2. Richiami di calcolo delle probabilità

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1 . Richiai di calcolo dll probabilità L analisi sposta, consistnt nll ipotizzar la crisi in fas plastica, coporta, indubbiant, vantaggi risptto al todo lastico-linar, a non può considrarsi pinant accttabil poiché i paratri prsi in considrazion sono valutati in fora dtrinistica, snza tnr conto dll divrs alatorità dll caus d incrtzza insit nlla loro dtrinazion. Ad ogni paratro corrispond un unico valor: un unico valor dlla tnsion di snrvanto, dll dinsioni gotrich di carichi. Nlla raltà ad ogni grandzza corrispond una gaa di valori: s, ad spio, si isura su più capioni di idntico atrial la tnsion di snrvanto, si ottrrà un valor divrso in ogni prova; così pr l dinsioni gotrich di profilati a causa dll invitabili iprfzioni tollranz di lavorazion; così pr i carichi, sia pr qulli prannti d ancor più pr i carichi variabili. In dfinitiva si dispon, pr ciascuna grandzza, di una gaa di valori, dunqu, di una gaa di valori dlla rsistnza R dlla sollcitazion S. Non ssndo R S valori dtrinistici, l quazion fondantal sibolica alla bas dll vrifich R > S dipnd anch ssa dalla variabilità di paratri considrati. Poiché l grandzz in gioco sono alatori, il probla non può risolvrsi ch con critri probabilistici, passando quindi dalla Crtzza dlla sicurzza alla Probabilità dlla sicurzza Si att cioè la possibilità dll vnto ngativo (crisi), a la probabilità ch sso si vrifichi dv ssr sufficintnt piccola corrlata ai rischi, ossia: P (R - S < 0) < p r dov p r è una quantità piccola corrlata al tipo di crisi ch si vuol vitar. In conclusion il probla in trini probabilistici si iposta considrando la possibilità dll vnto ngativo vrificando ch la probabilità dl suo vrificarsi sia inor di un valor sufficintnt piccolo ch dipnd dalla pricolosità dll vnto ngativo considrato. Si ritin quindi indispnsabil fornir l basi dl calcolo dll probabilità, ncssari pr ffttuar l vrifich... Variabili alatori o casuali Sia assgnata una variabil alatoria o casual, una variabil cioè i cui valori si discostano da qullo dichiarato pr caus solo accidntali non sistatich. Mtodo siprobabilistico agli stati liit

2 Ad spio la dinsion di un lnto prfabbricato prodotto in sri, s non intrvngono caus sistatich, quali una rrata dinsion dl cassro, può assur valori sia aggiori ch inori risptto a qullo dichiarato. S ci sono caus sistatich, invc lo scostanto da qullo dichiarato è spr dllo stsso sgno. S nll spio prcdnt il cassro è più grand dlla dinsion noinal, l lnto prfabbricato sarà spr più lungo risptto alla dinsion dichiarata. Si considri quindi una grandzza variabil si supponga di avr n isurazioni di ssa (,,., n ). Si divida l ass in intrvalli di apizza ; nll i-sio intrvallo siano coprs n i isurazioni (n i < n) (Fig..). Si calcoli l ordinata y i in odo ch: y i n i /n. y i y i r Fig.. Si ripta tal oprazion pr tutti gli intrvalli. Tal oprazion porta alla costruzion dll istograa dll frqunz (Fig..), cioè un diagraa carattrizzato da r rttangoli, il gnrico di quali è individuato dall ascissa i dall ordinata y i d ha ara pari a: y i n i /n ossia il rapporto tra casi favorvoli n i coprsi nll intrvallo casi totali n. S l intrvallo è sufficintnt piccolo, non si cott un grosso rror facndo rifrinto al valor dio i dll i-sio rttangolo, co rapprsntativo di tutt l grandzz ch ricadono nllo stsso intrvallo di valori, assgnando ad sso la corrispondnt frqunza. Si può così sprir il valor dio dll istograa dll frqunz: r y i i i i r n i n i n j n j Mtodo siprobabilistico agli stati liit 3

3 In qusta ipotsi il valor dio dll istograa dll frqunz è ugual alla dia arittica dgli n valori di isurati. Si dfinisc scarto quadratico dio pr un nuro finito n di ossrvazioni la grandzza: n j ( j n ) S il nuro dll ossrvazioni tnd ad infinito gli intrvalli tndono a d l istograa dll frqunz tnd alla curva di dnsità dll probabilità. Di una variabil statistica casual si dfinisc infatti curva di distribuzion dlla probabilità o curva di dnsità di probabilità y f() (Fig..) qulla curva tal ch si abbia: dp f( 0 ) d y( 0 ) d ssndo dp la probabilità lntar ch la grandzza cada nll intrvallo 0 0 +d. La probabilità P ch cada nll intrvallo 0 è data dalla soa dll probabilità lntari dp (Fig..): P 0 f()d La probabilità P ch sia <, ossia ch cada nll intrvallo a, ssndo a il liit infrior dlla variabil, val (Fig..): P f() d a La probabilità P ch sia >, ossia ch cada nll intrvallo a, ssndo a il liit suprior dlla variabil, val (Fig..): a P f() d La soa dll probabilità P P è ugual ad uno, ossia la crtzza, in quanto a a sono i liiti infrior suprior dlla variabil : P + P. Mtodo siprobabilistico agli stati liit 4

4 yf() yf() dp P P 0 a 0 d a 0 a a Fig.. Assgnata una variabil casual la sua curva di distribuzion di probabilità yf(), si dfinisc valor dio dlla variabil la quantità (Fig..3): dov il scondo bro non è altro ch il onto statico dll ara sottsa dalla curva risptto all ass dll y. Poiché: a nulla cabia s si divid la pr tal quantità: a a f() d a f()d a f()d a a a f()d. Pr il tora di Varignon, è l ascissa dl baricntro dll ara sottsa dalla curva di distribuzion di probabilità. yf() G a a Fig..3 Si dfinisc scarto quadratico dio o varianza la quantità: a a ( ) f() d Mtodo siprobabilistico agli stati liit 5

5 La quantità sotto radic non è altro ch il onto d inrzia dll ara sottsa dalla curva risptto all ass vrtical passant pr G (Fig..3). Dividndo l sprssion di pr: si ottin: a a f()d a a ( a a ) f()d f()d Dunqu, lo scarto quadratico dio rapprsnta il raggio d inrzia risptto alla vrtical passant pr il baricntro G. Più la curva è strtta, più il onto d inrzia, consguntnt, il raggio d inrzia, quindi, lo scarto quadratico dio è piccolo. Ni probli di inggnria l grandzz alatori, ossia l grandzz la cui variabilità è lgata al caso, sguono con buona prcision la curva di distribuzion dll probabilità di D Moivr - Gauss. L adozion di qusta lgg di distribuzion dll probabilità di una variabil casual splifica notvolnt il calcolo in quanto è possibil il suo traccianto conoscndo solo il valor dio lo scarto quadratico dio, quindi, può ssr costruita anch con un nuro finito n di valori. La funzion di Gauss è: y() π Tal curva praltro si adatta bn ai probli di inggnria, in quanto possid l sgunti proprità (Fig..4): ) il valor dio è il valor più probabil: pr la y() è assia; ) la curva è sitrica risptto al valor dio; 3) s diinuisc lo scarto quadratico dio, diinuisc la disprsion; Mtodo siprobabilistico agli stati liit 6

6 Mtodo siprobabilistico agli stati liit 7 yf() Fig..4 4) an ano ch ci si allontana dal valor dio, la dnsità di probabilità di un valor divrso dal dio si riduc tanto più quanto più piccolo è lo scarto quadratico dio d è praticant nulla pr ±. Con n30 isurazioni dlla variabil è possibil dtrinar, con buona rispondnza, il valor dio lo scarto quadratico dio dlla distribuzion di Gauss. Si può passar così, snza introdurr rrori significativi, dal diagraa dll frqunz di una variabil casual a qullo dlla dnsità di probabilità p() di Gauss. Si illustra ora il significato fisico dllo scarto quadratico dio. o Funzion di Gauss: o Drivata pria sconda: ( ) ( ) π p" o Annullando la drivata sconda si dtrinano l asciss di du punti di flsso dlla curva di Gauss: p'' () 0 ( ) 0 - ; ( ) - da cui: - ± ± p() π π p'()

7 In particolar in - [ p''' ( - ) > 0 ] si ha un punto di flsso ascndnt, ntr in + [p''' ( + ) < 0] si ha un punto di flsso discndnt. Lo scarto quadratico dio rapprsnta quindi la distanza tra il punto di flsso la rtta passant pr parallla all ass y() (vdi Fig..4). Noti il valor dio la varianza è possibil dtrinar altri valori lgati alla statistica dl procsso, il cui utilizzo in trini di valutazion struttural sarà più chiaro nl sguito... Valori carattristici Si costruisc dappria la funzion intgral F( ) p( )d P(). - + Fig..5 F() Fig..6 S ad ogni valor dlla variabil (Fig..5) si associa la grandzza F() ch isura l ara racchiusa dall ass, dalla curva dalla rtta con ascissa, si ha il diagraa di Fig..6 ch ad ogni ascissa associa la probabilità F() di non ssr suprata la probabilità [- F()] di ssr suprata. Il liit di F() è ovviant l unità (Fig..6). Si dfinisc valor diano di, ossia, qul valor a cui corrispond F( ) 0.5. Nlla distribuzion di Gauss il valor diano coincid con qullo dio, ssndo la distribuzion sitrica (Fig..5). Si dfinisc frattil infrior di ordin P % F( ) qul valor di ch ha la probabilità P di non ssr suprato (Fig..7a): ' F(' ) P ( < ' ) p()d. Mtodo siprobabilistico agli stati liit 8

8 Si dfinisc frattil suprior di ordin P % qul valor di ch ha la probabilità P di ssr suprato (Fig..7a) + " P ( > " ) p() d p() p() P P P P ' " ' Fig..7a Fig..7b Prtanto ad ogni valor dlla variabil si possono associar l probabilità corrispondnti al frattil infrior di ordin P al frattil suprior di ordin P - P (Fig..7b). Si sgu un applicazion di frattili ora dfiniti all rsistnz d ai carichi. Si dfinisc rsistnza carattristica qul valor dlla rsistnza con un frattil infrior di ordin 5% (Fig..8). È ncssario dfinir co valor carattristico un valor dlla rsistnza ch abbia una piccola probabilità di non ssr suprato, ossia un valor sufficintnt piccolo tra qulli isurati sprintalnt. Vicvrsa, si dfiniscono valori carattristici di carichi qui valori con frattil suprior di ordin 5% (frattil infrior di ordin 95%), ossia ch abbiano una piccola probabilità di ssr suprati (ossia una grand probabilità di non ssr suprati) (Fig..9). Si ossrva ch pr avr la crtzza dlla sicurzza si dovrbb considrar il assio valor di carichi, o glio, dll sollcitazioni gnrat da qusti, d il inio valor dlla rsistnza. Adottando la distribuzion di Gauss l ordin di un gnrico frattil infrior è dato da: P( < ) p()d π d ntr l ordin di un gnrico frattil suprior è dato da: Mtodo siprobabilistico agli stati liit 9

9 Fissato ad spio l ordin dl frattil infrior, noti il valor dio dlla distribuzion la varianza, si può valutar il corrispondnt frattil, ossia il valor carattristico dlla grandzza in sa. Oprata la sostituzion di variabil nll intgral: ( - )/( ) t d dt dfiniti i liiti di intgrazion pr la nuova variabil t: si ha: P( > ) + p()d t ( )/( ) π + d P( < Risolvndo l intgral si ha pr: ) π t - t dt π t t dt P 0.05 t.64 /.64 ; P 0.05 t.6 /.6 ; P t.58 /.58. In odo analogo si può oprar ni confronti di carichi dll sollcitazioni. Il frattil suprior di ordin 5% (o frattil infrior di ordin 95%) risulta: P 0.95 t +.64 / E vidnt ch al frattil infrior di ordin P corrispond il frattil suprior di ordin [-P]. I valori carattristici di ordin 5% di ordin 95% sono sitrici risptto al valor dio, ssndo la curva di Gauss sitrica. Inoltr, si ossrva ch, a parità di valor dio, il frattil infrior di ordin 5% è tanto più piccolo quanto più grand è lo scarto quadratico dio. f R f S f R f S 5% 5% R S Fig..8 Fig..9 Mtodo siprobabilistico agli stati liit 0