilizzando il metodo di eliminazione di Gauss, risolvere i seguenti sistemi lineari: 1. 3. x 1 x + 3x 3 = 1 x 1 x x 3 = x 1 + x + 3x 3 = 5 x 1

Dettagli

Matematica per Analisi dei Dati,

Matematica per Analisi dei Dati, Matematica per Analisi dei Dati, 230209 1 Spazio vettoriale R n Sia n un intero positivo fissato Lo spazio vettoriale R n e l insieme delle n ple ordinate di numeri reali, che rappresenteremo sempre come

Dettagli

SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE

SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE. Esercizi Esercizio. In R calcolare il modulo dei vettori,, ),,, ) ed il loro angolo. Esercizio. Calcolare una base ortonormale del sottospazio

Dettagli

SPAZI VETTORIALI. Esercizi Esercizio 1. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi:

SPAZI VETTORIALI. Esercizi Esercizio 1. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi: SPAZI VETTORIALI Esercizi Esercizio. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi: V := { (a, a, a) V a R }, V 2 := { (a, b, a) V a, b R }, V 3 := { (a, 2a, a + b)

Dettagli

Corso di Matematica Discreta. Anno accademico Appunti sulla diagonalizzazione.

Corso di Matematica Discreta. Anno accademico Appunti sulla diagonalizzazione. Corso di Matematica Discreta. Anno accademico 2008-2009 Appunti sulla diagonalizzazione. Autovalori e autovettori di un endomorfismo lineare. Sia T : V V una applicazione lineare da uno spazio vettoriale

Dettagli

Appunti di Algebra Lineare - 2

Appunti di Algebra Lineare - 2 Appunti di Algebra Lineare - Mongodi Samuele - s.mongodi@sns.it 8/5/ Queste note hanno lo scopo di illustrare il metodo della riduzione a scala (o algoritmo di Gauss e di Gauss-Jordan) e alcune delle sue

Dettagli

MATRICI E SISTEMI LINEARI

MATRICI E SISTEMI LINEARI - - MATRICI E SISTEMI LINEARI ) Calcolare i seguenti determinanti: a - c - d - e - f - g - 8 7 8 h - ) Calcolare per quali valori di si annullano i seguenti determinanti: a - c - ) Calcolare il rango delle

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1 APPLICAZIONI LINEARI Applicazioni lineari tra spazi R n spazi di matrici spazi di polinomi e matrice associata rispetto ad una coppia di basi Endomorismi e matrice associata rispetto

Dettagli

Esercizi 1 Spazi vettoriali. { (x, y, z) R 3 (x, y, z) (2, 2, 2) } ;

Esercizi 1 Spazi vettoriali. { (x, y, z) R 3 (x, y, z) (2, 2, 2) } ; Esercizi 1 Spazi vettoriali Esercizio. Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi di R 3 sono sottospazi vettoriali su R: { (x y z R 3 x y z Z } ; { (x y z R 3 x y z Q } ; { (x y z R 3 (x y z (2 2 2 } ; {

Dettagli

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n SPAZI E SOTTOSPAZI 1 SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n Spazi di matrici. Spazi di polinomi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Intersezione e somma di sottospazi,

Dettagli

Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI

Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI È ben noto che in VO 3 si possono considerare strutture più ricche di quella di spazio vettoriale; si pensi in particolare all operazioni di prodotto scalare di vettori.

Dettagli

1) Quali dei seguenti sottoinsiemi del campo dei numeri reali ℝ sono sottospazi vettoriali?

1) Quali dei seguenti sottoinsiemi del campo dei numeri reali ℝ sono sottospazi vettoriali? Geometria I lezione del 30 settembre 2013 Presentazione del corso. Nozioni e notazioni: concetti primitivi di insieme, elemento ed appartenenza. Insiemi numerici: i numeri naturali ℕ, gli interi ℤ, i numeri

Dettagli

Sottospazi vettoriali. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni.

Sottospazi vettoriali. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Politecnico di Torino. Sottospazi vettoriali. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Argomenti: Sottospazi. Generatori. Confrontando sottospazi: intersezione.

Dettagli

4 Autovettori e autovalori

4 Autovettori e autovalori 4 Autovettori e autovalori 41 Cambiamenti di base Sia V uno spazio vettoriale tale che dim V n Si è visto in sezione 12 che uno spazio vettoriale ammette basi distinte, ma tutte con la medesima cardinalità

Dettagli

Anno 4 Matrice inversa

Anno 4 Matrice inversa Anno 4 Matrice inversa 1 Introduzione In questa lezione parleremo della matrice inversa di una matrice quadrata: definizione metodo per individuarla Al termine della lezione sarai in grado di: descrivere

Dettagli

Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare B = , calcolare A A t A + I

Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare B = , calcolare A A t A + I Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare. Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = 0 3 4 B = 2 0 0 2 D = ( 0 ) E = ( ) 4 4 2 C = 2 0 5 F = 4 2 6 2. Data la matrice A = 0

Dettagli

Compiti di geometria & algebra lineare. Anno: 2004

Compiti di geometria & algebra lineare. Anno: 2004 Compiti di geometria & algebra lineare Anno: 24 Anno: 24 2 Primo compitino di Geometria e Algebra 7 novembre 23 totale tempo a disposizione : 3 minuti Esercizio. [8pt.] Si risolva nel campo complesso l

Dettagli

0.1 Spazi Euclidei in generale

0.1 Spazi Euclidei in generale 0.1. SPAZI EUCLIDEI IN GENERALE 1 0.1 Spazi Euclidei in generale Sia V uno spazio vettoriale definito su R. Diremo, estendendo una definizione data in precedenza, che V è uno spazio vettoriale euclideo

Dettagli

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof.

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A. 2015-2016 ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Cigliola Consegna per Martedì 6 Ottobre Esercizio 1. Una matrice quadrata A si

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno 2012 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio 1. Siano dati, al variare del parametro k R, i piani: π 1 : x 2y + 2z = 2, π 2 : z =

Dettagli

Università degli Studi di Bergamo

Università degli Studi di Bergamo Università degli Studi di Bergamo Esercizi di Matematica II Francesco Bottacin A.A. 2002/03 Capitolo 1 Spazi Vettoriali 1. Richiami di teoria 1.1. Spazi vettoriali Sia C un campo fissato (usualmente C

Dettagli

Operazioni tra matrici e n-uple

Operazioni tra matrici e n-uple CAPITOLO Operazioni tra matrici e n-uple Esercizio.. Date le matrici 0 4 e dati λ = 5, µ =, si calcoli AB, BA, A+B, B A, λa+µb. Esercizio.. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ,

Dettagli

VETTORI NELLO SPAZIO ORDINARIO ,

VETTORI NELLO SPAZIO ORDINARIO , VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 VETTORI NELLO SPAZIO ORDINARIO Vettori ordinari ed operazioni. Dipendenza ed indipendenza lineare, basi. Prodotto scalare, proiezioni, angoli. Prodotto vettoriale e prodotto

Dettagli

Elementi di Algebra Lineare. Spazio Vettoriale (lineare)

Elementi di Algebra Lineare. Spazio Vettoriale (lineare) Elementi di Algebra Lineare Spazio Vettoriale (lineare) Uno spazio vettoriale su un corpo F è una quadrupla (X, F, +, ) costituita da: un insieme di elementi X, detti vettori, un corpo F, i cui elementi

Dettagli

Tutoraggio di Algebra Lineare e Geometria. Correzione del tema d'esame del 28/2/2006

Tutoraggio di Algebra Lineare e Geometria. Correzione del tema d'esame del 28/2/2006 Tutoraggio di Algebra Lineare e Geometria Correzione del tema d'esame del 8//6 Esercizio. Si considerino in R 4 i vettori : v =, v =, v = / / a) si dica se tali vettori sono linearemente indipendenti e

Dettagli

Vettori applicati. Capitolo Richiami teorici. Definizione 1.1 Un sistema di vettori applicati Σ è un insieme

Vettori applicati. Capitolo Richiami teorici. Definizione 1.1 Un sistema di vettori applicati Σ è un insieme Capitolo 1 Vettori applicati 1.1 Richiami teorici Definizione 1.1 Un sistema di vettori applicati Σ è un insieme {(P i,v i ), P i E, v i V, i = 1,...,N}, (1.1) dove P i è detto punto di applicazione del

Dettagli

Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali

Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali CAPITOLO 0 Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali Esercizio 0.. Dati i seguenti vettori di R si calcoli il prodotto scalare (v i,v j per i,j =,,...,6: v = (6,3 v = (,0 v 3 = (, v 4 = (,0 v 5

Dettagli

Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale)

Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale) Esercizi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE (Ingegneria Ambientale e Civile - Curriculum Ambientale). Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = 0 3 4 B = C = 2 2 0 0 2 D = ( 0

Dettagli

Omomorfismi e matrici

Omomorfismi e matrici Capitolo 12 Omomorfismi e matrici 121 Introduzione Nel corso di Geometria è stato visto come associare una matrice ad un omomorfismo tra spazi vettoriali Rimandiamo al testo del corso per esempi e esercizi

Dettagli

(1) Per ciascuno dei seguenti spazi dire se è o meno uno spazio vettoriale (spiegare)

(1) Per ciascuno dei seguenti spazi dire se è o meno uno spazio vettoriale (spiegare) 1 Spazi vettoriali (1) Per ciascuno dei seguenti spazi dire se è o meno uno spazio vettoriale (spiegare) (a) R 5 (b) [0, ) (c) x R 2 : x 1 + 2x 2 = 0} (d) x R 2 : x 2 1 + 2x 2 = 0} (e) x R 2 : x 1 > x

Dettagli

1. Funzioni implicite

1. Funzioni implicite 1. Funzioni implicite 1.1 Il caso scalare Sia X R 2 e sia f : X R. Una funzione y : (a, b) R si dice definita implicitamente dall equazione f(x, y) = 0 in (a, b) quando: 1. (x, y(x)) X x (a, b); 2. f(x,

Dettagli

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}). 2) Nello spazio vettoriale

Dettagli

Volumi in spazi euclidei 12 dicembre 2014

Volumi in spazi euclidei 12 dicembre 2014 Volumi in spazi euclidei 12 dicembre 2014 1 Definizioni In uno spazio euclideo reale V di dimensione n siano dati k n vettori linearmente indipendenti e sia Π := Π(v 1 v 2... v k ) il parallelepipedo generato

Dettagli