Lezione VI COSTRUZIONE DELLE TAVOLE, FUNZIONI BIOMETRICHE, MISURE DI SINTESI. Agnese Maria Di Brisco

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1 Lezione VI COSTRUZIONE DELLE TAVOLE, FUNZIONI BIOMETRICHE, MISURE DI SINTESI Agnese Maria Di Brisco Testo di Riferimento: G.A., DEMOGRAFIE, MILANO, MC GRAW-HILL, Cap. 3.2 A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

2 , funzioni biometriche, misure di sintesi 1 Tavole di Mortalità 2 Funzioni Biometriche 3 Relazione tra tassi e probabilità A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

3 Mortalità Il fenomeno mortalità è stato a lungo analizzato nel corso delle precedenti lezioni. Nella precedente esercitazione sono stati costruiti tassi e probabilità rispetto al fenomeno in esame, che verranno ora brevemente ricordati. A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

4 Tassi di mortalità 1 Tasso specifico per età x e anno di calendario t: tm x = per x = 0, 1,..., ω 1 tm x ( 1.1.t P x t P x )/ Tasso specifico per età x e generazione g per x = 0, 1,..., ω 1 m g x = M g x (P g x + P g x+1 )/ Tasso specifico per generazione g e anno di calendario t tm g = per x = 0, 1,..., ω 1 tm g ( 1.1.t P g t P g )/ A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

5 Probabilità di morte 1 probabilità tra compleanni q g x = Mg x P g x 2 probabilità prospettiva per generazione g e anno di calendario t tq g = t M g 1.1.tP g A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

6 Tavole di mortalità La tavola di mortalità (o di sopravvivenza) è lo strumento privilegiato per descrivere il processo di estinzione di una generazione di individui. In generale la tavola di mortalità, così come il diagramma di Lexis, può essere utilizzata per descrivere l evoluzione di diversi fenomeni demografici nel corso della vita di un individuo. Nel nostro corso applicheremo la metodologia delle tavole esclusivamente al fenomeno mortalità. A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

7 Tavole di mortalità Il tempo individuale è misurato a partire da un evento di origine e si conclude con la sperimentazione dell evento di interesse: nel caso della mortalità l evento origine è la nascita e l evento di interesse è il decesso. Per costruire una tavola di mortalità occorrono: l ammontare iniziale della popolazione sottoposto ad eliminazione la serie delle probabilità di morte tra compleanni q x Si osserva che le probabilità possono essere calcolate per tutte le età di una generazione in corrispondenza delle diverse età di tutte le generazioni che convivono in un dato intervallo biennale Nel primo caso si può costruire una tavola di mortalità per generazioni mentre nel secondo caso si ottiene una tavola di mortalità per contemporanei. A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

8 Tavola di mortalità per generazioni o per contemporanei: un esempio Il seguente esempio vuole meglio chiarire la differenza che sussiste tra una tavola di mortalità per generazioni ed una tavola di mortalità per contemporanei. Si supponga di considerare una popolazione fittizia in cui tutti si estinguono prima del quarto compleanno e sia che: 1 Nell anno 1965 sono nati 100 bambini e nel primo anno di vita ne sono deceduti 29 2 Nel 1964 sono nati 80 bambini, di questi 60 hanno raggiunto il primo anno di vita e 20 sono deceduti prima del secondo anno di compleanno. 3 Della generazione del 1963, 45 bambini arrivano a compiere il secondo anno di vita e di questi 15 giungono al terzo compleanno. 4 Nel 1962 sono nati 90 bambini. Di questi 15 sono deceduti nel primo anno di vita, 25 nel secondo, 40 nel terzo. A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

9 Tavola di mortalità per generazioni o per contemporanei: un esempio Rappresentando l informazione a disposizione in un opportuno diagramma di Lexis si ottiene: Le informazioni note sono in nero, in blu quelle ricavate per differenza A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

10 Tavola di mortalità per generazioni : le probabilità Le informazioni contenute nel diagramma di Lexis consentono di calcolare le necessarie probabilità di morte, attraverso cui si procederà alla costruzione della tavola. Si supponga di voler calcolare una tavola di mortalità per generazioni e ci si focalizzi sulla generazione dei nati nel Le probabilità di morte tra compleanni saranno relative alla generazione e saranno 4, tanti quanti sono gli anni di sopravvivenza massimi della popolazione in esame: A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

11 Tavola di mortalità per generazioni : le probabilità q 0 = M P q 1 = M P q 2 = M P q 3 = M P = = = = = = 0.8 = = 1 A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

12 Tavola di mortalità per contemporanei : le probabilità Si supponga di voler calcolare, invece, una tavola di mortalità per contemporanei nell intervallo biennale I soggetti a rischio di sperimentare l evento sono quelli con età x nel 1965 mentre gli eventi sono quelli accaduti nel biennio (figura B del diagramma di Lexis); le probabilità tra compleanni sono sempre 4, tanti quanti sono gli anni di sopravvivenza massimi della popolazione in esame: A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

13 Tavola di mortalità per contemporanei : le probabilità q 0 = M = P = 0.29 q 1 = M = P 1 60 = q 2 = M = P 2 45 = q 3 = M = P 3 10 = A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

14 Tavola di mortalità per generazioni o per contemporanei: un esempio Nella seguente figura sono riportate le probabilità di morte per generazione e per contemporanei calcolate. A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

15 Tavola di mortalità: costruzione Occorre ora procedere formalmente a definire le quantità utili a costruire la tavola di mortalità: 1 l 0 corrisponde all ammontare iniziale della popolazione (di solito si considera per convenzione un multiplo di 10, ad esempio di individui). Con l x si indica, allora, l ammontare della popolazione in età x; 2 q x corrisponde alla probabilità di morte dal compleanno x al compleanno x + 1. Ad esempio q 0 è la probabilità di morte dalla nascita al compimento del primo compleanno; 3 d x corrisponde al numero di decessi in età x. Ad esempio d 0 è il numero di decessi prima del compimento del primo compleanno. A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

16 Tavola di mortalità: costruzione Si supponga di conoscere l 0 e q 0. Allora si possono calcolare: 1 il numero di morti prima del primo compleanno d 0 = l 0 q 0 2 i sopravviventi della tavola al primo compleanno Allora generalizzando: l 1 = l 0 d 0 d x = l x q x l x+1 = l x d x A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

17 Tavola di mortalità: esempio Si completi la seguente tavola di mortalità: x l x d x q x A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

18 Tavola di mortalità: esempio Occorre completare gli spazi vuoti della tavola di mortalità: q 0 = d 0 l 0 = = 0.04 l 1 = l 0 d 0 = = d 1 = l 1 q 1 = = 7680 l 2 = l 1 d 1 = = d 2 = l 2 l 3 = = 8170 q 2 = d 2 l 2 = = q 3 = d 3 l 3 = = A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

19 Tavola di mortalità: esempio Si riportano i risultati ottenuti nella tavola x l x d x q x A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

20 Funzioni Biometriche Funzioni biometriche della tavola di mortalità Le tre quantità finora introdotte nella tavola di mortalità: q x probabilità di morte d x decessi l x sopravviventi sono dette funzioni biometriche e sono funzioni dell età x. É molto utile rappresentarle graficamente per studiare come esse varino al variare dell età. A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

21 Funzioni Biometriche Funzioni biometriche: probabilità di morte Il grafico mostra l andamento della probabilità di morte al variare dell età: in ascissa è rappresentata l età mentre in ordinata è indicata la probabilità di morte q x. Come è prevedibile la funzione q x è crescente e assume valore pari a 1 all età irraggiungibile ω (è un evento certo che tutta la coorte si estingua prima di raggiungere l età ω). A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

22 Funzioni Biometriche Funzioni biometriche: decessi Il grafico mostra l andamento dei decessi al variare dell età: in ascissa è rappresentata l età mentre in ordinata è indicato il numero di decessi d x. Si osserva come il numero di decessi entro il primo anno di vita sia piuttosto elevato per poi diminuire drasticamente nell età adulta e riaumentare durante le età più avanzate. L andamento tipico è dunque quello di una campana con un lieve picco nell età 0. A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

23 Funzioni Biometriche Funzioni biometriche: sopravviventi Il grafico mostra l andamento dei sopravviventi al variare dell età: in ascissa è rappresentata l età mentre in ordinata è indicato il numero di sopravviventi l x. Come è prevedibile il numero di sopravviventi è una funzione strettamente decrescente: la funzione l x decresce lentamente durante l età adulta per poi diminuire drasticamente fino a 0, ossia all estinzione della coorte, nelle età più avanzate. A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

24 Funzioni Biometriche Altre funzioni biometriche Oltre alle tre fondamentali funzioni biometriche costitutive della tavola è possibile definire delle nuove funzioni che arricchiscono l informazione relativa al processo di eliminazinoe di una popolazione. Esso sono sinteticamente descritte nel seguito: p x è detta probabilità di sopravvivenza ed è pari al complemento a 1 della probabilità di morte, per ogni età p x = 1 q x Anche attraverso le probabilità di sopravvivenza è possibile calcolare i sopravviventi infatti vale la relazione: Infatti si deriva che: l x+1 = l x p x l x+1 = l x d x = l x l x q x = l x (1 q x ) = l x p x A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

25 Funzioni Biometriche Altre funzioni biometriche L x è pari al numero di anni vissuti complessivamente dai soggetti tra l età x e l età x + 1. L x = l x+1 + d x 2 Ossia è pari al numero di soggetti che sono arrivati in vita all età x + 1 più la metà dei soggetti che sono morti prima di compiere x + 1 anni ma che erano in vita al compleanno x-esimo. Si prende la metà poichè per convenzione si fissa che tutti coloro che sono morti tra i due compleanni sono vissuti mediamente metà anno. Una formula alternativa è la seguente, ricavabile tramite semplici passaggi algebrici: L x = l x+1 + d x 2 = l x+1 + l x l x+1 2 = l x + l x+1 2 Di fatto, allora, gli anni vissuti si possono interpretare come la popolazione media in età x. A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

26 Funzioni Biometriche Altre funzioni biometriche T x è pari alla retrocumulata degli anni vissuti e risulta pari a: T x = L x + L x L ω 1 e x è la speranza di vita all età x e rappresenta il numero medio di anni che restano da vivere ai sopravviventi all età x: e x = T x l x Molto usato è la speranza di vita alla nascita e 0 poichè esprime il numero medio di anni vissuto da una generazione. A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

27 Relazione tra tassi e probabilità Calcolare i tassi di mortalità dalle tavole Un tasso di mortalità età-specifico è pari, come ben sappiamo, al numero di morti in età x diviso la popolazione media nella stessa età: m x = M x P x Osservando che M x = d x e che la popolazione media è pari a L x, come osservato nelle slides precedenti, allora il tasso di mortalità età-specifico può essere ricavato dalle tavole: m x = d x L x A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

28 Relazione tra tassi e probabilità Relazione tra tassi e probabilità Sapendo che m x = dx L x si vuole scrivere la probabilità di morte q x in funzione di m x. Svolgiamo dei passaggi algebrici. Dividendo numeratore e denominatore per L x : q x = d x l x = d x/l x l x /L x = m x l x /L x = Osserviamo che L x = lx +l x+1 2 e allora tramite passaggi algebrici otteniamo che: L x = l x + l x+1 2 = l x + l x d x 2 = l x d x 2 Allora possiamo sostituire nell equazione l x = L x + dx 2 q x = m x l x /L x = m x (L x + dx 2 )/L x == m x 1 + mx 2 = 2m x 2 + m x A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29

29 Relazione tra tassi e probabilità Relazione tra tassi e probabilità Infine si vuole scrivere il tasso età specifico m x in funzione della probabilità di morte q x : m x = 2q x 2 q x Svolgendo i passaggi infatti: q x = 2m x 2 + m x 1 = 2 + m x = q x 2m x m x q x 2 = 2 + m x = 1 2m x m x 2 q x = 1 2q x m x m x = 2q x 2 q x A. Di Brisco ( ) Lezione VI 10 Giugno / 29