Distribuzione Gaussiana o Normale. 1 Distribuzione Normale come limite della Binomiale

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1 Statistica e analisi dei dati Data: 6 Maggio 26 Distribuzione Gaussiana o Normale Docente: Prof. Giuseppe Boccignone Scriba: Matteo Gandossi Distribuzione Normale come limite della Binomiale Data una distribuzione binomiale Bin(k n, p), se n e p allora la distribuzione diventa una distribuzione Poissoniana P oisson(k µ n p). Se invece n e p ha valore finito, la distribuzione si risolve mediante il teorema di DeMoivre-Laplace che é un caso particolare del teorema centrale. Teorema (De Moivre - Laplace). Sia Bin(k n, p) ( ) n k p k q n k una distribuzione binomiale con k np 2npq A cost. Allora: Bin(k n, p) e (k np) 2π npq 2 2npq (+O( n )). () Accenno di dimostrazione (dimostrato piú avanti) Il risultato si ottiene come caso particolare del Teorema Limite Centrale Il teorema () implica che se µ np e σ npq, usando la variabile continua x al posto di quella discreta k p(x X x 2 ) lim n x 2 2π npq e (x np)2 x x2 2npq x 2π σ 2 }{{} f(x) (x µ)2 e 2σ 2 La f(x) integrata é allora una funzione di densitá di probabilitá continua che definiamo come distribuzione normale Gaussiana N (x µ, σ) dx. (x µ)2 e 2σ 2, (2) 2π σ 2 dove i parametri µ, σ 2 sono rispettivamente la media e la varianza della distribuzione. La PDF della Normale é riportata in figura Per poter manipolare matematicamente la Gaussiana, é necessario saper risolvere l integrale di Gauss: I Per calcolarlo, si sviluppa I 2 : e x2 dx.

2 2 Distribuzione Gaussiana o Normale Figura : Distribuzione normale Gaussiana I 2 e x2 dx e y2 dy e x2 e y2 dxdy e (x2 +y 2) dxdy Si passa poi in coordinate polari (r, θ) dove x r cos θ y r sin θ corrisponde a θ. Figura 2: Coordinate polari Nella trasformazione, l elemento infinitesimo di area da deve conservarsi, ovvero: da dxdy J drdθ dove J é il determinante della matrice J detta matrice jacobiana. J [ x r y r x θ y θ ]. Gli elementi della matrice jacobiana sono le derivate prime parziali di x x(r, θ), y y(r, θ) rispetto alle nuove coordinate (r, θ). Ricordando la definzione di derivata parziale di una generica funzione f f(x, y)

3 Distribuzione Gaussiana o Normale 3 f x lim h f(x + h, y) f(x, y). h applicandola al nostro caso otteniamo f y lim h f(x, y + h) f(x, y). h x r cos θ. x θ r sin θ. y sin θ. r La matrice Jacobiana diventa: y r cos θ. θ [ ] cos θ r sin θ J. sin θ r cos θ Calcoliamo il determinante: J rcosθ sin θ ( r sin θ) sin θ r cos 2 θ + r sin 2 θ r(cos 2 θ + sin 2 θ) }{{} r Quindi: dxdy rdrdθ Ora possiamo completare il calcolo dell integrale di Gauss. Consideriamo il dominio di r e θ: r + e θ 2π:

4 4 Distribuzione Gaussiana o Normale I 2 2π 2π dθ }{{} π 2π π [e r2 ] + π ( ) π e (x2 +y 2) dxdy e r2 rdrdθ r e r2 dr 2r e r2 dr Infine: I e x2 dx π Analogamente (con sostituzione di variabili) si calcola il seguente integrale: e x2 2 dx 2π (3) 2 Normalizzazione e standardizzazione delle variabili Per dimostrare che la distribuzione N (x µ, σ) gode della proprietá di essere normalizzata, N(x µ, σ)dx, standardizzeremo le variabile aleatoria X. La standardizzazione é un procedimento che riconduce una variabile aleatoria X distribuita secondo una media µ e varianza σ 2, ad una variabile aleatoria Z con distribuzione standard, ossia di media zero e varianza pari a : Z X µ σ (4) Per la dimostrazione di normalizzazione é sufficiente standardizzare X come in (4) e usare l integrale di Gauss nella forma posta in Equazione (3):

5 Distribuzione Gaussiana o Normale 5 2π N(x µ, σ)dx e (x µ)2 2σ 2 dx 2πσ 2π σ e 2 z2 σdz 2π e 2 z2 }{{} Forma Normale Standard 2π 2π e 2 z2 dz dz La funzione di densitá di probabilitá che abbiamo ottenuto dopo aver standardizzato le variabili, cioé f(z) 2π e 2 z2 (5) é detta distribuzione normale standard o ridotta, ed é indicata come N (z µ, σ ) o semplicemente N (, ). Figura 3: Distribuzione Normale standardizzata dove σ Calcoliamo ora la speranza matematica usando la standardizzazione (4) da cui x σ z + µ dz dx e procedendo per sostituzione di variabile:

6 6 Distribuzione Gaussiana o Normale E[X] σ 2π µ 2π 2π µ x 2πσ 2 (σz + µ) (x µ)2 e 2σ 2 dx 2π σ e 2 z2 σdz z e 2 z2 dz } {{ } + µ 2π e 2 z2 dz }{{} 2π Procedendo analogamente per calcolare la varianza si ottiene var(x) σ 2, e ovviamente var(x) σ é la deviazione standard. Si noti che la PDF della normale é simmetrica e unimodale con il massimo centrato su µ (su x nel caso ridotto), dunque moda e mediana coincidono con la media µ. 3 Proprietá della CDF (Cumulative Density Function) della distribuzione normale Per definizione, la CDF e la funzione di sopravvivenza S(z) si possono formalmente scrivere: F Z (z) P Z (Z z) S Z (z) P Z (Z > z) z z f(t)dt f(t)dt z z 2π e 2 t2 dt, (6) 2π e 2 t2 dt F Z (z). (7) Ricordiamo che F Z (z) e S Z (z) calcolano la probabilitá corrispondente all area ombreggiata della densitá f(z) come rappresentato in Figura 4. Figura 4: A sinistra, P Z (Z z), a destra, P Z (Z z) Come abbiamo giá notato la f(z) é una funzione pari:

7 Distribuzione Gaussiana o Normale 7 f(z) f( z). (8) Usando la paritá é possibile ricavare le seguenti proprietá di cui gode la PDF normale: R Z (z) P Z (Z z) z f(t)dt z f( t)dt z f(t)dt F Z (z), (9) dove si é utilizzata la sostituzione t t dt dt e la paritá di f. Vale dunque la seguente: Inoltre possiamo ricavare le seguenti: F Z ( z) F Z (z). () W Z (z) P Z ( z Z +z) F Z (z) F Z ( z) F Z (z) + F Z (z) 2F Z (z). () 2R Z (z) P Z ( Z z) P Z (Z z) + P Z (Z z) F Z (z) + F Z (z) 2( F Z (z)). (2) Queste calcolano la probabilitá corrispondente all area ombreggiata della densitá f(z) come rappresentato in Figura 5. Figura 5: A sinistra, W Z (z) P Z ( z Z z), a destra, 2R Z (z) P Z ( Z z) S Z (z), R Z (z), F Z ( z), W Z (z), 2R Z (z) definiscono nella pratica le probabilitá di interesse per qualsiasi problema che riguardi la distribuzione normale. In buona sostanza tutte sono calcolabili facilmente a partire da F Z (z). Nella forma piú generale la CDF F Z (z) della normale ridotta viene spesso denotata F Z (z) Φ(z) e in generale: ( ) x µ F X (x) Φ σ (3) Abbiamo un ultimo rilevante problema: la Φ(z) come scritta in equazione (6) non é calcolabile analiticamente! Soluzioni possibili: se stiamo lavorando in simulazione software, usiamo qualche funzione basata su approssimazione numerica dell integrale

8 8 Distribuzione Gaussiana o Normale se stiamo lavorando carta e penna, utilizziamo le tabelle della forma normale standard. Un esempio semplificato di tabella della normale standard é mostrato in Figura 6 Se usiamo come entry point nella tabella i valori z, 2, 3 (x,nella tabella in Figura 6) e leggiamo i corrispondenti valori di W Z (z) P Z ( z Z +z), tenendo presente che per la normale standard σ e dunque z zσ, ne risulta che :. i valori di z compresi tra σ z σ corrispondono a 68, 3% della distribuzione; 2. i valori di z compresi tra 2σ z 2σ corrispondono a 95, 6% della distribuzione; 3. i valori di z compresi tra 3σ z 3σ corrispondono a 99, 7% della distribuzione. Questa proprietá della distribuzione normale viene detta Legge 3σ, che riprenderemo in seguito. Si noti che sarebbe bastato avere la colonna relativa a F Z (z), per ottenere W Z (z) 2F Z (z). Anzi, tipicamente le tabelle utilizzate di solito riportano solo il valore compreso tra Z e Z z essendo per simmetria della distribuzione P Z ( Z ).5. Nelle tabelle complete sulle righe (in prima colonna) si accede al valore di F Z (z) al primo decimale (F Z (z.), F Z (z.2) ecc.).; sulla stessa riga, nelle colonne successive si considerano con maggiore precisione i valori di z.,.2,.3, da comporre con il primo decimale per poter calcolare valori piṕrecisi, quali F Z (z.63), ecc. Un esempio é riportato in Figura 7, dove, ad esempio F Z (z.63) si ricava. accedendo per riga in z.6 2. posizionandosi sulla colonna indicizzata da z.3 3. leggendo il valore P Z ( Z z.63) calcolando F Z (z.63) P Z ( Z ) + P Z ( Z z.63)

9 Distribuzione Gaussiana o Normale 9 Figura 6: Tabella semplificata della normale ridotta

10 Distribuzione Gaussiana o Normale Appendice I I -i Tabella A.4 Aree della distribuzione normale standard Questa tabella contiene ivalori dell'area sotto la curva della distribuzione nor_ male standard relativa all'intervallo di estremi e z (l,area ombreggiata in figu_ ra), dove z rappresenta il valore specifico della variabile normale standard Z t. t.l t t.'.8 t _ ó f79.t t r l3.47t9.47't t 't '7.498', ' t 'l ór ' o o 't o.494t ', 't t o.3'/ ' ' o.4999 o l o '44.4' ',7.49' ó.4997., 't ó ' r r.4t I ',7.49't2.9'9.9' ',t 't r l r 6.3 t t ', r 5.452s ó ' 't r :98.,98.,9lj t).,99t ,995..q96., t s o.4999.,s9f.499e.9e9.q99.5rxl Fonre: Muray R Spiescl,S.h.tuùtsOtnlituolTheo^ahdProblensolstatìlri.s(secondaedizione).Mccraw-Hjlt,Ncwyoi[-lq.Jè,.. prodono con il perm$so Jrll I \4(ùra$ I I ll' nnrpdnr(,. Figura 7: Tabella completa della normale ridotta

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