La matrice è ortogonale e unitaria in quanto, ma non è necessariamente simmetrica Convenzione di Einstein:

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1 Meccanica Razionale Invarianza rispetto al sistema di riferimento: tutte le leggi fondamentali della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali, lo spazio condivide un tempo comune e la distanza tra due punti è la stessa per qualsiasi sistema di riferimento si consideri. Un vettore può essere espresso con infinite basi dello spazio a cui appartiene ma è invariante in quanto tensore. Un vettore espresso con la base si chiama mentre con la base si chiama. Perciò, definita la matrice di trasformazione tra le due basi si può dire che e. Definiamo l'oggetto composto da tre vettori (vettori componenti degli assi ) e tre vettori (vettori componenti degli assi ). ha la particolarità di non variare con il cambiamento di base. Perciò risulta che : sia che sono tensori doppi. Tensore: ente invariante rispetto al sistema di riferimento in quanto è definito solo dallo spazio vettoriale al quale appartiene. Si dice di ordine 1 se si tratta di un vettore, di ordine 2(o doppio) se si tratta di una matrice quadrata. Tensore di rotazione di una terna: data una terna fissa,, e una terna mobile,, si definisce il tensore di rotazione della terna mobile rispetto alla terna fissa come la matrice dei coseni direttori degli angoli tra i versori mobili e quelli fissi La matrice è ortogonale e unitaria in quanto, ma non è necessariamente simmetrica Convenzione di Einstein: Cinematica Richiami di cinematica del punto: posizione, traiettoria, velocità, accelerazione Dato un sistema di riferimento fisso in O (,, ) si definisce la posizione del punto dove è la componente del vettore nella direzione La traiettoria del punto è definita come ovvero di e quindi indica la posizione del punto (delle sue componenti lungo gli assi del sistema di riferimento) in funzione del tempo. Se c'è correlazione tra le tre componenti allora la traiettoria può essere descritta come La velocità del punto è la variazione della posizione nell'unità di tempo, ovvero L'accelerazione del punto è la variazione della velocità nell'unità di tempo, ovvero Cinematica relativa: velocità angolare terna mobile Un punto solidale con la terna mobile non varia la sua posizione rispetto ad essa nel tempo dunque

2 è la matrice velocità angolare ed è definita come È una matrice antisimmetrica ( ) e ad essa si può associare un vettore detto velocità angolare della terna mobile rispetto alla terna fissa tale per cui e quindi Cinematica relativa: formule di Poisson Data una terna mobile e i suoi versori con velocità angolare Cinematica relativa: velocità relativa e di trascinamento La velocità di un punto si può esprimere, secondo il Teorema della composizione delle velocità, come ovvero la somma della velocità relativa e la velocità di trascinamento Velocità relativa:, ovvero la velocità del punto rispetto alla terna mobile; Velocità di trascinamento:, ovvero la velocità che avrebbe il punto se fosse solidale alla terna mobile(quindi la velocità della terna mobile rispetto alla terna fissa) Cinematica relativa: accelerazione relativa, accelerazione di trascinamento e accelerazione di Coriolis Accelerazione relativa: indica la variazione di velocità del punto rispetto la terna mobile (il termine fa parte dell'accelerazione di Coriolis) Accelerazione di trascinamento: indica la variazione di velocità della terna mobile rispetto a quella fissa poiché (il termine fa parte dell'accelerazione di Coriolis, mentre il termine indica l'accelerazione centripeta: infatti è rivolta verso il punto ) l'accelerazione di Coriolis: i due termini trovati nel derivare le due tipologie di velocità rappresentano l'accelerazione. L'accelerazione di Coriolis dipende sia dal movimento della terna mobile rispetto alla terna fissa sia al movimento del punto Cinematica relativa: legge di composizione delle accelerazioni Il teorema di Coriolis afferma che un punto ha un accelerazione pari a

3 Vincoli: caratterizzazione dei vincoli Vincolo olonomo: vincolo di natura non differenziale ma solo intera, esprimibile come una funzione ad esempio un carrello che scorre lungo una direzione fissa Vincolo anolonomo: vincolo di natura differenziale, quindi esprimibile come ad esempio la lama dei pattini di un pattinatore sul ghiaccio Vincolo bilatero: vincolo che agisce da entrambe le parti della superficie di vincolo, quindi espresso mediante uguaglianza Vincolo unilatero: vincolo che agisce solo da una parte della superficie di vincolo, quindi esprimibile mediante disuguaglianza Vincolo fisso: vincolo tra coordinate spaziali Vincolo mobile: vincolo tra coordinate spaziali indipendente dal tempo dipendente dal tempo Vincoli: gradi di libertà e coordinate libere I gradi di libertà(gdl) di un corpo indicano in quanti modi può un corpo cambiare posizione. Un punto vincolato da equazioni di vincolo ha coordinate libere, ovvero necessita solamente di parametri per descrivere univocamente la sua posizione. Coordinate libere = gradi di libertà Un punto nel piano ha 2 gdl, mentre nello spazio ha 3 gdl. Un corpo rigido nel piano ha 3 gdl(posizione x e y, rotazione) mentre nello spazio ha 6 gdl (posizione e rotazione rispetto i 3 assi). Un sistema di punti ha gdl Vincoli: atto di moto e movimento Atto di moto: è il campo vettoriale delle velocità di ogni punto del sistema. Determinare l'atto di moto di un sistema significa determinare la velocità di un punto in funzione della sua posizione(approccio Euleriano) e sono coordinate libere Movimento: è la funzione temporale delle coordinate libere. Determinare il movimento(moto) significa trovare la posizione di un punto in funzione del tempo(approccio Lagrangiano) Vincoli: alcuni tipi di vincoli Incastro: toglie 3 gdl e crea due reazioni vincolari e un momento vincolare(es. asta incastrata a terra) Cerniera: toglie 2 gdl e crea due reazioni vincolari(es. asta che può solo ruotare attorno alla cerniera) Carrello: toglie 1 gdl creando una reazione vincolare perpendicolare al movimento(es. asta il cui estremo scorre orizzontalmente mediante carrello) Manicotto: toglie 2 gdl creando una reazione vincolare perpendicolare al movimento e un momento vincolare che non permette all'asta di ruotare attorno l'estemo vincolato Bipendolo: toglie 4 gdl ad un sistema di due aste, una vincolata a cerniera fissa e l'altra vincolata alla prima con cerniera mobile Cerniera mobile: vincola due punti di due corpi diversi togliendo gdl ad un sistema di corpi Corpo rigido: sistema rigido Un sistema rigido è composto da punti tutti sempre equidistanti e con gli angoli tra i punti invarianti. Se il sistema ha punti infinitamente vicini si chiama corpo rigido

4 Corpo rigido: atto di moto rigido(d) Ogni istante il sistema deve avere l'invarianza delle distanze e degli angoli Condizione necessaria e sufficiente per descrivere un sistema con un atto di moto rigido è che per ogni coppia di punti valga la seguente relazione togliendo il 2 si ha poi Corpo rigido: velocità angolare, formula fondamentale(d) Dati due punti esiste un'unica velocità angolare(vettore) tale per cui Essendo un corpo rigido e derivando(dividendo poi per 2) Ciò vuol dire che i due fattori sono perpendicolari, quindi esiste almeno un vettore tale per cui Prendiamo un altro punto appartenente al corpo rigido, quindi e con lo stesso procedimento di prima si trova un vettore tale per cui deve valere anche per la coppia (scegliendo ) perciò Sottraendo e quindi necessariamente per ogni coppia di punti, e perciò il vettore velocità angolare è unico Prendiamo infine un punto del corpo rigido, dunque Dunque la velocità angolare è indipendente dalla terna di riferimento scelta. La formula fondamentale di moto rigido è

5 Corpo rigido: atto di moto traslatorio, rotatorio, rototraslatorio(d) Atto di moto traslatorio: e quindi tutti i punti del corpo rigido hanno la stessa velocità in modulo, direzione e verso Atto di moto rotatorio: con. Se esiste un punto a velocità nulla si dice che questo punto è il centro di istantanea rotazione e l'atto di moto è rotatorio Atto di moto rototraslatorio: : e per qualsiasi punto Corpo rigido: Invariante scalare cinematico, asse di istantanea rotazione e asse di Mozzi(d) Dalla formula fondamentale se premoltiplichiamo scalarmente per otteniamo Essendo per l'ortogonalità tra e si ha che detto invariante scalare cinematico dell'atto di moto rigido in quanto vale per qualsiasi punto. Atto di moto traslatorio: poiché Atto di moto rotatorio: poiché, sebbene, esiste un punto tale che La retta ottenuta è quella di tutti punti con velocità nulla: questa retta si chiama Asse di istantanea rotazione ed è parallela a. Atto di moto rototraslatorio: e, quindi per qualsiasi punto Essendo vuol dire che la componente di parallela a non è nulla per la natura del prodotto scalare(altrimenti sarebbe nullo). Tuttavia la componente di perpendicolare a può essere nulla e perciò cerchiamo dei punti che soddisfino questa condizione, ovvero. ( è la componente parallela a, è la componente perpendicolare a ) ma in quanto paralleli Questo comporta che anche Scelto un altro punto di cui conosciamo la velocità si ha, per l'atto di moto rigido I punti appartenenti alla retta appena trovata sono quelli a velocità minima in quanto hanno solo componente parallela alla velocità angolare( ) La retta appena trovata si chiama Asse di Mozzi Corpo rigido: atto di moto piano, centro di istantanea rotazione Quando tutte le velocità di un corpo rigido sono contenute in un unico piano fisso (detto piano direttore), e quindi sono parallele ad esso, si dice che il corpo segue un atto di moto rigido piano. Il punto in cui si dice centro di istantanea rotazione(cir), e corrisponde all'intersezione tra l'asse di istantanea rotazione(che nel caso piano è perpendicolare al piano) e il piano stesso. Esso si individua con la formula o mediante il teorema di Chasles

6 Corpo rigido: teorema di Eulero Il teorema di Eulero afferma che l'atto di moto rigido piano può essere solo rotatorio e solo traslatorio Se non è traslatorio quindi esiste tale che, quindi rotatorio Se non è rotatorio quindi traslatorio Corpo rigido: teorema di Chasles(d) Il teorema di Chasles afferma che in un atto di moto rigido piano il centro di istantanea rotazione si trova nell'intersezione tra le rette perpendicolari alle velocità di due punti diversi quindi ovvero e Essendo l'atto di moto piano si ha che Le rette passanti per e si incontrano appunto in, quindi il teorema è dimostrato Corpo rigido: base e rulletta Base: luogo dei punti centri di istantanea rotazione rispetto alla terna mobile Rulletta: luogo dei punti centri di istantanea rotazione rispetto alla terna fissa Corpo rigido: vincolo di puro rotolamento e rotolamento con strisciamento Puro rotolamento: vincolo tra due corpi che rotolano insieme con un punto di contatto che ha la caratteristica di avere la stessa velocità in entrambi i corpi. Se un disco rotola senza strisciare su una guida fissa la velocità del punto di contatto con la guida è nulla, e quel punto è il CIR. Togliendo due gradi di libertà le reazioni vincolari nel punto di contatto di puro rotolamento sono due: una tangente e una normale Rotolamento con strisciamento: toglie solo un grado di libertà e nel punto di contatto la componente tangente della velocità è diversa mentre quella normale è uguale su entrambi i corpi. Dinamica Leggi di Newton 1. Principio di inerzia: un punto isolato che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un osservatore inerziale(ovvero che si muove di moto rettilineo uniforme) permane nel suo stato. 2. Legge fondamentale della dinamica: un punto di massa che si muove con un'accelerazione è sottoposto ad una forza risultante, somma di tutte le forze che agiscono su di esso, pari a 3. Principio di azione e reazione: ad ogni azione corrisponde una reazione, quindi se un punto isolato viene sottoposto ad una forza dovuta ad un altro punto isolato, questo punto sarà sottoposto ad una forza a causa di.

7 Determinismo newtoniano Condizione necessaria e sufficiente per determinare la legge oraria di un punto è conoscere Alcuni tipi di forze(attive) Forza peso: forza dovuta all'interazione gravitazionale con versore uscente dal campo gravitazionale Interazione tra due punti: se due corpi hanno dimensioni molto ridotte rispetto alla dimensione del moto, si possono considerare punti formi(es. pianeti del sistema solare) Forza elastica: forza dovuta al cambiamento di lunghezza di una molla, sempre contraria all'allungamento con costante elastica(rigidità della molla) e allungamento della molla. Se la lunghezza della molla a riposo è nulla allora l'allungamento della molla corrisponde alla sua lunghezza. Forza di attrito viscoso: forza dovuta all'interazione tra un oggetto il mezzo il cui esso si muove Mezzi molto viscosi hanno Mezzi poco viscosi hanno e la forza viene detta resistenza viscosa e la forza viene detta resistenza aerodinamica Reazioni vincolari(reattive) Le reazioni vincolari sono forze dovute alla presenza di vincoli. Per vincoli bilateri il verso è arbitrario mentre per vincoli unilateri il verso è sempre concorde con le possibilità di movimento(es. appoggio su guida orizzontale ha un vincolo sempre verso l'alto e non negativo). Il numero di reazioni vincolari è pari al numero di gradi di libertà che toglie un vincolo. Attrito Un vincolo di appoggio su guida orizzontale liscia presenta solo una reazione vincolare verticale. Un vincolo di appoggio su guida orizzontale scabra presenta due reazioni vincolari: quella verticale e quella orizzontale(sempre opposta al moto). Si dice attrito statico se non c'è moto relativo tra i due corpi vincolati mentre si dice attrito dinamico se avviene un moto relativo tra i corpi. Attrito statico: persiste fino a che le forze reattive agenti nella direzione tangente sono minori di quelle reattive in direzione verticale, moltiplicate per un coefficiente Attrito dinamico: si ha quando le forze reattive tangenti sono uguali a quelle verticali moltiplicate per un coefficiente Centro di massa e baricentro Centro di massa: punto nel quale si possono concentrare tutte le masse e tutte le forze agenti su un sistema ottenendo lo stesso moto. Preso un punto fisso e punto del sistema di punti, il centro di massa si trova

8 Baricentro: è l'equivalente del centro di massa in un corpo continuo, definito come con densità puntuale del corpo. In caso di corpo omogeneo Media dei baricentri: Il baricentro si trova sempre su un'asse di simmetria, se presente. Nel caso di più assi di simmetria, il baricentro è nell'intersezione tra essi. Quantità di moto La quantità di moto di un punto è pari al prodotto scalare della massa per la velocità del corpo per corpo rigido omogeneo Tuttavia Quindi Momento della quantità di moto Il momento della quantità di moto di punto rispetto ad un punto O appartenente ad una retta perpendicolare al piano di e è pari al prodotto vettoriale tra la quantità di moto di e il vettore congiungente e Per corpo rigido per corpo rigido omogeneo I tre integrali si riscrivono come

9 Nel caso in cui è perpendicolare al piano di moto Se il punto H fosse il CIR allora la formula sarebbe in quanto la velocità di H è nulla. Tensore di inerzia Dati punti materiali si definisce tensore o momento di inerzia rispetto ad un asse la quantità dove è l' -esima massa e è la distanza del -esimo punti dall'asse. Per corpo rigido invece Teorema di Huygens Dove è il momento d'inerzia riferito ad un asse passante per il baricentro mentre è la distanza tra l'asse e l'asse Sistemi di punti: forze esterne e forze interne In un sistema di punti agiscono forze dovute all'interazione tra i punti interni e forze dovute a cause esterne. La forza interna agente su un singolo punto è la sommatoria di tutte le forze interagenti tra quel punto e gli altri punti. Sistemi di punti: Risultante e momento risultante Dato un sistema di punti per il primo principio della dinamica Si definisce risultante delle forze interne La risultante interna è nulla poiché Perciò per un sistema di punti la risultante è. per il terzo principio della dinamica.

10 L'equazione del momento risultante per un sistema di punti è poiché agiscono lungo la stessa direzione e quindi Questo significa(per il terzo principio della dinamica) che E perciò la risultante dei momenti risulta essere Sistemi di punti: Sistema cardinale della dinamica Sistemi di punti: Sistema cardinale per la statica Condizione necessaria all'equilibrio è che e Corpo rigido: equazioni cardinali della dinamica Questo sistema, insieme alle condizioni iniziali, fornisce una condizione necessaria e sufficiente a determinare il moto del corpo rigido univocamente.

11 Dal primo principio della dinamica Per la seconda equazione si ha Corpo rigido: Equazioni della statica Condizione necessaria per l'equilibrio di un corpo rigido è che Energia cinetica per sistema di punti e Energia cinetica per il corpo rigido(teorema di Koenig) Avendo che Il secondo integrale diventa

12 Il terzo integrale invece si annulla poichè che nel caso 2D ( )diventa Lavoro e Potenza Si definisce lavoro Il lavoro eseguito su un percorso AB è quindi mentre la potenza è definita come Potenza delle forze interne La potenza delle forze interne ad un sistema di punti è poiché di solito, sebbene Per il corpo rigido invece il discorso è diverso in quanto ma, si ha che per atto di moto rigido La potenza delle forze interne di un corpo rigido è nulla in quanto se Potenza delle reazioni vincolari Per un sistema di punti Per corpo rigido Potenza delle reazioni vincolari per vincoli ideali per vincoli ideali, fissi e ideali, lisci fissi e bilateri, interni e lisci. Teorema dell'energia cinetica per corpo rigido

13 Sollecitazione conservativa e potenziale Se una forza è legata ad potenziale tale che allora questa forza viene detta sollecitazione conservativa. Il potenziale è e condizione necessaria e sufficiente alla conservatività di una forza è che. Il lavoro di una sollecitazione conservativa è quindi e quindi il lavoro non dipende dal percorso. Alcune forze conservative 1. Forza peso: 2. Forza elastica: con s = allungamento molla 3. Forza elastica spirale: Conservazione dell'energia totale meccanica Per un sistema soggetto a vincoli ideali e fissi e a forze conservative(attrattive) si ha che l'energia meccanica si conserva. per la conservatività delle forze agenti. Per il teorema dell'energia cinetica Forze applicate al corpo rigido: trasformazioni invariantive 1. Comparazione: trasformazione invariantiva che consiste nel cambiare una forza con un sistema di forze la quale risultante sia proprio la forza di partenza e viceversa. 2. Traslazione: trasformazione invariantiva che consiste nel traslare una forza lungo la direzione in cui agisce. Questa operazione non cambia l'equilibrio del corpo. Forze applicate al corpo rigido: sollecitazioni equipollenti Due sistemi si dicono equipollenti su differiscono solo per operazioni invariantive. Dati due sistemi e si ha equipollenza se e Forze applicate al corpo rigido: invariante scalare dinamico Prendiamo due punti e Si dice invariante scalare dinamico la grandezza 1. Sistema a sollecitazioni nulle: 2. Sistema soggetto ad una coppia: 3. Sistema soggetto ad una forza: Cerchiamo il punto O in cui la risultante dei momenti angolari è nulla:

14 4. L'ultima espressione è quella della retta sulla quale si trova il punto O. Cerchiamo il punto O in cui la risultante dei momenti angolari è minimo: Tuttavia in quanto cerco il punto in cui la componente perpendicolare è nulla e quella rimanente è quella parallela alla risultante(comportando l'annullamento del prodotto Il punto cercato si trova partendo da e spostandosi di un vettore Meccanica Analitica Spostamento e velocità virtuali: Lo spostamento virtuale è l'insieme degli spostamenti possibili cosi come la velocità virtuale indica l'insieme di possibili velocità che un punto può avere; tra le velocità virtuali di sistemi soggetti a vincoli fissi vi è anche quella effettiva. Nel caso di vincoli mobili si considerano i vincoli congelati e si ha che la velocità effettiva non è mai contenuta tra quelle virtuali. Relazione simbolica pura della dinamica Questa formula nasce dal fatto che il lavoro delle reazioni vincolari non è mai negativo per ogni spostamento virtuale. Equazione simbolica pura della dinamica La relazione nasce dalla relazione simbolica pura per vincoli ideali e bilaterali: Sistemi onolomi Prendiamo in considerazione un sistema con punti e gradi di vincolo( gradi di libertà). Lo spostamento effettivo è

15 Se consideriamo i vincoli onolomi e fissi si ha che L'equazione simbolica diventa Avendo che se e solo se si arriva ad avere equazioni pure di moto Componente generalizzata della sollecitazione attiva Il significato fisico di questa grandezza è legato al lavoro effettuato dalle forze attive rispetto alle coordinate libere. La parte indica invece il lavoro compiuto dalle forze di massa. Equazioni di Lagrange Dato un sistema di gradi di libertà si possono ottenere equazioni pure di moto con le equazioni: Sostituendo nell'espressione della componente generalizzata delle forze d'inerzia si ha Per l'equazione simbolica pura si ha che e si trova l'equazione di Lagrange.

16 Equazioni di Lagrange per sistemi conservativi Definiamo la Lagrangiana tale per cui per un sistema soggetto solo a forze conservative. Si ottengono un numero di equazioni pure di moto pari a quello delle coordinate libere. Consideriamo le forze conservative: L'equazione di Lagrange quindi si può scrivere come Principio dei Lavori virtuali Dato un sistema con vincoli ideali si ha equilibrio se e solo se vale la seguente relazione Stazionarietà del potenziale e Teorema di Dirichlet Condizione necessaria e sufficiente all'equilibrio di un sistema con vincoli olonomi, ideali e bilaterali è che il potenziale sia stazionario. Meccanica orbitale Moto centrale Si definisce moto centrale il moto di un corpo le cui dimensioni sono molto inferiori alle dimensioni del corpo. Questo corpo è sottoposto ad una forza centrale, ovvero che punta sempre in un punto. Durante questo moto il momento angolare si conserva poiché la forza è parallela al vettore tra i due punti.

17 Costante delle aree e velocità areolare Si definisce velocità areolare la variazione dell'area spazzata da un corpo durante un moto centrale: Definiamo O il centro del moto e P il corpo rappresentato da un punto in quanto sottoposto a moto centrale. Consideriamo che il punto si muova su un piano con una certa velocità: L'infinitesimo di area spazzata(ovvero l'area composta dall'arco della traiettoria e i due segmenti che uniscono in punto centrale all'inizio della traiettoria e alla fine) vale: Formula di Binet La formula di Binet dice che un corpo soggetto a moto centrale è sottoposto ad un'accelerazione centripeta pari a Essendoci una costante nel rapporto tra e un moto centrale è identificabile con una sola coordinata Leggi di Keplero 1. La traiettoria dei pianeti è un ellisse e il sole è uno dei due fuochi 2. La velocità areolare è costante e quindi in moto è di tipo centrale 3. Il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo del semiasse maggiore è costante Legge di attrazione universale In un sistema di due corpi isolati P e S la forza dovuta all'interazione gravitazionale è dove è la costante gravitazionale e è la distanza tra i due corpi. Prendiamo un sistema di riferimento centrato nell'ellisse(di semiassi mettiamo in uno dei due fuochi il corpo S. e ) descritta dal corpo P e

18 Ricordando che dove è il periodo di rivoluzione. L'accelerazione dovuta all'interazione tra i due corpi si può quindi scrivere Problema dei due corpi Se due corpi interagiscono mediante forze attrattive e la massa di uno dei due è molto più grande dell'altra si può ridurre il problema dei due corpi a quello di un moto centrale Prendiamo due corpi sottoposti entrambi ad una forza attrattiva Il baricentro del sistema dunque segue una traiettoria rettilinea uniforme. Facendo la differenza tra le due equazioni di partenza, dividendole prima per le rispettive masse, si ottiene La legge di Newton per il sistema è Se e il problema si riduce ad un problema di moto centrale del corpo 2

19 Studio qualitativo di un orbita Prendiamo come esempio la Terra e un oggetto che compie un orbita attorno ad essa. L'attrazione gravitazionale è data da dove è la costante di attrazione gravitazionale(prima era ), raggio della terra e distanza tra superficie terrestre e oggetto orbitante. Approssimando in quanto si può racchiudere avendo cosi la ben nota legge. La forza di attrazione gravitazionale è conservativa poiché(considerando due punti P e S) L'energia cinetica del punto P L'energia meccanica totale si conserva Si trova quindi un'equazione differenziale rispetto al raggio dell'orbita Definiamo potenziale efficacie e di conseguenza l'energia potenziale efficacie Perciò se A seconda dell'energia meccanica (rappresentabile come una retta orizzontale) l'orbita avrà un semiasse minore(prima intersezione di con ) e un semiasse maggiore(seconda intersezione). Nel caso in cui sia la minima necessaria l'orbita sarà una circonferenza (a causa dell'unica intersezione nel punto di minimo) Stabilità Definizione secondo Liapounov La soluzione di un'equazione differenziale sottoposta a determinate condizioni iniziali è stabile se dato tale che se. In altre parole è stabile se sta nell'intorno di per ogni.

20 Stabilità della soluzione di un sistema lineare autonomo Un sistema lineare autonomo è un sistema nel quale non c'è dipendenza esplicita dal tempo e dalle coordinate, ad esempio Il primo termine dipende dalle condizioni iniziali mentre il secondo da. è autovalore di A Prendiamo una soluzione del sistema tenendo conto delle condizioni iniziali Si ha quindi che e poiché la stabilità è dovuta a se ovvero Per studiare la stabilità occorre studiare l'andamento di Il primo termine comporta un esponenziale mentre il secondo ad una sinusoide. Abbiamo quindi 3 casi o il contenuto del modulo tende a zero per. Asintotica stabilità o il contenuto del modulo tende a per. Instabilità o e almeno un il contenuto del modulo rimane limitato in un intorno ben definito. Stabilità semplice Primo metodo di Liapounov Questo metodo serve per studiare la stabilità di un sistema. Esso sfrutta la linearizzazione del problema Riscrivendo l'equazione vettoriale per ogni stato e moltiplicando sopra e sotto per si ha Sfruttando lo sviluppo di Taylor si può scrivere Quindi la differenza tra le due soluzioni diventa Definiamo quindi la matrice Jacobiana tale che considerata costante per sistemi autonomi. Nasce quindi un sistema differenziale e per la stabilità si studia il polinomio caratteristico della matrice verificando il segno degli autovalori. può risultare quindi instabile o asintoticamente stabile per il sistema non lineare di partenza, tuttavia nulla si può dire sulla stabilità nel caso in cui esista un autovalore a parte reale nulla.

21 Stabilità dell'equilibrio Nella posizione di equilibrio una generica coordinata libera presenta. Definiamo piano delle fasi un piano con ascissa la coordinata e come ascissa la sua derivata. Se parto da un punto del piano delimitato da un intorno di e rimane limitata in un intorno di fino a raggiungere un punto di equilibrio(quindi sull'asse delle ascisse) si dice che l'equilibrio è stabile. Prendiamo per esempio un pendolo: il grafico presenta delle oscillazioni con punti di minimo corrispondenti ai punti d'equilibrio sul piano delle fasi ; quest'ultimo presenta delle orbite simmetriche a forma d'ellisse che non intersecano le une dalle altre. Tuttavia aumentare l'energia meccanica dell'intero sistema significa aumentare l'ampiezza di queste orbite. Se l'energia meccanica e pari a quella potenziale mentre quella cinetica è nulla il piano delle fasi presenta delle ellissi che intersecano tra loro in un solo punto per coppia di orbite: questo punto è sull'asse delle ascisse e quindi è un punto di equilibrio, tuttavia è instabile. Se l'energia meccanica aumenta ancora il pendolo descrive delle orbite aperte senza tendere a posizioni di equilibrio in maniera esplicita. Stabilità dell'equilibrio di un sistema olonomo conservativo e Lagrangiana ridotta Per un sistema olonomo conservativo si possono fare le seguenti considerazioni o Teorema di Dirichlet: se valutata in allora quest'ultima è una posizione d'equilibrio Condizione necessaria alla stabilità in è che sia punto di massimo o Teorema di Liapounov: Condizione necessaria per l'instabilità è che il potenziale non sia massimo nella condizione d'equilibrio Per poter provare le proposizioni sopra espresse bisogna considerare l'energia cinetica nella forma dove è il vettore delle coordinate libere e è la matrice di massa. Considerando che poiché per l'equilibrio. Il potenziale invece diventa(con Taylor al secondo ordine) Consideriamo quindi la Lagrangiana ridotta L'equazione di Lagrange diventa Definendo il primo termine come e il secondo come otteniamo, in forma vettoriale, il sistema di Lagrange i cui autovalori ci danno la stabilità del sistema a seconda del segno delle parti reali. è una matrice definita positiva(massa) mentre è simmetrica(per derivate incrociate).

22 Piccole oscillazioni intorno alla configurazione di equilibrio stabile Dato il sistema con autovalori se l'equilibrio è stabile significa che. Il sistema si può riscrivere come dove e nella condizione di equilibrio diventa La soluzione è di tipo periodico con pulsazione e periodo delle piccole oscillazioni. Principi Variazionali Funzionale Il funzionale di un dominio di funzioni è un applicazione che associa ad ogni funzione un valore reale. Non è una funzione composta in quanto il valore del funzionale non dipende da ma dalla funzione. Un esempio di funzionale è l'integrale di una funzione, rappresentante l'area sottesa alla funzione stessa. Funzione estremante di un funzionale e variazione I funzionali sono utilizzati nell'ottimizzazione di certe quantità e perciò è solito cercare una funzione che minimizzi(ad esempio) il funzionale. In questo caso quindi è detta funzione estremante del funzionale se con. Si ha quindi che dove è detta variazione mentre è la funzione di controllo. Funzionali di tipo integrale con estremi fissi Un funzionale di tipo integrale è un funzionale di dominio dove sono dette funzioni ammissibili. è la forma del funzionale(ricordando che ). Questo funzionale perciò ammette solo funzioni i cui valori agli estremi siano tutti uguali a. Ciò comporta una variazione nulla negli estremi in quanto e. Equazioni di Eulero-Lagrange La funzione è estremante del funzionale se e solo se è verificata l'equazione di Eulero - Lagrange Prendiamo la funzione variazione riscrivendola come dove la funzione è caratterizzata da. Si riduce quindi lo studio rispetto al solo parametro il quale fa parte di un intorno di centrato in. La relazione dell'estremante diventa dunque

23 La funzione ha minimo in in quanto. In questo caso valutata in vale esattamente Sviluppando con Taylor al primo ordine centrato in si ha che Perciò si ha che la variazione di rispetto al punto di minimo è Integrando per parti si ottiene Per il valore che assume nei punti estremi si ha che e perciò L'ultima espressione è veritiera per ogni se e solo se è verificata l'equazione di Eulero - Lagrange Angoli di Eulero o Prima rotazione: angolo di precessione o Seconda rotazione: angolo di nutazione o Terza rotazione: angolo di rotazione propria Asse dei nodi: intersezione tra il piano equatoriale fisso e il piano equatoriale mobile. La prima rotazione porta l'asse ad allinearsi all'asse dei nodi, la seconda porta l'asse normale al piano equatoriale fisso nella posizione dell'asse equatoriale mobile( in ) e la terza fa ruotare il piano equatoriale mobile. Corpo rigido nello spazio Definendo la terna fissa, la terna mobile solidale al corpo rigido si ha che la velocità angolare del corpo rigido è Matrice d'inerzia Definendo la terna solidale al corpo rigido centrata in si definisce matrice d'inerzia la matrice simmetrica una matrice che possiede rispettivamente sulla diagonale e non elementi del tipo per ogni combinazione dei simboli. (importante ricordare che va inteso come )

24 Per trovare i momenti d'inerzia(,, ) e i prodotti d'inerzia( ) centrati in un punto diverso da basta scrivere Angoli di Cardano o Prima rotazione: angolo di azimuth o Seconda rotazione: angolo di elevazione o Terza rotazione: angolo di rollio Equazioni di Eulero sono i momenti d'inerzia di un corpo rigido rispetto ad una terna principale d'inerzia centrata in un punto appartenente al corpo rigido stesso. sono le componenti della velocità angolare del corpo rispetto alla terna principale d'inerzia e sono la somma dei momenti attivi e reattivi rispetto al punto agenti sul corpo stesso. Per dimostrare le equazioni di eulero è sufficiente partire dall'espressione del momento della quantità di moto rispetto al punto. Eguagliando con i momenti attivi e reattivi nelle tre direzioni, si può scomporre l'espressione nelle tre equazioni di Eulero(riferite appunto alle 3 direzioni della terna) Energia cinetica del corpo rigido nello spazio