Soluzione! Ogni carica esercita sulle altre due cariche una forza uguale di modulo:!

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1 Forza di Coulomb Esercizi di Fisica II: La Forza Elettrica k Nm 2 C -2,e N -1 m -2 C 2,e C Principio di sovrapposizione degli effetti 1μC=10-6 C,1nC=10-9 C,1μC=10-12 C 1μm=10-6 m Esercizio 1: Tre cariche Tre cariche q1=q2=q3=q=24μc uniformi e uguali sono poste nel vuoto e vincolate ai vertici di un triangolo equilatero di lato L=1.5m. Determinare la forza elettrostatica agente sulle tre cariche e la somma totale delle forze elettrostatiche. Come cambierebbero le forze se il triangolo equilatero fosse messo in acqua con le cariche q1 e q2 leggermente sommerse? Soluzione Ogni carica esercita sulle altre due cariche una forza uguale di modulo: F =k q*q /L 2 = Nm 2 C -2 ( C) 2 / (1.5m) 2 = ( ) 2 / (1.5m) 2 N = 9 (24/1.5) N = (3 24/1.5) N = (48) N = N, ma diversa nella direzione: q1 su q2: F12 x = F, F12 y = 0, F12 z = 0, q1 su q3: F13 x = F sin(θ), F12 y = F cos(θ), F12 z = 0, q2 su q1: F21 x = - F, F21 y = 0, F21 z = 0,

2 q2 su q3: F23 x = - F sin(θ), F23 y = F cos(θ), F23 z = 0, q3 su q1: F31 x = - F sin(θ), F31 y = - F cos(θ), F31 z = 0, q3 su q2: F32 x = F sin(θ), F32 y = - F cos(θ), F32 z = 0, essendo θ=60 0, sin(θ)=0.866, cos(θ)=0.5 abbiamo: q1 su q2: F12 x = N, F12 y = 0, F12 z = 0, q1 su q3: F13 x = 1,995 N, F12 y = 1,152N, F12 z = 0, q2 su q1: F21 x = N, F21 y = 0, F21 z = 0, q2 su q3: F23 x = -1,995 N, F23 y = 1,152N, F23 z = 0, q3 su q1: F31 x = -1,995 N, F31 y = -1,152N, F31 z = 0, q3 su q2: F32 x = 1,995 N, F32 y = -1,152N, F32 z = 0, Con le cariche q1 e q2 immerse in acqua la forza tra q1 e q2 si ridurrebbe di un fattore pari alla costante dielettrica relativa dell acqua pari a e r (H 2 O)=80. L acqua e un fluido fortemente polare

3 Esercizio 2: quattro cariche Quattro cariche q1=q, q2=-q, q3=2q, q4=-2q con q=1μc sono tenute ferme ai vertici di un quadrato di lato L=15 cm rispettivamente in alto a sinistra, in alto a destra, in basso a sinistra ed in basso a destra. Determinare le componenti orizzontali e la componente verticale della forza elettrostatica agente sulla carica in basso a sinistra q3. Soluzione Le cariche q1,q2 e q4 esercitano sulla carica q3 una forza con modulo: - q1 su q3 con distanza r=l: F13 =k q*2q /r 2 =k q*2q /L 2 = Nm 2 C -2 2 (10-6 C) 2 / (0.15m) 2 = = 2 (3/0.15) N= 2 (20) N=0.8N. con componenti: F13 x = 0, F13 y = - F13 =-0.8N, F13 z = 0. - q2 su q3 con distanza r=sqrt(l 2 +L 2 )=sqrt(2)l=: F23 =k q*2q /r 2 =k q*2q / (2L 2 )= F13 /2=0.4N. con componenti (NB carica negativa di q2): F23 x = F23 y = F23 /sqrt(2) = F23 /1.4 =0.286N, F13 z = 0. - q4 su q3 con distanza r=l: F43 =k 2q*2q /r 2 = 2 F13 =1.6N. con componenti (NB carica negativa di q3): F43 x = F43 =1.6N, F43 y = 0, F43 z = 0. Quindi le componenti della forza agente su q4 sono: verticale: F3 y =F13 y + F23 y + F43 y = N=-0.514N, orizzontale: F3 x =F13 x + F23 x + F43 x = N=1.886N, F3 z =0.

4 Esercizio 3: Otto cariche Otto cariche eguali Q=6.5μC sono disposte sui vertici di un cubo di lato a=100μm. Determinare la forza elettrostatica agente su una delle otto cariche. Come cambierebbe la forza elettrostatica se le cariche avessero segno uguale se e solo non appartenessero allo stesso lato? Soluzione Le distanza tra cariche sono 3: - cariche sullo stesso lato: r=a, - cariche sulla diagonale di una faccia: r=sqrt(a 2 +a 2 )=sqrt(2)a=1.4a, - cariche sulla diagonale del cubo: r= sqrt(a 2 +a 2 +a 2 )=sqrt(3)a=1.73a. quindi anche le possibili intensità delle forze tra cariche sono 3: - F21 = F41 = F51 =kq 2 /a 2 = Nm 2 C -2 ( C) 2 /(10-4 m) 2 = (3 6.5) 2 N= (3 6.5) 2 N= N= N. - F31 = F61 = F81 = F21 /2= N due volte meno intensa. - F71 = F21 /3= N tre volte meno intensa. Le direzioni delle 7 forze sono tutte diverse (attenzione al segno relativo delle cariche): - Componenti cartesiane forza F21: F21x=0, F21y=- F21, F21z=0. - Componenti cartesiane forza F41: F41x=- F21, F41y=0, F41z=0. - Componenti cartesiane forza F51: F51x=0, F51y=0, F51z=- F21. - Componenti cartesiane forza F31: F31x= F31 cos(45 0 ), F31y= F31 sin(45 0 ), F31z=0. - Componenti cartesiane forza F61: F61x=0, F31y= F31 cos(45 0 ), F31z= F31 sin(45 0 ). - Componenti cartesiane forza F81: F81x= F31 cos(45 0 ), F31y=0, F31z= F31 sin(45 0 ).

5 - Componenti cartesiane forza F71: F71x= F71 /sqrt(3), F71y= F71 /sqrt(3), F71z= F71 /sqrt(3), dove 1/sqrt(3)=0.577 sono le componenti x,y,z del versore del vettore (a,a,a) di posizione della carica q1 che equivale al versore tra q1 e q6. Quindi la forza totale su q1 ha come componenti la somma delle componenti: Componenti cartesiane forza F1: - F1x=- F21 + F31 cos(45 0 )+ F31 cos(45 0 )+ F71 /sqrt(3), - F1y=- F21 + F31 sin(45 0 )+ F31 cos(45 0 )+ F71 /sqrt(3), - F1z=- F21 + F31 sin(45 0 )+ F31 sin(45 0 )+ F71 /sqrt(3), essendo sin(45 0 )=cos(45 0 )=0.7 otteniamo che le componenti cartesiane sono tutte uguali. F1x=F1y=F1z= N x0.7n x0.7n /1.73N= = N. La forza ha tutte componenti negative e quindi la carica 1 viene spinta verso il centro. Infatti le cariche positive sono piu vicine delle cariche negative e quindi la forza totale e attrattiva.

6 Esercizio 4: Una barretta ed una carica Una barretta sottile di materiale isolante lunga L=1.5cm e carica uniformemente con una quantità di carica pari a Q=3pC. Lungo la retta passante per la barretta e posta ad una distanza d=3mm dall estremità una carica puntiforme q=1nc. Determinare la forza agente sulla carica puntiforme. Quale sarebbe la forza elettrostatica agente sulla carica se la barretta avesse lunghezza infinita e la densità di carica si mantenesse la stessa? Soluzione La carica elementare dq della barretta elementare dx esercita una forza su q di modulo FdQ =k dq q/(l/2+d-x) 2 e componenti FdQ x= FdQ x, FdQ y=0, FdQ z=0. La forza totale si ottiene integrando la carica di tutta la barretta. dq=qdx/l, F =integrale FdQ con x che va da -L/2 a L/2. FdQ = Fdx =k qq /L[dx/(L/2+d-x) 2 ] F =k qq /L[-1/(L/2+d-x)] x=l/2 x=-l/2 F = k qq /L[-1/d+1/(L+d)]= k qq /(d(l+d))]=k q λl/(d(l+d))] F = Nm 2 C C 10-9 C/ (0.003m(0.003m+0.015m)) =9 3/(0.003( )) N=9/( ) 10-9 N =9/ N= N= N. Se L va all infinito λ=q/l si deve mantenere costante scriviamo la forza in funzione della densita di carica λ=q/l=3pc/1.5cm=2pc/cm= C/m. F = k qq /(d(l+d))]=k q λl/(d(l+d))] per L che va all infinito e possibile approssimare L+d L e quindi: F =k q λl/(d(l+d))] k q λ/d]= Nm 2 C C C/m/0.003m= N.

7 Esercizio 5: Forza elettrostatica e gravitazionale Due palline, con uguale massa m=10 g e carica q= C, sono appese a due fili di lunghezza L=12 cm con le cui altre due estremità sono vincolate in un punto. Calcolare la distanza tra le due palline all equilibrio tenendo conto della forza gravitazionale a cui sono soggette le palline e che l angolo formato dai fili e piccolo. Soluzione I fili essendo vincolati ad un estremo sono in grado di bilanciare qualsiasi forza agente sulle cariche q parallele al filo stesso. Quindi l equilibrio si ottiene quando le componenti della forza gravitazionale ed elettrostatica si bilanciano nella direzione ortogonale ai fili per entrambe le cariche. La forza di gravità vale G=mg ed e diretta lungo la verticale con componenti Gx=0,Gy=mg,Gz=0. La componente ortogonale al filo e data da Gperp=Gsin(θ). La forza elettrostatica vale E=kq 2 /x 2 ed e orizzontale con componenti Ex=kq 2 /x 2,Ey=0,Ez=0. La componente ortogonale al filo e data da Eperp=Esin(π/2-θ)=Ecos(θ). Quindi la condizione di equilibrio è: Eperp=Gperp kq 2 /x 2 cos(θ) = mg sin(θ), kq 2 /x 2 = mg tg(θ)

8 Essendo tg(θ) tg(θ) (x/2)/l. kq 2 /x 2 mg (x/2)/l x 3 2Lkq 2 /(mg) x =(2Lkq 2 /(mg)) 1/3 = [2x0.12m x Nm 2 C -2 ( C) 2 /(0.01kg 9.8m/s-2)] 1/3 =[2x0.12m x Nm 2 C -2 ( C) 2 /(0.01x9.8N)] 1/3 =[2x0.12x ( ) 2 /(0.01x9.8)m 3 ] 1/3 =[2x1.2x /(9.8)m 3 ] 1/3 =[2.4x /(9.8)m 3 ] 1/3 =[ /(9.8)m 3 ] 1/3 = =[0.9/9.8] 1/3 2.4/10m=0.108m=10.8cm