INDICE. Capitalizzazione Pagina 3 Sconto e valore attuale Pagina 10 Equivalenza finanziaria e operazioni composte Pagina 14 Rendite Pagina 16

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1 MATEMATICA FINANZIARIA

2 INDICE Capalzzazone Pagna 3 Scono e valore auale Pagna 0 Equvalenza fnanzara e operazon compose Pagna 4 Rende Pagna 6 2

3 CAPITALIZZAZIONE Defnzon Il conrao d preso o d muuo è quell operazone fnanzara che s deermna ogn qual vola persone o mprese, avendo bsogno d denaro, rovano qualcuno dsposo a presare loro, per un cero perodo d empo, quella somma. Muuane o credore: colu che dà n preso l denaro Muuaaro o debore: colu che rceve n preso l denaro Legge della capalzzazone M = C + I dove M = monane C = capale I = neresse (n generale l neresse vene calcolao n funzone del asso d neresse e del empo ) Capalzzazone semplce S parla d preso a neresse semplce quando l neresse è proporzonale al capale e al empo. I = C Il empo vene espresso n ann. Può capare che la duraa sa frazonaa. In queso caso l empo s calcola: m g = n dove n = numero nero d ann m = frazone d anno corrspondene al numero d mes g = frazone d anno corrspondene al numero d gorn. S adoa convenzonalmene l anno commercale par a 360 gorn. La legge della capalzzazone a neresse semplce è M = C ( + ) Il monane a neresse semplce s oene come prodoo d C per l faore ( + ). 3

4 Il regme ad neresse semplce s applca generalmene ne pres con scadenza nferore a un anno e con pagameno poscpao dell neresse. credore cede C ncassa C + I 0 debore rceve C resusce C + I A vole s può consderare l pagameno ancpao dell neresse. Credore cede C I ncassa C 0 debore rceve C I resusce C I M (0; C) Ne due grafc la pendenza della rea ndca l prodoo C. Per rcavare da grafc due paramer dunque è necessaro calcolars la pendenza rame formula. Nel grafco M- è possble rcavare mmedaamene l capale che rsula essere la coordnaa del puno d nersezone ra la rea e l asse y. Dao queso valore e la pendenza s rcava. Se l capale fosse unaro, C =, la pendenza della rea sarebbe. Noa maemaca Da due pun A(x A ; y A ) e B(x B ; y B ) la pendenza d una rea s calcola come: pendenza = y x B B y x A A 4

5 Capalzzazone composa Il regme d capalzzazone composo consse nella capalzzazone perodca degl neress. Il perodo d capalzzazone è generalmene un anno e s parla d capalzzazone annua, qualora l perodo sa nferore all anno s parla d capalzzazone frazonaa. S consder =, calcolamo l monane al prmo anno M M = C ( + ) Po quello al secondo anno applcando l neresse sul nuovo capale Vedamo cosa succede al erzo anno M 2 = M ( + ) = C ( + ) ( + ) = C ( + ) 2 M 3 = M 2 ( + ) = C ( + ) 2 ( + ) = C ( + ) 3 Procedendo n modo analogo per n ann l monane sarà M = C ( + ) n Il monane a neresse composo s calcola molplcando l capale per l faore ( + ) n d capalzzazone composa. Quando è rrlevane specfcare, l bnomo ( + ) s può ndcare con la leera u, ponendo u = +, da cu M = C u n Applcazone formula Il modo pù semplce per ulzzare la formula precedene è quella d usare una calcolarce scenfca alrmen è possble ulzzare un pronuaro che fornsce valor della funzone y = ( + ) n con 8 cfre decmal. Tuava pronuar non sono scr per ogn asso e per ogn empo. In queso caso è necessaro esegure un operazone maemaca per rcavare ass o emp non abula. Tale formula è l nerpolazone lneare. Consderando una funzone y= f(x) sano no valor che assume la funzone n x e x 2. Il problema è quello d rcavare l valore della funzone n un puno x compreso ra x e x 2. La ecnca dell nerpolazone lneare consse nell approssmare la funzone con la rea passane per A(x ; y ) e B(x 2 ; y 2 ) e d ulzzare la formula y y x x = y y x x 2 2 5

6 Monane per ann non ner Per calcolare l monane n caso d ann non ner s possono ulzzare due formule. La prma è una formula lneare e prende l nome d capalzzazone msa M = C ( + ) n ( + f) dove f rappresena una frazone propra d anno. Quesa formula ha lo svanaggo d non essere faclmene rsolvble nel regme de emp. Per ovvare a ale nconvenene s ulzza la formula pù semplce algebrcamene parlando, ma d pù dffcle soluzone se non s dspone d una calcolarce scenfca. Tale formula è esponenzale dove rappresena l empo non nero. M = C ( + ) Rappresenazone grafca M 2 > La funzone ha concavà verso l alo ed è una funzone sempre crescene. Al crescere del asso, la curva cresce pù rapdamene a parà degl alr faor. (0; C) Formule nverse Daa le complessà della formula, vengono forne le vare formule nverse scre n dverse manere: ( ) M = C + M C = = M + ( + ) ( ) M M = = C C M log C log M log C = = log log ( + ) ( + ) 6

7 Confrono capalzzazone semplce e composa S consder la formula del monane a neresse semplce e composo: M semplce: M = C ( + ) composo: M = C ( + ) con medesmo capale nzale e medesmo asso d neresse. Le due curve sono ugual quando sussse la seguene relazone (0; C) C ( + ) = C ( + ) dalla quale elmnando l capale s oene 0 ( + ) = ( + ) Quesa relazone ha soluzon mmedae e unche solo per = 0 e =, coè sgnfca che nzalmene l monane è lo sesso, nfa corrsponde al capale nzale, e dopo un anno le due curve sono ancora denche. Dall anals del grafco s deduce che l monane ad neresse semplce è pù alo per perod nferor all anno, menre è pù alo quello ad neresse composo per perod superor all anno. 7

8 Capalzzazone frazonaa S parla d capalzzazone frazonaa quando la capalzzazone avvene per perod che sono soomulpl dell anno. Capalzzazone semesrale: capalzzazone ogn 6 mes (2 vole l anno) Capalzzazone quadrmesrale: capalzzazone ogn 4 mes (3 vole l anno) Capalzzazone rmesrale: capalzzazone ogn 3 mes (4 vole l anno) Capalzzazone bmesrale: capalzzazone ogn 2 mes (6 vole l anno) Capalzzazone mensle: capalzzazone ogn mes (2 vole l anno) In capalzzazone frazonaa l asso può essere perodale o annuo nomnale converble k vole all anno. Per l calcolo del monane n capalzzazone frazonaa, s applcano ancora le formule fondamenal della capalzzazone, enendo presene che l asso e l empo devono essere rfer allo sesso perodo. Tasso perodale Il asso perodale è l asso relavo a un perodo d /k d anno, qund gà rfero al perodo d capalzzazone e ndcao col smbolo k. 2 asso semesrale 3 asso quadrmesrale 4 asso rmesrale 6 asso bmesrale 2 asso mensle Tasso annuo nomnale converble k vole all anno Il asso annuo nomnale converble k vole all anno vene ndcao con l smbolo j k e deve essere rasformao n un asso perodale nel seguene modo k = jk k 8

9 Tass equvalen S dce che due ass, relav a dfferen perod d capalzzazone, sono equvalen quando, applca allo sesso capale e con la sessa duraa, danno monan ugual. Poso C = e =, consderamo l asso annuo e l asso k relavo a /k d anno e supponamo che dano lo sesso monane + = ( + k ) k Tale relazone d equvalenza valda per un anno deve susssere per qualunque duraa. Consderando n ann s ha È possble rcavare ora: asso annuo equvalene a k dao come asso perodale k equvalene a dao come ( + ) n =[ ( + k ) k ] n ( ) = + k k ( ) k k = + = + k 9

10 SCONTO E VALORE ATTUALE Defnzon Una persona che deve rscuoere un cero mporo a una daa scadenza, può realzzare ancpaamene l suo credo secondo le seguen modalà: a. l debore rscaa l suo debo, coè lo paga n ancpo, e la somma che paga è nferore al valore del debo; b. una erza persona, n genere una Banca, ancpa al credore l mporo che s farà po rmborsare dal debore alla scadenza. In queso caso l credore cede a un erzo l suo credo, rcevendo, anche n al caso, un mporo nferore. Lo scono S è l compenso d ch paga un debo prma della scadenza e anche la dfferenza sull operazone d cessone d un credo. Legge dello scono Il valore nomnale C, o capale, ndca l ammonare del credo. S dce somma sconaa, o anche valore auale V, l valore nomnale dmnuo dello scono. Per defnzone da cu V = C S S = C V Scono-Preso S analzz la seguene suazone: sono un credore d una somma C che scadrà al empo e cedo a Tzo l mo credo rcevendo ogg V. Tzo ncasserà alla scadenza dal prmo credore la somma C. In alre parole Tzo presa V, che s può consderare come l capale, e rceve l valore nomnale C, che può essere consderao come monane. Dunque ogn operazone d scono può essere nerpreaa come un preso. Se l operazone d scono vene nerpreaa come preso:. a neresse semplce s ha l regme d scono razonale o semplce; 2. a neresse composo s ha l regme d scono composo. Ques ulmo s usa per operazon d lunga scadenza. Per quelle d breve scadenza s usa un erzo regme: l regme d scono commercale. 0

11 Scono commercale S ha lo scono commercale quando lo scono è proporzonale al valore nomnale C e al empo d ancpazone. S fssa d solo l asso d scono d. S ha Da cu s oene S = C d V = C ( d) S V C C /d /d Scono razonale S ha lo scono razonale o semplce quando lo scono vene calcolao come neresse semplce, al asso, sulla somma sconaa V (valore auale o mporo effevamene presao). Rsula che l valore nomnale C è l monane a neresse semplce al asso della somma sconaa V, qund C = V ( + ) da cu V C = + V C Con semplc passagg s oene lo scono C S = = V + da cu rsula che lo scono razonale è l neresse semplce calcolao sul valore auale V. 0 Il grafco rappresena un perbole equlaera, avene come asno l asse del empo e la rea d equazone =.

12 Scono composo S ha lo scono composo quando lo scono vene calcolao come neresse composo, al asso, sulla somma sconaa V. Rsula che l valore nomnale C è l monane a neresse composo al asso della somma sconaa V, qund C = V ( + ) da cu C V = = C + = Cv ( + ) ( ) V C Avendo poso v = +. Il grafco rappresena una funzone esponenzale con base mnore d. Con semplc passagg s oene lo scono ( ) S = C v 0 Osservazon a. Valuazon d somme fuure Il calcolo dello scono e del relavo valore auale è ule per valuare mpor da pagare o rscuoere n fuuro. La valuazone d un credo, non ancora scaduo, sarà sempre mnore del valore nomnale. S usa l ermne d somma sconaa per ndcare l prezzo a cu s cede l credo. b. Osservazon sullo scono commercale S è deo che nelle operazon a lungo ermne s usa lo scono composo, menre a breve ermne quello commercale e razonale. Nella praca s applca pù spesso quello commercale perché pù semplce, anche se a vole conduce a rsula parcolar.. Usando scadenze lunghe, lo scono può rsulare maggore del capale e l valore auale dvena negavo. 2. La somma presaa nell operazone è, n realà, V e l compenso o scono deve essere calcolao su V, come nello scono razonale, e non sulla somma C, come nello scono commercale; nfa calcolando lo scono su C, queso rsula maggore e dunque ch acqusa l credo ha un compenso maggore. 3. Ch rscuoe la somma sconaa, rempegando ale mporo allo sesso asso, alla scadenza non ncassa l mporo del credo, ma un mporo mnore. 2

13 c. Tass d scono Ponendo C = e = s oene: scono razonale: S = + scono composo: S = + scono commercale: S = d Quesa relazone esprme lo scono sul capale unaro per un anno, coè l asso d scono. Il asso d scono s ndca col smbolo d e qund d d = e = + d Allora, se per lo scono razonale e composo vene enuncao l asso d neresse e po da queso s oene l asso d scono, per lo scono commercale s enunca dreamene l asso d scono. d. Confrono fra scono commercale e scono razonale applcando lo sesso asso Lo scono commercale è maggore d quello razonale queso perché lo scono commercale s calcola su C e quello razonale su V, che è mnore d C. Lo scono commercale è l monane a neresse semplce, allo sesso asso e per lo sesso empo, dello scono razonale, da cu Scono commercale = Scono razonale ( + ) e. Confrono fra grafco d scon Confronamo valor aual supponendo C =. Vcommercale = è lneare n V = razonale + è una perbole equlaera V = + = v è una funzone esponenzale con base mnore d razonale ( ) V C = V commercale < V composo < V razonale V razonale In conclusone, consderando sesso asso, sesso empo e sesso valore nomnale, rsula S commercale > S composo > S razonale V composo V commercale /d 3

14 EQUIVALENZA FINANZIARIA E OPERAZIONI COMPOSTE Scndblà Una legge s dce scndble se l monane d un capale C, mpegao fno a ad un asso assegnao, non vara se l mpego vene nerroo n, con (0 < < ) e l monane oenuo n vene mmedaamene rempegao alle sesse condzon per l empo rmanene -. S può dedurre rame esemp che n regme d capalzzazone composa è ndfferene rasferre nel empo un capale, applcando lo sesso asso, n una sola soluzone o con pù mpegh successv. Quesa propreà è dea scndblà e vale anche n regme d scono composo. In conclusone s può affermare che non sono scndbl l neresse semplce, lo scono commercale e lo scono razonale, menre sono scndbl l neresse composo e lo scono composo. Somme equvalen Quando due o pù somme, dsponbl n emp dvers, calcolae al empo 0 con una sessa legge d scono e allo sesso asso, rsulano ugual, s dcono equvalen. In genere s usa lo scono composo. Se due somme o nsem d somme sono equvalen n capalzzazone composa, a un cero asso, concdono loro valor aual al empo = e loro valor aual o monan calcola n qualunque epoca. Unfcazone d pù cred Una persona, dsponendo d var cred con dverse scadenze, può accordars con l debore o con un erzo per rscuoere cred una sola vola. In queso caso, a causa d rard o ancp ne pagamen, s dovranno calcolare neress e scon e le par devono gungere a un accordo sul regme da usare. Premesso che quese operazon s applcano a cred a lunga scadenza e che s userà l neresse composo, è essenzale la scela del asso n base al quale verranno rasfer capal nel empo. Ques problem prendono l nome d unfcazone d pù cred e s dvdono n due cas a) fssaa la daa dell unco pagameno, s deermna l mporo (rduzone d pù cred a una daa scadenza); b) fssao l mporo dell unco pagameno, s deermna la scadenza (deermnazone della scadenza comune). 4

15 Sosuzone d pù pagamen A vole può essere comodo sosure pagamen a fssae scadenze con pagamen n alre scadenze. In ques problem l ncogna è, n genere, l mporo d un pagameno oppure la scadenza. Se s hanno var capal mpega a neresse composo, per una sessa duraa a ass dfferen, s può pensare d valuare un unco capale, somma de preceden, e deermnare l asso a cu mpegarlo per avere lo sesso monane. 5

16 RENDITE Defnzone Una renda fnanzara è una successone d mpor, chamae rae, da rscuoere (o da pagare) n epoche dfferen, chamae scadenze, ad nervall d empo deermna. Una renda è qund ndvduaa da alcun argomen ra cu: R k raa da rscuoere (o da pagare) alla scadenza k scadenza, coè l momeno all'nerno del k-esmo nervallo n cu vene rscossa (o pagaa) la raa n numero d rae oal S dce valore d una renda, a una cera daa, la somma de monan o de valor aual, calcola a quella daa, delle vare rae della renda. In generale per calcol del monane e del valore auale s usano le formule dell neresse composo e dello scono composo. Se l valore della renda vene calcolao n epoca anerore a ue le scadenze, o concdene con la prma d esse, s parla d valore auale della renda. Se l valore della renda vene calcolao n epoca poserore a ue le scadenze, o concdene con l ulma d esse, s parla d monane della renda. Classfcazone e cas noevol Una renda può essere classfcaa n base alle caraersche de suo argomen: numerosà delle rae (duraa) Se n è un numero fno la renda s chama emporanea o Se n è sablo a pror ed è ndpendene da qualsas eveno la renda emporanea s dce cera o Se nvece n non è sablo a pror e dpende, ad esempo, dall'essenza n va d una persona s dce valza Se n è nfno la renda s chama perpeua o llmaa perodcà Se le scadenze sono separae da un nervallo d empo uguale la renda è perodca o Se l perodo è un anno s parla d rende annue o Se l perodo è nferore a un anno s parla d rende frazonae (es. semesral, rmesral, ec.) o Se l perodo è superore a un anno s parla d rende polennal (es. rennal, qunquennal, ec.) 6

17 daa d decorrenza Inolre Se la prma scadenza concde con la daa d decorrenza la renda è ancpaa Se la prma scadenza cade un perodo dopo la daa d decorrenza la renda è poscpaa Se la prma raa vene rscossa (o pagaa) da subo la renda è dea mmedaa. Se la prma raa vene rscossa (o pagaa) a comncare da un cero sane successvo a, la renda s dce dffera d un perodo p. Formularo s n ndca l monane d una renda poscpaa (valuaa qund all ao dell ulmo versameno) e s legge s fgurao n al asso s n = ( ) n + s n ndca l monane d una renda ancpaa (valuaa un anno dopo l ulmo versameno) s n ( ) n + = + ( ) Relazon fondamenal ra due preceden p d monane ( ) sn = sn + s = s + Monane valuao k ann dopo l ulmo versameno k n ( ) M = s + k n n a n ndca l valore auale d una renda mmedaa poscpaa (valuaa un anno prma del prmo versameno) a n ( ) + = n a n ndca l valore auale d una renda mmedaa ancpaa (valuaa all ao del prmo versameno) a n ( ) + = + n ( ) 7

18 Relazon fondamenal ra due preceden p d valore auale p n n n ( ) a = a + / a ndca l valore auale d una renda dffera d p ann e poscpaa (valuaa p+ ann prma del prmo versameno) e s legge a dffero p fgurao n al asso p n p n n ( ) / a = a + / a ndca l valore auale d una renda dffera d p ann e poscpaa (valuaa p+ ann prma del prmo versameno) Formula denca alla precedene sosuendo l valore auale poscpao con quello ancpao p Relazon fondamenal ra due preceden p d valore auale / a = / a k n k n a ndca l valore auale d una renda mmedaa poscpaa perpeua a = a ndca l valore auale d una renda mmedaa ancpaa perpeua a = + Relazon fondamenal ra due preceden p d valore auale a = a + p / a ndca l valore auale d una renda poscpaa perpeua dffera d p ann p / a = ( + ) p Relazon fondamenal ra l valore auale e l monane n = ( + ) s = a ( + ) a s n n n n n 8