IL PROBLEMA DEI QUADRATI

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1 IL PROBLEMA DEI QUADRATI MICHELE ROVIGATTI MARGHERITA MORETTI SIMONE MORETTI CATERINA COSTANZO GABRIELE ARGIRÒ 0. INTRODUZIONE. Il problem sce d u quesito di combitoric iserito el testo di u gr di mtemtic (semifile ziole del cmpioto iterziole di Giochi Mtemtici del 00): L'obiettivo di questo lvoro è di risolvere il problem determido u formul geerle che permett di cotre tutti i qudrti coteuti i u grigli rettgolre di lti di lughezz e b.. PREREQUISITI: CALCOLO CON LE SOMMATORIE. NOTAZIONE. Spesso bbimo bisogo di clcolre somme di sequeze di molti umeri. Per scrivere queste somme i modo sitetico e comptto itroducimo il simbolo di sommtori. Defiizioe: sio m, є Z co m. Dt u sequez fiit di umeri reli m, m+,... idichimo l loro somm co l seguete otzioe: m k = m + m Il simbolo di sommtori è semplicemete u steogrfi mtemtic che ci f risprmire spzio oppure ci evit l'imbrzzo di dover iserire dei vghi putii ll'itero di formule mtemtiche.

2 Ecco lcui esempi: 37 8 k = k = k PROPRIETÀ. Vedimo lcue proprietà che ci permettero di mipolre i modo formle le sommtorie. Se i termii che sommimo ho tutti lo stesso vlore che o dipede d k si vrà: c = c + c +... c + c = c L'opertore di sommtori gisce i modo liere. Moltiplicre tutti termii dell somm per l stess costte, i virtù dell proprietà distributiv, h lo stesso effetto che moltiplicre tutt l somm per quell costte: c k = c L sommtori di u sequez di somme, i virtù dell proprietà commuttiv, è ugule ll somm delle sommtorie delle sigole sequeze: ( k + bk) = k + b I virtù dell proprietà ssocitiv, possimo scomporre u sommtori ell somm di due sommtorie: k k m + m m k = k + + k m+.3 SOMME TELESCOPICHE. Dt u sequez di umeri,,..., + cosiderimo l sequez delle differeze di termii cosecutivi -, - 3,..., - +; l somm di tli differeze ( k-k+) si dice somm telescopic. Il clcolo di somme telescopiche risult essere molto semplice i quto si verifico delle ccellzioi di termii tr l somm di u differez e quell successiv:

3 ( k-k+) = ( - ) + ( - 3 ) ( - - ) + ( - + ) = -+ Si dice somm telescopic che ( k+-k). Iftti: ( k+-k) = ( - ) + ( 3 - ) ( - - ) + ( + - ) = +-.4 SOMMA DEI PRIMI N Trovimo desso, utilizzdo le sommtorie, u formul che ci permett di clcolre rpidmete l somm di tutti i umeri iteri d. Quidi dobbimo trovre u formul per: Per frlo useremo le somme telescopiche. Prtimo cosiderdo l differez tr i qudrti di due umeri cosecutivi: ( k + ) - k ( k + ) - k = ( k + k + ) - k = k + k Quidi possimo dire che: ( k + ) - k = ( k + ) L prim sommtori, essedo u somm telescopic, l sppimo risolvere: ( + ) - = ( k + ) Per l proprietà commuttiv, dividimo l sommtori rimst i due sommtorie: ( + ) - = k + Poiché ell sommtori il umero è u vlore costte che o dipede d k, possimo scrivere: ( + ) - = k + Adesso ci è rimst u sol sommtori. I virtù dell proprietà distributiv, portimo il fuori dll sommtori:

4 ( + ) - = (k ) + L sommtori che ci è rimst corrispode proprio ll somm di tutti i umeri iteri d, ovvero è quell di cui voglimo trovre il vlore. A questo puto bst dre vti come i u semplice equzioe: ( + ) - = (k ) + ( + + ) - = (k ) + (k ) = + - (k ) = + k = ( + ).5 SOMMA DEI PRIMI N QUADRATI Trovimo desso, utilizzdo le sommtorie, u formul che ci permett di clcolre rpidmete l somm di tutti i qudrti dei umeri iteri d. Quidi dobbimo trovre u formul per: Per frlo useremo le somme telescopiche. Prtimo cosiderdo l differez tr i cubi di due umeri cosecutivi: ( k + ) 3 - k 3 ( k + ) 3 - k 3 = ( k 3 + 3k + 3k + ) - k 3 = 3k + 3k + k Quidi possimo dire che: ( k + ) 3 - k 3 = ( 3k + 3k + ) L prim sommtori, essedo u somm telescopic, l sppimo risolvere: ( + ) 3 - = ( 3k + 3k + ) Per l proprietà commuttiv, dividimo l sommtori rimst i tre sommtorie: ( + ) 3 - = 3k + 3k +

5 Poiché ell sommtori il umero è u vlore costte che o dipede d k, possimo scrivere: ( + ) 3 - = 3k + 3k + Adesso ci soo rimst due sommtorie. I virtù dell proprietà distributiv, portimo i 3 fuori dll sommtori: ( + ) 3 - = 3(k ) + 3(k ) + L sommtori k l sppimo già risolvere perché è l somm dei primi, quidi: ( + ) 3 - = 3(k ( + ) ) + 3( ) + L sommtori che ci è rimst corrispode proprio ll somm di tutti i qudrti dei umeri iteri d, ovvero è quell di cui voglimo trovre il vlore. A questo puto bst dre vti come i u semplice equzioe: ( + ) 3 - = 3(k ( + ) ) + 3( ) + ( ) - = 3(k ( + ) ) + 3( ) = 3(k 3( + ) ) = 3(k 3( + ) ) + + 3(k ) = ( + ) - k = ( + )( + ). SOMMA DEI PRIMI N CUBI Trovimo desso, utilizzdo le sommtorie, u formul che ci permett di clcolre rpidmete l somm di tutti i cubi dei umeri iteri d. Quidi dobbimo trovre u formul per: Per frlo useremo le somme telescopiche. Prtimo cosiderdo l differez tr le qurte poteze di due umeri cosecutivi: k 3 ( k + ) 4 - k 4

6 ( k + ) 4 - k 4 = ( k 4 + 4k 3 + k + 4k + ) - k 4 = 4k 3 + k + 4k + Quidi possimo dire che: ( k + ) 4 - k 4 = ( 4k 3 + k + 4k + ) L prim sommtori, essedo u somm telescopic, l sppimo risolvere: ( + ) 4 - = ( 4k 3 + k + 4k + ) Per l proprietà commuttiv, dividimo l sommtori rimst i quttro sommtorie: ( + ) 4 - = 4k 3 + k + 4k + Poiché ell sommtori il umero è u vlore costte che o dipede d k, possimo scrivere: ( + ) 4 - = 4k 3 + k + 4k + Adesso ci soo rimst tre sommtorie. I virtù dell proprietà distributiv, portimo i coefficieti delle k fuori dll sommtori: ( + ) 4 - = 4k 3 + k + 4 k + L sommtorie k e k le sppimo già risolvere perché soo rispettivmete l somm dei primi e l somm dei primi qudrti, quidi: ( + ) 4 - = 4 k 3 ( + )( + ) ( + ) + ( ) + 4( ) + L sommtori che ci è rimst corrispode proprio ll somm di tutti i cubi dei umeri iteri d, ovvero è quell di cui voglimo trovre il vlore. A questo puto bst dre vti come i u semplice equzioe: ( + ) 4 - = 4 k 3 ( + )( + ) ( + ) + ( ) + 4( ) + k 3 = ( + ) 4

7 . CONTEGGIO DEI QUADRATI Simo or proti per iizire l ricerc dell formul per il coteggio dei qudrti. Per fre questo bbimo deciso di utilizzre u prtizioe dell'isieme Q dei qudrti d cotre, cioè u fmigli di isiemi Q, Q, Q 3,... Q -, Q, due due disgiuti e tli che: Q= Q Q Q 3,... Q - Q. Per il clcolo di tutti i qudrti (l crdilità di Q, idict co IQI) si potrà llor usre l relzioe (proprietà delle prtizioi): IQI = IQ I + IQ I + IQ 3 I IQ - I + IQ I A tle scopo iizimo d idividure due tipi di qudrti: qudrti co i lti prlleli quelli del rettgolo (qudrti "orizzotli") qudrti co i lti o prlleli quelli del rettgolo (qudrti obliqui).. TEOREMA: CONTEGGIO DEI QUADRATI ORIZZONTALI. Cosiderimo u grigli rettgolre co i lti, b tli che b. Il umero di qudrti orizzotli di lto k è: [ (k )][b (k )] Il umero di tutti qudrti orizzotli è: ( + )(3b + )

8 Dimostrzioe Cosiderimo u geerico rettgolo co i lti, b tli che b e cotimo quti qudrti orizzotli x vi soo ll itero del rettgolo e otimo che soo tti quti x b. Poi si vede quti soo i qudrti orizzotli x e otimo che soo ( )(b ).

9 I qudrti orizzotli 3x3 ivece soo ( )(b ). Così cotiudo si ottiee che i qudrti orizzotli kxk soo: [ (k )][b (k )] Si rriv ll fie i qudrti x che soo [ ( )][b ( )]= b + Possimo llor clcolre il umero di tutti i qudrti orizzotli co l sommtori [ (k )][b (k )] Si fo tutti i clcoli: ( k + )(b k + ) ( + b + b k bk + k k + ) ( + b + b) k bk + k + ( - k + ) b + b 3 3 b + 3b + b + b L formul dei qudrti orizzotli quidi è: ( + )(3b + )

10 .3. CONTEGGIO DEI QUADRATI INSCRITTI IN UN QUADRATO ORIZZONTALE Il successivo psso cosiste el cotre tutti i qudrti iscritti i u qudrto orizzotle A tle scopo occorre prim dimostrre u risultto di geometri euclide..4 TEOREMA DEI QUADRATI INSCRITTI IN UN QUADRATO. Dto il qudrto ABCD e il qudrto iscritto A'B'C'D' si h: D C' C B' D' A A' B AA' BB' CC' DD' Dimostrzioe. e A' B B' C C'D D' A AA'D' + BA'B' R perché supplemetri dell'golo D'A'B' R ; m che AA'D' + AD'A' R perché l somm degli goli iteri di u trigolo è pri due goli retti. Quidi AD'A' BA'B' perché complemetri di uo stesso golo. Ioltre D'A' A'B' per ipotesi. Quidi AD'A' BA'B' per il criterio di cogruez dei trig oli. Alogmete si dimostr che: BA'B' CB'C' CB'C' DC'D' DC'D' AD'A'

11 e quidi: AA' BB' CC' DD' e A' B B' C C'D D' A Osservzioe: scelto u lto del qudrto grde: fissto u puto A sul lto, c è solo u qudrto i esso iscritto co vertice A. ogi qudrto iscritto h u vertice su questo lto..5 TEOREMA (CONTEGGIO DEI QUADRATI INSCRITTI) Il umero dei qudrti iscritti i u qudrto orizzotle di lto (compreso il qudrto orizzotle), soo esttmete. Dimostrzioe. Segue dll'osservzioe ftt ll fie del teorem precedete e dl ftto che i puti dell grigli posti su u lto del qudrto orizzotle e che determio i qudrti iscritti soo. Esempio: =3

12 . PARTIZIONE DEI QUADRATI. U modo per cosiderre tutti i qudrti è cosiderre tutti i qudrti iscritti i u sigolo qudrto orizzotle, e poi fr vrire quest'ultimo ell'isieme di tutti i qudrti orizzotli. Quest scelt corrispode rccogliere tutti i qudrti egli isiemi dei qudrti iscritti ei qudrti orizzotli. Questi isiemi relizzo u prtizioe, iftti: ogi qudrto è iscritto i qulche qudrto orizzotle; o succede mi che u qudrto si iscritto cotemporemete i due qudrti orizzotli (dipede dl ftto che due qudrti orizzotli ho sempre lmeo due lti privi di puti i comue e che u qudrto iscritto deve icotrre tutti i lti del qudrto orizzotle). Simo or filmete i grdo di cotre tutti qudrti utilizzdo tle prtizioe..7. TEOREMA: CONTEGGIO DI TUTTI I QUADRATI. Il umero di tutti i qudrti coteuti i u grigli rettgolre di dimesioi e b co b è: Dimostrzioe. ( + )( + )(b + ) Per quto stbilito ei teoremi. e.5 il umero di qudrti iscritti ei qudrti orizzotli di lto k è: [ (k )][b (k )]k

13 Così possimo dire che l somm di tutti i qudrti i tutti gli orietmeti corrispode ll sommtori: [ (k )][b (k )]k Adesso risolvimo quest sommtori per ricvre u formul: (k k [ (k )][b (k )]k + bk + k Dividimo l sommtori elle sommtorie: k k + bk + k 3 3 bk bk k bk + k) bk k + k Per l proprietà distributiv, portimo fuori dlle sommtorie i coefficieti dei vri k: ( k) ( k ) + b( k) + ( 3 k ) b( k ) b( k) ( k ) + ( Adesso ci ccorgimo che le sommtorie rimste soo proprio le somme dei primi, dei primi qudrti e dei primi cubi, che bbimo già imprto clcolre: k) ( + ) ( + )( + ) ( + ) + b + ( + )( + ) ( + ) + ( + ) 4 ( + )( + ) ( + ) b b E dopo i vri clcoli rrivimo d vere: ( + )( + )(b + ) L formul per cotre tutti i qudrti idipedetemete dll loro orietzioe è quidi: ( + )( + )(b + )

14 CONCLUSIONE Nel cso del quesito dell gr illustrto ll'iizio b si h: =4 b= Quidi, pplicdo l formul stbilit el teorem.7 si h 4(4 + )(4 + )( 4 + ) = 90 BIBLIOGRAFIA E SITOGRAFIA D. Foschi (009), Sommtorie, M. Cstell (00), Logic, MICHELE ROVIGATTI (4 D PNI) MARGHERITA MORETTI (5 D PNI) CATERINA COSTANZO (5 C) SIMONE MORETTI (5 H PNI) GABRIELE ARGIRÒ(5 H PNI) (LICEO CLASSICO ORAZIO DI ROMA, A.S )