GEOMETRIA ELEMENTARE. h = 2 2 S. h =
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- Albino Cara
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1 QUESITI 1
2 GEOMETRI ELEMENTRE 1. (Da Veteinaia 015) Le diagonali (ossia le linee che uniscono i vetici opposti) di un ombo misuano ispettivamente 4 cm e 8 cm. Qual è il peimeto del ombo in cm? a) 8 3 b) 16 c) 8 5 d) 4 e) (Da Medicina e Odontoiatia 014) Si considei un tiangolo ettangolo isoscele con l ipotenusa di lunghezza h cm e aea di S cm. Quale ta le seguenti espime la coetta elazione ta h ed S? a) b) c) d) e) h = S h = S h = S S h = h = S 3. (Da Medicina e Odontoiatia 013) I cateti di un tiangolo ettangolo misuano ispettivamente Quanto misua l ipotenusa? a) 4 b) c) d) 16 e) e 6 +
3 4. (Da Veteinaia 013) Si considei un tiangolo ettangolo il cui cateto maggioe misua 3 cm. L altezza del tiangolo elativa all ipotenusa misua 1 cm. Calcolae la lunghezza dell ipotenusa. a) 3 cm 4 b) 5 cm 4 c) 9 cm 4 d) 4 cm e) 9 cm 5. (Da Veteinaia 013) Da un punto P esteno alla ciconfeenza di cento O e aggio sono tacciate le tangenti alla ciconfeenza nei punti e. L angolo O misua 10. Calcolae il valoe dell aea acchiusa ta le tangenti e l aco di ciconfeenza. ( ) a) 3 3 π b) ( π ) c) ( 3 3 π 1 ) d) ( π ) e) 3 3 π 3 6. (Da Veteinaia 01) Sia CDEF un esagono egolae. Deteminae l'ampiezza dell'angolo E. a) 15 b) 0 c) 30 d) 45 e) 60 3
4 7. (Da Veteinaia 01) I cateti di un tiangolo ettangolo sono lunghi, ispettivamente, 303 e 404. Deteminae la lunghezza dell'ipotenusa. a) 505 b) 507 c) 575 d) 705 e) (Da Medicina e Odontoiatia 011) Un cane è legato, mediante una catena lunga 13 m, a un palo che dista 5 m da un sentieo ettilineo. Deteminae la lunghezza del tatto di sentieo accessibile al cane. a) 16 m b) 18 m c) 0 m d) 4 m e) 6 m 9. (Da Veteinaia 010) Un tiangolo isoscele ha base lunga 1 e x appesenta la lunghezza di ciascuno dei due lati uguali. Quale delle seguenti fomule espime l aea S del tiangolo in funzione di x? a) S = 3 (x - 36) 1/ b) S = 6 (x - 6) 1/ c) S = 6 (x - 36) 1/ d) S = 1 (x - 6) 1/ e) S = 1 (x - 36) 1/ 10. (Da (Da Medicina 010) Il appoto ta i volumi di due cubi è 4. Qual è il appoto ta le loo supefici? a) b) /3 c) 4 1/3 d) 4 e) 4 /3 4
5 11. (Da Odontoiatia 010) Diminuendo del 10% la lunghezza del lato di un quadato, l aea del quadato che si ottiene diminuisce del... a) 10% b) 11% c) 19% d) 0% e) 40% 1. (Da Odontoiatia 010) Un tapezio isoscele ha peimeto di 50 cm e le basi di 7 cm e 17 cm. Qual è la sua aea? a) 10 cm b) 144 cm c) 156 cm d) 88 cm e) 31 cm 13. (Da Medicina 007) L aea della pozione di piano S compesa ta le due semiciconfeenze e il segmento O di lunghezza è: a) b) c) d) e) 3 π 10 π 6 3π 8 ezza è: S O 5
6 14. (Da Medicina 007) La semietta PT é tangente alla ciconfeenza di aggio nel punto T e il segmento PO misua. L angolo OPT vale: a) 7 b) 30 c) 36 d) 45 e) 60 P T O 6
7 SOLUZIONI 1. c) O D C Sappiamo che le diagonali del ombo misuano: Vogliamo calcolae il peimeto del ombo. Poiché le diagonali sono ta loo pependicolai, il ombo isulta diviso in quatto tiangoli ettangoli conguenti ta loo. Se consideiamo, pe esempio, il tiangolo O possiamo calcolae la misua del lato mediante il teoema di Pitagoa: I segmenti O e O coispondono, ispettivamente, alla metà della diagonale minoe e della diagonale maggioe: lloa, il lato del ombo vale: Poiché i quatto lati del ombo sono conguenti ta loo, il peimeto è dato da: 7
8 . a) Un tiangolo ettangolo isoscele è un tiangolo avente un angolo etto e i due cateti conguenti ta loo. C Sappiamo che l ipotenusa C del tiangolo vale: e l aea : Ricodiamo che l aea di un tiangolo si calcola come: Scegliamo come base il cateto ; l altezza elativa alla base scelta è il cateto C. Possiamo calcolae la misua dei due cateti mediante il teoema di Pitagoa: Poiché C = h e i due cateti sono conguenti ta di loo (C = ), si ottiene: 8
9 e anche. lloa, l aea del tiangolo è data da: Invetendo l ultima elazione si ottiene: 3. a) Sia dato il tiangolo ettangolo C. I due cateti misuano: L ipotenusa si calcola mediante il teoema di Pitagoa: Ricodando lo sviluppo di un quadato di binomio: 9 C
10 si ottiene: 4. c) Sappiamo che: Mediante il teoema di Pitagoa possiamo calcolae la misua del segmento H: questo punto, possiamo calcolae la misua dell ipotenusa C tamite il pimo teoema di Euclide: Razionalizzando la fazione si ottiene: 10 C H
11 5. b) Rappesentiamo la figua descitta dal testo del poblema. Vogliamo deteminae il valoe dell aea evidenziata in blu. Sappiamo che: Possiamo calcolae l aea ichiesta come diffeenza ta l aea del quadilateo OP e l aea del settoe cicolae O. Calcoliamo l aea del quadilateo OP: Tacciando il segmento OP, il quadilateo OP viene suddiviso in due tiangoli ettangoli conguenti OP e OP. Inolte, il segmento OP divide l angolo O a metà: 11 O P O P 60 60
12 Ricodando che vale: si ottiene: lloa, l aea del tiangolo OP è: Poiché i due tiangoli OP e OP sono conguenti, l aea del quadilateo OP è: Calcoliamo l aea del settoe cicolae O: L aea del settoe cicolae è data da: dove l angolo O è stato espesso in adianti. lloa, l aea ichiesta saà: 1
13 6. c) Consideiamo l esagono egolae CDEF: Esso è costituito da sei tiangoli equilatei, tutti conguenti ta loo. Gli angoli inteni di ogni tiangolo equilateo misuano 60. Consideiamo, oa, il tiangolo E. F F La somma degli angoli inteni di un tiangolo vale 180. Se l angolo E = 60 e l angolo E = 90, l angolo E vale: E E a) La lunghezza dell ipotenusa di un tiangolo ettangolo si calcola mediante il teoema di Pitagoa: O D D C C
14 Riscivendo le misue dei due cateti come: si ottiene: 8. d) I punti più lontani dal palo che il cane può aggiungee lungo il sentieo sono i punti e. lloa, il tatto di sentieo accessibile al cane è appesentato dal segmento. 14 Sentieo Palo d = 5 m l = 13 m O
15 Il segmento O è dato da: Il segmento O si calcola nello stesso modo ed è anch esso pai a 1 cm. Di conseguenza, il segmento misua: 9. c) Sappiamo che: Ricodiamo che l aea di un tiangolo si calcola come: Scegliamo come base; l altezza ad essa elativa è CH. Consideiamo il tiangolo ettangolo HC. La sua ipotenusa è, mente il cateto H misua. 15 H C
16 Possiamo calcolae il cateto CH tamite il teoema di Pitagoa: lloa, l aea del tiangolo saà: dove abbiamo iscitto la adice quadata come potenza con esponente 1/. 10. e) Consideiamo due cubi con lati L1 e L, ispettivamente. Ricodiamo che il volume di un cubo si calcola come: mente la supeficie è data da: 16 L1 L
17 Sappiamo che il appoto ta i volumi dei due cubi è pai a 4; quindi: lloa, il appoto ta le supefici dei due cubi saà: dove abbiamo iscitto la adice come potenza con esponente fazionaio. 11. c) Dato un quadato di lato L1, la sua aea è: Diminuendo il lato del 10% si ottiene un quadato con lato: lloa, l aea del nuovo quadato misua: Di conseguenza, l aea del nuovo quadato saà diminuita del ispetto all aea iniziale. 17
18 1. b) Sappiamo che: Vogliamo calcolae l aea del tapezio. Ricodiamo che l aea si calcola come: Dobbiamo calcolae l altezza CH. Consideiamo il tiangolo CH. Se conoscessimo le misue dei segmenti C e H, potemmo calcolae il segmento CH mediante il teoema di Pitagoa. Ossevando il tapezio, notiamo che il segmento H è dato da: Il segmento C coisponde al lato obliquo del tapezio. Sottaendo dal peimeto la misua delle due basi e dividendo i isultato ottenuto pe due si icava la misua di C: 18
19 questo punto possiamo calcolae il segmento CH: bbiamo tutti i dati necessai a calcolae l aea del tapezio: 13. e) L aea della sezione di piano S compesa ta le due semiciconfeenze e il segmento O è data dalla diffeenza ta le aee dei due semicechi. La semiciconfeenza maggioe ha aggio ; la sua aea è: La semiciconfeenza minoe ha aggio /; la sua aea è: 19 ezza è: O S
20 lloa, l aea S è: 14. b) Sappiamo che: Inolte, poiché il segmento PT è tangente alla ciconfeenza, l angolo Di conseguenza, il tiangolo OTP è un tiangolo ettangolo. Vale, alloa, la elazione: da cui: L angolo il cui seno vale 1/ è. 0 T P O α
21 ltenativamente, possiamo isolvee il poblema icodando che i tiangoli ettangoli in cui un cateto isulta la metà dell ipotenusa hanno sempe angoli pai a 90, 60 e 30. l 60 l Confontando il tiangolo C con il tiangolo OTP nella figua poposta dal testo del poblema, si deduce che l angolo OPT deve valee C 1
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