Strutture dati per rappresentare grafi
|
|
|
- Cristiano Cipriani
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano Strutture dati per rappresentare grafi opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
2 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano rafi non diretti 2 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
3 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano quanto spazio? rafi non diretti O(m) O(m + n) O(m + n) O(n 2 ) O(m n) 3 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
4 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano quanto spazio? rafi diretti O(m) O(m + n) O(m + n) O(n 2 ) O(m n) 4 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
5 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano Prestazioni della lista di archi (grafi non diretti) 5 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
6 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano Prestazioni liste di adiacenza (grafi non diretti) 6 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
7 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano Prestazioni matrice di adiacenza (grafi non diretti) 7 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
8 lgoritmi e Strutture ati apitolo Visite di grafi
9 quali parti del grafo sono raggiungibili da un certo nodo? eseguo una visita del grafo
10 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano Scopo e tipi di visita Una visita (o attraversamento) di un grafo permette di esaminare i nodi e gli archi di in modo sistematico (se è connesso) Problema di base in molte applicazioni sistono vari tipi di visite con diverse proprietà: in particolare, visita in ampiezza (S=breadth first search) e visita in profondità (S=depth first search) 0 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
11 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano lgoritmo di visita generica La visita parte da un vertice s prescelto ed esplora seguendo una qualche regola uno dei suoi adiacenti Un vertice v raggiunto da u viene marcato come visitato se è stato incontrato per la prima volta, e viene quindi aggiunto alla frangia di visita; inoltre, il nodo u diventa padre di v, e l arco (u,v) viene etichettato come arco di visita Un vertice rimane nella frangia di visita fintantoché non sono stati esplorati tutti i suoi adiacenti La visita genera un albero di copertura T del grafo opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
12 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano Visite particolari Se la frangia è implementata come coda si ha la visita in ampiezza (S) Se la frangia è implementata come pila si ha la visita in profondità (S) 2 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
13 Visita in ampiezza dato un grafo (non pesato) e un nodo s, trova tutte le distanze/cammini minimi da s verso ogni altro nodo v
14 applicazioni web crawling come google trova nuove pagine da indicizzare social networking trovare gli amici che potresti conoscere network broadcast un nodo manda un messaggio a tutti gli altri nodi della rete garbage collection come scoprire memoria non più raggiungibile che si può liberare model checking verificare una proprietà di un sistema risolvere puzzle risolvere il ubo di Rubik con un numero minimo di mosse
15
16 cubo di Rubik: 2x2x2 grafo delle configurazioni un vertice per ogni possibile stato del cubo un arco fra due configurazioni se l una è ottenibile dall altra tramite una mossa grafo non diretto cubetto #verciti 8! x 3 8 =
17 cubo di Rubik: 2x2x2 stato goal eccentricità di s (od s number) od s number 2x2x2: 3x3x3: 20 s 4x4x4:??? nxnxn: (n 2 /log n) possibili mosse stati raggiungibili in 2 mosse
18 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano Visita in ampiezza 8 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
19 Un esempio s 0
20 Un esempio s 0
21 Un esempio s 0
22 Un esempio s 0
23 Un esempio s 0
24 Un esempio s 0
25 Un esempio s 0 2
26 Un esempio s 0 2
27 Un esempio s 0 2
28 Un esempio s 0 2 2
29 Un esempio s 0 2 2
30 Un esempio s 0 2 2
31 Un esempio s
32 Un esempio s
33 Un esempio s
34 Un esempio s
35 Un esempio s
36 Un esempio s
37 Un esempio s s albero S albero dei cammini di radicato in s
38 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano sempio: grafo orientato 38 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
39 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano osto della visita in ampiezza grafo rappresentato con matrice di adiacenza O(n 2 ) O(n) 39 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
40 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano osto della visita in ampiezza grafo rappresentato con liste di adiacenza O(m+n) u O( (u)) = O(m) O( (u)) 40 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
41 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano osto della visita in ampiezza Il tempo di esecuzione dipende dalla struttura dati usata per rappresentare il grafo (e dalla connettività o meno del grafo rispetto ad s): Liste di adiacenza: O(m+n) Matrice di adiacenza: O(n 2 ) Osservazioni:. Si noti che se il grafo è connesso allora m n- e quindi O(m+n)=O(m) 2. Ricordando che m n(n-)/2, si ha O(m+n)=O(n 2 ) per m=o(n 2 ) la rappresentazione mediante liste di adiacenza è temporalmente più efficiente! 4 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
42 Proprietà dell albero S radicato in s Se il grafo è non orientato, per ogni arco (u,v) del grafo gli estremi u e v appartengono allo stesso livello o a livelli consecutivi dell albero S Se il grafo è orientato, allora gli archi orientati verso il basso uniscono nodi sullo stesso livello o su livelli adiacenti, mentre gli archi orientati verso l alto possono unire nodi su livelli non adiacenti
43 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano Proprietà dell albero S radicato in s Per ogni nodo v, il livello di v nell albero S è pari alla distanza di v dalla sorgente s (sia per grafi orientati che non orientati) Perché? onseguenza delle seguenti proprietà: Proprietà I nodi di vengono inseriti nella coda in ordine non decrescente di distanza dalla sorgente s Proprietà 2 Quando un nodo v è inserito in, il livello di v nell albero S è uguale alla sua distanza da s 43 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
44 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano Proprietà dell albero S radicato in s Per ogni nodo v, il livello di v nell albero S è pari alla distanza di v dalla sorgente s (sia per grafi orientati che non orientati) dimostrazione informale - all inizio inserisco s in (che è a distanza 0 da se stesso) e gli assegno livello 0; chiaramente s è l unico nodo a distanza 0. - estraggo s e guardo tutti suoi vicini; questi sono tutti i nodi a distanza da s; li inserisco in e assegno loro livello. Ora in ho tutti i nodi a distanza. - estraggo uno a uno tutti i nodi di livello/distanza e per ognuno guardo tutti suoi vicini; i vicini non marcati sono a distanza 2 da s; li inserisco in e assegno loro livello 2; quando ho estratto e visitato tutti i nodi di livello, in ho tutti i nodi a distanza 2 da s. - estraggo uno a uno tutti i nodi di livello/distanza 2 e per ognuno guardo tutti suoi vicini; i vicini non marcati sono a distanza 3 da s
45 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano Visita in profondità 45 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
46 un analogia: esplorare un labirinto osa mi serve? gesso: per segnare le strade prese corda: per tornare indietro se necessario 46 variabile booleana: dice se un nodo è stato già visitato pila: push vuol dire srotolare pop vuol dire arrotolare opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
47 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano Visita in profondità 47 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
48 s Un esempio: visita S
49 s Un esempio: visita S
50 s Un esempio: visita S
51 s Un esempio: visita S
52 s Un esempio: visita S
53 s Un esempio: visita S
54 s Un esempio: visita S
55 s Un esempio: visita S
56 s Un esempio: visita S
57 s Un esempio: visita S
58 s Un esempio: visita S
59 s Un esempio: visita S
60 s Un esempio: visita S
61 s Un esempio: visita S
62 s Un esempio: visita S
63 s Un esempio: visita S
64 s Un esempio: visita S
65 s Un esempio: visita S albero S
66 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano sempio: grafo orientato (/2) 66 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
67 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano sempio: grafo orientato (2/2) 67 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
68 tornando al labirinto albero S 68 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
69 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano osto della visita in profondità Il tempo di esecuzione dipende dalla struttura dati usata per rappresentare il grafo (e dalla connettività o meno del grafo rispetto ad s): Liste di adiacenza: O(m+n) Matrice di adiacenza: O(n 2 ) 69 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
70 lgoritmi e strutture dati amil emetrescu, Irene inocchi, iuseppe. Italiano Proprietà dell albero S radicato in s Se il grafo è non orientato, per ogni arco (u,v) si ha: (u,v) è un arco dell albero S, oppure i nodi u e v sono l uno discendente/antenato dell altro Se il grafo è orientato, per ogni arco (u,v) si ha: (u,v) è un arco dell albero S, oppure i nodi u e v sono l uno discendente/antenato dell altro, oppure (u,v) è un arco trasversale a sinistra, ovvero il vertice v è in un sottoalbero visitato precedentemente ad u 70 opyright The Mcraw - Hill ompanies, srl
Algoritmi e Strutture Dati. Capitolo 11 Visite di grafi
lgoritmi e Strutture ati apitolo Visite di grafi Strutture dati per rappresentare grafi rafi non diretti Quanto spazio? a b c d a b c d a 0 a b d c b 0 0 b c a c 0 c a d b d 0 0 d c a Matrice di adiacenza
Algoritmi e Strutture Dati
Algoritmi e Strutture Dati Capitolo 12 Grafi e visite di grafi Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano Definizione Un grafo G=(V,E) consiste in: - un insieme V di vertici (o nodi) - un insieme
Grafi: visite. Una breve presentazione. F. Damiani - Alg. & Lab. 04/05 (da C. Demetrescu et al - McGraw-Hill)
Grafi: visite Una breve presentazione Visite di grafi Scopo e tipi di visita Una visita (o attraversamento) di un grafo G permette di esaminare i nodi e gli archi di G in modo sistematico Problema di base
Grafi: definizioni e visite
Grafi: definizioni e visite Grafi (non orientati) Grafo (non orientato): G = (V, E) V = nodi (o vertici) E = archi fra coppie di nodi distinti. Modella relazioni fra coppie di oggetti. Parametri della
Algoritmi e Strutture Dati
Introduzione ai grafi Grafi: Definizione e Algoritmi di visita Maria Rita Di Berardini, Emanuela Merelli 1 1 Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Camerino A.A. 2007/08 Introduzione ai
Algoritmi e Strutture Dati
Algoritmi e strutture dati Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano Algoritmi e Strutture Dati Capitolo 2 Minimo albero ricoprente: Algoritmo di Prim Il problema del calcolo di un Minimum
Algoritmi e Strutture Dati
Algoritmi e Strutture Dati Capitolo 13 Cammini minimi: Algoritmo di Dijkstra (*) (ACM in grafi diretti e non diretti senza archi di peso negativo) Punto della situazione Algoritmo basato sull ordinamento
Esempi. non. orientato. orientato
Definizione! Un grafo G = (V,E) è costituito da un insieme di vertici V ed un insieme di archi E ciascuno dei quali connette due vertici in V detti estremi dell arco.! Un grafo è orientato quando vi è
Grafi (orientati): cammini minimi
Grafi (orientati): cammini minimi Una breve presentazione Definizioni Sia G=(V,E) un grafo orientato con costi w sugli archi. Il costo di un cammino π= è dato da: Un cammino minimo tra
Visite in Grafi BFS e DFS
Visite in Grafi BFS e DFS Visita di un Grafo Obiettivo: Visitare una sola volta tutti i nodi del grafo. Es.: visitare un porzione del grafo del Web Difficoltà: Presenza di cicli: Marcare i nodi visitati
Algoritmi e Strutture Dati
Maria Rita Di Berardini, Emanuela Merelli 1 1 Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Camerino A.A. 2006/07 Il concetto di dato Il concetto di tipo di dato Insertion Sort for j 2 to lenght[a]
Algoritmi e Strutture Dati Grafi. Daniele Loiacono
lgoritmi e Strutture ati Grafi Riferimenti 2 Questo materiale è tratto dalle trasparenze del corso lgoritmi e Strutture ati del prof. lberto Montresor dell Università di Trento. (http://www.dit.unitn.it/~montreso/asd/index.shtml)
Appunti del corso di Informatica 1 (IN110 Fondamenti) 7 Grafi e alberi: introduzione
Università di Roma Tre Dipartimento di Matematica e Fisica Corso di Laurea in Matematica Appunti del corso di Informatica (IN0 Fondamenti) Grafi e alberi: introduzione Marco Liverani (liverani@mat.uniroma.it)
Tipi di dato e Strutture dati elementari
Tipi di dato e Strutture dati elementari Ing. Paolo Craca Anno accademico 2007/2008 Tipi di dato e Strutture dati elementari 1 / 40 Cosa vedremo in questo seminario 1 Introduzione 2 Pile 3 Code 4 5 Bibliografia
Algoritmi e strutture dati
Algoritmi e Strutture Dati Cammini minimi Definizioni Sia G = (V,E) un grafo orientato pesato sugli archi. Il costo di un cammino π = è dato da: Un cammino minimo tra una coppia di
GRAFI. Cosa sono Grafi non orientati Grafi orientati Grafi pesati Alberi Automi!
G R A F I 1 GRAFI Cosa sono Grafi non orientati Grafi orientati Grafi pesati Alberi Automi! 2 cip: cip: Pallogrammi Pallogrammi GRAFI: cosa sono I grafi sono una struttura matematica fondamentale: servono
Grafi: visita generica
.. Grafi: visita generica Una presentazione alternativa (con ulteriori dettagli) Algoritmi di visita Scopo: visitare tutti i vertici di un grafo (si osservi che per poter visitare un vertice occorre prima
Sommario. Rappresentazione dei grafi. Ordinamento topologico. Visita in ampiezza Visita in profondità
Visite Grafi Sommario Rappresentazione dei grafi Visita in ampiezza Visita in profondità Ordinamento topologico Visita in ampiezza La visita in ampiezza breadth-first-search (BFS) di un grafo dato un vertice
Esercizi proposti 10
Esercizi proposti 10 In questo gruppo di esercizi assumiamo, dove non sia specificato diversamente, di rappresentare i grafi mediante liste di archi, con il tipo di dati così dichiarato: type a graph =
Cammini minimi. Definizioni. Distanza fra vertici. Proprietà dei cammini minimi. Algoritmi e Strutture Dati
Algoritmi e Strutture Dati Definizioni Sia G=(V,E) un grafo orientato con costi w sugli archi. Il costo di un cammino π= è dato da: Cammini minimi Un cammino minimo tra una coppia di
Cammini minimi in grafi:
Algoritmi e strutture dati Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano Cammini minimi in grafi: una trilogia Cammini minimi in grafi: Episodio III: la fine della trilogia Input: nelle puntate
Algoritmi e Strutture Dati (Mod. B) Algoritmi su grafi Ricerca in profondità (Depth-First Search) Parte II
Algoritmi e Strutture Dati (Mod. B) Algoritmi su grafi Ricerca in profondità (Depth-First Search) Parte II Classificazione digli archi Sia G la foresta DF generata da DFS sul grafo G. Arco d albero: gli
Grafi pesati Minimo albero ricoprente
Algoritmi e Strutture Dati Definizioni Grafi pesati Minimo albero ricoprente Sia G=(V,E) un grafo non orientato e connesso. Un albero ricoprente di G è un sottografo T G tale che: T è un albero; T contiene
Introduzione ai grafi. Introduzione ai grafi p. 1/2
Introduzione ai grafi Introduzione ai grafi p. 1/2 Grafi Un grafo G é costituito da una coppia di insiemi (V,A) dove V é detto insieme dei nodi e A é detto insieme di archi ed é un sottinsieme di tutte
Grafi: ordinamento topologico
.. Grafi: ordinamento topologico Che cosa e e come si calcola Che cosa e un ordinamento topologico F. Damiani - Alg. & Lab. 04/05 Una definizione di ordinamento topologico Definizione. Funzione σ: V {1,
Progettazione di algoritmi
Progettazione di algoritmi Discussione dell'esercizio [vincoli] Prima di tutto rappresentiamo il problema con un grafo G: i nodi sono le n lavorazioni L 1, L 2,, L n, e tra due nodi L h, L k c'è un arco
Problema del cammino minimo
Algoritmi e Strutture di Dati II Problema del cammino minimo Un viaggiatore vuole trovare la via più corta per andare da una città ad un altra. Possiamo rappresentare ogni città con un nodo e ogni collegamento
Alberi e alberi binari I Un albero è un caso particolare di grafo
Alberi e alberi binari Un albero è un caso particolare di grafo È costituito da un insieme di nodi collegati tra di loro mediante archi Gli archi sono orientati (ogni arco esce da un nodo origine ed entra
Strutture dati per insiemi disgiunti
Strutture dati per insiemi disgiunti Servono a mantenere una collezione S = {S 1, S 2,..., S k } di insiemi disgiunti. Ogni insieme S i è individuato da un rappresentante che è un particolare elemento
Graf. Progettazione di Algoritmi a.a Matricole congrue a 1. Docente: Annalisa De Bonis
Graf Progettazione di Algoritmi a.a. 2016-17 Matricole congrue a 1 Docente: Annalisa De Bonis 1 Grafi non direzionati Grafi non direzionati. G = (V, E) V = insieme nodi. E = insieme archi. Esprime le relazioni
Terzo allenamento. Olimpiadi Italiane di Informatica - Selezione territoriale
Terzo allenamento Olimpiadi Italiane di Informatica - Selezione territoriale Luca Chiodini luca@chiodini.org - l.chiodini@campus.unimib.it 22 marzo 2016 Programma 1. Lettura di un problema tratto dalle
Quarto allenamento. Olimpiadi Italiane di Informatica - Selezione territoriale
Quarto allenamento Olimpiadi Italiane di Informatica - Selezione territoriale Luca Chiodini luca@chiodini.org - l.chiodini@campus.unimib.it 30 marzo 2017 Programma 1. Lettura e analisi di un problema 2.
Grafi diretti. Un grafo diretto (o grafo orientato) G è una coppia (V,E) dove. V è u n i n s i e m e d i nodi (o vertici);
Algoritmi e Strutture di Dati II 2 Grafi diretti Un grafo diretto (o grafo orientato) G è una coppia (V,E) dove V è u n i n s i e m e d i nodi (o vertici); E µ V V è u n i n s i e m e d i archi. Denotiamo
Esercizi Capitolo 11 - Strutture di dati e progettazione di algoritmi
Esercizi Capitolo 11 - Strutture di dati e progettazione di algoritmi Alberto Montresor 19 Agosto, 2014 Alcuni degli esercizi che seguono sono associati alle rispettive soluzioni. Se il vostro lettore
Cammini Minimi. Algoritmo di Dijkstra
Cammini Minimi Algoritmo di Dijkstra Cammino in un grafo Dato un grafo G=(V,E), un Cammino (Percorso) in G è un insieme di vertici v 1, v 2,.., v k tali che (v i, v i+1 ) E v 1 v 2 v 3 v k In un grafo
Grafi. Sommario. Definizioni Rappresentazione dei grafi Algoritmi di visita Esempi in C
Grafi Sommario Definizioni Rappresentazione dei grafi Algoritmi di visita Esempi in C 1 Esempi Relazioni di parentela Alberi genealogici Relazioni tra classi nei linguaggi OO Grafo del Web Assetti societari
L' ADT grafo è un contenitore di elementi memorizzati nelle posizioni del grafo (vertici e archi)
L' ADT grafo è un contenitore di elementi memorizzati nelle posizioni del grafo (vertici e archi) le informazioni possono essere memorizzate sia sui vertici sia sugli archi del grafo Metodi fondamentali
Algoritmi e Strutture Dati 2/ed Quiz a risposta multipla
Camil Demetrescu Irene Finocchi Giuseppe F. Italiano Algoritmi e Strutture Dati 2/ed Quiz a risposta multipla Indice 1 Un introduzione informale agli algoritmi 1 2 Modelli di calcolo e metodologie di
Minimo albero di copertura
apitolo 0 Minimo albero di copertura efinizione 0.. ato un grafo G = (V, E) non orientato e connesso, un albero di copertura di G è un sottoinsieme T E tale che il sottografo (V, T ) è un albero libero.
Problemi, istanze, soluzioni
lgoritmi e Strutture di Dati II 2 Problemi, istanze, soluzioni Un problema specifica una relazione matematica tra dati di ingresso e dati di uscita. Una istanza di un problema è formata dai dati di un
Alberi ed Alberi Binari
Alberi ed Alberi Binari Il tipo di dato Albero Un albero è una struttura di data organizzata gerarchicamente. È costituito da un insieme di nodi collegati tra di loro: ogni nodo contiene dell informazione,
Dati e Algoritmi 1: A. Pietracaprina. Grafi (II parte)
Dati e Algoritmi 1: A. Pietracaprina Grafi (II parte) 1 Breath-First Search (algoritmo iterativo) Si assume una rappresentazione tramite liste di adiacenza. L ordine con cui si visitano i vicini di un
Problema dell albero di cammini minimi (SPT, Shortest Path Tree) o problema dei cammini minimi :
Per almeno una delle soluzioni ottime { P i, i r } del problema generalizzato, l unione dei cammini P i forma un albero di copertura per G radicato in r e orientato, ossia un albero la cui radice è r i
Intelligenza Artificiale. Risoluzione dei Problemi
Intelligenza Artificiale Risoluzione dei Problemi Strategie non-informate: principali 1. breadth-first; 2. depth-first; 3. depth-first a profondità limitata; 4. ad approfondimento iterativo. Ricerca in
Introduzione. Il routing permette la comunicazione tra due nodi differenti anche se non sono collegati direttamente
Routing Introduzione Il livello 3 della pila ethernet ha il compito di muovere i pacchetti dalla sorgente attraversando più sistemi Il livello di network deve quindi: Scegliere di volta in volta il cammino
Note per la Lezione 4 Ugo Vaccaro
Progettazione di Algoritmi Anno Accademico 2016 2017 Note per la Lezione 4 Ugo Vaccaro Ripasso di nozioni su Alberi Ricordiamo che gli alberi rappresentano una generalizzazione delle liste, nel senso che
Progettazione di Algoritmi - lezione 6
Progettazione di Algoritmi - lezione 6 Discussione dell'esercizio [sensi unici] La rete viaria della cittadina può essere rappresentata facilmente tramite un grafo diretto in cui i nodi sono gli incroci
Una breve introduzione all implementazione in C di algoritmi su grafo
Una breve introduzione all implementazione in C di algoritmi su grafo A cura di Gianmaria Leo Introduzione La lezione è un introduzione a concetti e strumenti che permettono l implementazione di algoritmi
Alberi binari e alberi binari di ricerca
Alberi binari e alberi binari di ricerca Violetta Lonati Università degli studi di Milano Dipartimento di Scienze dell Informazione Laboratorio di algoritmi e strutture dati Corso di laurea in Informatica
Cammini minimi con sorgente singola
Capitolo 11 Cammini minimi con sorgente singola efinizione 11.1. Sia G = (V,, w) un grafo orientato e pesato; dato il cammino p = v 0, v 1,..., v k in G, il valore w(p) = k i=1 w(v i 1, v i ) rappresenta
2.3.3 Cammini ottimi nei grafi senza circuiti
.. Cammini ottimi nei grafi senza circuiti Sia un grafo G = (N, A) orientato senza circuiti e una funzione di costo che assegna un valore c ij R ad ogni arco (i, j) A circuito Proprietà I nodi di un grafo
Grafi. Moreno Marzolla Dip. di Informatica Scienza e Ingegneria Università di Bologna. moreno.marzolla@unibo.it http://www.moreno.marzolla.
Grafi Moreno Marzolla ip. di Informatica Scienza e Ingegneria Università di ologna moreno.marzolla@unibo.it http://www.moreno.marzolla.name/ opyright lberto Montresor, Università di Trento, Italy (http://www.dit.unitn.it/~montreso/asd/index.shtml)
Alberi. Alberi: definizioni. Alberi Binari. Esercizi su alberi binari: metodi ricorsivi. Struttura dati per alberi generici. ASD-L - Luca Tesei
Alberi Alberi: definizioni Alberi Binari Esercizi su alberi binari: metodi ricorsivi Struttura dati per alberi generici 1 Alberi Gli alberi sono strutture dati naturalmente ricorsive Un albero è un particolare
L algoritmo di Dijkstra
L algoritmo di Dijkstra Sebastiano Vigna March 2, 200 Introduzione Supponiamo di assegnare a ciascuno degli archi a di un grafo orientato G un certo peso intero e positivo p a. Ai cammini (orientati) nel
ESERCIZIO MIN-MAX Si consideri il seguente albero di gioco dove i punteggi sono tutti dal punto di vista del primo giocatore.
ESERCIZIO MIN- Si consideri il seguente albero di gioco dove i punteggi sono tutti dal punto di vista del primo giocatore. B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U (6) (8) (5) (0) (-2) (2) (5) (8) (9) (2)
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Collegio Didattico in Ingegneria Informatica corso di Ricerca operativa 2. Esercizi sul problema dell assegnamento
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Collegio Didattico in Ingegneria Informatica corso di Ricerca operativa Esercizi sul problema dell assegnamento Richiami di Teoria Ricordiamo che, dato un grafo G=(N,A),
VISITA IL SITO PER ALTRO MATERIALE E GUIDE
COPYRIGHT SEGO LICENSE Questo documento viene fornito così come è: se pensate che faccia schifo problemi vostri, nessuno vi obbliga a leggerlo. Se pensate che sia qualcosa di positivo e/o avete suggerimenti
«Sciente e Tecnologie dei Beni Culturali»
5 Informatica CdS in «Sciente e Tecnologie dei Beni Culturali» AA 2014-2015 Mini-sito dell insegnamento: http://www.unife.it/scienze/beni.culturali/insegnamenti/informatica Prof. Giorgio Poletti giorgio.poletti@unife.it
Laboratorio di Python
Laboratorio di Python Alberi binari Lab15 12 Maggio 2017 Outline Correzione esercizi per oggi Alberi binari Teoria Esercizi Esercizi per casa Saluti Esercizio 1 per casa Scrivere una funzione palindroma(s)
Introduzione alla gestione delle collezioni di oggetti
Introduzione alla gestione delle collezioni di oggetti Alcune tecniche di base Un esempio: l ADT Dizionario (mutabile) Un esempio: l ADT Pila (mutabile) Un esempio: l ADT Coda (mutabile) Tecniche di rappresentazione
Grafi (non orientati e connessi): minimo albero ricoprente
Grafi (non orientati e connessi): minimo albero ricoprente Una breve presentazione Definizioni Sia G=(V,E) un grafo non orientato e connesso. Un albero ricoprente di G è un sottografo T G tale che: T è
Progettazione di Algoritmi
Corso di laurea in Informatica Prova scritta del: Progettazione di Algoritmi 0/06/06 Prof. De Prisco Inserire i propri dati nell apposito spazio. Non voltare la finché non sarà dato il via. Dal via avrai
Algoritmo basato su cancellazione di cicli
Algoritmo basato su cancellazione di cicli Dato un flusso ammissibile iniziale, si costruisce una sequenza di flussi ammissibili di costo decrescente. Ciascun flusso è ottenuto dal precedente flusso ammissibile
Ingegneria degli Algoritmi (II parte pratica)
Ingegneria degli Algoritmi (II parte pratica) Correzione prova pratica Ing. Domenico Spera domenico.spera@students.uniroma2.eu Premessa Sono stati richiesti i seguenti task: Implementare la versione in-order
METODI DELLA RICERCA OPERATIVA
Università degli Studi di Cagliari FACOLTA' DI INGEGNERIA CORSO DI METODI DELLA RICERCA OPERATIVA Dott.ing. Massimo Di Francesco (mdifrance@unica.it) i i Dott.ing. Maria Ilaria Lunesu (ilaria.lunesu@unica.it)
Automa a Stati Finiti (ASF)
Automa a Stati Finiti (ASF) E una prima astrazione di macchina dotata di memoria che esegue algoritmi Introduce il concetto fondamentale di STATO che informalmente può essere definito come una particolare
Capitolo 5. Algoritmi di ricerca su grafo. 5.1 Algoritmi di ricerca su grafo
Capitolo 5 Algoritmi di ricerca su grafo Gli algoritmi di ricerca su grafo, oggetto dei prossimi paragrafi, rappresentano tecniche fondamentali per determinare nodi che soddisfino particolari proprietà
Dati e Algoritmi I (Pietracaprina) Esercizi svolti sui Grafi
Dati e Algoritmi I (Pietracaprina) Esercizi svolti sui Grafi Dati e Algoritmi I (Pietracaprina): Esercizi 1 Problema 1 (Esercizio C-14.34 del testo [GTG14]) Sia G = (V, E) un grafo non diretto con n =
Introduzione ai grafi
TFA A048 Anno Accademico 2012-13 Outline Cenni storici sui grafi Nozioni introduttive: cammini, connessione, alberi, cicli Cammini di costo minimo Origini storiche La nascita della teoria dei grafi risale
Algoritmi distribuiti su reti sincrone. Introduzione alle reti sincrone
Lucia Pallottino. Sistemi Robotici Distribuiti - Versione del 18 Aprile 2012 194 Algoritmi distribuiti su reti sincrone Per questo capitolo si può fare riferimento al libro Distributed Algorithms di Nancy
Università degli Studi di L Aquila Facoltà di Scienze M.F.N. Corso di Laurea in Informatica. Modulo di Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati
Università degli Studi di L Aquila Facoltà di Scienze M.F.N. Corso di Laurea in Informatica Modulo di Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati Alberi binari Giovanna Melideo melideo@di.univaq.it 1 Alberi
Networking e Reti IP Multiservizio
Networking e Reti IP Multiservizio Modulo : Introduzione alle reti per dati Livello (routing su IP) Gabriele i Stefano: gabriele@ing.univaq.it 4: Network Layer 4a- Livello : Network (Rete) Questa lezione:
Alberi di copertura. Mauro Passacantando. Dipartimento di Informatica Largo B. Pontecorvo 3, Pisa
Alberi di copertura Mauro Passacantando Dipartimento di Informatica Largo B. Pontecorvo, Pisa mpassacantando@di.unipi.it M. Passacantando TFA 0/ - Corso di Ricerca Operativa Università di Pisa / 9 Definizioni
Figura 1: 1) Si scriva la formulazione del problema come problema di PLI (con un numero minimo di vincoli) e la matrice dei vincoli.
ESERCIZIO 1 Sia dato il grafo orientato in Figura 1. Si consideri il problema di flusso a 1 2 4 Figura 1: costo minimo su tale grafo con b 1 = 4 b 2 = 2 b = b 4 = e c 12 = 2 c 1 = 4 c 14 = 1 c 2 = 1 c
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA REGISTRO DELLE LEZIONI E DELLE ALTRE ATTIVITÀ DIDATTICHE Anno accademico 2006-2007 Dott./Prof. Pinotti Maria Cristina Settore scientifico-disciplinare INF01 Facoltà Scienze
Tracce. 1. Data una lista di elementi di tipo intero, implementare in C++ le seguenti funzioni
Algoritmi e Strutture Dati Tracce 1. Data una lista di elementi di tipo intero, implementare in C++ le seguenti funzioni int freq(list &L, int k): restituisce il numero di occorrenze dei multipli
Corso di Programmazione
II Accertamento del 15 Marzo 2002 / A Risolvi i seguenti esercizi, riporta le soluzioni in modo chiaro negli appositi riquadri e giustifica sinteticamente le risposte utilizzando i fogli protocollo. Cosa
Dispense per i corsi di Informatica generale Corso di laurea in Matematica e. Introduzione agli Algoritmi Corso di laurea in Informatica
Dispense per i corsi di Informatica generale Corso di laurea in Matematica e Introduzione agli Algoritmi Corso di laurea in Informatica Prof. Tiziana Calamoneri Prof. Giancarlo Bongiovanni Questi appunti
ALGORITMI CORSO DI STUDIO IN INFORMATICA (laurea triennale) UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA ANNO ACCADEMICO 2014/15
ANNO ACCADEMICO 2014/15 1 a prova in itinere 13 gennaio 2015 ESERCIZIO 1 Si risolva l equazione di ricorrenza al variare del parametro reale a>1. T (n) = 27 n a T + n 2 log n a ESERCIZIO 2 Si ordinino
AUTOMA A STATI FINITI
Gli Automi Un Automa è un dispositivo, o un suo modello in forma di macchina sequenziale, creato per eseguire un particolare compito, che può trovarsi in diverse configurazioni più o meno complesse caratterizzate
Reti Complesse Biologiche
Reti Complesse Biologiche Corso di Modelli di Sistemi Biologici II Università di Roma Sapienza Anno Accademico 2008/2009 Fabrizio De Vico Fallani, PhD Dipartimento di Fisiologia Umana e Farmacologia fabrizio.devicofallani@uniroma1.it
Pumping lemma per i linguaggi Context-free
Pumping lemma per i linguaggi Context-free Sia L un linguaggio context-free. E possibile determinare una costante k, dipendente da L, tale che qualunque stringa z! L con z > k si può esprimere come z=
Algoritmi di Visita di Grafi. Damiano Macedonio mace@unive.it
lgoritmi di Visita di rafi amiano Macedonio mace@unive.it Original work opyright lberto Montresor, Università di Trento, Italy Modifications opyright 00 0, Moreno Marzolla, Università di ologna, Italy
Gestione della produzione e della supply chain Logistica distributiva
Gestione della produzione e della supply chain Logistica distributiva Paolo Detti Dipartimento di Ingegneria dell Informazione e Scienze Matematiche Università di Siena Convergenza dell algoritmo Se non
PSPACE completezza. Un linguaggio A è PSPACE completo se. 1. A è in PSPACE, cioè esiste una TM T che accetta A con complessità di spazio polinomiale.
Sommario Il problema della verità per formule booleane pienamente quantificate è PSPACE - completo PSPACE come la classe dei giochi. Il gioco geografico generalizzato è PSPACE - completo 1 PSPACE completezza
Da libro di testo Cormen et al. CAP 21: par 21.1, 21.2, 21.3 pagg. 468-477 Strutture dati per insiemi disgiunti Una struttura dati per insiemi disgiunti mantiene una collezione S={S 1,S 2,,S k } di insiemi
GRAFI. fig.1 - GRAFI (1) Si avvisa il lettore che certe definizioni che verranno date differiscono da quelle presenti in letteratura.
GRAFI 1. Definizioni, terminologia, esempi e applicazioni (1) Un grafo orientato (o diretto o di-grafo) G è una coppia (V,E) dove V è un insieme non vuoto ed E una relazione binaria su V, E V V, ossia
Grafi (non orientati e connessi): minimo albero ricoprente
.. Grafi (non orientati e connessi): minimo albero ricoprente Una presentazione alternativa (con ulteriori dettagli) Problema: calcolo del minimo albero di copertura (M.S.T.) Dato un grafo pesato non orientato
Grammatiche. Grammatiche libere da contesto Grammatiche regolari Potenza delle grammatiche libere e regolari Struttura di frase: Alberi di derivazione
Grammatiche Grammatiche libere da contesto Grammatiche regolari Potenza delle grammatiche libere e regolari Struttura di frase: Alberi di derivazione Esempio dei numeri interi Si consideri il linguaggio
Ripasso di teoria ed esercizi in preparazione al terzo compito. 26 gennaio 2004
Ripasso di teoria ed esercizi in preparazione al terzo compito 26 gennaio 2004 Teoria: domande tipo per il terzo compitino 1. Metaprogrammazione: In cosa consiste la metaprogrammazione? Quali sono alcuni
Macchine sequenziali. Automa a Stati Finiti (ASF)
Corso di Calcolatori Elettronici I Macchine sequenziali Prof. Roberto Canonico Università degli Studi di Napoli Federico II Dipartimento di Ingegneria Elettrica e delle Tecnologie dell Informazione Corso
3 CENNI DI TEORIA DELLA COMPLESSITA COMPUTAZIONALE. E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 1
3 CENNI DI TEORIA DELLA COMPLESSITA COMPUTAZIONALE E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 1 Scopo: Stimare l onere computazionale per risolvere problemi di ottimizzazione e di altra natura
Algoritmi e Strutture Dati (Mod. B) Algoritmi su grafi Ricerca in profondità (Depth-First Search) Parte III
Algoritmi e Strutture Dati (Mod. B) Algoritmi su grafi Ricerca in profondità (Depth-First Search) Parte III Applicazioni di DFS Due prolemi: calcolare l ordinamento topologico indotto da un grafo aciclico.
Problem Set 3 (quello di natale, ovvero: algoritmi sotto l albero) docente: Luciano Gualà
Problem Set 3 (quello di natale, ovvero: algoritmi sotto l albero) docente: Luciano Gualà Esercizio 0 (esercizio di preparazione allo spirito natalizio) Per accogliere lo spirito natalizio di questo Problem
GLI ALBERI BINARI DI RICERCA. Cosimo Laneve
GLI ALBERI BINARI DI RICERCA Cosimo Laneve argomenti 1. alberi binari di ricerca 2. la ricerca di elementi e la complessità computazionale 3. operazione di cancellazione di elementi 4. esempi/esercizi
CONCRETE (interne): è la effettiva implementazione della struttura nel linguaggio e relativa allocazione in memoria della struttura astratta
STRUTTURE DI DATI DINAMICHE Le strutture dati sono insiemi di dati caratterizzati dalle proprietà logiche e dalla loro forma di aggregazione (vettore, matrice, pila, coda ); le possiamo analizzare da un
Alberi n-ari: specifiche sintattiche e semantiche. Realizzazioni. Visita di alberi n-ari.
Alberi n-ari: specifiche sintattiche e semantiche. Realizzazioni. Visita di alberi n-ari. Algoritmi e Strutture Dati + Lab A.A. / Informatica Università degli Studi di Bari Aldo Moro Nicola Di Mauro ALBERO
11.4 Chiusura transitiva
6 11.4 Chiusura transitiva Il problema che consideriamo in questa sezione riguarda il calcolo della chiusura transitiva di un grafo. Dato un grafo orientato G = hv,ei, si vuole determinare il grafo orientato)
Progettazione di algoritmi
Progettazione di algoritmi Discussione dell'esercizio [acqua 2] Vogliamo trovare una sequenza di versamenti che sia buona e parsimoniosa. Consideriamo quindi il grafo i cui nodi sono le possibili configurazioni
Domini di funzioni di due variabili. Determinare i domini delle seguenti funzioni di due variabili (le soluzioni sono alla fine del fascicolo):
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI SALERNO C.d.L. in INGEGNERIA GESTIONALE Esercizi di Ricerca Operativa Prof. Saverio Salerno Corso tenuto nell anno solare 2009 I seguenti esercizi sono da ritenersi di preparazione