13 LIMITI DI FUNZIONI

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1 3 LIMITI DI FUNZIONI Estendiamo la nozione di ite a funzioni reali di variabile reale. Definizione caratterizzazione per successioni) Si ha fx) = L x 0, L R) se e solo se per ogni successione a n x 0 con a n x 0 almeno per n grande) si ha n fa n ) = L. Limiti all infinito La definizione per successioni si traduce nella seguente. Definizione x + se Sia f : R R; diremo che fx) tende al numero L R per ε > 0 M > 0 : x M = L fx) ε. In tal caso il numero L si dice il ite di f per x +, e si scrive Allo stesso modo si definiscono i) fx) = + N > 0 M > 0 : x M fx) N, ii) fx) = N > 0 M > 0 : x M fx) N. La nozione di ite per x viene data per simmetria: ovvero fx) = L ε > 0 M > 0 : x M fx) L ε, fx) = L f x) = L. Ovviamente si estendono le definizioni di iti ±. fx) = L. Esempi. Molti esempi visti con le successioni si adattano a questo caso, per cui x = 0, 2x 2 = 2, + x2 x2 = +, etc. 37

2 Limiti al finito Definizione Sia f : R R e x 0 R; diremo che fx) tende al numero L R per x x 0 se ε > 0 δ > 0 : x x 0 δ, x x 0 = L fx) ε. In tal caso il numero L si dice il ite di f per x x 0, e si scrive fx) = L. NOTA: x 0 non viene preso in considerazione perche non vogliamo che il valore di f in x 0 influenzi il ite. Allo stesso modo si definiscono N. i) fx) = + N > 0 δ > 0 : x : x x 0 δ, x x 0 fx) N, ii) fx) = N > 0 δ > 0 : x : x x 0 δ, x x 0 fx) NOTA: le definizioni di ite ora date si possono riassumere con il linguaggio degli intorni: siano L, x 0 R; allora fx) = L intorno I di L esiste un intorno J di x 0 tale che se x 0 x J, allora fx) I. NOTA. Per definire il ite per x x 0 basta che il dominio di f contenga un intorno bucato di x 0, ovvero un insieme del tipo x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }. Esempi. x 2 = x = +. Sia fx) = { 0 se x x0 se x = x 0. In questo caso fx) = 0, ma fx 0 ) =. Esempi di non esistenza Per dimostrare che un ite fx) non esiste basta trovare due successioni a n e a n che convergono entrambe a x 0, ma tali che n fa n ) n fa n). Applicheremo questo criterio agli esempi qui di seguito. Esempio. fx) = sin x, x 0 = +. Non esiste sin x a n = nπ, a n = 2nπ + π 2. 38

3 Si ha a n, a n +, ma fa n ) = 0 0, fa n) =. Esempio 2. fx) = sin x, x 0 = 0. Non esiste sin x Si ha a n, a n 0, ma a n = nπ, a n = 2nπ + π. 2 fa n ) = 0 0, fa n) =. Esempio 3. fx) = sin x, x 0 = +. Non esiste x sin x a n = nπ, a n = 2nπ + π 2. Si ha a n, a n +, ma fa n ) = 0 0, fa n) = 2nπ + π 2 +. Definiamo la funzione parte intera di x come [x] = max{z Z : z x} questa è una buona definizione. Qui si usa la proprietà che ogni insieme superiormente itato e non vuoto di Z ha massimo). NOTA: se si scrive x nella forma decimale e x 0 allora [x] coincide con il numero prima della virgola bisogna solo evitare di scrivere 0, invece di ). Questa regola non è valida per x < 0. Infatti la parte intera di 0, 5 è. Esempio 4. fx) = [x], x 0 = 0. Non esiste [x] a n = n, a n = n. 39

4 Si ha a n, a n 0, ma fa n ) = 0 0, fa n) =. Definiamo la funzione segno di x come { se x < 0 sign x = 0 se x = 0 se x > 0. Esempio 5. fx) = sign x, x 0 = 0. Non esiste sign x a n = n, a n = n. Si ha a n, a n 0, ma fa n ) =, fa n) =. Esempio 6. fx) = x, x 0 = 0. Non esiste x a n = n, a n = n. Si ha a n, a n 0, ma fa n ) = n +, fa n) = n. Esempio 7. fx) = x x, x 0 = 0. Non esiste Si ha a n, a n 0, ma x ) x a n = n, a n = n. fa n ) = 0 0, fa n) = 2n. 40

5 4 CALCOLO DEI LIMITI - FUNZIONI CON- TINUE IN x 0 I teoremi di somma, prodotto, quoziente, confronto, e dei due carabinieri continuano a valere per i iti di funzioni con lo stesso enunciato dei iti di successioni. Il calcolo dei iti viene spesso semplificato nel semplice calcolo di una funzione nel punto in cui si calcola il ite. Definizione Una funzione f si dice continua nel punto x 0 quando si ha fx) = fx 0 ). Esempio. Il più semplice { esempio di funzione che ammette ite in x 0 ma non è 0 se x x0 continua in x 0 è fx) = se x = x 0. Per i teoremi sui iti si ha: Teorema. Somma, differenza, prodotto di funzioni f e g continue in x 0 continue in x 0. Se g 0 in un intorno di x 0, allora anche f g è continua in x 0. sono Corollario. I polinomi sono funzioni continue in ogni x 0 R. Le funzioni razionali sono continue in ogni punto del loro dominio. Dimostrazione Le costanti e la funzione identità x x sono ovviamente continue. Basta quindi applicare il teorema precedente. Proposizione. Gli esponenziali, i logaritmi, cos, sin sono funzioni continue. Il calcolo dei iti si riconduce spesso a trovare una funzione continua in x 0 che è uguale o molto simile ) alla funzione di cui si vuole calcolare il ite in x 0. Esempio. Per calcolare il ite x 2 x x che è una forma indeterminata ± / ± ) si nota che per x quindi x 2 x = x )x + ) x = x +, x 2 x x = x + ) = 2, x dato che x + è continua e vale 2 in x =. 4

6 Esempio. Calcolare x + x). Il ite è nella forma indeterminata +. Moltiplicando e dividendo per x + + x) si ottiene x + x + x) x + + x) x) = x + + x = x + ) x) x + + x = x + + x. A questo punto abbiamo una forma / +, e quindi il ite è 0. Esempio. Calcolare x 2 + x + x). Il ite è nella forma indeterminata +. Moltiplicando e dividendo per x 2 + x x) si ottiene x 2 x + x + x) = 2 + x + x) x 2 + x x) x 2 + x x) x 2 + x) x 2 ) = x2 + x x = x. x 2 + x x = x = x + x x x = x + x + ) 2. LIMITI FONDAMENTALI prima parte) Il ite che permette il calcolo di forme indeterminate in cui sono presenti funzioni trigonometriche è: sin x x =. La dimostrazione di questo ite si ha subito dalla disuguaglianza trigonometrica per x > 0) sin x x tan x, da cui si ottiene dividendo per sin x e prendendo gli inversi) cos x sin x x La stessa disuguaglianza si ottiene per x < 0. Il ite si ottiene usando il teorema dei due carabinieri e la continuità del coseno. 42

7 Esempio. poichè si può scrivere tan x x tan x =, x = sin x x cos x. Il secondo ite fondamentale è + x) x = e. Lo deduciamo dal corrispondente ite di successioni n + n) n = e. Infatti per x > 0 prendiamo n = [x] la parte intera di x). Abbiamo le diseguaglianze n x n +, n + x n, da cui + ) x + ) x + x, n + x n) Inoltre per la monotonia delle esponenziali di base > ) si ha ) n+ + ) x + ) n + n+ = n + n + +, n e anche + ) x + ) n+ = + ) n + ). n n n n In conclusione, abbiamo la doppia diseguaglianza ) n+ + n+ + n + ) x + ) n + ). x n n Quando x + e in corrispondenza n + ) i termini estermi della diseguqglianza tendono ad e, e il ite è dimostrato per il teorema dei due carabinieri. 43

8 Limiti e composizione L operazione di ite si comporta bene per composizione con funzioni continue. Teorema. Sia gx) = y 0 e sia f continua in y 0. Allora esiste Questo teorema ci dice che se calcolare il ite basta porre y = gx) e calcolare il ite fgx)) = fy 0 ). gx) = y 0 e se f è continua in y 0, per fgx)), fy). y y 0 Se f è continua questo ite è fy 0 ). Un altro modo per scrivere il risultato è che se f è continua allora ) fgx)) = f gx). Corollario. Se g è continua in x 0 e f è continua in y 0 = gx 0 ) allora la composizione f g è continua in x 0. Esempio. Calcoliamo cos x x 2 Per ricondurci al ite fondamentale, moltiplichiamo e dividiamo per + cos x), per cui ricordandoci che cos 2 x = sin 2 x) cos x cos x) + cos x) x 2 = x 2 = cos2 x + cos x) x 2 + cos x) = sin 2 x x 2 + cos x). Dato che + cos x) 2, abbiamo cos x x 2 = 2 sin x ) 2. Possiamo vedere quest ultimo ite come composizione delle funzioni gx) = sin x x, fy) = y2, e applicare il teorema con y 0 =. Dunque cos x x 2 = x

9 Esempio. Calcoliamo Si ha quindi il ite vale /2. tan x sin x x 3 tan x sin x x 3 = tan x x cos x x 2, Esempio. Mostriamo che in generale non si può sostituire l ipotesi che f sia continua in y 0 con l ipotesi che esista il fy). y y { 0 0 se y 0 Basta infatti prendere fy) = e g la costante 0. Allora per ogni se y = 0 x 0 abbiamo gx) = 0, per cui y 0 = 0, ma fgx)) = 0 = fy). y 0 La ragione per cui non vale la conclusione del teorema in questo esempio è che la funzione g prende il valore 0 che è proibito nel calcolo del ite fy). Se si y 0 evita il valore proibito il teorema vale come segue: Teorema. Se gx) = y 0, fy) = L, e gx) y 0 per x x 0 per x y y 0 sufficientemente vicino a x 0 ), allora fgx)) = L. Esempio. Calcolare Si ha per cui Poniamo Scriviamo sin5x + x 2 ) 0x + 7x 2. sin5x + x 2 ) 0x + 7x 2 = sin5x + x2 ) 5x + x 2 5x + x 2 0x + 7x 2. 5x + x 2 0x + 7x 2 = x5 + x) x0 + 7x) = sin5x + x 2 ) 0x + 7x 2 = 2 sin5x + x 2 ) 5x + x 2. gx) = 5x + x 2, 45 fy) = sin y y. 5 + x 0 + 7x = 2,

10 Possiamo applicare il teorema con x 0 = 0, e y 0 = gx) = 0, dato che gx) 0 per x 0 per x sufficientemente vicino a x 0 ). Si ha allora sin5x + x 2 ) 5x + x 2 = fy) =. y 0 Esempio. Si ha Possiamo scrivere y = x, per cui + x = e. x) + x = x) ) y y + y = y + = y + Poniamo z = y. Allora si ha y ) y y = y y + y y ) y = y y + ) y + y ) y = + ) y = + ) z+ y + y z + z = + ) z + ) = e. z + z z Esempio. Per ogni a R si ha + x) a x = e a. Se a = 0 il ite è banale. Altrimenti si usa la sostituzione y = x/a. 46