Grafi ed equazioni topologiche

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1 Graf ed equazon topologche (ersone del --) Premessa Se s ndca con l l numero d corrent e l numero d tenson de component d un crcuto, la rsoluzone del crcuto rchede la determnazone d l ncognte Le relazon costtute de component fornscono l equazon che legano le l tenson e le l corrent S deono formulare altre l equazon utlzzando le legg d Krchhoff Il numero d equazon che s possono screre applcando la LKI e la LKV dpende dalla struttura del crcuto e n genere supera l Queste equazon non sono ndpendent tra loro Occorre ndduare un crtero per selezonare un nseme d equazon ndpendent basate sulla LKI e un nseme d equazon ndpendent basate sulla LKV

2 Grafo d un crcuto Grafo = rappresentazone della struttura de collegament d un crcuto Un grafo è costtuto da: un nseme d punt nod corrspondent a nod del crcuto un nseme d arch che collegano nod lat o ram un lato del grafo corrsponde ad una porta d un componente E possble che l grafo contenga nod a cu non è collegato nessun lato (nod solat) La forma degl arch e le poszon de nod non sono sgnfcate (cò che nteressa è a qual nod è collegato cascun lato) Grafo orentato Cascuno de lat del grafo può essere messo n corrspondenza con una tensone e una corrente S adotta la conenzone dell utlzzatore per tutt component S possono rappresentare ers d rfermento delle corrent e delle tenson orentando lat del grafo erso della corrente erso del lato erso della tensone l termnale posto concde con l nodo da cu esce l lato l termnale negato concde con l nodo n cu l lato entra

3 Graf de component Bpolo N-porte N-polo Esempo graf d un trpolo In presenza d component con pù d due termnal la struttura del grafo dpende dalla scelta de termnal d rfermento

4 Esempo rappresentazon del grafo d un crcuto Crcuto Rappresentazon del grafo Sottografo Sottografo d un grafo G = grafo G formato da un sottonseme de lat d G un sottonseme de nod d G G dee contenere tutt nod termnal de lat d G nclus (non possono esserc lat non collegat a nod) Come caso partcolare un sottografo può essere formato da un solo nodo d G (sottografo degenere) Quando s parla d sottografo defnto da un sottonseme de lat d G s sottntende che l sottografo nclude anche tutt (e solo) nod termnal de lat nclus

5 Cammno Cammno dal nodo A al nodo B = sottografo d G defnto da una successone d lat d G tal che due lat consecut hanno sempre un nodo n comune sul nodo A ncde solo l prmo lato sul nodo B ncde solo l ultmo lato su tutt gl altr nod ncdono esattamente due lat Un cammno è un percorso formato da lat d G che collega due nod A e B senza passare pù d una olta per lo stesso nodo 9 Grafo connesso Un grafo G s dce connesso se per ogn coppa d nod d G esste almeno un cammno contenuto n G che collega nod I nod d un grafo G non connesso possono essere ds n grupp (dett part separate) tal che tra due nod dello stesso gruppo esste sempre un cammno contenuto n G tra due nod d due grupp ders non esste nessun cammno contenuto n G In seguto (salo aso contraro) s consdereranno esclusamente graf conness Esempo: grafo non connesso

6 Magla Magla = Sottografo M d un grafo G tale che M è connesso su ogn nodo d M ncdono esattamente due lat Una magla è un percorso chuso formato da lat del grafo che non passa pù d una olta attraerso lo stesso nodo Taglo Taglo = sottografo T d un grafo G defnto da un nseme d lat d G tal che elmnando tutt lat d T, G ene dso n due part separate elmnando tutt lat d T meno uno, G rmane connesso Un taglo può essere sto come l nseme de lat che attraersano una superfce chusa che racchude una delle part separate n cu ene dso G

7 Legg d Krchhoff LKV è nulla la somma algebrca delle tenson de lat d ogn magla LKI è nulla la somma algebrca delle corrent de lat d ogn taglo Esempo S oglono screre le equazon che s ottengono applcando la LKV a tutte le magle e la LKI a tutt tagl d questo grafo

8 Esempo - Magle f) d) b) g) e) c) a) Esempo Equazon delle magle S può erfcare che solo delle equazon delle magle d questo grafo sono ndpendent Scelto un nseme d equazon ndpendent, è possble rcaare le rmanent medante combnazon lnear Per esempo sono ndpendent tra loro le equazon delle magle a) b) c) Le altre equazon possono essere rcaate dalle prme tre medante le seguent combnazon c) b) a) g) c) a) f) b) a) e) c) b) d) c) b) a)

9 Esempo - Tagl f) d) b) g) e) c) a) Esempo Equazon de tagl S può erfcare che solo delle equazon de tagl d questo grafo sono ndpendent Per esempo sono ndpendent tra loro le equazon de tagl a) b) c) Le altre equazon possono essere rcaate dalle prme tre medante le seguent combnazon c) a) g) c) b) f) b) a) e) c) b) a) d) c) b) a)

10 Equazon ndpendent In seguto erranno presentat de metod per sceglere le equazon delle magle e de tagl n modo da soddsfare una delle seguent condzon suffcent a garantre che le equazon sano ndpendent. Ogn equazone contene una arable che non è contenuta n nessuna delle altre (arable peculare) a) b) c). Le equazon engono scelte n modo che cascuna contenga almeno una arable non contenuta nelle precedent (n questo caso c possono essere equazon che non contengono arabl pecular) g) e) f) Esempo Esempo 9 Insem complet d magle e tagl Inseme completo d magle = nseme d magle d un grafo G tal che le loro equazon sono ndpendent esprmono tutt ncol derant dalla LKV per l grafo G Inseme completo d tagl = nseme d tagl d un grafo G tal che le loro equazon sono ndpendent esprmono tutt ncol derant dalla LKI per l grafo G

11 Albero e coalbero G = grafo Albero d G = sottografo A d G tale che A è connesso A comprende tutt nod d G A non contene magle Coalbero = sottografo C d G defnto da lat non appartenent ad A In genere l albero d un grafo può essere defnto n pù mod Esemp Propretà dell albero e del coalbero Ipotes: G = grafo con n nod e l lat A = generco albero d G C = coalbero d G corrspondente ad A Propretà dell albero A ha n lat ne occorre uno per collegare prm due nod pù uno per ogn altro nodo Tra ogn coppa d nod d G esste uno e un solo cammno appartenente ad A ne esste almeno uno perchè A è connesso non ne possono esstere altr perché A non contene magle Ogn taglo d G contene almeno un lato appartenente ad A per la propretà precedente non è possble ddere l grafo n due part separate senza taglare ram dell albero

12 Propretà dell albero e del coalbero Ipotes: G = grafo con n nod e l lat A = generco albero d G C = coalbero d G corrspondente ad A Propretà del coalbero C ha l n lat conseguenza del fatto che A ha n lat Non esstono tagl d G format solo da lat d C conseguenza del fatto che ogn taglo contene almeno un lato appartenente ad A Ogn magla d G contene almeno un lato appartenente a C conseguenza del fatto che non esstono magle contenute nteramente nell albero Magle fondamental Per ogn lato c del coalbero esste una e una sola magla M c formata dal lato c e da lat dell albero tale magla esste ed è unca perché esste uno e un solo cammno formato da lat dell albero che unsce nod termnal del lato c M c = magla fondamentale assocata al lato c c = lato caratterstco della magla M c La magla ene orentata n senso concorde con l lato caratterstco

13 Magle fondamental Le equazon delle magle fondamental sono ndpendent: ogn magla fondamentale contene un lato caratterstco che non è contenuto n nessuna altra magla fondamentale la tensone del lato caratterstco non compare nelle equazon delle altre magle fondamental esprmono tutt ncol derant dalla LKV: l equazone d una magla con pù lat d coalbero s può ottenere come combnazone delle equazon delle magle fondamental assocate a tal lat Le magle fondamental costtuscono un nseme completo l numero N V delle equazon ndpendent derant dalla LKV è par al numero d lat del coalbero N V l n Tagl fondamental Per ogn lato a dell albero esste uno e un solo taglo T a formato dal lato a e da lat d coalbero elmnando un lato a dell albero s sudddono nod n due grupp tra nod del prmo gruppo e quell del secondo gruppo non c sono cammn format da lat dell albero lat del coalbero che hanno come termnal nod appartenent a due grupp ders, asseme ad a, defnscono l taglo T a T a = taglo fondamentale assocato al lato a a = lato caratterstco del taglo T a Il taglo ene orentato n senso concorde con l lato caratterstco

14 Tagl fondamental Le equazon de tagl fondamental sono ndpendent: ogn taglo fondamentale contene un lato caratterstco che non è contenuto n nessun altro taglo fondamentale la corrente del lato caratterstco non compare nelle equazon degl altr tagl fondamental esprmono tutt ncol derant dalla LKI: l equazone d un taglo con pù lat dell albero s può ottenere come combnazone delle equazon de tagl fondamental assocat a tal lat I tagl fondamental costtuscono un nseme completo l numero N I delle equazon ndpendent derant dalla LKI è par al numer d lat dell albero N I n Esempo Grafo con n nod e l = 9 lat Numero d lat dell albero = = numero d tagl fondamental = = = Numero d lat del coalbero = = numero d magle fondamental = = 9 = S scegle (ad esempo) l albero formato da lat,,,,

15 9 Esempo Equazon delle magle fondamental 9 : : : : 9 Le tenson de lat caratterstc compaono n una sola equazone Esempo Equazon de tagl fondamental : : : : : 9 9 Le corrent de lat caratterstc compaono n una sola equazone

16 Magle e tagl ndpendent Le magle e tagl fondamental corrspondent agl alber del grafo n genere non costtuscono gl unc nsem complet d magle e d tagl ndpendent Generalmente è possble ndduare anche nsem complet d magle e tagl ndpendent a cu non corrsponde un albero Indpendentemente da come engono dentfcat gl nsem complet d magle e tagl ndpendent, s ha comunque numero d magle ndpendent N V l n numero d tagl ndpendent N I n (cò e conseguenza del fatto che, a partre dalle equazon d un partcolare nseme d magle o d tagl ndpendent, è possble rcaare le equazon d tutt gl altr) Tenson e corrent ndpendent Le l tenson de lat d un crcuto sono soggette a l n ncol derant dalla LKV le tenson hanno l (l n ) n grad d lbertà: s possono ndduare n tenson ndpendent, coè non ncolate dalla LKV (come le tenson de lat d un albero) le rmanent tenson possono essere rcaate a partre dalle tenson ndpendent utlzzando la LKV Le l corrent de lat d un crcuto sono soggette a n ncol derant dalla LKI le corrent hanno l (n ) l n grad d lbertà: s possono ndduare l n corrent ndpendent, coè non ncolate dalla LKI (come le corrent de lat d un coalbero) le rmanent corrent possono essere rcaate a partre dalle corrent ndpendent utlzzando la LKI

17 Relazone tra magle e tagl fondamental Ipotes: a = lato dell albero c = lato d coalbero T a = taglo fondamentale assocato al lato a M c = magla fondamentale assocata al lato c Propretà: Dee essere erfcata una delle seguent condzon: T a e M c non hanno lat n comune T a e M c hanno due lat n comune: l lato a e l lato c Questo ha come conseguenza che c T a a M c lat d coalbero appartenent a T a sono lat caratterstc delle magle d cu fa parte l lato a lat dell albero appartenent a M c sono lat caratterstc de tagl d cu fa parte l lato c Relazone tra magle e tagl fondamental Dmostrazone: I lat d una magla formano un percorso chuso l numero d lat n comune tra una magla e un taglo è necessaramente par (o zero) (muoendos lungo lat della magla, per ogn attraersamento del taglo n un senso se ne dee aere uno n senso opposto) T a contene un solo lato dell albero: a l unco lato dell albero che T a e M c possono aere n comune è a M c contene un solo lato d coalbero: c l unco lato d coalbero che T a e M c possono aere n comune è c S hanno due sole possbltà a e c sono entramb n comune T a e M c non hanno lat n comune

18 Corrent d magla Cascuna delle equazon de tagl fondamental contene la corrente d un solo lato dell albero La corrente d un lato a dell albero può essere espressa come combnazone delle corrent de lat d coalbero contenut nel taglo assocato al lato a Quest lat d coalbero sono lat caratterstc delle magle fondamental d cu fa parte l lato a La corrente d un lato a dell albero può essere espressa come combnazone delle corrent de lat caratterstc d tutte le magle fondamental d cu l lato a fa parte La corrente d un lato c del coalbero compare nelle espresson d tutte le corrent de lat dell albero che fanno parte della magla assocata a c Corrent d magla E possble sualzzare le relazon tra le corrent de lat mmagnando che la corrente d cascun lato d coalbero attraers tutt lat della corrspondente magla fondamentale ( corrente d magla) Ogn lato dell albero è percorso dalle corrent d magla assocate a tutte le magle fondamental d cu fa parte La corrente d un lato dell albero è data dalla somma algebrca delle corrent d magla che lo percorrono con segno se l erso della corrente d magla concde con quello del lato con segno se ers sono oppost

19 Esempo Corrent d magla:,,, 9 Equazon de tagl fondamental: (= espresson delle corrent de lat dell albero n funzone delle corrent d magla) 9 9 Nota Rappresentare le corrent de lat come sorapposzone d corrent d magla equale ad mporre che le corrent de lat rspettno la LKI Se una corrente che scorre lungo un percorso chuso attraersa un taglo n senso entrante dee attraersarlo anche n senso uscente (e ceersa) Cascuna corrente d magla complessamente fornsce un contrbuto nullo all equazone d ogn taglo Se le corrent de lat engono sosttute dalle corrspondent combnazon d corrent d magla, l equazone d cascun taglo s rduce all denttà

20 Tenson d taglo La tensone d un lato d coalbero può essere espressa come combnazone delle tenson de lat dell albero contenut nella magla assocata La tensone d un lato d coalbero può essere espressa anche come combnazone delle tenson de lat caratterstc de tagl a cu l lato appartene E possble sualzzare questa relazone mmagnando che la tensone d cascun lato dell albero sa localzzata sul taglo corrspondente ( tensone d taglo) La tensone d un lato d coalbero è data dalla somma algebrca delle tenson de tagl che l lato attraersa con segno se l erso taglo concde con quello del lato con segno se ers sono oppost 9 Esempo Tenson d taglo:,,,, Equazon delle magle fondamental: (= espresson delle tenson de lat d coalbero n funzone delle tenson d taglo) 9

21 Equazon de nod L nseme de lat afferent ad un nodo costtusce un taglo elmnando lat l grafo ene suddso n due part separate, una delle qual contene l solo nodo In seguto le equazon de nod erranno scrtte attrbuendo segno alle corrent entrant segno alle corrent uscent Propretà: Per un grafo (connesso) con n nod le equazon ottenute applcando la LKI a n nod scelt arbtraramente sono ndpendent l equazone dell n-esmo nodo s può ottenere come combnazone delle equazon degl altr nod Gl n nod defnscono un nseme completo d tagl Equazon de nod Dmostrazone: S consdera un nseme d k n nod Se l grafo è connesso, deono esstere de lat con un termnale concdente con uno de nod consderat e un termnale concdente con uno degl n k nod esclus Le corrent d quest lat compaono n una sola delle k equazon de nod consderat In ogn nseme d k n equazon c è sempre almeno un equazone che contene una arable non presente nelle altre Le equazon sono ndpendent (per la condzone suffcente ) Se nece s consderano le equazon d tutt gl n nod, ogn corrente d lato compare n due equazon (una olta con segno e una olta con segno ) Sommando membro a membro le equazon d n nod s ottene l denttà L ultma equazone non è ndpendente dalle prme n

22 Esempo Sommando membro a membro le equazon de nod A B C D s ottene l equazone che esprme la LKI per una superfce chusa che contene nod stess Sommando membro a membro le equazon de nod A B C D E F s ottene l equazone del nodo G (con termn cambat d segno) Tenson d nodo In un grafo con n nod, fssato un nodo d rfermento O, è possble assocare a cascuno de altr nod una tensone d nodo: P dfferenza d potenzale tra l nodo P e l nodo O (per l nodo O s ha O V) Per la LKV, la tensone d un lato l dretto dal nodo P al nodo Q è l P Q (Per lat collegat al nodo d rfermento la tensone del lato concde con la tensone dell altro nodo o con l suo opposto) Le n tenson d nodo sono ndpendent sono dsposte n modo da non formare percors chus, qund non sono soggette a ncol derant dalla LKV

23 Tenson d nodo Imporre che le tenson de lat sano espresse da dfferenze tra tenson d nodo equale a mporre che soddsfno la LKV Se le tenson de lat sono espresse come dfferenze tra tenson d nodo, nell equazone d ogn magla la tensone d cascuno de nod contenut compare due olte con segn oppost L equazone s rduce all denttà Esempo ) ( ) ( A E E D D C C B B A E A E D C D C B B A Esempo S scegle come rfermento (ad esempo) l nodo F LKI (equazon de nod) LKV (espresson delle tenson de lat n funzone delle tenson d nodo) E : D : C : B : A : 9 9 E A 9 B D E D D C E C C B A A B

24 Graf planar Grafo planare = grafo che può essere dsegnato su un pano senza che suo lat s ntersechno Grafo planare Graf non planar Anell (magle elementar) S consder un grafo planare dsegnato n modo che lat non s ntersechno Anello (o magla elementare) = magla cu lat delmtano una regone del pano nella quale non s troano altr lat (Questa defnzone nclude anche l anello esterno, che derrebbe ndstnguble dagl altr se l grafo fosse dsegnato su una superfce sferca nece che su un pano) S può dmostrare che gl anell ntern d un grafo planare con l lat e n nod sono l n +

25 Anell (magle elementar) Il fatto che una partcolare magla d un grafo sa anche un anello dpende dal modo n cu è dsegnato l grafo Esempo: due rappresentazon dello stesso grafo La magla A-C-E-A è un anello La magla A-C-E-A non è un anello 9 Equazon degl anell Normalmente gl anell ntern engono orentat tutt nello stesso senso (per esempo oraro), mentre l anello esterno ene orentato n senso opposto Le l n + equazon ottenute applcando la LKV agl anell ntern sono ndpendent L equazone dell anello esterno può essere espressa come combnazone delle rmanent

26 Equazon degl anell Dmostrazone: Includendo l anello esterno, ogn lato appartene a due anell ed è concorde con uno de due anell e dscorde con l altro S consdera un nseme d k l n anell Alcun de lat appartenent quest anell fanno parte anche degl anell esclus Le loro tenson compaono n una sola equazone In ogn nseme d k l n equazon c è sempre almeno un equazone che contene una arable non presente nelle altre Le equazon sono ndpendent (per la condzone suffcente ) Se nece s consderano le equazon d tutt gl anell, ncluso l anello esterno, ogn tensone d lato compare n due equazon (una olta con segno e una olta con segno ) Sommando membro a membro le equazon d tutt gl anell s ottene l denttà L equazone dell anello esterno non è ndpendente dalle altre Corrent d anello Come aene nel caso delle magle fondamental, a cascun anello nterno s può assocare una corrente ( corrente d anello) che percorre tutt suo lat Per le corrent d anello s assumono ers d rfermento concdent con quell degl anell (qund tutt nello stesso senso) I lat n comune tra due anell ntern sono percors da due corrent d anello drette n senso opposto corrente del lato = corrente d anello concorde con l lato corrente d anello dscorde I lat n comune tra l anello esterno e un anello nterno sono percors da una sola corrente d anello la corrente del lato concde con la corrente dell anello nterno o con l suo opposto a seconda che l lato sa concorde o dscorde con l anello

27 Esempo LKV (equazon degl anell) LKI (espresson delle corrent de lat n funzone delle corrent d anello) d : c : b : a : 9 d 9 a c a c d c c b a b b d b Anell e magle fondamental Gl anell non sono cas partcolar d magle fondamental Esempo Solo le corrent de lat appartenent all anello esterno concdono (eentualmente a meno del segno) con corrent d anello La corrente dell anello centrale non concde con la corrente d nessun lato del grafo Per nessuna scelta dell albero questa corrente può dentfcars con una delle corrent d magla