Statistica - Esercitazione 1 Dott. Danilo Alunni Fegatelli

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1 Statistica - Esercitazioe 1 Dott. Dailo Alui Fegatelli dailo.aluifegatelli@uiroma1.it Esercizio 1: Distribuzioi di frequeza (a) Religioe (b) Reddito familiare (c) Salario i Euro (d) Classe di reddito (I, II, ecc.) (e) Ore di studio al gioro (f) Tempo dedicato allo studio al gioro (g) Livello di iquadrameto lavorativo (h) Attività lavorativa (i) Grado di soddisfazioe di u cliete (j) Colore degli occhi (k) Titolo di studio (l) Geere (m) Altezza () Stadio della malattia (o) Voto all esame di statistica (p) Marca di caffè preferita (q) Cosumo gioraliero di calorie (r) Regioe di proveieza (s) Debito pubblico (di u paese) (t) Numero di compoeti della famiglia (u) Tasso d iteresse auale (v) Numero di scarpa (w) Sistema operativo (di u computer) (x) Numero di dipedeti di u azieda (y) Peso (z) Velocità i Km/h (1) Stabilire la tipologia dei segueti caratteri (Qualitativo Nomiale, Qualitativo Ordiale, Quatitativo Discreto, Quatitativo cotiuo) (2) Stabilire la tipologia di grafico più idicato per la rappresetazioe dei segueti caratteri (Grafico a Barre, Grafico a Torta, Diagramma a Bastocii, Istogramma) (1) Qualitativo omiale: Religioe, Marca di caffè preferita, Regioe di proveieza, Attività lavorativa, Colore degli occhi, Geere, Sistema operativo (di u computer). Qualitativo Ordiale: Classe di reddito (I, II, ecc.), Livello di iquadrameto lavorativo, Grado di soddisfazioe di u cliete, Titolo di studio, Stadio della malattia. Quatitativo Discreto: Voto all esame di statistica, Numero di compoeti della famiglia, Numero di scarpa, Numero di dipedeti di u azieda. Quatitativo Cotiuo: Reddito familiare, Salario i Euro, Cosumo gioraliero di calorie, Tempo dedicato allo studio al gioro, Ore di studio al gioro, Altezza, Debito pubblico (di u paese), Peso, Tasso d iteresse auale, Velocità i Km/h. 1

2 2 (2) Grafico a Barre/Torta: Religioe, Marca di caffè preferita, Regioe di proveieza, Attività lavorativa, Colore degli occhi, Geere, Sistema operativo (di u computer). Grafico a Barre: Classe di reddito (I, II, ecc.), Livello di iquadrameto lavorativo, Grado di soddisfazioe di u cliete, Titolo di studio, Stadio della malattia. Diagramma a Bastocii: Voto all esame di statistica, Numero di compoeti della famiglia, Numero di scarpa, Numero di dipedeti di u azieda, Ore di studio al gioro. Istogramma: Reddito familiare, Salario i Euro, Cosumo gioraliero di calorie, Tempo dedicato allo studio al gioro, Altezza, Debito pubblico (di u paese), Peso, Tasso d iteresse auale, Velocità i Km/h.

3 3 Esercizio 2: Data la seguete distribuzioe uitaria del carattere umero di figli (1) idicare la atura della variabile; (2) determiare il umero di uità e di modalità osservate; (3) costruire la distribuzioe di frequeze assolute, relative e percetuali. (1) Il carattere è quatitativo discreto; (2) Le uità soo 12, le modalità (distite) 4; X j f j p j 0 2 2/12= % = 17% (3) % % % Esercizio 3: Data la seguete distribuzioe uitaria del carattere X (1) calcolare la media aritmetica utilizzado la distribuzioe di frequeza; (2) verificare che la somma degli scarti dalla media è zero; (3) verificare che la somma dei quadrati degli scarti dalla media è più piccola dell aaloga somma per gli scarti dal valore 2 (ciò vale per qualuque umero diverso dalla media aritmetica). x j j x j j x j 3 (x j 3) j (x j 3) 2 j (x j 2) (x j 2) 2 j (1) (2) Si verifica che 4 j=1 x = 1 k x j j = = 3 j=1 (x j x) j = = 0

4 4 (3) La somma dei quadrati degli scarti dalla media vale 4 j=1 (x j x) 2 j = 36 metre la somma dei quadrati degli scarti dal valore 2 vale 4 j=1 (x j 2) 2 j = 48 quidi è verificata la proprietà della media aritmetica. Esercizio 4: Nel comue A il reddito medio auo procapite è di 10 mila Euro, metre el comue B è di 15 mila. Calcolare il reddito medio dei due comui sapedo che i resideti el comue A soo 200, metre quelli el comue B soo 100. Per risolvere il quesito si ricorre alla proprietà associativa della media aritmetica. Data ua distribuzioe uitaria x 1, x 2,... x, ed ua sua partizioe i due (o più) distribuzioi parziali x 1, x 2,... x m e x m+1, x m+2,... x, rispettivamete di e m uità, la media è associativa se, idicata co x la media aritmetica calcolata sulle modalità, x m la media aritmetica calcolata sulle m modalità, e x m la media aritmetica calcolata sulle m modalità, risulta x = m x m + ( m) x m. Per la media aritmetica si ha ifatti [( ) ( ) ] x = 1 x i = 1 m 1 1 m x i m + m x i ( m) i=m+1 = 1 [m x m + ( m) x m ] Ituitivamete, si è sostituita alla distribuzioe o ota co modalità ua distribuzioe ota co m modalità pari a x m e m modalità pari a x m : x = 1 k x i i x = = Il reddito medio è pari a circa Euro.

5 5 Esercizio 5: U egozio ella mattia ha avuto 100 clieti, che hao speso mediamete (media aritmetica) 50 Euro. Nel pomeriggio i clieti soo stati 200 e hao speso mediamete 25 Euro. Qual è la spesa media dei 300 clieti dell itera giorata? Possiamo calcolare la spesa media i modo aalogo rispetto all esercizio precedete: x = 1 k x i i x = = La spesa media è stata di 33.3 Euro. Esercizio 6: I ua staza ci soo 12 persoe co peso medio pari a 75 Kg. Se arriva u altra persoa che pesa 60 kg, quale sarà il peso medio delle 13 persoe? Per risolvere l esercizio si sfrutta di uovo la proprietà associativa della media: x = 1 x i x 13 = 13 x i = = 13 Il peso medio è di circa 74 kg. = 12 x i + x = 12 x 12 + x = Esercizio 7: L altezza media dei bambii di ua classe di 4 a elemetare di 25 alui è di 145 cm. Purtroppo ci si è accorti che lo strumeto usato per la misurazioe era stato posizioato male, cosicché ciascu bambio è risultato 7 cm più alto della sua statura reale. Qual è la vera altezza media dei 25 bambii? x errata = xi errata = x errata xi esatta = x errata x esatta = xerrata = = 138. La soluzioe si sarebbe potuta trovare i modo immediato applicado la Proprietà 1 della media cioè se Y = a + bx, allora ȳ = a + b x. Quidi, el ostro caso si ha X esatta = X errata 7 x esatta = x errata 7.

6 6 Esercizio 8: Il prezzo di u paio di jeas varia da egozio a egozio. Girado 5 egozi si soo trovati i segueti prezzi Negozio Prezzo i $ Diesel 60 Teicher 80 Gap 50 Zita Fabiai 70 Cosco 60 Trovare il prezzo medio di u paio di jeas espresso i dollari e poi covertirlo i euro, sapedo che 1 = 1.54 $. x $ = 1 x $ i x $ = = = 64$. Per calcolare il valor medio i euro si applichi la proprietà di liearità della media per cui se Y = a + bx, allora ȳ = a + b x. Sapedo che il tasso di cambio è di 1.54$ per ogi euro, si ha a = 0 e b = 1/1.54. Pertato il prezzo medio i euro sarà x = x$ 1.54 = Esercizio 9: Co riferimeto alla seguete distribuzioe di u gruppo di 120 doe secodo il umero di figli Numero Figli Doe Totale 120 (1) calcolare media, mediaa e moda; (2) calcolare i quartili; (3) disegare la fuzioe di ripartizioe empirica; (4) verificare che la somma degli scarti i valore assoluto dalla mediaa è miore della somma degli scarti i valore assoluto dalla media aritmetica. (1) x = 1 k x i i x = = = La mediaa è il valore cetrale di ua distribuzioe, ossia la modalità del carattere che occupa il posto cetrale ella sequeza ordiata delle osservazioi. La mediaa divide i dati ordiati i due parti uguali di umerosià 2. Essa coicide co il secodo quartile Q2 ed idividua

7 7 x i i N i f i F i Totale 120 quel valore del carattere tale per cui almeo metà delle uità presetao ua modalità iferiore o uguale ad esso. Il suo calcolo richiede che il carattere sia almeo ordiale. Data la distribuzioe uitaria di u carattere quatitativo, il primo passo per determiare la mediaa cosiste el calcolare la sua profodità ovvero la sua posizioe el campioe ordiato. Se il collettivo ha umerosità dispari, la posizioe cetrale è uica, data da +1 2, e la mediaa sarà otteuta come x med = x ( +1 2 ). Se è pari, si hao due posizioi cetrali i corrispodeza dei posti 2 e e la mediaa è otteuta come la semisomma delle due modalità cetrali, ovvero x med = x ( 2 ) + x ( 2 +1). 2 Se il carattere è qualitativo ordiale o ha seso cosiderare operazioi aritmetiche tra le modalità, pertato i caso di pari si avrao due modalità mediae. Se i dati soo raggruppati i distribuzioi di frequeze, è coveiete costruire le frequeze cumulate assolute N i e relative F i. Se è dispari, la mediaa coicide co il primo valore del carattere a cui è associata ua frequeza relativa cumulata maggiore o uguale a Se è pari dobbiamo valutare se le due modalità che occupao i posti cetrali coicidoo o meo. Se la prima frequeza relativa cumulata maggiore o uguale a 0.50 risulta strettamete maggiore di 0.50, si ha l idetità tra le due modalità cetrali e la mediaa è uivocamete determiata co il valore associato a tale frequeza; se la prima frequeza relativa cumulata maggiore o uguale a 0.50 è esattamete 0.50, vuol dire che i valori cetrali differiscoo e la mediaa si ottiee come semisomma delle prime due modalità a cui competoo frequeze relative cumulate o iferiori a Nel caso i cui il carattere quatitativo sia suddiviso i classi, la mediaa è solo approssimabile. Per idividuare la classe mediaa si procede come descritto sopra per i caratteri qualitativi ordiali. Dalla distribuzioe data si evice facilmete che è pari, pertato ci soo due posizioi che si lasciao a siistra e a destra almeo 2 dati

8 8 e cioè la 60 e la 61. Ad etrambe queste posizioi corrispode il valore 1, come si legge dalla coloa delle frequeze cumulate assolute (20 = N 1 < 60 < 61 < N 2 = 70). Ad aaloga coclusioe si può giugere guardado alle frequeze cumulate relative. Dal mometo che la mediaa è quel valore tale che almeo il 50% dei dati ha u valore miore o uguale (e almeo il 50% maggiore o uguale), ell ultima coloa della tabella i alto leggiamo che F 1 < 0.5 < F 2 x med = 1. La moda di u carattere X che assume k valori co diverse frequeze è il valore x al quale corrispode la massima frequeza (assoluta, relativa o percetuale). Se ci soo più modalità a cui è associata la frequeza più elevata, esse soo tutte cosiderate mode e la distribuzioe si dirà plurimodale. (IMPORTANTE: o cofodere la moda, che è ua delle modalità osservate del carattere, co il valore della frequeza massima!). I questo caso specifico il valore modale è uico e pari a 1, quidi moda e mediaa coicidoo. (2) Il primo quartile Q1 è il valore che divide i dati ordiati i due parti di umerosità 4 1 e 3 4. I sitesi la determiazioe del primo quartile è aaloga al procedimeto descritto per la mediaa fatta eccezioe per la proporzioe di riferimeto che i questo caso è 1/4 = 0.25 aziché 1/2 = Dal mometo che è pari, ci soo due posizioi che si lasciao a siistra almeo 4 1 dati e a destra almeo 3 4 e cioè la 4 = 30 e la = 31. Ad etrambe queste posizioi corrispode il valore 1, come si deduce dalla coloa delle frequeze cumulate assolute (20 = N 1 < 30 < 31 < N 2 = 70). Co riferimeto alle frequeze relative il primo quartile è quel valore tale che almeo il 25% dei dati ha u valore miore o uguale (e almeo il 75% maggiore o uguale). Dalle frequeze relative cumulate segue che F 1 < 0.25 < F 2 Q1 = 1. Il secodo quartile coicide co la mediaa. Il terzo quartile Q3 è il valore che divide i dati ordiati i due parti di umerosità 4 3 e 4 1. Per il suo calcolo valgoo i discorsi fatti i precedeza per i primi due quartili co opportua sostituzioe della proporzioe di riferimeto co 3/4 = I questo caso ci soo due posizioi che si lasciao a siistra almeo 3 4 dati e a destra almeo 1 4 e cioè la 3 4 = 90 e la = 91. Le modalità che occupao tali posizioi o coicidoo: alla posizioe 90 corrispode il valore 2, metre alla posizioe 91 il valore 3 (si veda la coloa delle frequeze cumulate assolute 90 = N 3 < 91 < N 4 = 100). I valori da predere i cosiderazioe soo pertato due e il terzo quartile è dato dalla loro semisomma: Q3 = 2.5. Co riferimeto alle frequeze relative il terzo quartile è quel valore tale che almeo il 75% dei dati ha u valore miore o uguale (e almeo 25% maggiore o uguale). Dato che la frequeza relativa cumulata è proprio 0.75 ed è

9 9 pari, si ha F 3 = 0.75 < F 4 Q3 = (2 + 3)/2 = 2.5. (3) La fuzioe di ripartizioe empirica forisce u riassuto delle iformazioi desute dalla distribuzioe di frequeza. Più specificamete è la trasposizioe grafica della distribuzioe delle frequeze relative cumulate (F i ). Data la tabella sopra la fuzioe di ripartizioe sarà la seguete F (4) x < x < x < 2 F (x) = x < x < x 4 5 x i 1 i = = x i i = = Da otare che la fuzioe di ripartizioe empirica assume valore 0 per valori della x strettamete iferiori al valore miimo e vale 1 per x maggiore o uguale al valore massimo osservato. I salti si hao i corrispodeza delle modalità diverse osservate el collettivo e la loro altezza corrispode alla differeza tra frequeze relative cumulate cotigue, ovvero è pari alla frequeza relativa di ciascua modalità osservata. x Esercizio 10: I segueti valori si riferiscoo ai valori di u titolo rilevati mesilmete: Se il valore 3.8 fosse erroeamete trascritto come 38, quale sarebbe l effetto sulle misure di posizioe calcolate a partire da questi dati?

10 10 (1) U icremeto della mediaa; (2) U icremeto della moda; (3) U icremeto della media aritmetica; (4) U icremeto sia della mediaa, sia della moda; (5) U icremeto della mediaa, della moda e della media aritmetica. La risposta corretta è la 3). La mediaa o è sesibile ai valori estremi, quidi o subirebbe ua modifica i seguito ad u icremeto del valore più alto. Il carattere è cotiuo e le modalità si maifestao co frequeza uitaria, pertato o ha seso calcolare la moda come sitesi di tale distribuzioe. L uica misura di posizioe a risultare modificata sarà la media che, a differeza della mediaa, è u idice poco robusto e duque fortemete ifluezato dalla preseza di valori aomali. Esercizio 11: Data la seguete distribuzioe di u collettivo di 15 studeti secodo il voto otteuto all esame di Statistica voto i (1) calcolare la media aritmetica, la moda e la mediaa; (2) costruire la distribuzioe di frequeze assolute per il carattere suddiviso elle classi [18-20], [21-23], [24-26], [27-30] e calcolare la classe modale e la media aritmetica. Cofrotare i risultati co quelli del puto precedete e commetare. (1) x = k i x i = ( )/15 = 25.4 moda = 27 prof(med) = + 1 = 8 med = x 2 (8) = 26 (2) la distribuzioe di frequeze assolute e relative risulta voto [18-20] [21-23] [24-26] [27-30] i x i f i A i h i La secoda riga deriva dal fatto che la classe chiusa [18-20] è equivalete alla classe 18 21, chiusa ell estremo siistro e aperta ell estremo destro. Utilizzado la secoda otazioe è più facile calcolare

11 11 l ampiezza della classe A i come differeza tra l estremo superiore e l estremo iferiore. Le x i rappresetao i valori cetrali di ciascua classe metre le h i soo le desità otteute col rapporto h i = f i /A i. I modo equivalete si può cosiderare ache h i = i /A i. approssimazioe della media otteuta sostituedo alle osservazioi x i il valore cetrale della classe x i x k i x i = ( )/15 = Se la distribuzioe del carattere è divisa i classi della stessa ampiezza, possiamo determiare la classe modale come quella co frequeza più elevata. Se le classi soo di diversa ampiezza, occorre calcolare la desità di frequeza h i. La classe modale sarà quella co desità di frequeza maggiore. I questo caso la classe modale è [27-30] perché preseta desità di frequeza più elevata. I risultati dopo la divisioe i classi variao a causa dell approssimazioe el calcolo, legata alla o coosceza della distribuzioe all itero delle classi. Esercizio 12: Data la seguete distribuzioe del umero di esami sosteuti alla fie del primo semestre da 3 gruppi di studeti, determiare i quale gruppo gli studeti hao avuto u miglior redimeto, sia i termii di umero medio di esami sosteuti che i termii di umero mediao di esami sosteuti. x i i x i i x i i Determiiamo la mediaa delle tre distribuzioi ricorredo sia alle frequeze cumulate assolute N i che relative F i. Gruppo 1: N pari, due posizioi mediae (5 e 6, 10/2 e 10/2 + 1), due mediae (1 esame sosteuto e 2 esami sosteuti, (1+2)/2=1.5). x i i N i f i F i x i i Gruppo 2: N pari, due posizioi mediae (6 e 7, 12/2 e 12/2 + 1), ua mediaa (2 esami sosteuti).

12 12 x i i N i f i F i x i i Gruppo 3: N dispari, ua posizioie mediaa (8,(15 + 1)/2), ua mediaa (2 esami sosteuti). x i i N i f i F i x i i Gli studeti che hao avuto u migliore redimeto soo gli studeti dei gruppi 2 e 3. I tali gruppi almeo la metà degli studeti ha superato al più 2 esami alla fie del primo semestre. Ioltre le medie aritmetiche delle tre distribuzioi risultao x 1 = = 1.60 x 2 = = 1.50 x 3 = = Esercizio 13: Nell ultima settimaa ua baca ha erogato i segueti importi (i migliaia di euro) per prestiti a imprese: Azieda Prestito 4M 35 AGZ 400 Bartoletti 15 Breda 200 Geoovia 10 (1) Si calcoli l idice di cocetrazioe della ripartizioe dei prestiti tra le varie aziede. Avedo ordiato i seso crescete gli importi dei prestiti si ha Prestiti Fi Ai Qi Fi - Qi ed possibile calcolare il rapporto di cocetrazioe dei Gii come segue

13 13 o aalogamete R = 1 (F i Q i ) 1 F = 1.462/2 = i R = 1 1 Q i 1 F i = /2 = Esercizio 14: Dalla distribuzioe del reddito di u collettivo di 500 idividui stata calcolata la seguete spezzata di cocetrazioe. Qual la percetuale di reddito deteuto dai 350 idividui pi poveri? I 350 idividui pi poveri rappresetao il 70% della popolazioe, ifatti 350 / 500 = 0.7. Dal grafico si evice che il 70% degli idividui pi poveri detiee circa il 20% del reddito. Esercizio 15: Co riferimeto alla seguete distribuzioe del umero di cellulari posseduti da 4 famiglie Famiglia # Cellulari Rossi 2 Biachi 2 Verdi 2 Neri 2 (1) disegare la curva di cocetrazioe, calcolare il rapporto di cocetrazioe e commetare il risultato.

14 14 Il carattere equidistribuito tra le uit, quidi la curva di cocetrazioe corrispoder co la retta di equidistribuzioe e il rapporto di cocetrazioe sar pari a 0.