M.T., M.T.T. Appunti di Fisica per Scienze Biologiche Vers /09/2005

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1 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 L Elettostatica costituenti elementai della mateia possiedono, olte alla massa, la caica elettica La caica elettica si misua in oulomb () ed il valoe più piccolo finoa ossevato è la caica dell elettone pai a q e 6 9 n natua esistono copi dotati di caica elettica positiva, alti negativa, alti ancoa nulla (in ogni caso la caica è un multiplo inteo della caica dell elettone) Foza di oulomb: un copo puntifome dotato di caica elettica q esecita su un secondo copo puntifome dotato di caica elettica q una foza d intensità: F q q dove 4 πε è la distanza ta i copi mente ε 886 è la costante N m dielettica del vuoto E utile icodae anche 9 l espessione 898 N m A F q q F F F q q La foza si esecita lungo la diezione che unisce i due copi e pe il Tezo Pincipio della Dinamica Fig Esempi di foza di oulomb: A - caiche dello stesso segno si espingono, - caiche di segno opposto si attaggono il secondo copo esecita sul pimo una foza di pai intensità, stessa diezione ma veso opposto copi dotati di caica elettica dello stesso segno esecitano l uno sull alto una foza epulsiva, mente i copi dotati di caica di segno opposto esecitano l uno sull alto una foza attattiva Pe esempio, nel caso A ipotato in figua le due caiche hanno lo stesso segno e la caica q esecita sulla caica q la foza epulsiva F mente q esecita su q la foza anch essa epulsiva F F Nel caso le due caiche hanno segno opposto ed esecitano l una sull alta una foza attattiva ed anche in questo caso vale F F La foza elettostatica agisce a distanza Possiamo quindi immaginae che una qualunque caica elettica estenda la sua pesenza al volume che la ciconda E come se 6

2 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 la singola caica elettica posta nel punto P avesse egistato in tutti gli alti punti dell Univeso l infomazione della sua pesenza in P Non appena una seconda caica q viene ad occupae un punto del volume questa pesenza si manifesta sotto foma di q una foza agente sulla caica q pai a F Pe descivee questa pesenza utilizziamo la gandezza vettoiale campo elettico E definito come caso di una caica puntifome il campo elettico ha le seguenti popietà: F E Nel q - è dietto adialmente veso la caica che lo ha geneato se <, oppue è dietto in diezione opposta se >, ed - il suo modulo in un punto distante vale E l campo elettico viene misuato in N/ oppue Volt/meto (V/m ) n geneale pe calcolae la foza esecitata da una distibuzione qualunque di caiche su una caica q posta in un punto P è sufficiente calcolae il valoe del campo elettostatico E come somma vettoiale dei campi elettici geneati dalle singole caiche della distibuzione nel punto P (Pincipio di sovapposizione) e icavae la foza elettostatica moltiplicando il valoe del campo pe q: F qe E possibile appesentae gaficamente la pesenza nello spazio del campo elettico mediante la tacciatua di linee, dette linee di campo, con la condizione che in ogni punto dello spazio il campo elettico sia tangente alla linea di campo che passa pe quel punto La maggioe E E densità di linee coisponde ad una maggioe intensità del campo elettico Fig Linee di campo e campo elettico Non è possibile che due linee di campo si intesechino Le linee di campo sono uscenti dalle caiche positive ed entanti veso quelle negative 64

3 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 l dipolo elettico è fomato da due caiche puntifomi q di segno opposto e mantenute alla distanza fissa d La foma del campo elettico, ipotata in figua, è adiale vicino alle singole caiche come nel caso di una caica puntifome libea, mente q P allontanandosi dalle caiche le linee di campo q isentono della pesenza dell alta caica e piegano in modo tale che ogni linea che pate dalla caica q finisce sulla caica q lo descive è il momento di dipolo La gandezza vettoiale che Fig ampo elettico geneato da un dipolo P qd oientato come in figua l valoe del campo elettico geneato dal dipolo si può calcolae in ogni punto dello spazio come somma dei campi geneati dalle singole caiche E E q + E Se un dipolo elettico si tova immeso in un campo elettico esteno unifome la caica positiva isentià di una foza uguale ma di veso opposto alla foza che subisce la caica negativa (la positiva isentià di una foza F + qeest e quella negativa di una foza F qeest ) L'insieme di queste due foze uguali e contaie (coppia di foze) tendeà a fa uotae il dipolo Si dice che un dipolo immeso in un campo esteno subisce un q momento meccanico di otazione di intensità pai a M sinα dove α è l'angolo PE est fomato ta la diezione del vettoe momento di dipolo P e la diezione del campo elettico esteno l dipolo elettico è una buona appossimazione del compotamento di molte molecole (esempio H O) che pesentano una distibuzione di caiche positive e negative n condizioni nomali i dipoli delle singole molecole sono oientati in modo casuale, petanto la E est somma vettoiale dei loo campi elettici è nulla, mente in pesenza di un campo elettico esteno 65 Fig 4 Polaizzazione dei dipoli molecolai in pesenza di un campo elettico esteno

4 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 E est gli stessi uotano in modo da oientae P paallelamente al campo E est, n questo modo il campo elettico all inteno del mateiale isulta essee la somma vettoiale del campo geneato da ciascun dipolo (adesso tutti oientati nello stesso veso) e del campo elettico esteno e petanto isulteà minoe di E est Mateiali che si compotano in questo modo vengono detti dielettici e le loo popietà elettiche vengono descitte mediante la costante dielettica elativa ε sempe maggioe di Si può dimostae che l intensità del campo elettico esteno E est assume all inteno del dielettico il valoe (minoe di E est ) E est La foza elettostatica è consevativa e petanto è possibile definie l enegia potenziale U che pe la foza di oulomb vale: ( ) E ε qq n paticolae l enegia U potenziale pe un dipolo in pesenza di un campo esteno E est è U P Eest Analogamente alla elazione F qe che lega il campo elettico alla foza elettostatica, è possibile scivee la elazione U qv che lega l enegia potenziale U al potenziale elettico V uesta gandezza fisica scalae ha come unità di misua nel sistema S il Volt ( V J/ ) e petanto il campo elettico si può misuae in V/m Nel caso di una caica puntifome vale la elazione V ( ) mente pe configuazioni più complicate imandiamo alla tabella successiva Al pai del campo elettico, il potenziale elettostatico è definito in tutti i punti dello spazio e dipende dalle caiche elettiche pesenti e può essee calcolato con il pincipio di sovapposizione mente E i V E i V i i Si ossevi che questa è una somma di gandezze scalai, è una somma vettoiale ed il calcolo è più complicato Pe questa agione, pe calcolae il campo elettico geneato da una distibuzione di caiche, è conveniente calcolae pima il potenziale elettico mediante la somma di gandezze 66

5 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 scalai V e successivamente calcolae E mediante la elazione i V i E x dv che dx lega ciascuna delle te componenti del campo elettico al potenziale elettico Pe calcolae il lavoo fatto dalla foza elettostatica basta icodae che pe foze consevative vale L U Pe calcolae la vaiazione dell enegia potenziale U pe una caica che si muove da un punto x ad un punto x è quindi sufficiente valutae l espessione U qv[ ( x ) V ( )] dove ( x ) x V è il potenziale elettico geneato dalle alte caiche pesenti La caica q in pesenza di un potenziale elettico V acquista quindi un enegia potenziale punto dove U assume il valoe minimo U qv e, se lasciata libea, tendeà a muovesi veso il 67

6 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 Patendo dalla legge di oulomb ed utilizzando il teoema di Gauss è possibile calcolae il campo elettico geneato da una qualunque configuazione di caiche Nella tabella seguente sono ipotati alcuni casi paticolai onfiguazione ampo elettostatico Potenziale elettostatico punti- caica fome dipolo componente lungo l asse // dipolo componente lungo l asse p qd momento di dipolo ( m ) E il campo è adiale p ( y x ) 5 ( ) E x 4 + V ( ) V ( ) πε 4 p cosθ V (, θ ) πε x y πε pxy E y 4 + ( ) 5 x y sfea unifomemente caica di aggio ρ densità di caica ( /m ) 4 π ρ caica totale E E ρ ε ρ ε > il campo è adiale ispetto al cento della sfea ρ V ( ) ε ρ V ( ) ε V ( ) > supeficie sfeica unifomemente caica σ densità supeficiale di caica ( /m ) 4π σ caica totale E E σ ε > il campo è adiale ispetto al cento della sfea σ V ( ) ε σ V ( ) ε V ( ) πε 4 > filo infinito unifomemente caico λ densità lineae di caica (/m ) E λ il campo è adiale al πε filo λ V ( ) ln πε anello di aggio unifomemente caico, in un punto dell asse E qz ( z + ) l campo è dietto lungo l asse q V ( z ) z + piano infinito unifomemente caico σ densità supeficiale di caica ( /m ) σ il campo è E ε pependicolae al piano ( ) V d V () σ ε d 68

7 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 Esempi Modello dell'atomo di oh Un elettone di massa m 9 kg e caica 9 q 6 uota attono al nucleo atomico, costituito nel caso dell idogeno da un e singolo potone Sapendo che pecoe una ciconfeenza di aggio 5 m e che la caica del potone è q p + 6 9, calcolae: a) la foza elettostatica fa elettone e potone; b) il potenziale geneato dal potone alla distanza a cui si tova l'elettone; c) la velocità obitale con cui l'elettone pecoe la ciconfeenza; d) l'enegia totale posseduta dall'elettone Soluzione: a) Dalla legge di oulomb si ottiene qeqp F 8 8 e N b) Dalla definizione di potenziale pe una caica puntifome V ( ) + 7V c) L'elettone, sotto l'azione della foza elettostatica, pecoe una ciconfeenza di aggio, pe cui occoeà collegae tamite il Secondo Pincipio della Dinamica la foza v elettostatica all acceleazione centipeta, ottenendo F e m da cui si ottiene 6 v m/s d) L'enegia totale è la somma dell'enegia cinetica K e dell'enegia potenziale U : 8 K mv 7 qv 45 J 8 ( ) ( ) J U e Petanto E tot K + U 8 8 J -6eV dove si è espesso il isultato utilizzando l'unità di misua elettonvolt, definita come l'enegia acquistata da un elettone quando attavesa la diffeenza di potenziale di un Volt: 9 ev 6 J Si noti che nel isultato ottenuto E <, in geneale questo indica uno stato legato, in alte tot paole, indica che la configuazione è stabile ed è necessaio fonie enegia pe pota via l'elettone (enegia di ionizzazione) e q p Una caica puntifome q 5 µ è fissata nell'oigine ed una seconda caica q µ è posta sull'asse x, ad una distanza d m, come in figua 5 alcolae: a) il campo elettico in un punto P, sull'asse y, a una distanza di 4 m dall'oigine; θ b) il potenziale nel punto P ; c) il lavoo ichiesto pe potae una teza caica puntifome q q y P x 69 Fig 5 Poblema

8 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 q 4µ dall'infinito al punto P ; d) la foza elettostatica che agisce su q posta in P ; e) l'enegia potenziale totale del sistema costituito dalle te caiche nella configuazione finale Soluzione: a) l campo elettico è la somma vettoiale dei campi elettici geneati dalle due caiche Pe semplicità conviene calcolae le due componenti E x ed E y q µ Ex cosθ 4V/m ( 4 ) m P 4π N m q q Ey + sinθ P P 5µ µ 4 V/m m ( 4 ) m 4 π + + N m petanto il campo elettico E avà modulo E E x + E 7V/m e diezione ispetto y Ey all'asse x data da ϑ actg 79 Ex b) l potenziale è la somma dei potenziali geneati dalle singole caiche V P V + V q 5µ V kv P 4π 886 4m N m q µ V 6kV P π 4 + m N m da cui V kv 6kV 76kV P c) l lavoo è dato da L U U U q ( V V ) 4µ ( 76kV kv) 4mJ L U L U P P 4 mj è il lavoo fatto dalla foza elettica 4mJ è il lavoo fatto conto la foza elettica d) onoscendo il campo elettico possiamo icavae la foza elettostatica 6 F q E 4 7V/m 9 N, stessa diezione e veso del campo elettico e) l modo miglioe pe calcolae l enegia potenziale è di costuila immaginando di potae al popio posto da un punto all infinito le te caiche una alla volta, patendo da una situazione iniziale piva di caiche elettiche U : q non isente di alcun potenziale elettico; qq U qv ( ) : q isente solo della pesenza di q U qv q q ( ) ( ) + + qv q q : q isente della pesenza di q e q Da cui: 7

9 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 U U + U + U 4π 886 N m 5µ m ( µ ) 5µ 4µ + 4m + µ 4µ 6mJ 4 + m Una lamina estesa non conduttice è caicata con una densità supeficiale di caica σ + 6 /m Una piccola sfea di massa 5 m g e caica q è tenuta in un punto A, alla distanza a cm dalla lamina alcolae: a) il campo elettico geneato nello spazio cicostante dalla distibuzione piana di caica; b) la foza che agisce sulla sfeetta Se la sfeetta viene lasciata libea di muovesi, con velocità iniziale v A, calcolae: c) il lavoo fatto dalla foza elettica quando la sfeetta si sposta dal punto A fino a un punto con b 4cm; d) la velocità con cui la sfeetta passa pe il punto Soluzione: a) Un piano infinito caicato unifomemente genea nello spazio cicostante un campo elettico otogonale alla lamina costante (indipendente dalla distanza dal piano) di modulo 6 σ E N/ uscente dalla lamina ( σ > ) ε 885 b) onoscendo il campo elettico, possiamo deteminae la foza che agisce sulla sfeetta: F qe N c) Possiamo calcolae il lavoo come diffeenza di enegia potenziale fa i due punti, espimendo questa attaveso il potenziale: σ LA UA U qv ( A V ) q ( a b) 6 J ε d) Applichiamo il teoema lavoo enegia cinetica: v A, si icava v m/s L A mv mv e icodando che A + σ A Fig 6 Poblema 7

10 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 La apacità Elettica mmaginiamo una sfea metallica di aggio in cui è stata depositata una ceta caica costituita da un ceto numeo di potatoi di caica (pe esempio elettoni) uesti esecitano l uno sull alto una foza elettostatica epulsiva, e potendosi muovee solo all inteno del conduttoe si dispongono sulla supeficie della sfea in modo tale da idue al minimo le foze esecitate Si può dimostae con il Teoema di Gauss che in questa configuazione il campo elettostatico all inteno del conduttoe è nullo e tutti i punti della supeficie sono allo stesso potenziale V Si ossevi che pe la sfea metallica il appoto non dipende dalla caica V depositata ma solo dalla geometia del conduttoe uesta popietà è geneale e possiamo definie il appoto capacità elet- V tica Nel sistema S la capacità si misua in Faad (F) Si chiama condensatoe il sistema fomato da due conduttoi (detti amatue del condensatoe) posti molto vicini uno di fonte all'alto Se si pone una caica + su una delle amatue, pe il fenomeno dell'induzione elettostatica, sull'alta amatua vengono indotte caiche di segno opposto pai a e ta le due amatue si stabilisce una diffeenza di potenziale V V V Si definisce capacità di un condensatoe il appoto talvolta, pe semplicità, si indica solo con V la diffeenza di potenziale ta le amatue Un tipo di condensatoe di uso comune è il condensatoe a facce piane paallele dove due supefici conduttici di foma identica e supeficie S sono affacciate l un l alta ad una distanza d n questo caso è possibile dimostae che la capacità vale S ε e che il campo elettico all inteno del volume del condensatoe è costante d 7

11 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 in ogni punto e vale V E d l volume delimitato dalle amatue del condensatoe contibuisce al valoe della capacità, infatti inseendo un mateiale dielettico con una costante dielettica elativa ε la capacità diventa S ε ε d E possibile inolte dimostae che pe depositae la caica sulla supeficie di un condensatoe è necessaio fae un lavoo pai a L V L enegia è accumulata nel volume del condensatoe e può essee iutilizzata pemettendo la scaica del condensatoe attaveso un conduttoe collegato veso massa n cicuiti elettici complessi si dice che due condensatoi e sono in seie, quando sulle amatue hanno la stessa caica e petanto la diffeenza di potenziale elettico saà data pe i singoli condensatoi da V i i, mente si dice che sono in paallelo quando ta le loo amatue esiste la stessa diffeenza di potenziale V e petanto la caica indotta sulle amatue dei singoli condensatoi saà data da i i E possibile dimostae (vedi esempi) che due o più condensatoi in seie sono equivalenti ad un condensatoe il cui valoe è dato da S i i mente più condensatoi in paallelo sono equivalenti ad un condensatoe il cui valoe è dato da // i i uesto significa che sostituendo in un cicuito un guppo di condensatoi con il loo condensatoe equivalente, le pestazioni del cicuito non cambiano, cioè applicando al cicuito di patenza ed al condensatoe equivalente la stessa diffeenza di tensione V viene indotta la stessa caica elettica 7

12 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 Esempi Veificae la fomula dell enegia accumulata in un condensatoe a facce piane paallele Soluzione: è necessaio patie dal condensatoe completamente scaico e caicalo lentamente spostando di volta in volta caiche δ q molto piccole (pe esempio elettoni) dall amatua all amatua aumentando così la caica positiva stessa quantità la caica negativa + q sull amatua e della q sull amatua fino al aggiungimento del valoe finale l lavoo pe potae la pima caica è ovviamente nullo, ma pe tutte le alte occoe oa supeae la diffeenza di potenziale V q geneata dalle caiche q pecedentemente spostate Pe falo è necessaio compiee il lavoo δl δq ovveo δ L δq q Pe tovae il lavoo totale è sufficiente a questo punto sommae tutti i lavoi individuali L δ L δq q l modo più dietto pe effettuae il calcolo è tasfomae la somma in un integale di cui è nota la pimitiva L qdq q alcolae la capacità equivalente di due condensatoi in seie Soluzione: occoe tovae il valoe della capacità sulla quale viene indotta la stessa caica una volta che viene applicato la stessa diffeenza di potenziale V cioè asta quindi ossevae che poiché due amatue sono collegate ta loo ma isolate dal esto del cicuito la caica indotta deve essee la stessa pe i due condensatoi, inolte deve valee V + : Fig 7 Poblema alcolae la capacità equivalente di due condensatoi in paallelo Soluzione: occoe tovae il valoe della capacità sulla quale viene indotta la stessa caica una volta che viene applicato la stessa diffeenza di potenziale V cioè asta quindi ossevae che le amatue dei due condensatoi che sono collegate ta loo sono allo stesso potenziale (se così non fosse ci saebbe uno spostamento di caiche dall una all alta amatua fino all annullamento di tale diffeenza) e che la caica totale indotta è pai alla somma + : Fig 8 Poblema 74

13 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 4 Due condensatoi di capacità pf e 5pF sono collegati in seie e fa le amatue esteme viene applicata una ddp di V alcolae: a) la capacità equivalente; b) la caica elettica totale c) la ddp ta le amatue di ciascun condensatoe; d) l enegia totale immagazzinata nei due condensatoi Soluzione: a) due condensatoi sono in seie, quindi + eq + 875pF pf 5pF eq b) La caica elettica totale è data da V 875pF 875n eq c) Poiché i due condensatoi sono in seie la caica indotta è la stessa e pai alla caica totale, 875n 875n petanto 65V e 75V pf 5pF d) L enegia immagazzinata è data da E ( 875n) eq 875pF 4 5 Una goccia di olio caica e di massa m 5 g si tova fa le due amatue di un condensatoe a facce piane e paallele oizzontali distanti J d 5cm e di aea A cm Si osseva che la goccia è in equilibio quando l'amatua supeioe possiede 7 una caica q 4 e quella infeioe una caica uguale ed opposta alcolae: a) la capacità del condensatoe; b) il valoe del campo elettico all'inteno del condensatoe; c) la caica elettica sulla goccia Soluzione: S a) La capacità è data dalla fomula ε da cui d 4 m F 6pF N m 5 m V q b) l campo è dato semplicemente da E d d 6pF m c) La caica elettica sulla goccia deve giustificae l equilibio fa foza peso e foza elettostatica mg +E da cui si ottiene: V m mg mgd 5 kg 98m/s 7 7 E q 4 6pF 5 m p 75

14 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 La oente Elettica n natua esistono dei mateiali detti conduttoi che contengono elettoni che possono spostasi abbastanza libeamente al popio inteno Esempi tipici sono i metalli ed in paticolae il ame, l alluminio, l agento e l oo n geneale se fa due punti di un conduttoe esiste una diffeenza di potenziale elettico V, una pate degli elettoni del conduttoe inizia a spostasi veso il punto d enegia potenziale maggioe (gli elettoni hanno caica elettica negativa) Si instaua in questo modo un passaggio di caiche nel tempo pe cui, pe un flusso constante nel tempo, possiamo definie la coente elettica come la quantità di caica che fluisce nell unità di tempo La coente elettica nel sistema S viene misuata in Ampee (A) uesto t movimento si mantiene pe tutto il tempo in cui esiste una diffeenza di potenziale V e la coente isulta popozionale a V Si chiamano conduttoi ohmici quelli pe cui questa popozionalità è lineae e possiamo die che oppongono una esistenza costante al movimento delle caiche descitto dalle due Leggi di Ohm V e l ρ essendo l la lunghezza del conduttoe, S la sezione e ρ la esistività S popia di ogni mateiale uesto significa che pe fa scoee una coente è necessaio mantenee una diffeenza di potenziale V ai due estemi del conduttoe e se vogliamo fa vaiae di un fattoe k la coente dobbiamo vaiae dello stesso fattoe la diffeenza di potenziale uesta legge ci dice altesì che: se osseviamo un passaggio di coente attaveso un conduttoe si può affemae che agli estemi dello stesso è pesente una diffeenza di potenziale elettico Nel sistema S la esistenza si misua in Ohm ( Ω ) echiamo di compendee più a fondo questo fenomeno: in un intevallo di tempo t attaveso la esistenza passeà una caica totale pai in modulo a t e poiché ai due estemi della esistenza è pesente una diffeenza di potenziale V i 76

15 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 potatoi di caica elettica (pe esempio gli elettoni) subianno una vaiazione di enegia potenziale pai a U Pe il teoema della consevazione dell enegia avemo che K + U Lnc dove nc L è il lavoo (negativo) fatto dalla esistenza nell opposi al passaggio della coente elettica Poiché in un conduttoe gli elettoni si muovono con velocità cica costante e petanto non subiscono una vaiazione di enegia cinetica, avemo che il lavoo speso pe fa passae una coente in un intevallo di tempo t è pai a U t La potenza dissipata è petanto L nc P Lnc (Effetto Joule) n un conduttoe ohmico vale anche t P Poiché deve valee U <, le caiche positive si muovono dal punto di potenziale elettico maggioe a quello di potenziale elettico minoe, mente quelle negative si muovono in senso opposto l cicuito elettico più semplice è quello appe- sentato in figua 9, ed è costituito da un conduttoe con esistenza e da una foza f + elettomotice f costante nel tempo (pe esempio una pila) Pe semplicità si consideano i tatti ettilinei del cicuito a esistenza nulla pe Fig 9 icuito elettico elementae cui vengono pecosi dalla coente elettica senza pedita di enegia Si noti che punti appatenenti alla stessa linea etta si tovano allo stesso potenziale mente la diffeenza di potenziale ta punti posti agli estemi della esistenza vale V n queste condizioni nel cicuito scoe una coente f data dalla legge di Ohm n cicuiti elettici più complessi si dice che due esistenze e sono in seie quando sono attavesate dalla stessa coente e la diffeenza di potenziale pe le singole esistenze saà data da V mente si dice che sono in paallelo quando i i ai loo capi esiste la stessa diffeenza di potenziale V e petanto la coente che attavesa le singole esistenze è data da i E possibile dimostae (vedi i 77

16 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 esempi) che due o più esistenze in seie sono equivalenti ad una esistenza il cui valoe è dato da mente più esistenze in paallelo sono equivalenti ad una S i i esistenza il cui valoe è dato da // i i uesto significa che sostituendo in un cicuito un guppo di esistenze con la loo esistenza equivalente, le pestazioni del cicuito non cambiano, cioè applicando al cicuito di patenza ed alla esistenza equivalente la stessa diffeenza di tensione si osseva il passaggio della stessa coente 78

17 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 Esempi alcolae la esistenza equivalente di due esistenze in seie Soluzione: occoe tovae il valoe della esistenza attaveso la quale scoe la stessa coente una volta che viene applicato la stessa diffeenza di potenziale V cioè asta quindi ossevae che V + ed applicae la legge di Ohm alle singole esistenze: Fig 4 Poblema alcolae la esistenza equivalente di due esistenze in paallelo Soluzione: occoe tovae il valoe della esistenza attaveso la quale scoe la stessa coente una volta che viene applicato la stessa diffeenza di potenziale V cioè asta quindi ossevae che + ed applicae la legge di Ohm alle singole esistenze: Fig 4 Poblema Descivee il funzionamento del cicuito ipotato in figua 4 Soluzione: anzitutto osseviamo che la foza elettomotice f genea ta i punti e 6 una diffeenza di potenziale V V6 e che nel cicuito cicola la coente Tutti i punti ta e si tovano allo stesso potenziale V l punto invece si V V a tova ad un potenziale minoe pai a seguito della caduta di potenziale V V, ed allo stesso potenziale si tovano tutti i punti ta e 4 l punto 5 si tova ad un potenziale ancoa minoe pai a V V e poiché questo è il potenziale di tutti i 5 4 V punti compesi ta 5 e 6 si ottiene apidamente la V V da cui seguente elazione 6 V f 6 5 Fig 4 Poblema 4 f V V

18 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 4 Dato il cicuito ipotato in figua 4 con f 5V, Ω, 4 Ω e Ω calcolae: a) la esistenza equivalente del cicuito; b) la coente che fluisce nella esistenza ; c) la potenza eogata dalla batteia Soluzione: a) Pe calcolae la esistenza equivalente basta ossevae che, e 4 sono in paallelo e che petanto possono essee sostituite da un unica esistenza // // ottiene + // Ω da cui si 4 Ω l cicuito può essee oa schematizzato come mostato nella figua qui a fianco da cui si vede che e // sono attavesate dalla stessa coente Sono petanto in seie e possono essee sostituite da un unica esistenza equivalente S + // 4 4 Ω b) Pe calcolae la coente che attavesa la esistenza basta ossevae che la coente che attavesa è la stessa che attavesa S ed applicae la legge di Ohm al cicuito equivalente: f 4 A che coisponde anche alla coente che attavesa la batteia S 4 c) Possiamo adesso calcolae la potenza eogata dalla batteia P f 4A 5V 57 W Si noti che la potenza eogata dalla batteia viene dissipata pe effetto Joule nelle quatto esistenze del cicuito, infatti P ( 4A) 44Ω 57 W Joule S f Fig 4 Poblema 4 f Fig 44 Poblema 4 4 // 8

19 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 5 Si chiamano cicuiti quei cicuiti che, olte a contenee delle esistenze, contengono anche dei condensatoi Nel cicuito appesentato in figua 45 pe esempio, quando viene collegata la batteia, la coente, dopo ave pecoso le esistenze ed, aiva al nodo a, dove si divide in due pati, una pate fluisce nel amo del cicuito dove c'è la esistenza e un'alta pate nel amo di desta dove c'è il condensatoe di capacità A questo punto, il condensatoe, inizialmente scaico, inizia a caicasi immagazzinando caiche sulle sue amatue e facendo quindi diminuie la coente che fluisce nel amo del cicuito dove c'è il condensatoe Si dice che il cicuito è in egime stazionaio quando il condensatoe è a completamente caico e nel amo dove c'è il condensatoe la coente si è idotta a zeo on Fig 45 Poblema 5 ifeimento al cicuito appesentato in figua si assuma f 5V, Ω, Ω, 5Ω, µ F n condizioni stazionaie, si calcoli: a) la coente che fluisce attaveso la batteia; b) la caica sulle amatue del condensatoe; c) l enegia immagazzinata nel condensatoe f Soluzione: n condizioni stazionaie nel amo di desta del cicuito, quello che contiene il condensatoe, non passa più coente, quindi al nodo a la coente poveniente da fluià tutta in Petanto, a egime, il cicuito è equivalente a te esistenze in seie collegate ad una batteia ( + eq + 5Ω ) f a) Pe deteminae la coente basta applicae la legge di Ohm 4mA b) Pe calcolae la caica sulle amatue del condensatoe possiamo deteminae la diffeenza di potenziale ta le sue amatue e icodae la definizione di capacità dove V è la diffeenza di potenziale ai capi del condensatoe Dalla configuazione del nosto cicuito, si vede che il condensatoe è messo in paallelo alla esistenza, pe cui dovà essee: 6 V 4A Ω 86V e quindi 86 c) Pe calcolae l'enegia immagazzinata nel condensatoe, occoe icodae che E V 4 J eq 8

20 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 l Magnetismo n elettostatica abbiamo visto che una caica q fema, genea nello spazio un campo elettico E il cui modulo è popozionale a q, in gado di esecitae una foza elettostatica su alte caiche Analogamente una coente elettica genea nello spazio un campo magnetico in gado di esecitae una foza su alte caiche elettiche in movimento L intensità del campo viene misuata nel sistema S in Tesla (T ) n analogia al campo elettico possiamo appesentae il campo mediante vettoi tangenti alle linee di campo Si può dimostae che le linee del campo, divesamente da E, sono sempe linee chiuse Filo ettilineo infinito: si può dimostae che in questo caso al passaggio di una coente viene indotto un campo la cui intensità è legata alla distanza dal filo mediante la legge di Ampee µ dove la costante µ è la pemeabilità π 7 magnetica del vuoto e vale µ 4 T m π A n questo caso le linee di campo sono delle Fig 46 ampo magnetico geneato da un filo ettilineo infinito pecoso da coente ciconfeenze di aggio con cento sul filo e poste su un piano pependicolae alla diezione del filo stesso mente la diezione di in ogni punto è tangente alla ciconfeenza La diezione del campo si può icavae mediante l uso della mano desta: tenendo la mano desta apeta con il pollice ivolto nella stessa diezione della coente si chiudano le alte quatto dita a pugno; il movimento di chiusua della mano indica la diezione d oientamento del campo magnetico 8

21 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 Solenoide: è costituito da un filo avvolto a spiale attono ad un cilindo cavo di sezione S Pe un solenoide ideale (tale che la sua lunghezza L sia molto maggioe del diameto del solenoide) si genea in ogni punto all inteno del volume cilindico un campo magnetico d intensità unifome pai a µ n, dove Fig 47 Solenoide N n è il numeo di spie pe unità di lunghezza L La diezione del campo si ottiene usando la egola della mano desta: chiudendo le quatto dita della mano desta con un movimento uguale a quello della coente nelle spie del solenoide il pollice indica la diezione del campo magnetico n questo caso le linee di campo all inteno del solenoide sono paallele all asse dello stesso Foza di Loentz: una caica elettica q in movimento con velocità v in un campo magnetico è soggetta ad una foza pai a F qv L intensità della foza è data dal podotto F qv sinϑ dove ϑ è l angolo fomato fa la velocità della caica ed il campo magnetico pe cui l intensità è massima quando la caica elettica si muove pependicolamente al campo ed è nulla quando si muove paallelamente La diezione è pependicolae al piano individuato dai vettoi v e Petanto se i due vettoi sono pependicolai ta loo e è costante, il moto saà cicolae unifome Foza su un filo pecoso da coente: Un filo ettilineo di lunghezza l pecoso da coente immeso in un campo magnetico subisce una foza pai a F l d F l Foza fa due fili paalleli pecosi da coente: sia d la distanza ta i due fili, la coente del pimo filo genea un campo Fig 48 Foza esecitata ta due fili ettilinei pecosi da coente 8

22 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 µ magnetico che esecita su un tatto l del secondo filo una foza pai a π d F l oientata come in figua 48 ed il cui modulo, secondo la legge di Ampee, vale F µ l π d l isultato del podotto vettoiale è tale pe cui la foza è attattiva se il veso delle due coenti è concode come in figua 48 e epulsiva in caso contaio nolte pe il Tezo Pincipio della Dinamica sul pimo filo agisce una foza F di pai intensità e diezione opposta di modo tale che F e F siano entambe attattive o epulsive 84

23 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 Esempi 9 7 Un potone ( q + 6 e m 67 kg) si muove con una velocità 6 v 8 m/s lungo la diezione positiva dell'asse x ed enta in una egione di spazio dove è pesente un campo magnetico 5T dietto nel veso positivo dell'asse y alcolae: a) intensità e diezione della foza di deflessione che agisce sul potone; b) il aggio della taiettoia cicolae pecosa dal potone e la fequenza del moto; c) la coente che dovebbe pecoee un solenoide di lunghezza l 5cm, fomato da spie, pe geneae un campo 5T Soluzione: a) l potone è soggetto alla foza di Loentz la cui intensità vale F qv sin ϑ, da cui 9 6 F 6 8 m/s 5T N con diezione positiva lungo l asse z b) Pe icavae il aggio basta consideae che, in questo caso, la foza centipeta del moto mv cicolae unifome è data dalla foza di Loentz, petanto sin 9 si può icavae il aggio della ciconfeenza: mv 4cm q qv sin ϑ e icodando che La fequenza del moto, ovveo l inveso del peiodo, si può icavae icodando che il peiodo è il tempo necessaio pe fae un gio completo: mv π π q πm 8 T 6 s da cui f 8 7 Hz v v q T 5T c) La coente del solenoide è data da A µ 7 4 T m n π A 5m on un lungo filo di ame (esistività ρ 7 8 Ωm ) di lunghezza l 5m e sezione S 5mm si ealizza un solenoide, fomato da N spie, lungo L 4cm Se il solenoide è collegato ad una batteia di V, calcolae: a) la coente che pecoe il solenoide; b) l'enegia dissipata pe effetto Joule in t s; c) il campo magnetico all'inteno del solenoide Soluzione: l 8 5m a) alcoliamo la esistenza del filo ρ 7 Ωm 6 5 Ω Nota al S 5 m V esistenza la coente si icava dalla legge di Ohm 5A 5Ω b) E t V 5A s 564J 7 c) µ n 4π Tm/A 5A 74 T 4m 85

24 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 n un filo ettilineo infinito scoe una coente 5A mente in un secondo filo paallelo al pimo e distante d cm, scoe in diezione opposta una coente A alcolae il vettoe induzione magnetica in un punto posto a metà ta i due fili e la foza che viene esecitata su un elettone che passa in quel punto con velocità v 9 c, paallela ad specificando veso quale dei due fili si muoveà l elettone Soluzione: Nel punto intemedio il campo è oientato lungo y ed è dato dalla somma dei campi podotti dalle due coenti µ µ + + Petanto π d π d z 7 4π Tm/A 5A + A 6 7 T π m y L elettone è soggetto alla foza di Loentz F qv Poiché v è dietta lungo z > e è x dietto lungo y >, tenendo conto del segno negativo della caica dell elettone, la foza saà dietta lungo Fig 49 Poblema x <, mente l intensità è data da 8 6 F qv sin ϑ 6 9 m/s 6 T sin d N 86

25 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 L nduzione Magnetica Pe intodue il fenomeno dell nduzione Magnetica occoe ave ben chiao il concetto di flusso di un vettoe attaveso una supeficie onsideiamo una supeficie di aea S delimitata da un filo chiuso su se stesso (il caso più semplice S ϑ può essee un cechio delimitato dalla Fig 5 Flusso del campo magnetico ciconfeenza), l oientamento della supeficie può essee dato da un vettoe S pependicolae alla supeficie e di modulo pai a S egola della mano desta: con il pollice ivolto paallelo ad S il movimento di chiusua a pugno del palmo della mano fissa il senso di pecoenza del filo Se nello spazio dove si tova questa supeficie è pesente un campo magnetico, unifome in tutti i punti che compongono la supeficie, si definisce il flusso concatenato Φ come Φ S S cosϑ Nel sistema S il flusso Φ si misua in Webe (Wb ) La legge di Faaday-Neumann-Lenz affema che una vaiazione Φ del flusso induce una foza elettomotice nel filo pai a ε Φ t Pe avee una vaiazione del flusso è sufficiente che cambi valoe una delle te gandezze fisiche, S o ϑ Se il filo è un conduttoe con esistenza nel filo cicoleà una coente ε Φ l segno di definisce il veso della coente ispetto al senso di t pecoenza del filo l veso della coente è tale da indue un campo magnetico il cui flusso concatenato si oppone alla vaiazione Φ Si noti che la caica che viene 87

26 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 indotta nel cicuito saà data da Φ t e quindi, al contaio di, è indipendente dal tempo in cui è avvenuta la vaiazione di flusso onsideiamo un solenoide di lunghezza l e sezione S fomato da N spie e pecoso da una coente : il campo magnetico all inteno del solenoide è dato da µ n (con n N l ) ed ad ogni spia è associato il flusso Φ S ns µ pe cui il flusso totale è pai a Φ T NS µ n ls Ad una vaiazione della coente cicolante coisponde pe la legge di Faaday-Neumann una foza elettomotice pai a ε Φ t µ n ls t n geneale la elazione si scive ε L dove t l induttanza L viene misuata in Heny (H) e dipende dalle popietà fisiche del cicuito Nel caso del solenoide avemo L n ls n analogia a quanto visto pe il µ condensatoe, è possibile dimostae che in una induttanza L pecosa da una coente è immagazzinata una quantità di enegia pai a E L 88

27 MT, MTT Appunti di Fisica pe Scienze iologiche Ves 4 /9/5 Esempi Una bobina, fomata da n s 5 spie di aggio cm e di esistenza totale 5 Ω, è disposta otogonalmente alla diezione del campo magnetico all'inteno di un lungo solenoide ettilineo ( n spie/cm), pecoso da una coente A alcolae: a) il valoe del flusso di attaveso la bobina; b) la fem media indotta nella bobina quando la coente nel solenoide è potata a zeo in un tempo t s c) la potenza media dissipata nella bobina pe effetto Joule Soluzione: a) l flusso è pai a Φ nss nsπ µ n da cui 7 T m 4 Φ 5 m 4 π π A spie/m A 9 Φ ( 9 ) Wb b) La fem media è data da ε 97mV t s ( ) Wb c) La potenza media è data da P ( 7mV ) ε 9 5 ε 75 W 5Ω Un solenoide è fomato da 4 N spie di un filo conduttoe di sezione s 6 mm e esistività ρ 7 8 Ωm l solenoide è lungo L cm ed ha un aggio 5cm Ai suoi capi è applicata una diffeenza di potenziale V alcolae: a) la esistenza totale del solenoide; b) la coente cicolante; c) il campo magnetico indotto dal solenoide; d) l induttanza e) l enegia immagazzinata Soluzione: a) La esistenza della singola spia spia e la coente si ottengono dalla legge di Ohm: π m Nspia Nρ 7 Ωm Ω 6 s 5 m V b) La coente è data da: A Ω c) l campo magnetico è dato da: 4 N 7 T m spie µ n µ 4π A A 5 T L m d) L induttanza vale: 4 T m spie 7 L µ n ls 4π A m m π e) L enegia immagazzinata vale: E Li 8H A 6 J ( 5 m) 8H 89