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1 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 VETTORI NELLO SPAZIO ORDINARIO Vettori ordinari ed operazioni. Dipendenza ed indipendenza lineare, basi. Prodotto scalare, proiezioni, angoli. Prodotto vettoriale e prodotto misto, aree, volumi. Sottospazi. Esercizio 1 Siano u = ai + 2j + bk, v = (1 b)i + bj + 2k, w = bi + bj + 2k. Trovare i valori di a e b per cui u + v e w hanno la stessa direzione. Esercizio 2 Siano u 1 = i +j+k, u 2 = i j + k, u 3 = i + j k. Quali dei seguenti insiemi è libero? 1) {u 1,u 2 }; 2) {u 1 + u 2,u 1 u 2 }; 3) {u 1,u 2,u 3 }; 4) {i,u 2,u 3 }. Esercizio 3 Per ciascuna delle seguenti matrici, determinare se l insieme delle colonne (pensate come vettori) è una base di R , , , Esercizio 4 Trovare l angolo tra le seguenti coppie di vettori 1) {i, i + j}; 2) {i + j, i + k}; 3) {i + j, 2i + j + k}. In ogni caso trovare un versore perpendicolare ai due vettori dati Esercizio 5 Dati i vettori u = i + 3j k e v = i j, scomporre u nella somma di un vettore perpendicolare a v e di uno avente la stessa direzione di v. Esercizio 6 Trovare i vettori complanari con u = i k e v = i + j ed ortogonali a u + v. Esercizio 7 Calcolare u + v 2. Dedurre che 1) u e v sono ortogonali se e solo se u + v = u v ; 2) u + v e u v sono ortogonali se e solo se u = v. Esercizio 8 Trovare tutti i vettori di norma 5 perpendicolari a 2i + j 3k..

2 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA - Vettori nello spazio ordinario 2 Esercizio 9 Siano v 1 = i + ak, v 2 = aj + k e v 3 = i + j + k, con a R. 1) Calcolare (v 1 v 2 ) v 3. 2) Per quali valori di a l insieme {v 1,v 2,v 3 } è libero? 3) Trovare b,c R per cui (v 1 v 2 ) v 3 = bv 1 + cv 2. Esercizio 10 Siano u = 3i + 4k e v = j k. 1) Calcolare l area del parallelogramma di lati u e v. 2) Determinare un vettore w tale che il parallelepipedo di spigoli u, v e w abbia volume 16. 3) Determinare un vettore w tale che il tetraedro di spigoli u, v e w abbia volume 1. Esercizio 11 Quali dei seguenti insiemi di vettori sono un sottospazio? 1) V 1 = {(t + 1)i + tj + 3tk : t R}; 2) V 2 = { t 2 j t 2 k : t R } ; 3) V 3 = { t 3 i + 2t 3 j : t R }. Esercizio 12 In R 3 si considerino i vettori v 1 = i, v 2 = i + j, v 3 = i + j + k, v 4 = 2i + j k ed i due sottospazi U = L(v 1,v 2 ), V = L(v 3,v 4 ). Descrivere U V, U V e U + V. Esercizio 13 Siano V = {xi + yj + zk : x = y + z} e W = {xi + yj + zk : x = y = z}. Per ciascuna delle seguenti affermazioni, dire se è vera o falsa: (i) V W = {0}; (ii) V = L (2i + j + k); (iii) W V ; (iv) V + W = R 3.

3 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA - Vettori nello spazio ordinario 3 SVOLGIMENTI Esercizio 1 Ricordiamo che due vettori hanno la stessa direzione se e solo se sono non nulli e le loro componenti risultano proporzionali (si noti che le direzioni si confrontano solo tra vettori non nulli). Poiché u +v = (a + 1 b)i + (2 + b)j + (2 + b)k, i vettori u+v e w sono proporzionali se e solo se esiste h R tale che a + 1 b = hb 2 + b = hb 2 + b = 2h Dalle ultime due equazioni, scartando la soluzione h = 0 (che darebbe valori di a,b per cui u + v = 0), si ricava b = h = 2 e, sostituendo nella prima, a = 5. Esercizio 2 Ricordiamo che insieme libero significa insieme di vettori linearmente indipendenti. 1) Un insieme composto da due vettori è libero se e solo se i due vettori sono non nulli e non proporzionali. I vettori u 1 ed u 2 non sono nulli ed il primo non è multiplo del secondo (le loro componenti sono (1,1,1) e (1, 1,1)), quindi formano un insieme libero (ovvero, u 1 ed u 2 sono linearmente indipendenti). 2) 1 o modo: si calcola direttamente u 1 + u 2 = k e u 1 u 2 = 2i + 2j e si vede subito che u 1 + u 2 e u 1 u 2 sono non nulli e non proporzionali. Dunque essi formano un insieme libero di vettori. 2 o modo: è facile verificare che, dati due vettori qualsiasi non nulli u e v, essi sono linearmente indipendenti se e solo se lo sono u + v e u v. Quindi la coppia data è libera perché lo è la coppia di vettori u 1 ed u 2, come verificato al punto 1). 3) 1 o modo: osserviamo che i primi due vettori sono linearmente indipendenti, per quanto verificato al punto 1); basta allora mostrare che u 3 non è combinazione lineare dei primi due. Ma per ogni valore di a,b R si ha au 1 + bu 2 = ( a + b)i + (a b)j + (a + b)k e le sue prime due componenti sono sempre opposte o nulle (se a = b), mentre le prime due componenti di u 3 sono uguali e non nulle. Quindi, anche senza scrivere le uguaglianze tra componenti e risolvere rispetto ad a e b, si può affermare che u 3 non può essere scritto come combinazione lineare dei primi due. Dunque i tre vettori formano un insieme libero. 2 o modo: tre vettori qualsiasi nello spazio sono linearmente indipendenti se e solo se il loro prodotto misto è diverso da zero. Nel caso in esame, si ha u 1 (u 2 u 3 ) = = 4 0.

4 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA - Vettori nello spazio ordinario 4 4) Si vede subito che u 2 + u 3 = 2i e quindi i tre vettori non sono linearmente indipendenti (non formano un insieme libero). Se non ci si accorgesse subito della relazione, si può ovviamente procedere come al punto 3). Esercizio 3 Ricordiamo che per avere una base di R 3 occorre e basta avere tre vettori linearmente indipendenti di R 3. 1) I vettori colonna sono solo due e quindi non possono formare una base di R 3. 2) Questa volta i vettori sono in numero giusto. 1 o modo: riduciamo la matrice per vedere se le sue 3 colonne sono linearmente indipendenti, cioè se la matrice ha rango 3. Si ottiene R 2 2R 1,R 3 8R R 3 5R La matrice ridotta (e quindi quella di partenza) ha rango 3 e pertanto i suoi 3 vettori colonna sono linearmente indipendenti. 2 o modo: le colonne (e le righe) di una matrice quadrata sono linearmente indipendenti se e solo se il determinante della matrice è diverso da zero. Nel caso in esame, si ha = ) Si tratta di 4 vettori di R 3 (troppi) e perciò si può subito affermare che essi non sono una base di R 3. In particolare, essi non sono linearmente indipendenti ed in questo caso è banale vedere che l ultima colonna è la somma delle prime tre. Osserviamo comunque che, scelti in un modo qualsiasi 3 di questi vettori, essi sono linearmente indipendenti e quindi formano una base di R 3. 4) Procedendo come al punto 2), si vede che questa volta i vettori dati non sono linearmente indipendenti e quindi non formano una base di R 3. Esercizio 4 Utilizzeremo la definizione di prodotto scalare tra due vettori (u v = u v cos α, dove α [0,π] è l angolo dei due vettori) e la sua espressione in componenti (il prodotto scalare è dato dalla somma dei prodotti delle componenti omologhe). 1) Poiché i = 1 e i + j = 2, si ha i (i + j) = 2cos α = (1,0,0) T (1,1,0) = 1, da cui segue cos α = 1/ 2 e quindi α = π/4. Si vede immediatamente che un versore ortogonale ad entrambi è k.

5 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA - Vettori nello spazio ordinario 5 2) Poiché i + j = 2 e i + k = 2, si ha (i + j) (i + k) = 2cos α = (1,0,0) T (1,1,0) = 1, da cui segue cos α = 1/2 e quindi α = π/3. Per calcolare un versore w ortogonale ad entrambi si può calcolare il prodotto vettoriale dei due e poi normalizzarlo. Si ottiene i j k (i + j) (i + k) = = i j k e quindi, normalizzando, w = 1 3 i 1 3 j 1 3 k. 3) Si può ragionare come nel punto 2), oppure procedere in modo più sintetico, osservando i vettori dati e sfruttando i risultati del punto 2) stesso. Il vettore i + j corrisponde al primo vettore del punto 2), mentre il vettore 2i + j + k è la somma dei due vettori u = i + j e v = i + k dati in 2). Il vettore u + v si può rappresentare usando la regola del parallelogramma: la sua direzione è quella della diagonale del parallelogramma che ha per lati u e v e pertanto coincide con la direzione della bisettrice dell angolo tra u e v già trovato, in quanto u e v hanno la stessa lunghezza. L angolo richiesto è allora la metà di quello determinato prima, cioè α = π/6. Come versore ortogonale si può ovviamente scegliere quello trovato al punto 2), perché i quattro vettori considerati sono tutti complanari. Esercizio 5 Per semplicità, scriviamo u = (1, 3, 1) e v = (1, 1, 0). Calcoliamo la proiezione u di u su v: u = (u v) v 1,0) = 2(1, = ( 1,1,0). v 2 2 Per costruzione, u ha la stessa direzione di v mentre u = u u = (2,2, 1) è un vettore ortogonale a v. Poiché u = u + u, abbiamo trovato la decomposizione richiesta. Esercizio 6 I vettori complanari ad u e v sono tutte e sole le loro combinazioni lineari, cioè i vettori della forma au + bv = (a + b)i + bj ak con a,b R. Imponiamo la condizione di ortogonalità con u + v = 2i + j k, che equivale a chiedere l annullarsi del prodotto scalare: (au + bv) (u + v) = 2(a + b) + b + a = 3(a + b) = 0 b = a. Le soluzioni del problema sono allora tutti i vettori del tipo au av = a(u v) = a( j k). Il prossimo esercizio generalizza questo risultato.

6 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA - Vettori nello spazio ordinario 6 Esercizio 7 Calcoliamo il quadrato del modulo usando il prodotto scalare e le sue proprietà: u+v 2 = (u+v) (u+v) = u (u+v)+v (u+v) = u 2 +u v+v u+ v 2 = u 2 +2u v+ v 2. 1) Dobbiamo provare che u v u + v = u v. Volendo utilizzare la relazione trovata in precedenza, conviene scriverla anche per u v 2 : Si ha allora u v 2 = u 2 2u v + v 2. u + v = u v u + v 2 = u v 2 u 2 + 2u v + v 2 = u 2 2u v + v 2 4u v = 0 u v = 0 u v. 2) Calcolando come prima, si ottiene (u + v) (u v) = u 2 v 2. Quindi (u + v) (u v) (u + v) (u v) = 0 u 2 v 2 = 0 u = v. Esercizio 8 Il generico vettore xi + yj + zk è ortogonale a 2i + j 3k se e solo se il prodotto scalare dei due è nullo; calcolando il prodotto scalare ed imponendo l ortogonalità, si ottiene allora la condizione 2x + y 3z = 0. Inoltre xi + yj + zk = 5 x 2 + y 2 + z 2 = 25. I vettori cercati sono dunque tutti e soli i vettori xi+yj+zk le cui componenti soddisfano le due condizioni scritte. Osserviamo che la prima condizione rappresenta l appartenenza del vettore cercato al piano passante per l origine ed ortogonale a 2i+j 3k, mentre la seconda condizione impone l appartenenza del punto (x,y,z) alla sfera di centro l origine e raggio 5. I vettori cercati si possono dunque rappresentare come i punti della circonferenza che si ottiene intersecando il piano con la sfera. Esercizio 9 1) Per calcolare il prodotto misto basta calcolare il determinante delle componenti dei vettori, ordinatamente disposte sulle righe; si ha (v 1 v 2 ) v 3 = 1 0 a 0 a 1 = a a. Naturalmente si può procedere per passi, calcolando prima v 1 v 2 e moltiplicandolo poi scalarmente per v 3. 2) I tre vettori formano un insieme libero se e solo se il loro prodotto misto è diverso da zero; risolvendo l equazione di secondo grado, si ottiene a 2 a 1 0 a 1± 5 2.

7 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA - Vettori nello spazio ordinario 7 3) Da un lato si ha e quindi (v 1 v 2 ) v 3 = i j k v 1 v 2 = 1 0 a 0 a 1 = a2 i j + ak i a 2 1 a j k = ( 1 a)i + (a2 + a)j + ( a 2 + 1)k. Dall altro Dunque bv 1 + cv 2 = bi + acj + (ab + c)k. (v 1 v 2 ) v 3 = bv 1 + cv 2 ( 1 a)i + (a 2 + a)j + ( a 2 + 1)k = bi + acj + (ab + c)k da cui si ottengono le relazioni 1 a = b a(a + 1) = ac a = ab + c ossia 1 a = b a = 0 a = ab + c oppure 1 a = b a c + 1 = 0. a = ab + c Il primo sistema fornisce subito a = 0, b = 1 e c = 1. Il secondo equivale a b = 1 a c = a + 1 a = a(a + 1) + a + 1 che risulta verificato per b = 1 a e c = a + 1, con a R qualsiasi. Tale soluzione è la soluzione generale del problema, in quanto include anche la soluzione del primo sistema (per a = 0). Esercizio 10 Siano u = 3i + 4k e v = j k. 1) L area del parallelogramma di lati u e v è data dal modulo del loro prodotto vettoriale: si ha i j k u v = = 4i + 3j + 3k e quindi u v = = 34.

8 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA - Vettori nello spazio ordinario 8 2) Il volume del parallelepipedo di spigoli u, v e w è dato dal valore assoluto del loro prodotto misto, quindi si tratta di cercare w = xi + yj + zk tale che (u v) w = 16. Poiché (u v) w = = 4x + 3y + 3z, x y z la condizione è 4x + 3y + 3z = 16, che, scegliendo ad esempio y = z = 0, diventa x = 4. Due possibili scelte di w sono quindi w = ±4i. 3) Il volume di un tetraedro è la sesta parte del volume del parallelepipedo con gli stessi spigoli, quindi, usando i conti del punto 2), la condizione da imporre è 4x + 3y + 3z = 6. Scegliendo ad esempio x = z = 0, si ottiene y = 2 e due possibili scelte di w sono quindi w = ±2j. Esercizio 11 1) V 1 non è un sottospazio, perché non contiene il vettore nullo (non esiste t R tale che t + 1 = t = 0). Osserviamo che V 1 rappresenta una retta di R 3, non passante per l origine degli assi. 2) V 2 non è un sottospazio, ad esempio perché non contiene l opposto j + k di j k (non esiste t R tale che t 2 = 1). 3) V 3 = { t 3 (i + 2j) : t R } è un sottospazio: poiché t 3 descrive tutto R al variare di t in R, si tratta del sottospazio generato dal vettore (1,2,0). Esercizio 12 I vettori v 1 e v 2 sono evidentemente linearmente indipendenti e quindi il sottospazio da essi generato descrive un piano di R 3 passante per l origine. Per avere la sua equazione basta ridurre la matrice ottenuta scrivendo per colonne i due vettori e aggiungendo come ultima colonna un generico vettore di R 3 : l equazione nasce allora naturalmente dall imporre che la matrice non aumenti di rango rispetto alla sottomatrice formata dalle prime due colonne (il che significa che l ultima colonna dipende linearmente dalle altre). Si ottiene la matrice 1 1 x 0 1 y, 0 0 z che è già ridotta e pertanto la condizione da imporre è z = 0. L equazione di L(v 1,v 2 ) dunque z = 0, cioè L(v 1,v 2 ) = {xi + yj + zk : z = 0} = L(i,j) (come si poteva prevedere subito, osservando v 1 e v 2 ). Analogamente, anche i vettori v 3 e v 4 sono linearmente indipendenti e generano un piano di R 3 passante per l origine, la cui equazione si ottiene per riduzione: 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 1 y R 2 R 1,R 3 R y x R 3 3R y x 1 1 z 0 3 z x 0 0 2x 3y + z e l equazione di L(v 2,v 3 ) dunque 2x 3y + z = 0.

9 VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA - Vettori nello spazio ordinario 9 L intersezione dei due sottospazi corrisponde all intersezione dei due piani e sarà dunque una retta per l origine, la quale corrisponde a sua volta ad un sottospazio generato da un vettore non nullo. Per calcolare U V basta risolvere il sistema delle loro equazioni: { 2x 3y + z = 0, z = 0 che ha la soluzione x = 3t,y = 2t,z = 0 con t R qualsiasi. Dunque U V = {3ti + 2tj : t R} = L(3i + 2j). L insieme U V non è un sottospazio ma è semplicemente l unione insiemistica di U e V ed è quindi rappresentato geometricamente dall unione dei due piani. Invece U + V è il minimo sottospazio che contiene sia U che V e perciò coincide con tutto R 3. Esercizio 13 (i) VERA; infatti il sistema delle equazioni x = y + z, x = y, y = z ha la sola soluzione x = y = z = 0. In altri termini, V e W rappresentano rispettivamente un piano ed una retta per l origine che si incontrano in un solo punto. (ii) FALSA; come già osservato V è un piano e non può essere generato da un solo vettore. (iii) FALSA; si è già visto al punto (i) che l intersezione di V e W è ridotta al solo vettore nullo. (iv) VERA; infatti R 3 è il più piccolo sottospazio che contiene un piano e una retta non contenuta nel piano stesso.

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