COMPITI VACANZE ESTIVE 2017 MATEMATICA Scuola Media Montessori Cardano al Campo (VA)

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1 COMPITI VACANZE ESTIVE 017 MATEMATICA Scuola Media Montessori Cardano al Campo (VA) Nel presente documento sono elencati gli esercizi da svolgere nel corso delle vacanze estive 017 da parte degli studenti della Classe sez. C Le prime schede offrono una panoramica sui vari argomenti affrontati nel corso dell anno, al fine di avere uno schema utile per svolgere gli esercizi ed effettuare un ripasso per poter iniziare il prossimo anno scolastico nel migliore dei modi. Le schede successive invece raccolgono una serie di esercizi di crescente difficoltà da seguire per fare un percorso di studio lineare. Per ogni scheda è presente una breve spiegazione teorica che integra quella presente su libro di testo Come già suggerito a scuola il mio suggerimento rimane quello di affrontare i vari argomenti nel corso dell intero periodo di vacanze al fine di evitare di accumulare tutte le nozioni negli ultimi giorni che invece possono essere utilizzati per un ripasso generale. Buone Vacanze Professore Ieluzzi Davide Andrea

2 EQUIVALENZA FIGURE GEOMETRICHE PIANE I poligoni equivalenti sono equiscomponibili e sono equiestesi, cioè hanno la stessa area. L area di un poligono è il numero che indica quante volte l unità di misura è contenuta nella superficie considerata. L unità di misura per le superfici è il m. E possibile indicare con una formula il procedimento per determinare l area di alcuni poligoni. Rettangolo L area del rettangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell altezza: A = b h da cui: b = A h h = A b GEOMETRIA 31

3 Esempio: Calcola l area di un rettangolo, sapendo che la base misura 5 cm e l altezza misura cm. Dati Incognita AB = 5 cm A =? AD = cm Risoluzione A = AB AD BC = 5 = 10 cm Quadrato L area del quadrato di ottiene moltiplicando la misura del lato per se stessa: A = l l = l da cui: l = A GEOMETRIA 3

4 Esempio: Calcola il perimetro di un quadrato, la cui area misura 144 cm Dati Incognita A = 144 cm p =? Risoluzione AB = A p = AB 4 AB = 144 = 1 cm p = 1 4 = 48 cm GEOMETRIA 33

5 Parallelogrammo L area del parallelogrammo si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell altezza: A = b h da cui: b = A h h = A b Esempio: Calcola l area di un rettangolo, sapendo che la base misura 15 cm e l altezza misura 4 cm. Dati Incognita AB = 15 cm A =? DH = 4 cm Risoluzione A = AB DH BC = 15 4 = 60 cm GEOMETRIA 34

6 Triangolo L area del triangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per quella della relativa altezza e dividendo il prodotto ottenuto per due: A = b h da cui: b = h = A h A b Esempio: Un triangolo di area 5 dm dell altezza. ha la base che misura 10 dm. Calcola la misura Dati Incognita A = 5 dm CH =? AB = 10 dm Risoluzione CH = A AB CH = 5 10 = 5 cm GEOMETRIA 35

7 Triangolo rettangolo A = c 1 c A = i h da cui: c 1 = c = i = A c A c 1 A h Esempio: L'area di un triangolo rettangolo è 96 dm e il cateto minore misura 1 dm. Calcola la misura dell'altro cateto. Dati Incognita A = 96 dm AC =? AB = 1 dm Risoluzione AC = A AB AC = 96 1 = 16 cm GEOMETRIA 36

8 Triangolo formula di Erone A = p p a p b p c a, b,c: misure dei lati p: perimetro Rombo L area del rombo si ottiene moltiplicando la misura delle due diagonali e dividendo il prodotto ottenuto per due: A = d 1 d da cui: d 1 = d = A d A d 1 GEOMETRIA 37

9 Esempio: Le diagonali di un rombo sono una tripla dell'altra e la loro somma misura 16,8 cm. Calcola l'area. Dati Incognita BD = 3 AC A =? AC + BD = 16,8 cm AC = AC+ BD 4 AC = 16,8 4 Risoluzione = 4, cm BD = 3 AC A = (AC BD) BD = 3 4, = 1,6 cm A = 4, 1,6 = 5,9 = 6,46 cm Trapezio L area del trapezio si ottiene moltiplicando la misura della somma delle due basi per la misura dell altezza e dividendo il prodotto ottenuto per due: A = b 1+ b h da cui: h = A b 1 + b b 1 + b = A h GEOMETRIA 38

10 Esempio: Calcola l'area di un trapezio che ha la base maggiore lunga 6,4 cm, la minore lunga 4,8 cm e l'altezza 3, cm. Dati Incognita AB = 6,4 cm A =? DC = 4,8 cm CH = 3, cm Risoluzione A = AB + DC CH A = 6,4 + 4,8 3, = 35,84 = 17,9 cm GEOMETRIA 39

11 TEOREMA DI PITAGORA Enunciato In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti i = c 1 + c c 1 = i c c = i c 1 i = c 1 = c = c 1 + c i c i c 1 GEOMETRIA 40

12 Esempio: I cateti di un triangolo rettangolo misurano rispettivamente 15 cm e 0 cm. Determina la misura dell ipotenusa. Dati Incognita AB = 15 cm BC =? AC = 0 cm Risoluzione BC = AB + AC BC = = = 65 = 5 cm GEOMETRIA 41

13 Applicazioni del Teorema di Pitagora Rettangolo d = h = b = b + h d b d h Esempio: Calcola la misura della diagonale di un rettangolo, sapendo che la base misura 4,8 cm e l altezza misura cm. Dati Incognita AB = 4,8 cm BD =? AD = cm Risoluzione BC = AB + AD BC = 4,8 + = 3, = 7,04 = 5, cm GEOMETRIA 4

14 Quadrato d = l + l = l = l = l l = d Le formule relative al quadrato si utilizzano per i triangoli rettangoli isosceli con gli angoli acuti di 45. Esempio: Calcola la misura della diagonale di un quadrato, il cui lato misura 8 cm Dati Incognita AB = 8 cm BD =? Risoluzione BC = AB BC = 8 = 8 1,41 = 11,8 cm GEOMETRIA 43

15 Triangolo isoscele l = h + b h = l b b = l h Esempio: In un triangolo isoscele la base misura 6 cm e l altezza misura 4 cm; calcola la misura del perimetro. Dati Incognita AB = 6 cm p =? CH = 4 cm Risoluzione BC = CH + AB BC = = = = 5 = 5 cm p = AB + BC p = = = 16 cm GEOMETRIA 44

16 Triangolo equilatero h = l l = l l 4 = = 4l l 4 = = 3l 4 = 3 l 4 = 3 l Ricorda: 3 = 0, 866 Da cui deriva: l = h 3 Le formule relative al triangolo equilatero si utilizzano per i triangoli rettangoli con un angolo acuto di 30 e l altro di 60 GEOMETRIA 45

17 Esempio: Calcola la misura dell altezza di un triangolo equilatero sapendo che il lato misura 5 cm. Dati Incognita AB = 5 cm CH =? Risoluzione CH = AB 3 CH = 3 5 = 0,866 5 = 4,33 cm Rombo l = d 1 + d d 1 = l d d = l d 1 GEOMETRIA 46

18 Esempio: L area di un rombo è di 1176 cm e la diagonale maggiore misura 56 cm; calcola la misura del perimetro. Dati Incognita BD = 56 cm p =? A = 1176 cm Risoluzione O DB = A BD DB = = 4 cm AB = AC + BD AB = = = = 15 = 35 cm p = AB 4 p = 35 4 = 140 cm Trapezio rettangolo l = h = b 1 b + h l b 1 b b 1 b = l h GEOMETRIA 47

19 Esempio: Calcola la misura del perimetro di un trapezio rettangolo, sapendo che le due basi misurano rispettivamente 18 cm e 8 cm e l altezza misura 4 cm. Dati Incognita AB = 8 cm p =? CD = 18 cm CH = 4 cm Risoluzione HB = AB DC HB = 8 18 = 10 cm BC = CH + HB BC = = = 676 = 6 cm p = AB + BC + CD + DA p = = 96 cm GEOMETRIA 48

20 Trapezio isoscele l = b 1 b + h h = l b 1 b b 1 b = l h Esempio: Calcola la misura del perimetro di un trapezio isoscele, sapendo che le due basi misurano rispettivamente 5 cm e 8 cm e l altezza misura 9 cm. Dati Incognita AB = 5 cm p =? CD = 8 cm CH = 9 cm Risoluzione HB = AB DC HB = 5 8 = 1 cm BC = CH + HB BC = = = 5 = 15 cm p = AB + BC + CD + DA p = = 110 cm GEOMETRIA 49

21 SIMILITUDINI PIANE ED APPLICAZIONI Due o più figure sono simili se hanno la stessa forma. Due poligoni con lo stesso numero di lati si dicono simili se hanno: lati corrispondenti in proporzione; angoli corrispondenti congruenti. In simboli: A'B' AB B'C' BC A'C' AC k ' ; ' ' k si dice rapporto di similitudine se k >1 la figura A'B'C' è un ingrandimento della figura ABC; se k <1 la figura A'B'C' è una riduzione della figura ABC; se k =1 la figura A'B'C' è congruente della figura ABC. Criteri di similitudine dei triangoli Primo criterio Due triangoli sono simili se hanno: due coppie di angoli corrispondenti congruenti ' ' Secondo criterio Due triangoli sono simili se hanno: una coppia di angoli corrispondenti congruenti ' i lati che li comprendono in proporzione A'B' AB A'C' AC Terzo criterio Due triangoli sono simili se hanno: i lati corrispondenti in proporzione A'B' AB B'C' BC A'C' AC GEOMETRIA 54

22 Altezze, perimetri ed aree nella similitudine In due triangoli il rapporto tra altezze corrispondenti è C'H' uguale al rapporto di similitudine CH k In due poligoni simili il rapporto tra i perimetri è uguale p al rapporto di similitudine A'B'C' k p ABC In due poligoni simili il rapporto tra le aree è uguale al A quadrato del rapporto di similitudine A'B'C' k A ABC GEOMETRIA 55

23 Primo Teorema: in un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale fra l ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull ipotenusa. BC : AB AB : BH BC : AC AC : HC Interpretazione geometrica: in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per lati l ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull ipotenusa. I teoremi di Euclide Secondo Teorema: in un triangolo rettangolo l altezza relativa all ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull ipotenusa. BH : AH AH : HC Interpretazione geometrica: in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull altezza relativa all ipotenusa è equivalente al rettangolo avente per lati le proiezioni dei cateti stessi sull ipotenusa. GEOMETRIA 56

24 L'omotetia L omotetia è una trasformazione di una figura in un altra dove gli angoli corrispondenti sono congruenti, i segmenti corrispondenti sono paralleli, il rapporto K fra le loro lunghezze è costante e tutti i punti corrispondenti sono allineati con un punto fisso che è l origine dell omotetia. OA' OA OB' OB OC' OC k 1 Il teorema di Talete Un fascio di rette parallele, tagliate da due trasversali, determina sulle trasversali stesse, segmenti corrispondenti in proporzione. AB : BC A'B' : B'C' BC : AD B'C' : A'D'.. GEOMETRIA 57

25 Esercizi guidati Qual è il rapporto di similitudine fra le seguenti figure sapendo che AB 0cm e A'B' 30cm Il rapporto di similitudine è k 30 0 cioè 3: Considera le seguenti figure Qual è il rapporto di similitudine fra le seguenti figure?... Quali sono le misure dei lati mancanti?... Calcola il rapporto di similitudine fra lati corrispondenti, cioè: k= 0/1 cioè k= Occorre scrivere le proporzioni fra i lati corrispondenti, cioè: A'B' : AB 5 : 3...:......: A'C' : AC...:......: GEOMETRIA 58

26 Calcola la misura del perimetro del seguente triangolo rettangolo A α 90 BC 75cm B H C HC 48cm p ABC? Per calcolare la misura del cateto AC, applico il 1 teorema di Euclide BC : AC AC : HC 75 : AC AC : 48 AC AC cm Calcolare poi, la proiezione HB del cateto minore sull'ipotenusa HB BC HC HB cm Per calcolare la misura del cateto AB, applico il 1 teorema di Euclide BC : AB AB : HB 75 : AB AB : 7 AB AB 05 45cm p ABC... Calcola la misura dell altezza relativa all ipotenusa del triangolo rettangolo in figura A α 90 HB 3,6cm B H C HC 6,4cm AH? Pe calcolare AH applico il teorema di Euclide, HB: AH AH : HC 3,6 : AH AH : 6,4 AH 3,6 6,4 3,04 AH GEOMETRIA 59

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40 71_04_ESER 138_ :9 Pagina 15 ESERCIZI CONSIGLIATI PER POTENZIAMENTO GEOMETRIA U NITÀ - IL TEOREMA DI PITAGORA 144 Un trapezio rettangolo ha l angolo acuto di ampiezza 60, la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore che misura 0 cm e la base maggiore lunga 50 cm. Determina la lunghezza del perimetro del trapezio. [ 154,6 cm] 15 Un trapezio scaleno ha la base minore congruente all altezza, che è lunga 18 cm, un angolo acuto di 45 e l altro di 30. Determina la lunghezza del suo perimetro e la sua area. [ 146,6 cm; 766, cm ] Un trapezio isoscele ha gli angoli acuti di 60, un lato obliquo e la base minore che misurano rispettivamente 40 cm e 30 cm. Determina l area del trapezio. [ 173 cm ] 146 Un rombo ha gli angoli acuti di 60 e la diagonale minore lunga 4 cm. Determina la lunghezza del perimetro e l area del rombo. [96 cm; 498,8 cm ] 147 Un rombo ha gli angoli acuti di 60 e la diagonale maggiore lunga 0,78 cm. Determina la misura del perimetro e l area del rombo. [ 48 cm; 14,7 cm ] 148 Un rombo ha il perimetro che misura 10 cm e gli angoli ottusi di 10. Determina la sua area. [ 779 cm ] 149 Un rombo con gli angoli acuti di 60 ha la diagonale maggiore lunga 18 cm. Determina la lunghezza del suo perimetro e la sua area. [ 41,6 cm; 93,5 cm ] Osserva la figura, i dati e risolvi. 150 D Dati Domanda A B C AC = 0 cm A ABCD =? p ABCD =? [ 73, cm ; 68,3 cm] 151 D 10 Dati AC = 50 cm A C AD DC AB BC 90 B Domanda A ABCD =? [ 985,8 cm ] 153 Le squadre che usi per il disegno geometrico sono di due tipi: quelle a 30 e 60 (hanno infatti gli angoli acuti di 30 e 60 ); quelle a 45 (hanno entrambi gli angoli acuti di 45 ). Prendi una squadra del tipo a 30 e 60. Con l aiuto di un altro righello misurane i cateti e l ipotenusa i. Verifica con il calcolo che la lunghezza del cateto maggiore è l approssimazione di 3 i. Prendi ora la squadra del tipo a 45. Come prima, verifica con il calcolo che la lunghezza dell ipotenusa è l approssimazione del prodotto c, dove c indica la misura di un cateto. 154 Segui le istruzioni riportate sotto L I e osserva la figura. Disegna un triangolo rettangolo isoscele con i cateti lunghi 1 cm; chiamalo ABC. La misura della sua ipotenusa è: BC = 1cm + 1cm = cm = cm Costruisci il triangolo rettangolo BCD che ha il lato BC come cateto e l altro cateto di lunghezza 1 cm. La misura della sua ipotenusa è: CD = cm + 1cm = 3 cm = 3 cm Costruisci il triangolo rettangolo DCE che ha il lato DC come cateto e l altro cateto di lunghezza 1 cm. La misura della sua ipotenusa è: CE = 3 cm + 1cm = 4 cm = cm Continua ora da solo a determinare le lunghezze dei segmenti CF, CG, CH seguendo un procedimento analogo a quelli di prima. Con il righello riporta le misure approssimate: cm... 3 cm... 5 C 1 cm cm... 6 cm... H A cm 1 cm G cm 3 cm B F E D

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