P(X > 0) = P(X 1 = 1) + P(X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1) =

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1 1 Esercizi settimana 3 Esercizio 1. Un urna contiene 8 palline bianche, 4 nere e rosse. Si assuma di vincere e ogni volta che si estragga una pallina nera, si perda 1e per ogni pallina bianca e non succeda nulla per ogni pallina rossa estratta. Sia X la vincita estraendo due palline contemporaneamente. Che valori assume X. Quali sono le relative probabilità? Soluzione. Consideriamo la v.a. definita X : Ω {, 1, 0, 1,, 4}. La legge di questa v.a. è data dalla legge ipergeometrica così definita )( )( )( 0 p( ) = ) 0) 1 0, p( 1) = ) 1) 0 0, p(0) = ) ), p(1) = 1 1 )( 0) ), p() = 1 0 )( 1) ), p(4) = 0 )( 0) ). Esercizio. Si consideri la seguente strategia per il gioco della roulette. Si scommette 1 sul rosso. Se esce rosso (si ricordi che la roulette è da 37 numeri, di cui 18 rossi e 18 neri, più lo 0 che è neutro) il giocatore riscuote la vincita di e smette di giocare. Se invece perde deve scommettere 1 sul rosso per i giri successivi e poi smettere di giocare. Sia X la vincita al termine del gioco. (i) si calcoli la probabilità di non perdere soldi; (ii) la precedente è una strategia vincente? Soluzione. La probabilità richiesta è P(X > 0). Denotiamo con X i la vincita al giro i = 1,, 3. Tale probabilità è data da P(X > 0) = P(X 1 = 1) + P(X 1 = 1, X = 1, X 3 = 1) = ( ) Nonostante la precedente probabilità sia di circa 0.6 non può essere considerata vincente. Infatti in questa situazione si vincerebbe 1e. Tuttavia c è una probabilità strettamente positiva di perdere 3e, fatto che rende tale strategia in media perdente. Esercizio 3. Si consideri una moneta equilibrata e si consideri una serie di lanci. Si calcoli la probabilità (i) di ottenere testa per la prima volta al lancio n esimo; (ii) dopo n lanci si sia già ottenuta almeno una testa; (iii) dopo n lanci si siano ottenute almeno due teste; (iv) dopo n lanci si sia ottenuto lo stesso numero di teste e croci. Esercizio 4. Un dado ha due facce rosse, due blu e due bianche. (i) qual è la probabilità che nessuna faccia bianca appaia nei primi n lanci? Qual è la probabilità che nessuna faccia bianca e nessuna faccia blu appaia nei primi n lanci? (ii) qual è la probabilità che almeno un colore non sia apparso nei primi n lanci?

2 (iii) sia T il numero di lanci necessari affinché tutti e tre i colori siano apparsi almeno una volta. Qual è la legge di T? Esercizio 5. Un urna contiene 0 palline rosse e 80 di altri colori. (i) vengono effettuate estrazioni di cinque palline alla volta che poi vengono rimesse nell urna. Sia N il numero di tentativi necessari ad estrarre cinque palline rosse. Che legge ha N? Esercizio 6. Si consideri una processo di produzione di n processori. Si assuma che ogni pezzo, indipendentemente dagli altri, abbia probabilità p di essere difettoso. Si assuma inoltre di controllare se i vari processori siano difettosi, e si sa che se un processore è funzionante supera sicuramente il controllo, se invece è difettoso fallisce il test con probabilità q. Sia X la variabile aleatoria che descrive il numero di processori che hanno fallito il test. Si determini la legge di X. Soluzione. La probabilità che un processore fallisca il test è dato da pq. Sia X la v.a. che denota il numero di processori che hanno fallito il test, allora X B(n, pq) e dunque la probabilità richiesta è data da ( ) n p(k) = (pq) k (1 pq) n k. k Esercizio 7. Un messaggio è composto da una serie di bit binari aventi valori {0, 1}. Si suppone che ognuno di essi possa essere distorto, ovvero essere cambiato da 0 a 1 o viceversa, con probabilità p (0, 1), indipendentemente dagli altri. Si calcoli la probabilità che un messaggio di lunghezza n giunga senza che nessun bit sia distorto. Si calcoli espressamente il valore precedente per n = 10 e p = 0.1 e lo si confronti con il valore ottenuto se si fosse modellizzata la v.a. come una Poisson di parametro np. Esercizi teorici Esercizio 8. Si calcoli la costante C affinché le seguenti siano densità discrete: geometrica p(n) = C n, n N; logaritmica p(n) = C n n, n N; quadratica inversa p(n) = Cn, n N; Per ognuna delle precedenti densità discrete si trovi il massimo valore assunto. Suggerimento: si ricordi che affinché una funzione sia una densità discreta deve valere p(n) = 1. Soluzione. geometrica deve essere valido n N C n = 1, da cui segue utilizzando la somma di una serie geometrica C = 1, da cui C = 1. Essendo n decrescete segue che il massimo valore viene raggiunto per n = 0;

3 3 logaritmica ricordando l espansione notevole log(1 x) = n=1 x n n, segue usando x = 1 che n=1 n n ( = log 1 1 ) = log(), da cui C = 1 n = 1; log(). Essendo n n quadratica inversa dato che segue che C = 6 π. Essendo n n n = 1; decrescete segue che il massimo valore viene raggiunto per n=1 n = π 6, decrescete segue che il massimo valore viene raggiunto per Esercizio 9. Sia X P o(λ) e sia p(n; λ) la sua densità discreta, si dimostri che P(X n) = 1 λ 0 p(n; x)dx. Esercizio 10. Sia X B(3, p), si dimostri che la densità discreta associata è una densità discreta. Si dia una rappresentazione grafica della densità associata. B( ) B( ) B( ) B( ) B( ) B( ) B( ) B( ) B( ) B( ) B( ) B( ) Soluzione. Si veda la figura 1. Figura 1: e funzione di ripartizione di una v.a. binomiale Esercizio 11. Sia X IG(8,, 3), si dimostri che la densità discreta associata è una densità discreta. Si dia una rappresentazione grafica della densità associata.

4 4 IG( ) IG( ) IG( ) IG( ) IG( ) IG( ) IG( ) IG( ) IG( ) IG( ) IG( ) IG( ) Figura : e funzione di ripartizione di una v.a. ipergeometrica Soluzione. Si veda la figura. Esercizio 1. Sia X Ge(p), si dimostri che la densità discreta associata è una densità. Si trovi il valore n N per cui la densità associata assume il valore massimo e si dia una rappresentazione grafica della densità associata per alcuni valori di p [0, 1]. Suggerimento: si ricordi che vale l uguaglianza q n = 1 1 q, q < 1. Soluzione. Si ricordi che la densità di un v.a. geometrica è data da Dobbiamo verificare che p(n) = p(1 p) n, n = 0, 1,.... p(n) = 1. Notando che 1 p (0, 1) e utilizzando la somma di un serie geometrica otteniamo p(n) = p(1 p) n 1 = p p = 1. Essendo la distribuzione geometrica decrescente segue che il valore massimo viene assunto per n = 0. Si veda la figura 3. Soluzione. Esercizio 13. Sia X P o(λ), si dimostri che la densità discreta associata è una densità. Si trovi il valore n N per cui la densità associata assume il valore massimo e si dia una rappresentazione grafica della densità associata per alcuni valori di λ > 0.

5 5 GeM( 0.1 ) GeM( 0.3 ) GeM( 0.8 ) GeM( 0.1 ) GeM( 0.3 ) GeM( 0.8 ) Figura 3: e funzione di ripartizione di una v.a. geometrica modificata Suggerimento: si ricordi che vale l espansione per l esponenziale e x = x n n!. Soluzione. Si ricordi che la densità di un v.a. di Poisson è data da Dobbiamo verificare che λ λn p(n) = e, n = 0, 1,.... n! p(n) = 1. Utilizzando l espansione per la funzione esponenziale otteniamo che λ n n! = eλ, da cui la tesi. Per trovare il punto in cui viene raggiunto il massimo osserviamo che p(n) p(n 1) = λ n, da cui otteniamo che λ n > 1 se λ > n. Dunque il massimo viene ottenuto per il più grande intero minore di λ. Si veda la figura 4. Esercizio 14. Sia Ω un insieme tale per cui Ω = N <. Si dimostri che la funzione p(n) := 1 Ω = 1, n = 1,,..., N, N

6 6 Po( 1 ) Po( 5 ) Po( 10 ) Po( 1 ) Po( 5 ) Po( 10 ) Figura 4: e funzione di ripartizione di una v.a. di Poisson definisce una densità discreta (definita variabile aleatoria uniforme). Tale v.a. verrà denotata X U(1,..., n)). Si trovi il valore n per cui la densità associata assume il valore massimo e si dia una rappresentazione grafica della densità associata. Soluzione. Sia {1,..., N} e sia p(n) = 1 N, n = 1,..., N, segue che N k=1 1 N = 1, da cui la tesi. La densità p(n) è costante. Si veda la figura 5. Soluzione. Esercizio 15. Sia X Ge(p), si dimostri che la v.a. Y := X + 1 GeM(p). Soluzione. Si ricordi che la densità associata a X Ge(p) è data da p X (n) = p(1 p) n, n = 0, 1,..., mentre la densità associata a Y GeM(p) è data da p Y (n) = p(1 p) n 1, n = 1,,.... (0.1) Dobbiamo dunque dimostrare che la densità di X + 1 è data dall equazione (0.1). Abbiamo allora che { p(1 p) n 1 n = 1,,..., p Y (n) = P(Y = n) = P(X + 1 = n) = P(X = n 1) = p X (n 1) = 0 altrimenti.

7 7 U(1,... 5 ) U(1, ) U(1,... 0 ) U(1,... 5 ) U(1, ) U(1,... 0 ) Figura 5: e funzione di ripartizione di una uniforme Esercizio 16. Siano X e Y due v.a. a valori discreti, si definisca d T V (X, Y ) := k P(X = k) P(Y = k). Si dimostri che d T V soddisfa: (i) d T V (X, Y ) = d T V (Y, X) 0; (ii) d T V (X, Y ) = 0 se e solo se P(X = Y ) = 1; (iii) per ogni v.a. a valori discreti Z, vale d T V (X, Y ) d T V (X, Z) + d T V (Z, Y ). Remark 1. Denotando con S lo spazio delle v.a. a valori discreti, si è appena dimostrato che d T V è una metrica sullo spazio delle classi di equivalenza di S, con l equivalenza X Y se P(X = Y ) = 1; d T V viene chiamata distanza variazione totale, (total variation distance). Esercizio 17. Sia X IG(r, b, k), ovvero ( r b ) P(X = n) = n)( k n ), 0 n k. Si dimostri che se r r+b p e b r+b ( r+b k (1 p) per r, b, allora ( ) k P(X = n) p n (1 p) k n, r, b. n Si dia un interpretazione intuitiva del precedente risultato. Soluzione. Si veda la figura 6. 0 Legenda: : esercizio da sapere all esame; : esercizio difficile

8 8 IG( ) B( ) Figura 6: Confronto tra la densità ipergeometrica (sinistra) e la densità binomiale (destra)