07.XII Laboratorio integrato 3 - Valutazione economica del progetto - Clamarch - Prof. E. Micelli - Aa

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1 Elemeti di matematica fiaziaria 07.XII.2011

2 La matematica fiaziaria e l estimo Nell ambito di umerosi procedimeti di stima si rede ecessario operare co valori che presetao scadeze temporali differeziate Ciò rede impossibile ua loro trattazioe co le tradizioali regole algebriche e impoe l impiego di strumeti che cosetao di operare co valori diversamete posizioati temporalmete La ricchezza degli strumeti della matematica fiaziaria o può certamete essere riassuta i ua lezioe: i questa sede l obiettivo è di cocetrare l attezioe su alcui strumeti che cosetoo alcue importati operazioi di stima

3 Iteresse, motate, motate t uitario i L iteresse è il prezzo d uso del capitale il tasso può essere espresso i termii uitari i (ad es. 0,01) 01) oppure i termii i percetuali (1%) La somma del capitale e dei relativi iteressi è defiita motate Il motate uitario (q) è la somma del capitale uitario (riferito ad ua euro) e degli iteressi maturati i u ao se il tasso di iteresse è 0,01, q è 1,01

4 Iteresse semplice, iteresse composto L iteresse può essere semplice, quado gli iteressi maturati o maturao a loro volta altri iteressi composto, el caso cotrario L iteresse semplice è impiegato per periodi iferiori o uguali all ao

5 Iteresse semplice I regime di iteresse semplice, l iteresse e il motate soo rispettivamete dati da: I = C r M = C + C r = C + ( 1 r ) dove è la frazioe dell ao cosiderata E quidi la stima di C, oto M, sarà eguale a: C = M ( 1+ r )

6 Iteresse composto Dopo u ao, ua somma ivestita geera Dopo due ai: Dopo ai ( 1 r ) M = C + [ C ( 1 + r ) ]( 1 + r ) = C ( 1 r ) 2 M = + ( 1 r ) M = C + Il valore aticipato di C è uguale a Formula eguale al caso dell iteresse semplice! C = M ( 1+ r )

7 Capitali el tempo Se le prestazioi fiaziarie hao, a parità di ammotare, u valore diverso i fuzioe della loro scadeza, o potrò sommare valori differiti el tempo Per effettuare delle operazioi algebriche dovrò quidi riportare tutti i valori allo stesso mometo Gli strumeti soo rappresetati dai coefficieti di aticipazioe e posticipazioe, che variao i fuzioe della durata del periodo cosiderato

8 I coefficieti di aticipazioe e di posticipazioe i i Periodi iferiori all ao Coefficiete di posticipazioe 1+r Periodi superiori all ao Coefficiete di posticipazioe q Coefficiete di aticipazioe Coefficiete di aticipazioe r q

9 U milioe al variare del tempo e del tasso di iteresse All aumetare del tempo, dimiuisce il valore Tasso di iteresse 1 ao 2 ai 3 ai 10 ai 20 ai 1% % % % % % % % % % Al crescere del saggio, il valore dimiuisce

10 Valore e tasso di iteresse Valore attuale di 1 milioe tra vet'a Saggio di attualizzazioe

11 Aualità Co il simbolo a Esse possoo essere: vegoo idicate le posticipate o aticipate, aualità, ovvero quelle i base alla scadeza prestazioi fiaziarie rispettivamete che si verifica ad all iizio o alla fie itervalli auali dell ao Nel caso delle aualità, oltre all ammotare e alla scadeza, bisoga cooscere ache il dato relativo alla loro durata costati o variabili, i fuzioe del loro ammotare limitate o illimitate, i base alla durata delle prestazioi

12 Aualità costati, posticipate, i t limitateit t Il caso delle aualità posticipate limitate si preseta el caso i cui, ad esempio, si poga i locazioe u immobile destiato ad u impiego temporalmete defiito E possibile procedere al calcolo del valore delle aualità sia cosiderado il mometo della stima, sia cosiderado il mometo i cui si ipotizza la fie dello sfruttameto ecoomico del bee Nel primo caso parleremo di accumulazioe iiziale delle aualità, el secodo di accumulazioe fiale

13 Accumulazioe iiziale e fiale Le formule per il calcolo dell accumulazioe iziale Ai e fiale Af soo riportate di seguito Ai = a ( ) q 1 a ( q 1) r q Af = r

14 La rappresetazioe grafica dell accumulazioe l fiale Nell accumulazioe fiale le aualità posticipate soo portate alla scadeza. Si oti che siamo i regime di iteresse composto.

15 La rappresetazioe grafica dell accumulazioe l iizialei i Nell accumulazioe iiziale le aualità posticipate soo attualizzate al mometo della stima

16 Aualità costati, posticipate, i t illimitateit t Il caso delle aualità posticipate illimitate si preseta el caso i cui si cosideri u immobile di durata illimitata: è l ipotesi della stima per capitalizzazioe L accumulazioe iiziale è calcolata come segue: si preseta el caso i a ( q 1) lim Ai = Ai = a r r q

17 La quota di reitegrazioe La quota di reitegrazioe è quell aualità costate e posticipata che viee accumulata per u certo umero di ai allo scopo di costituire u capitale di etità predetermiata t Q = C r q 1 Il calcolo della quota deriva dal calcolo di Af: C è l accumulazioe fiale Af Q è l aualità a

18 Iteresse e valore di C Si oti che il valore della quota di reitegrazioe Q è fuzioe della durata delle aualità del valore di C e del saggio di iteresse I particolare, mateedo costati le altre variabili, la quota aumeta all aumetare del valore dell accumulazioe fiale, dimiuisce all aumetare della durata e del saggio di iteresse

19 U esempio Dobbiamo stimare la quota da accatoare aualmete per disporre tra 5 ai di euro al saggio del 3% Il calcolo è il seguete: *0,03 Q = ,03 1 Se elevo l accumulazioe fiale a , 000 la quota aumeta a euro circa Se aumeto la durata delle aualità a 10 ai, mateedo l obiettivo di ua accumulazioe fiale a , la quota scede a euro Se aumeta il tasso di iteresse, sempre ell ipotesi di raggiugere euro i 5 ai, la quota scede a euro