Esercizi di Geometria - 1

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1 Esercizi di Geometria - Samuele Mongodi - Di seguito si trovano alcuni esercizi assai simili a quelli che vi troverete ad affrontare nei test e negli scritti dell esame Non è detto che vi sarà un problema per tipo, né che quelli qui presentati coprano tutte le possibili richieste, ma farli certo non sarà controproducente ai fini dell esame La sezione 3 contiene alcuni suggerimenti su come affrontare gli esercizi Test Esercizio Sia V = R 2 [x], munito della base {, x, }, e sia {L, L, L 2 } la base duale di V Determinare in tale base le coordinate del funzionale lineare p(x) p(x)dx Esercizio 2 Sia {e, e 2, e 3, e 4 } la base canonica di R 4 e sia {e, e 2, e 3, e 4} la base duale di (R 4 ) Determinare quanto vale e (2e + e 2 + 3e 3 2e 4 ) Esercizio 3 Sia V = R 3 [x], munito della base {, x,, }, e sia {L, L, L 2, L 3 } la base duale di V Determinare M( + 3x) dove M = L + 2L 3 Esercizio 4 Sia (, 2, 3) t R 3 e sia φ v (R 3 ) l elemento del biduale canonicamente associato a v Se {e, e 2, e 3} è la base duale della base canonica, determinare φ v (e e 2) Esercizio 5 Sia V = R 2 [x], munito della base {, x, }, e sia {L, L, L 2 } la base duale di V Determinare in tale base le coordinate del funzionale lineare p(x) p(2) Esercizio 6 Sia {v, v 2, v 3 } una base di V su K, sia {v, v 2, v 3} la base duale di V ; determinare v 3(v v 2 + 3v 3 ) Esercizio 7 Sia V = R 2 [x], munito della base {, + x, + x + }, e sia {M, M, M 2 } la base duale di V Determinare M (2 + 2x) Esercizio 8 Sia v R 3 e sia φ v (R 3 ) l elemento del biduale canonicamente associato a v; sapendo che {e, e 2, e 3} è la base duale della base canonica e che φ v (e ) =, φ v (e 2) =, φ v (e 3) =, determinare le coordinate di v rispetto alla base canonica ( v ) ( w Esercizio 9 Sia, v 2 scalare su R 2 ; si scriva la matrice di tale prodotto scalare rispetto alla base {( ), ( )} w 2 ) = v w + v w 2 + w v 2 un prodotto

2 Esercizio Sia v v 2 v 3, w w 2 w 3 = v w 2 + w v 2 w v 3 v w 3 + v 3 w 3 un v 3 prodotto scalare su R 3 ; si scriva la matrice di tale prodotto scalare rispetto alla base,, Esercizio Sia b v v 2 = v 2 + v2 2 v v v 3 + 4v 2 v 3 una forma quadratica; si scriva la matrice del prodotto scalare associato a b rispetto alla base,, ( ) v Esercizio 2 Sia b = v v 2 2v2 2 3v v 2 una forma quadratica; si scriva la 2 {( ) ( )} 2 matrice del prodotto scalare associato a b rispetto alla base, 3 Esercizio 3 Dire per quali valori di ( α il prodotto ) scalare su R 2 associato α rispetto alla base canonica alla matrice è indefinito non degenere α Esercizio 4 Dire per quali valori di ( α il prodotto ) scalare su R 2 associato α rispetto alla base canonica alla matrice è definito negativo α Esercizio 5 Dire per quali valori di α il( prodotto scalare) su R 2 associato rispetto alla base canonica alla matrice 2 α α 2 è semidefinito positivo Esercizio 6 Determinare una base del sottospazio di R 3 ortogonale a rispetto al prodotto scalare euclideo 4 Esercizio 7 Determinare una base del sottospazio di R 4 ortogonale ai due vettori e rispetto al prodotto scalare euclideo Esercizio 8 Determinare una base del sottospazio di R 3 ortogonale a rispetto al prodotto scalare euclideo Esercizio 9 Determinare una base del sottospazio di R 3 ortogonale a rispetto al prodotto scalare x, y = x y + y 2 y

3 Esercizio 2 Determinare la lunghezza del vettore prodotto scalare euclideo Esercizio 2 Determinare la lunghezza del vettore prodotto scalare euclideo Esercizio 22 Determinare la lunghezza del vettore prodotto scalare x, y = x y 2 + y y 3 y Esercizio 23 Determinare l applicazione aggiunta di f rispetto al prodotto scalare euclideo Esercizio 24 Determinare l applicazione aggiunta di f rispetto al prodotto scalare euclideo Esercizio 25 Determinare l applicazione aggiunta di f rispetto al prodotto scalare euclideo x x Esercizio 26 Determinare l applicazione aggiunta di f in R 3 rispetto al in R4 rispetto al in R 3 rispetto al = = x rispetto al prodotto scalare x, y = x y + x y 3 + y y 2 x = = x + 3 x + 2 x Esercizio 27 Dire se il prodotto scalare su R 3 dato da x, y = x y + 2x y y x y 3 y + y 2 2 y 3 è degenere o non degenere, definito o indefinito Esercizio 28 Dire se il prodotto scalare su R 3 dato da x, y = x y + x y 2 + y 2x y 3 2 y + 2 y 3 è degenere o non degenere, definito o indefinito Esercizio 29 Dire se il prodotto scalare su R 3 dato da x, y = 2x y + x y 2 + y y 3 y 2 +2 y 2 +2 y 3 è degenere o non degenere, definito o indefinito Esercizio 3 Calcolare la dimensione dello spazio radicale di R 3 rispetto al prodotto scalare x, y = x y + x y 3 + y + y 3 Esercizio 3 Calcolare la dimensione dello spazio radicale di R 3 rispetto al prodotto scalare x, y = x y x y 3 y + y 2 + y 3 Esercizio 32 Calcolare la dimensione dello spazio radicale di R 3 rispetto al prodotto scalare x, y = x y + 2x y y + 5 y 2 + y 3 + y 2 + y 3 x 3

4 2 Scritto Esercizio Sia R 2 [x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 2 e sia dato il seguente prodotto scalare p(x), q(x) = p()q() + p()q() p ()q () i Determinare la matrice associata a, rispetto alla base {, x, } ii Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio radicale iii Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo iv Trovare una base ortogonale v Trovare l ortogonale del vettore p(x) = x 3 Esercizio 2 Sia R 2 [x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 2 e sia dato il seguente prodotto scalare p(x), q(x) = p(x)q(x)dx p ()q () i Determinare la matrice associata a, rispetto alla base {, x, } ii Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio radicale iii Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo iv Trovare una base ortogonale v Trovare l ortogonale del vettore p(x) = Esercizio 3 Sia R 2 [x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 2 e sia dato il seguente prodotto scalare p(x), q(x) = (pq) () p()q() i Determinare la matrice associata a, rispetto alla base {, x, } ii Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio radicale iii Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo iv Trovare una base ortogonale v Trovare l ortogonale del vettore p(x) = 2 + x Esercizio 4 Sia V lo spazio vettoriale generato su R dalle funzioni {e x, e x, x, } e sia dato su V il seguente prodotto scalare f(x), g(x) = (fg) () f ()g () 4

5 i Determinare la matrice associata a, rispetto alla base {e x, e x, x, } ii Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio radicale iii Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo iv Trovare una base ortogonale v Trovare l ortogonale del vettore p(x) = 4e x 3 Esercizio 5 Sia V lo spazio vettoriale generato su R dalle funzioni {e x, e x, x, } e sia dato su V il seguente prodotto scalare f(x), g(x) = f()g() + f(x)g(x)dx i Determinare la matrice associata a, rispetto alla base {e x, e x, x, } ii Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio radicale iii Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo iv Trovare una base ortogonale v Trovare l ortogonale del vettore p(x) = 2e x 2e x + x Esercizio 6 Sia V lo spazio vettoriale generato su R dalle funzioni {sin x, cos x, } e sia dato su V il seguente prodotto scalare f(x), g(x), = f(x)g(x)dx i Determinare la matrice associata a, rispetto alla base {sin x, cos x, } ii Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio radicale iii Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo iv Trovare una base ortogonale v Trovare l ortogonale del vettore p(x) = 2 cos x + Esercizio 7 Sia V lo spazio vettoriale generato su R dalle funzioni {sin x, cos x, } e sia dato su V il seguente prodotto scalare f(x), g(x), = f()g(π) + f(π)g() i Determinare la matrice associata a, rispetto alla base {sin x, cos x, } ii Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio radicale iii Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo 5

6 iv Trovare una base ortogonale v Trovare l ortogonale del vettore p(x) = 2 sin x + Esercizio 8 Sia V lo spazio vettoriale generato su R dalle funzioni {sin x, cos x, } e sia dato su V il seguente prodotto scalare f(x), g(x), = f()g () + f ()g() i Determinare la matrice associata a, rispetto alla base {sin x, cos x, } ii Dire se il prodotto scalare è degenere o meno e determinare lo spazio radicale iii Trovare, se esiste, un vettore isotropo non nullo iv Trovare una base ortogonale v Trovare l ortogonale del vettore p(x) = 2 cos x + sin x Esercizio 9 Sia data su R 3 la matrice simmetrica 3 6 A = i Si determini una matrice ortogonale M che porti A in forma diagonale x ii Sia f = + x + un applicazione lineare; si determini la matrice associata all aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto da A nella base trovata al punto precedente Esercizio Sia data su R 3 la matrice simmetrica A = i Si determini una matrice ortogonale M che porti A in forma diagonale ii Sia f x = x 2 + un applicazione lineare; si determini la x matrice associata all aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto da A nella base trovata al punto precedente Esercizio Sia data su R 3 la matrice simmetrica 3 A =

7 i Si determini una matrice ortogonale M che porti A in forma diagonale x x + ii Sia f = 2 3 x + 2 un applicazione lineare; si determini la matrice associata all aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto da A nella base trovata al punto precedente Esercizio 2 Sia data su R 3 la matrice simmetrica A = i Si determini una matrice ortogonale M che porti A in forma diagonale x x ii Sia f = 4 x un applicazione lineare; si determini la matrice associata all aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto da A nella base trovata al punto precedente Esercizio 3 Sia data su R 4 la matrice simmetrica 2 A = i Si determini una matrice ortogonale M che porti A in forma diagonale x x x 4 ii Sia f = 2 un applicazione lineare; si determini la x 4 x 4 + matrice associata all aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto da A nella base trovata al punto precedente Esercizio 4 Sia data su R 4 la matrice simmetrica 2 A = i Si determini una matrice ortogonale M che porti A in forma diagonale x x ii Sia f = 2 2 x 4 un applicazione lineare; si determini la x 4 x + 3x 4 matrice associata all aggiunta di f rispetto al prodotto scalare indotto da A nella base trovata al punto precedente 7

8 2 Possibili varianti Gli esercizi dello scritto saranno, probabilmente, del tipo riportato sopra, ma potrebbero comparire alcune varianti Ad esempio, una domanda possibile negli esercizi del primo tipo potrebbe essere: Si trovi un piano iperbolico, se esiste Trovare un piano iperbolico equivale a trovare due vettori isotropi che non siano tra loro ortogonali; due tali vettori vanno cercati ovviamente fuori dal radicale Un piccolo trucco: se sulla diagonale della matrice associata al prodotto scalare si trovano due zeri (il che vuol dire due vettori isotropi) e se agli altri due vertici del rettangolo individuato da quelle due caselle si trova un numero non nullo, i due vettori della base corrispondenti ai due zeri generano un piano iperbolico Ad esempio, nella matrice possiamo trovare subito i due piani iperbolici Span{e, e 3 } e Span{e 3, e 4 }, mentre non possiamo prendere e, e 4 in quanto gli elementi sulla diagonale sono sì zero, ma lo sono anche gli altri due vertici del rettangolo (le posizioni (, 4) e (4, )) Ancora, nel primo esercizio, potrebbe comparire la domanda: Determinare lo spazio radicale del prodotto scalare Questo è anche un esercizio da test, ma potrebbe comunque comparire nello scritto Ovviamente, vanno bene sia una base dello spazio radicale che una parametrizzazione Una possibile variante del secondo esercizio, invece, potrebbe essere: Si trovi la matrice associata all aggiunta di f nella base canonica rispetto al prodotto scalare indotto dalla matrice A In questo caso, questa è una semplificazione notevole: invece di dover calcolare l aggiunta nella base diagonalizzante, si deve svolgere tutto nella base canonica Quindi è simile agli esercizi del test che chiedono di trovare l aggiunta di una certa applicazione rispetto ad un certo prodotto scalare In particolare, se f è associata alla matrice B rispetto alla base canonica, allora la sua aggiunta sarà associata alla matrice A B t A, dove A è la matrice del prodotto scalare, sempre rispetto alla base canonica (quindi, per intenderci, non diagonale) Non ho inserito altri esercizi con queste richieste, in quanto basta che rifacciate i precedenti quattordici esercizi inserendo anche queste domande 8

9 3 Brevi richiami In questa sezione non vi sono soluzioni di esercizi specifici, ma vengono presentati i metodi risolutivi da usare 3 Duale Data una base di V composta dai vettori {v,, v n }, la base duale {v,, vn} di V è definita come { vi se i j (v j ) = se i = j Quindi v i (a v + + a n v n ) = a i ; se inoltre M è un generico elemento di V, e i coefficienti λ i sono dati da M = λ v + + λ n v n λ i = M(v i ) In particolare, se v = a v + + a n v n e M = λ v + + λ n v n, allora M(v) = a λ + + a n λ n L isomorfismo canonico tra V e V è dato da v φ v dove φ v è un elemento del biduale (ovvero un applicazione lineare dal duale al campo base) tale che φ v (M) = M(v) M V In particolare, se v = a v + + a n v n e M = λ v + + λ n v n, si ha φ v (M) = a λ + + a n λ n 32 Cambi di base del prodotto scalare Dato un prodotto scalare, sullo spazio vettoriale V, la sua matrice nella base {v,, v n } è data da v, v v, v 2 v, v n v 2, v v 2, v 2 v 2, v n v n, v v n, v 2 v n, v n ovvero, alla i esima riga e j esima colonna si trova il numero v i, v j 9

10 33 Forme quadratiche e prodotti scalari Ad ogni prodotto scalare è associata la forma quadratica b(v) = v, v ; avendo solo tale forma si può ricostruire il prodotto scalare: v, w = (b(v + w) b(v w))/4 Inoltre, dalla forma quadratica si può ricavare direttamente la matrice del prodotto scalare rispetto alla base canonica: supponiamo di essere in R 3 per semplicità e che sia data la forma quadratica b(v) = av 2 + bv cv dv v 2 + ev v 3 + fv 2 v 3 Allora la matrice associata al prodotto scalare indotto da b rispetto alla base canonica è a d/2 e/2 d/2 b f/2 e/2 f/2 c (attenzione ai diviso 2 fuori dalla diagonale!!) 34 Segnatura Un prodotto scalare è degenere se e solo se il radicale dello spazio (V ) è diverso da {}; in pratica, ciò significa che un prodotto scalare è degenere se e solo se il determinante della matrice associata in una qualche base è nullo e la dimensione dello spazio radicale è la dimensione del nucleo Inoltre, un prodotto scalare è indefinito se esiste un vettore isotropo (ovvero tale che v, v = ) che non stia in V ; in pratica, è indefinito se la matrice associata in una qualche base ha due autovalori di segno diverso Viceversa, è definito positivo o negativo (e questo ha senso solo su R o più in generale su un campo ordinato) se e solo se per ogni vettore non nullo si ha v, v > (nel caso di positivo) o v, v < (nel caso di negativo); in pratica vuol dire che tutti gli autovalori sono positivi o negativi Infine è semidefinito positivo (o negativo) se è degenere e per ogni vettore non nullo si ha v, v (o v, v ); in pratica vuol dire che gli autovalori sono tutti nulli o positivi (o negativi) Trucchi: Se sulla diagonale c è uno, il prodotto è sicuramente indefinito (quello è un vettore isotropo); se sulla diagonale ci sono un numero positivo e uno negativo, il prodotto è sicuramente indefinito (corrispondono a due vettori uno con prodotto scalare con se stesso positivo, l altro con prodotto scalare con se stesso negativo) 35 Sottospazio ortogonale Il sottospazio ortogonale ad un vettore v = v v n rispetto al prodotto scalare, è l insieme delle soluzioni del sistema lineare (ad una equazione ed n incognite) v v n, x x n =

11 In particolare, se il prodotto scalare è quello euclideo (o canonico) si ha v x + + v n x n = Il sottospazio ortogonale al sottospazio generato dai due vettori v e w è l insieme delle soluzioni del sistema lineare (a due equazioni e n incognite { v, x = w, x = e se il prodotto scalare è quello euclideo (o canonico) si ha { v x + + v n x n = w x + + w n x n = E così via per gli ortogonali a sottospazi generati da più vettori 36 Lunghezze e angoli La lunghezza di un vettore v rispetto al prodotto scalare, esiste solo se questo è definito positivo ed è v = v, v Nel caso del prodotto scalare canonico, v = v v2 n se v,, v n sono le coordinate di v rispetto alla base canonica (o più in generale rispetto ad una base ortonormale) Similmente, l angolo θ tra i due vettori v, w, sempre per un prodotto definito positivo, si definisce come ( ) v, w θ = arccos v w Ovvero, più usualmente si dice che cos θ = v, w v w Quindi, rispetto al prodotto scalare euclideo cos θ = v w + + v n w n v v n w w 2 n 37 Applicazione aggiunta L applicazione aggiunta di f : V V rispetto al prodotto scalare, è l applicazione a f : V V tale che f(v), w = v, a f(w)

12 per ogni v, w V Se il prodotto scalare è quello euclideo, la matrice di a f rispetto alla base canonica non è altro che la trasposta della matrice di f rispetto alla base canonica Se invece il prodotto scalare è associato, rispetto alla base canonica, alla matrice simmetrica A e f è associata alla matrice B, allora a f è associata alla matrice A B t A Se infine abbiamo ottenuto una matrice ortogonale M tale che M t AM = à è diagonale, nella base formata dalle colonne di M l aggiunta di f è associata alla matrice à M t B t Mà 38 Basi ortogonali Per trovare una base ortogonale per un prodotto scalare si applica il metodo di Lagrange a partire da una base qualsiasi (di solito quella canonica) In breve, il metodo si compone di tre mosse: se v, v, si sostituisce ogni vettore v i con v i v,vi v i,v i ; 2 se v, v = ma c è un v i tale che v i, v i =, si scambiano v e v i e si torna al passo ; 3 se per ogni i si ha v i, v i =, ma esistono i, j tali che v i, v j, si mette v i + v j al posto di v e si mette v al posto di v i (o di v j ), a meno che v non sia già uno dei due vettori, allora si mette v i + v j al posto di v e basta Dopo aver applicato il primo passo, si ottiene una nuova base e si ricomincia, escludendo il primo vettore e considerando solo dal secondo in poi; dopo il secondo passo si considereranno i vettori dal terzo in poi e così via Se non si può applicare nessuna delle tre mosse, la matrice che rimane è tutta nulla, quindi la base è già ortogonale Nel caso il prodotto scalare sia definito positivo, si applicherà sempre la prima mossa e, una volta terminato il processo, dividendo ogni vettore della base per la propria norma (ovvero per v, v ), si otterrà una base ortonormale 39 Diagonalizzazione tramite matrici ortogonali Per diagonalizzare una matrice simmetrica A tramite matrici ortogonali si procede come segue: si trova una base di autovettori di A, data da {v,, v n } e si applica il procedimento di Grahm- Schmidt (oppure Lagrange più la normalizzazione finale) rispetto al prodotto scalare euclideo a tale base Si noti che, per il teorema spettrale, gli autovettori relativi ad autovalori diversi sono già ortogonali, quindi basta applicare l ortodiagonalizzazione solo ai gruppi di autovettori dello stesso autovalore E importante ricordarsi sempre di normalizzare i vettori (rispetto al prodotto scalare euclideo), ovvero di dividere per v v2 n, per ottenere alla fine una base di vettori di norma I vettori così trovati formano le colonne di una matrice M tale che M t = M, quindi M AM = M t AM è una matrice diagonale e la base trovata è contemporaneamente ortogonale per A e ortonormale per il prodotto scalare euclideo 2

13 3 Vettori isotropi Se il prodotto scalare è degenere, un vettore isotropo non nullo è semplicemente un elemento del nucleo della matrice associata; oppure, se nella matrice c è uno zero sulla diagonale, diciamo in posizione (i, i), allora vuol dire che v i, v i =, con v i l i esimo elemento della base, quindi quello è un vettore isotropo Se invece il prodotto scalare è non degenere e definito (positivo o negativo) il vettore isotropo non esiste Se infine il prodotto scalare è indefinito e non degenere (e non vi sono sulla diagonale), si può procedere come segue: si scrive un vettore incognito x = x x n e si calcola x x n, x x n = x t Ax che sarà un polinomio nelle variabili x i di grado 2 Si vuole trovare dei numeri x,, x n che annullano questa espressione; un metodo possibile è assegnare valori a n di queste variabili (valori facili, ad esempio, o ) e cercare di ricavare l ultima variabile di modo che tutto faccia Attenzione, questo metodo non funziona sempre al primo colpo, perché l equazione è di grado 2 e non è detto che si possa risolvere per ogni valore messo a caso nelle prime variabili, quindi eventualmente si può provare a cambiare i valori assegnati 4 Risposte numeriche per i test /2 / ( ) 3 3

14 ( 4 ) {/2 < α < /2 + 5/2} {α < /2 5/2} 4 nessun α 5 α =, 2, 2 4 6, 7 8 9, 2, 3, a f 24 a f 25 a f 26 a f x x x x = = = = x + 2 3x + x + x x + + x x + 4

15 27 non degenere, indefinito 28 non degenere, indefinito 29 non degenere definito positivo

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