Elettronica I Risposta dei circuiti RC e RL nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 2

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1 Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, 613 rema liberali@i.unimi.it liberali Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 1 isposta libera di un circuito (1/7) S v(t) S è un interruttore ideale: si comporta come un circuito aperto quando è spento ( off ), e come un cortocircuito quando è acceso ( on). L interruttore S è acceso per t<, e viene spento all istante t=. alcolare l andamento nel tempo della tensione di uscita v(t). Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 1

2 isposta libera di un circuito (/7) S v(t) interruttore acceso per t < : dalla KVL alla maglia esterna si ricava la tensione di uscita v(t)=. La corrente nel resistore è i =. La carica immagazzinata nel condensatore è q =. Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 3 isposta libera di un circuito (3/7) S v(t) interruttore spento per t : il generatore di tensione viene scollegato; per risolvere il circuito occorre scrivere la KL al nodo di uscita contrassegnato con il segno (). i (t)i (t)= dove i (t) = corrente nel resistore e i (t) = corrente nel condensatore. Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 4

3 isposta libera di un circuito (4/7) Dalla KL i (t)i (t)=, sostituendo i (t)= v(t) i (t)= dv(t), si ricava l equazione differenziale: v(t) dv(t) = La tensione ai capi del condensatore deve essere una funzione continua nel tempo (perché in caso contrario dovremmo avere una corrente infinita, che è fisicamente impossibile). Quindi abbiamo la condizione iniziale v()=v( )=, e il problema di auchy: dv(t) = 1 v(t) v()= e Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 5 isposta libera di un circuito (5/7) Il problema di auchy dv(t) = 1 v(t) v()= si risolve facilmente separando le variabili v e t: dv(t) v(t) = e integrando a partire dalla condizione iniziale: v(t) dv(t) t v(t) = Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 6 3

4 isposta libera di un circuito (6/7) v(t) Poiché dv v = lnv, si ottiene: cioè dv(t) t v(t) = lnv v(t) = t ln v(t) = t alcolando l esponenziale di entrambi i membri, si ottiene la soluzione: v(t)= e t/ t Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 7 isposta libera di un circuito (7/7) v(t)= e t/ tensione τ τ 3τ 4τ 5τ tempo Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 8 4

5 ostante di tempo (1/3) tensione τ τ 3τ 4τ 5τ tempo Nella soluzione del circuito, il prodotto prende il nome di costante di tempo e si indica conτ: τ= Geometricamente, la costante di tempo è l intersezione della tangente alla curva v(t) per t= con l asse dei tempi t. Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 9 ostante di tempo (/3) tensione τ τ 3τ 4τ 5τ tempo Per t=τ, la tensione v si è ridotta alla frazione 1/e del valore iniziale: v(τ)= 1 e v().368v() Si noti che la funzione esponenziale v(t)= e t/ tende al valore finale senza mai raggiungerlo. Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 1 5

6 ostante di tempo (3/3) tensione τ τ 3τ 4τ 5τ tempo Per t=3τ, la tensione v si è ridotta a circa il 5 % del valore iniziale, e per t=7τ all 1 per mille. Quindi, in pratica, il transitorio si può considerare esaurito dopo alcune costanti di tempo. Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 11 isposta libera di un circuito L L i(t) I S ircuito L (duale del circuito ) L interruttore S è spento per t <, e viene acceso all istante t=. L andamento nel tempo della corrente i(t) è: conτ= LG= L. i(t)=i e t/τ Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 1 6

7 ircuito derivatore (1/) v in _ v out alcolare v out (t) in funzione di v in (t). Anzitutto, bisogna osservare che l amplificatore operazionale è retroazionato negativamente. Quindi si applica il principio della terra virtuale: v = v. Pochè v =, risulta anche v =. Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 13 ircuito derivatore (/) v in _ v out KL applicata all ingresso ( ): i (t)=i (t), da cui: d (v in(t) ) = v out(t) e risolvendo rispetto a v out (t) si ottiene: v out (t)= dv in(t) = τ dv in(t) L uscita è proporzionale alla derivata dell ingresso. Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 14 7

8 isposta nel tempo del derivatore (1/) v in _ v out v out (t)= dv in(t) Se v in (t)=v A sinπ f t, allora: = τ dv in(t) v out (t)= π f V A cosπ f t=π f V A sin ( π f t 3π L ampiezza della tensione è moltiplicata per π f = π f τ. ) Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 15 isposta nel tempo del derivatore (/) =1 kω, = 1 nf, V A = 1 V, f = 1 MHz 8.V 4.V V -4.V -8.V s.5us 1.us 1.5us.us V(V1:) V(E1:3) Time ostante di tempo:τ = 1µs; ampiezza della tensione di uscita: π f τv A = 6.8 V. Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 16 8

9 ircuito integratore v in _ v out Dalla KL al nodo di terra virtuale si ha v in(t) risolvendo rispetto a v out (t) si ottiene: = dv out(t), e v out (t)= 1 t v in (t) v() L uscita è proporzionale all integrale dell ingresso. Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 17 isposta nel tempo dell integratore (1/) v in _ v out v out (t)= 1 Se v in (t)=v A sinπ f t, allora: v out (t)= t V A π f cosπ f tv()= v in (t) v() V A (π π f sin f t π ) v() L ampiezza della tensione è divisa per π f = π f τ. Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 18 9

10 isposta nel tempo dell integratore (/) =1 kω, = 1 nf, V A = 1 V, f = 1 MHz 1.5V 1.V V -1.V -1.5V s.5us 1.us 1.5us.us V(E1:3) V(1:1) Time ostante di tempo:τ = 1µs; ampiezza della tensione di uscita: V A π f τ =.159 V. Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 19 ircuiti con più capacità e induttanze La relazione tensione-corrente per le capacità e le induttanze è espressa mediante una derivata (o un integrale) nel tempo: i= dv per la capacità e v= L di per l induttanza. Quindi, in generale, per risolvere un circuito contenente n elementi circuitali o L bisogna risolvere una equazione differenziale di ordine n rispetto al tempo t. Per evitare le complessità di calcolo, invece di ricavare la risposta nel dominio del tempo, si ricava la risposta nel dominio della frequenza. L operatore matematico che permette di passare dal dominio del tempo al dominio della frequenza (e viceversa) è la trasformata di Fourier. La definizione matematica della trasformata di Fourier e il suo uso nell analisi dei circuiti fanno parte del programma di Elettronica II. Elettronica I isposta dei circuiti e L nel dominio del tempo; derivatore e integratore p. 1