Curve e forme differenziali

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Corrado Serra
6 anni fa
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1 Curve e forme differenzili Bricentro di un curv Si dt un curv :,b] R 3 di clsse C 1 trtti, con (t) = ( 1 (t), 2 (t), 3 (t)). Assumimo che si ssegnt un funzione continu e positiv µ : (,b]) R, che chimimo densità di. Allor il bricentro di è il punto (x B,y B,z B ) R 3 le cui coordinte sono individute d xµ ds 1 (t)µ((t)) (t) dt. x B = =, (1) µ ds µ((t)) (t) dt yµ ds. y B = = µ ds zµ ds. z B = = µ ds 2 (t)µ((t)) (t) dt, (2) µ((t)) (t) dt 3 (t)µ((t)) (t) dt. (3) µ((t)) (t) dt Se t µ((t)) è funzione costnte e vle µ((t)) = µ > per ogni t,b], llor (1)-(3) si riducono dove x B = 1 (t) (t) dt L(), y B = L() = 2 (t) (t) dt L(), z B = (t) dt 3 (t) (t) dt L(), (4) è l lunghezz dell curv. Il punto con queste coordinte si dice nche centroide dell curv. Esempio 1 Clcolimo il bricentro dell curv l cui equzione in coordinte polri è ρ = e ϕ, ϕ,π], con. Le equzioni prmetriche dell curv sono { x = e ϕ cosϕ, y = e ϕ ϕ,π], senϕ, e quindi si trtt di un rmo di spirle logritmic un cui prmetrizzzione è dt d (ϕ) = e ϕ (cosϕ,senϕ) ϕ,π]. Clcolimo l lunghezz di. Poiché (ϕ) = e ϕ (cosϕ senϕ,senϕcosϕ), 1

2 si h (ϕ) = e ϕ 2 1, e quindi π L() = (ϕ) dϕ = π 2 1 e ϕ dϕ = 2 1 (e π 1). L sciss del bricentro è x B = 1 L() π x ds = (e π 1) e ϕ (cosϕ)e ϕ 2 1 dϕ 2 1 = e π 1 π e 2ϕ cosϕ dϕ. Per clcolre l ultimo integrle, procedimo per prti: si ottiene I =. π e 2ϕ cosϕ dϕ = e 2ϕ senϕ π π 2 e 2ϕ senϕ dϕ d cui si ricv e quindi π = 2 e 2ϕ cosϕ π π 2 = 2(e 2π 1) 4 2 I, e 2ϕ cosϕ dϕ = 2 e2π , ] e 2ϕ cosϕ dϕ x B = e2π 1 e π 1. Qunto ll ordint del bricentro, si h y B = 1 L() π y ds = (e π 1) e ϕ (senϕ)e ϕ 2 1 dϕ 2 1 = e π 1 π e 2ϕ senϕ dϕ. Procendendo come sopr si ricv J =. π e 2ϕ senϕ dϕ = e 2ϕ cosϕ π π 2 e 2ϕ cosϕ dϕ d cui si ottiene e quindi = e 2π 12 e 2ϕ senϕ π π 2 = e 2π J, π e 2ϕ senϕ dϕ = e2π , y B = e2π 1 e π 1. 2 ] e 2ϕ senϕ dϕ

3 Insiemi semplicemente connessi Ricordimo che un circuito è un curv chius. Definizione 1 Sino E R n perto connesso e, 1 circuiti in E che non è restrittivo ssumere prmetrizzti su uno stesso intervllo,b]. Allor e 1 si dicono omotopi in E se esiste un funzione continu ϕ :,b],1] E, dett omotopi tr e 1, tle che ϕ(t,) = (t), ϕ(t,1) = 1 (t) t,b], (5) ϕ(,λ) = ϕ(b,λ) λ,1]. (6) In prtic, e 1 sono omotopi se riuscimo deformre in modo continuo fino d ottenere 1 ; inoltre l funzione che fornisce l deformzione, l omotopi ϕ, deve essere tle che per ogni λ,1] l funzione (continu) t ϕ(t,λ) è l prmetrizzzione di un circuito. Si noti che d (6) in prticolre segue che se ϕ è derivbile rispetto λ per t = e t = b, llor λ ϕ(,λ) = λ ϕ(b,λ) λ,1]. (7) Esempio 2 Due circonferenze concentriche sono i sostegni di due curve omotope in R 2. Inftti, detti (x,y) il loro centro e R < R 1 i loro rggi, le funzioni (t) = (x,y)r (cost,sent), 1 (t) = (x,y)r 1 (cost,sent) t,2π], sono loro prmetrizzzioni. Allor un omotopi ϕ tr e 1 è dt d ϕ(t,λ) = (x,y) R λ(r 1 R ) ] (cost,sent) (t,λ),2π],1]. Si noti che se P è un qulsisi punto interno ll coron circolre individut dlle due circonferenze, llor e 1 non sono omotopi in R 2 \{P}. Il teorem che segue crtterizz gli integrli di un form differenzile chius 1 lungo circuiti omotopi. Teorem 1 Sino E R n perto connesso e ω form differenzile in E chius. Sino inoltre e 1 circuiti omotopi in E. Allor ω = ω. (8) 1 1 Ricordimo che un form differenzile ω = F 1 dx 1...F n dx n di clsse C 1 su un perto connesso E R n si dice chius (in E) se vle x j F i(x) = x i F j(x) i,j = 1,...,n, i j, x E. 3

4 Dim. Per semplicità supponimo che n = 2. Sino,b] un intervllo dove e 1 sono entrmbe prmetrizzte e ϕ :,b],1] E un omotopi tr e 1, che non è restrittivo ssumere di clsse C 2. Definimo I(λ) = ω, cosicché I() = ω, I(1) = ω. 1 Se dimostrimo che I è derivbile e I (λ) = per ogni λ,1], possimo llor dedurre (8). Se ϕ(t,λ) = (x(t,λ),y(t,λ)) e ω = F 1 dxf 2 dy, si h I(λ) = ϕ(,λ) F 1 (ϕ(t,λ)) t x(t,λ) dt F 2 (ϕ(t,λ)) y(t,λ) dt t Allor, grzie ll regolrità C 1 di F 1 e F 2 e ll regolrità C 2 di ϕ, per il teorem di derivzione sotto segno di integrle 2 si ottiene I (λ) = x F 1 λ x(t,λ) y F 1 λ y(t,λ) ] t x(t,λ) dt Poiché ω è chius si h y F 1 = x F 2, e quindi I (λ) = x F 2 λ x(t,λ) y F 2 λ y(t,λ) ] t y(t,λ) dt F1 (ϕ(t,λ)) 2 λt x(t,λ)f 2(ϕ(t,λ)) 2 λt y(t,λ)] dt. x F 1 t x(t,λ) y F 1 t y(t,λ) ] λ x(t,λ) dt x F 2 t x(t,λ) y F 2 t y(t,λ) ] λ y(t,λ) dt F1 (ϕ(t,λ)) 2 λt x(t,λ)f 2(ϕ(t,λ)) 2 λt y(t,λ)] dt. Siccome per il teorem di Schwrz vlgono λt 2 x = 2 tλ x e 2 λt y = 2 tλy, si deduce che I (λ) = F1 (ϕ(t,λ)) λ x(t,λ) ] b dt F2 (ϕ(t,λ)) λ y(t,λ) ] dt t t = F 1 (ϕ(t,λ)) λ x(t,λ) t=b F 2(ϕ(t,λ)) λ y(t,λ) t=b =, t= t= 2 Si f = f(x,y) funzione rele continu in,b] c,d] R 2 ssieme ll su derivt przile rispetto d y, yf. Allor l funzione g : c,d] R definit d è derivbile e vle g(y) = g (y) = f(x,y) dx yf(x,y) dx. 4

5 dove si sono sfruttte (6) e (7), d cui in prticolre si ottiene λ x(b,λ) = λ x(,λ), λ y(b,λ) = λ y(,λ). Il teorem è così dimostrto. Poiché un form differenzile ω continu su un perto connesso E è estt se e solo se ω = per ogni circuito semplice con sostegno contenuto in E, il teorem 1 suggerisce che in perti connessi dove ogni circuito semplice è omotopo d un punto l chiusur di un form differenzile è equivlente ll essere estt. Dimo llor l seguente Definizione 2 Un perto connesso E R n si dice semplicemente connesso se ogni circuito semplice in E è omotopo d un punto, cioè d un curv costnte. Per un perto connesso E di R 2 il ftto di essere semplicemente connesso trduce l ide che E non h buchi. Ad esempio, si consideri il cerchio in figur 1 cui bbimo tolto il centro C. C Figur 1: Insieme non semplicemente connesso Il circuito semplice il cui sostegno è rppresentto nell figur contiene l suo interno l origine. Ogni omotopi ϕ che deformi d un punto in modo continuo deve necessrimente soddisfre ϕ(t,λ) = C per qulche (t,λ), e dunque non è omotopo d un punto (cioè il cerchio privto del suo centro non è semplicemente connesso). L importnz degli insiemi semplicemente connessi è contenut nei due corollri l teorem 1 che seguono. Corollrio 1 Sino E R n un perto semplicemente connesso e ω un form differenzile in E chius. Allor ω è estt. Dim. Si un circuito semplice in E. Allor è omotopo d un punto, e quindi, essendo ω chius, grzie l teorem 1 vle ω =. 5

6 Per l rbitrrietà di si ottiene che ω è estt. Corollrio 2 Sino E R n un perto semplicemente connesso e ω un form differenzile in E chius. Sino inoltre e 1 curve in E con gli stessi estremi. Allor ω = ω. 1 Dim. Poiché ω è chius in un perto semplicemente connesso, ess è estt e quindi l integrle lungo un curv dipende solo dgli estremi di quest. Esercizi 1. Si clcoli il bricentro dell rco di ellisse le cui equzioni prmetriche sono { x = 3cost, t,π], y = 2sent, indicndo con L l lunghezz dell curv senz clcolrl. 2. Clcolre il bricentro dell cicloide { x = R(t sent), dove R > è fissto. y = R(1 cost), t π,π], 3. Dte le forme differenzili negli perti connessi indicti lto ω 1 = xy 3 dx 3 2 x2 y 2 dy in R 2, ω 2 = ysen(xy) dxxsen(xy) dy in R 2, ω 3 = xy ( (1x2 )rctnx 1 (1x 2 )(xy) 2 dx y rctnx ) (xy) 2 dy in { (x,y) R 2 : y > x e y > }, ω 4 = xy3 2 xcot(xy)] sen(xy) dx x2 y 2 3 ycot(xy)] sen(xy) ω 5 = 2x 1(y x2 )e sen(yx2) cos(y x 2 ) y x 2 ω 6 = dx dy in { (x,y) R 2 : < xy < π }, 1(y x2 )e sen(yx2) cos(y x 2 ) y x 2 dy in { (x,y) R 2 : y > x 2}, 2xy x 4 y 4 2x 2 y 2 y 2 dx y 2 x 2 x 4 y 4 2x 2 y 2 y 2 dy in R 2 \{(,)}, si chiede si 6

7 1. provre che sono estte; 2. clcolrne un potenzile. 4. Si α R un prmetro e si F α = yz(y2 z 2 αx 2 ) (x 2 y 2 z 2 ) 2 i xz(x2 z 2 αy 2 ) (x 2 y 2 z 2 ) 2 j xy(x2 y 2 αz 2 ) (x 2 y 2 z 2 ) 2 un cmpo vettorile su R 3 \{(,,)}. Si determinimo i vlori di α per i quli F α è conservtivo e per tli vlori si clcoli un potenzile. 5. Si determini g C 1 (R) per cui l form differenzile y z ω = (x y x) 2 dx x (x y x) 2 dy g(x) (x y x) 2 dz risult estt in E = {(x,y,z) R 3 : x y z > }. Successivmente si clcoli un funzione potenzile dell form così ottenut. 6. Si F α il cmpo vettorile su R 3 definito d dove α R è un prmetro. F α = (x 2 y z 3 α)e x2 yz 3 ( 2xij3z 2 ), 1. Si determini α in modo che F α si conservtivo. 2. Per tli vlori di α si clcoli un potenzile di F α. 7

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